Как зависит коэффициент массопроводности аm от температуры

Балансовое уравнение тепло- и массопереноса

Балансовое уравнение тепло- и массопереноса в развернутом виде можно написать, используя зависимости для внешнего и внутреннего теплообмена и массопередачи в твердой фазе (основного закона массопроводности).

Поток теплоты от теплоносителя к материалу по уравнению Ньютона-Рихмана (для конвективного теплообмена):

где a – коэффициент теплоотдачи от теплоносителя к поверхности материала; t_т, t_п.м – соответственно, средняя температура теплоносителя и поверхности материала.

Расход теплоты на испарение влаги:

где r – теплота испарения; ρ_о – плотность сухого материала; – отношение объема сухого материла к его поверхности, с которой происходит испарение (характеристический размер тела); dU / dt – скорость испарения.

Расход теплоты на нагрев материала теплопроводностью по уравнению Фурье:

Поток теплоты за счет потока движущейся внутри материала массы влаги:

где i – теплосодержание (энтальпия) перемещающейся влаги; q_m – суммарный поток влаги за счет градиента влагосодержания, температуры и давления.

Определим сначала q_m. Для этого введем понятие потенциала переноса массы θ по аналогии с тепловым потенциалом (температурой) и удельной влагоемкости (по аналогии с удельной теплоемкостью) с_m.

Обозначим коэффициент массопроводности через λ_m, тогда плотность потока массы:

где (∂U / ∂θ)_{t = const} – частная производная от удельного влагосодержания по потенциалу массопереноса при постоянной температуре.

Потенциал переноса массы зависит в основном от градиента влагосодержания, температуры и давления.

Если t = const и и p=const, то θ = f(U) – будет однозначной функцией влагосодержания. В этом случае:

Подставив значение в (11.26), получим величину единичного – частного при постоянных t и p – потока массы q_mu за счет градиента U ():

Умножив и разделив правую часть (11.28) на ρ_о, получим:

где ρ_о – плотность абсолютно сухого вещества.

Здесь коэффициент по своему физическому смыслу является аналогом коэффициента температуропроводности . Поэтому назвали коэффициентом потенциалопроводности.

По физическому смыслу а_т – величина, характеризующая скорость выравнивания влагосодержания в теле материала.

А.В. Лыков впервые установил, что наличие градиента температуры вызывает в материале перемещение влаги в направлении теплового потока. Это явление было названо термовлагопроводностью.

Если U = const и p = const, то θ = f(t), а закон переноса можно записать так:

Подставив значение из (11.30) в (11.26), получим величину частного потока массы в материале за счет термовлагопроводности

Умножив и разделив правую часть на с_т ∙ ρ₀ и обозначив с_т ∙ (∂θ / ∂t)_U,P = δ, получим:

где δ – термоградиентный коэффициент, учитывающий влияние на коэффициент потенциалопроводности а_т отношения перепада влагосодержаний к перепаду температур.

Если U = const и t = const, то θ будет однозначной функцией давления и закон переноса массы для частного потока q_mp (перенос за счет градиента давления) можно записать:

Подставив значение в (11.26), получим для частного потока массы:

Умножив и разделив правую часть на с_т ∙ ρ₀ и обозначив с_т ∙ (∂θ / ∂p)_U,t = δ_Р, будем иметь:

где δ_Р – коэффициент, учитывающий влияние на а_т отношения изменения массопереноса к перепаду давления.

где а_р – коэффициент массопроницаемости.

Таким образом, общий (суммарный) поток влаги:

Подставив q_m в уравнение (а), получим уравнение, определяющее распространение теплоты в теле при наличии массообмена:

где i_u, i_t, i_p – количество теплоты, перемещающееся соответственно с потоками массы за счет градиентов влагосодержания (U), температуры (t) и давления (p).

Балансовое уравнение тепло- и массопереноса при сушке в развернутом виде:

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

МАССОПЕРЕДАЧА С ТВЕРДОЙ ФАЗОЙ

К этим процессам относятся экстракция из твердых пористых материалов (выщелачивание), сушка и адсорбция.

Массоперенос в твердом пористом материале представляет собой неустановившийся процесс.

Перенос вещества из твердого капиллярно-пористого тела через границу раздела фаз в газовую (паровую) среду (сушка), в жидкую (экстракция) или из газовой (паровой) среды в твердое тело (адсорбция) происходит при наличии градиента потенциала переноса в направлении достижения равновесия.

На перенос вещества значительное влияние оказывает его структура. Твердое пористое тело представляет собой систему со сложными многообразными геометрическими характеристиками, главными из которых являются пористость, полидисперсность, распределение пор по размерам, форма капилляров.

В зависимости от капиллярно-пористой структуры твердые материалы классифицированы в порядке уменьшения величины критического диаметра пор, которому соответствуют усложнение внутренней структуры твердого тела и увеличение внутридиффузионного сопротивления, на широкопористые ( до 100 нм), среднепористые и материалы с ультрамикропорами.

В общем случае перенос вещества внутри пористого твердого тела осуществляется как в паровой, так и в жидкой фазе. В случае десорбции влаги при небольшой влажности материала влага перемещается в основном за счет молекулярного переноса пара. При большой влажности материала перемещение жидкости и пара обусловлено явлениями с различными механизмами переноса: капиллярными, осмотическими, термокапиллярными, гравитационными потоками газовой (паровой) фазы.

Значение каждого из перечисленных механизмов переноса зависит от капиллярно-пористой структуры твердого тела и режима проведения процесса.

Массоперенос в системе с твердой фазой рассмотрим на примере десорбции влаги из твердого тела на следующей схеме (рис. 12.5).

Рис.12.5. Модель массопереноса вещества в капиллярно-пористом теле

В начальный момент времени концентрация распределяемого вещества постоянная во всем объеме пластины и равна . Концентрация распределяемого вещества в омывающей твердое тело фазе постоянна и равняется . При начальной концентрации вещества в твердом теле , большей равновесной концентрации, соответствующей концентрации в омывающей фазе, распределяемое вещество перемещается в омывающую фазу с поверхности раздела фаз.

При удалении свободной поверхностной влаги температура материала не меняется и равна температуре мокрого термометра, а давление паров над материалом равно давлению насыщенных паров жидкости. В этот период влага удаляется из твердого материала при постоянной скорости.

С течением времени концентрация вещества в твердом теле непрерывно снижается, принимая значения , . Начиная с некоторой критической концентрации , наблюдается продвижение зоны испарения в глубь тела, что приводит к уменьшению градиента потенциала переноса и к замедлению процесса.

Удаление влаги происходит не только в продвигающейся внутрь тела поверхности испарения с переменной координатой , но и во всей толщине «отработанного слоя», постепенно уменьшаясь по мере приближения к поверхности тела. Это явление объясняется различными формами связи влаги с материалом.

В период уменьшения скорости общая скорость массопереноса будет определяться скоростью перемещения общего массового потока вещества от поверхности испарения к поверхности тела, т. е. скоростью массопроводности, которая определяется механизмом массопереноса.

Процесс массопроводности описывается уравнением, аналогичным закону Фика (Фурье),

в котором называется коэффициентом массопроводности. Здесь Х — концентрация распределяемого вещества в твердом теле; t — температура тела.

В процессах адсорбции коэффициент массопроводности значительно зависит от степени насыщения адсорбента адсорбтивом и температуры.

В процессах экстрагирования тепловые эффекты незначительны, что позволяет рассматривать процесс массопереноса как изотермический. Это обстоятельство облегчает анализ и расчет кинетики процесса.

Наиболее сложным процессом массопереноса с твердой фазой является сушка, представляющая собой взаимосвязанный тепломассообменный процесс.

Дифференциальное уравнение массопроводности, которое выводится аналогично дифференциальному уравнению теплопроводности, имеет вид

Условия на границе сформулируем так: к элементарной площадке на границе раздела фаз подводится из твердой фазы вещество в количестве , которое определяется уравнением (12.30). Это вещество отводится в омывающую фазу за cчет конвективной диффузии, т. е. . Приравнивая к этому выражению уравнение (3.1.30) и проводя преобразования, получим

Методом теории подобия получим безразмерный комплекс

который называется диффузионным критерием Био.

Из уравнения массопроводности получим диффузионный критерий Фурье

Критерий Био показывает соотношение между скоростью перемещения вещества от поверхности фаз в омывающую фазу, которая характеризуется коэффициентом массоотдачи , и скоростью массопроводности.

Критерий Фурье характеризует изменение скорости массопереноса внутри твердого тела во времени.

При подобии процессов массопроводности должно соблюдаться геометрическое подобие, которое для одномерного потока выражается как , где — координата; R — определяющий размер твердого тела. Определяемой величиной является безразмерная концентрация: , где Х — концентрация в данной точке твердой фазы в момент времени .

Для одномерного потока критериальное уравнение массопроводности запишется так:

Аналитическое решение уравнения (12.34) имеется только для твердых тел простейшей формы: неограниченной пластины, бесконечного цилиндра и шара. Для облегчения расчетов составлены для этих тел графики, позволяющие определить по критериям и безразмерные концентрации.

В зависимости от структуры капиллярно-пористого тела, режима процесса, концентрации вещества в твердой фазе стадией, определяющей скорость процесса, может быть внешний либо внутренний массоперенос либо скорость общего процесса будет определяться обеими стадиями процесса одновременно. Для характеристики влияния внутреннего и внешнего массопереноса на кинетику процесса служит значение критерия Био, которое представляет отношение внешнедиффузионного сопротивления массопереносу к внутридиффузионному.

Для описания массопередачи в системе с твердой фазой в первом приближении может быть использовано основное уравнение массопередачи (12.4).

Коэффициент массопередачи рассчитывают, например, по уравнению

в котором — коэффициент формы, равный для пластины 1, для цилиндра 2, для шара 3; — показатель степени в уравнении распределения концентраций в твердом теле.

При проведении процесса во внешнедиффузионной области, когда , уравнение (12.35) преобразуется так:

В этом случае скорость процесса целиком определяется внешнедиффузионными факторами.

При одновременном течении процессов тепло- и массообмена для определения коэффициентов тепломассоотдачи предложены критериальные уравнения вида

где: — критерий Гухмана, характеризующий объемное испарение жидкости в адиабатических условиях. Значения А и зависят от гидродинамического режима в аппарате.

При лимитирующей стадией является массопроводность внутри материала и из (12.35) следует

Сложность связи коэффициента массопроводности с влажностью материала и температурой процесса обусловливает экспериментальное определение коэффициента массопроводности для каждого материала. Для ряда капиллярно-пористых материалов накоплено большое количество экспериментальных данных по коэффициентам массопроводности.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Закон массопроводности

Массопроводностью называется процесс перемещения вещества в твёрдой фазе.

Большинство строительных материалов представляет собой капиллярно-пористые тела, массообмен которых с окружающей средой определяется не только массоотдачей (в основном влагоотдачей) с поверхности материала в окружающую среду, но и подводом влаги из внутренних слоёв материала (массопроводностью) к поверхности раздела фаз.

Основной закон массопроводности (переноса вещества в твёрдом теле): количество вещества, переместившегося в твёрдой фазе за счёт массопроводности, пропорционально градиенту концентрации, площади, перпендикулярной направлению потока вещества, и времени:

В уравнении (6.27) коэффициент пропорциональности K, имеющий размерность коэффициента диффузии, может быть назван коэффициентом массопроводности.

При принятом законе массопроводности процесс перемещения вещества внутри твёрдой фазы может быть описан дифференциальным уравнением массопроводности

Обратимся теперь снова к основному закону массоотдачи (уравнению (6.24)):

Здесь коэффициент массоотдачи β, в отличие от коэффициента диффузии D, является не физической, а кинематической характеристикой, зависящей как от физических свойств фазы, так и от гидродинамических условий в ней.

Для того чтобы определить коэффициент β, необходимо проинтегрировать уравнения конвективной диффузии совместно с уравнениями Навье-Стокса (дифференциальными уравнениями движения для вязкой капельной жидкости) и уравнениями неразрывности потока при определённых начальных и граничных условиях.

Однако система указанных уравнений не имеет общего решения, поэтому для нахождения связи между переменными, определяющими β, прибегают к теории подобия.

При установившемся режиме количество вещества, перемещающееся от поверхности раздела фаз в ядро потока, согласно уравнению (6.24), составит:

и будет равно количеству вещества, прошедшего через пограничный слой (границу раздела фаз) за счёт молекулярной диффузии, согласно уравнению (6.20):

Разделив левую часть уравнения (6.29) на правую, отбросив знаки математических операторов (вычеркнув символы дифференцирования), заменив x на l и проведя сокращение c, получим диффузионный критерий Нуссельта, выражающий отношение интенсивности переноса в ядре фазы к интенсивности переноса в диффузионном пограничном слое

При одномерной диффузии (например, в направлении x) в неустановившемся процессе уравнение 2-го закона Фика имеет вид

где – выражает изменение концентрации во времени; – распределение концентрации за счёт конвективного переноса; – распределение концентрации за счёт молекулярной диффузии.

Разделив третий член уравнения на первый, и применив указанные выше приёмы, получим диффузионный критерий Фурье, характеризующий постоянство отношения изменения концентрации за счёт молекулярного переноса к изменению концентрации во времени:

Отношение 2-го члена к 3-му даст диффузионный критерий Пекле, выражающий меру отношения массы вещества, переносимой за счёт конвективного и диффузионного переноса:

Обычно критерий преобразовывают, выражая его критерием Re и диффузионного критерия Прандтля:

Диффузионный критерий Прандтля характеризует подобие физических величин

Когда процесс массообмена происходит в условиях естественной конвекции, то вместо критерия Рейнольдса (Re) в критериальное уравнение вводят другой критерий гидродинамического подобия – критерий Грасгофа (Gr):

где β – температурный коэффициент объёмного расширения среды (коэффициент объёмного расширения жидкости);

Δ t = t_ж — t_c.

В общем виде критериальное уравнение (конвективного массопереноса) массоотдачи имеет вид

Поскольку определяемым критерием является критерий Нуссельта, выражение (6.34) можно записать в виде

При стационарном режиме массообмена из уравнения (6.35) исключаем критерий и оно приобретает вид

При вынужденном движении фазы, когда естественной конвекцией можно пренебречь, из уравнения (6.36) исключают критерий Грасгофа (),тогда

При естественной конвекции из уравнения (6.36) исключают критерий Рейнольдса (R_eд), тогда

Зная значение N_ид, определяем коэффициент массоотдачи

Возвратимся теперь к уравненниям массопроводности (6.27) и (6.28):

Для решения задачи о перемещении вещества внутри твердой фаза дифференциальное уравнение массопроводности (6.28) должно быть дополнено уравнением, характеризующим условия на границе раздела твёрдой и жидкой (газовой, паровой) фаз.

Это уравнение может быть выведено в результате следующих рассуждений. К элементарной площадке dF на границе раздела фаз подводится вещество из твёрдой фазы в количестве dG, которое можно определить, исходя из закона массопроводности (внутренний массоперенос) (6.27).

От элементарной площадки отводится в омывающую фазу то же количество вещества dG, которое можно определить, исходя из закона конвекционной диффузии (внешний массоперенос) (закона массоотдачи (6.24)).

В результате получаем балансовое уравнение массопереноса в системе твёрдое тело-жидкость (газ) в дифференциальной форме:

Из уравнений (6.28) и (6.29) могут быть получены критерии, характеризующие перемещение влаги внутри твёрдой фазы.

Разделив в (6.29) правую часть на левую, получим безразмерный комплекс

Вычеркнув в этом комплексе символы дифференцирования, разности направления, после сокращения получим диффузионный критерий Био

Из дифференциального уравнения массопроводности (6.28) получаем безразмерный комплекс делением правой части на левую

Вычеркнув в полученном комплексе символы дифференцирования и направления, после сокращений получаем диффузионный критерий Фурье

характеризующий изменение скорости потока вещества, перемещаемого массопроводностью в твёрдом теле.

Дифференциальное уравнение массопроводности для простейших случаев одномерного перемещения вещества имеет аналитическое решение в виде

где – параметрический критерий, представляющий собой безразмерную концентрацию распределяемого вещества в твёрдой фазе (среде) в точке с координатой х; с – концентрация в точке с координатой х в момент τ, соответствующий определённому диффузионному критерию Фурье; δ – определяющий размер тела, составляющего твёрдую фазу; x/δ – безразмерная координата точки, в которой концентрация равна с; c_н – концентрация распределённого вещества в начальный момент времени; c_P – равновесная концентрация распределённого вещества в твёрдой фазе (и жидкости) при τ → ∞.

В промышленности строительных материалов основным массообменным процессом, протекающим между твёрдой фазой (материалом) и газообразной средой (теплоносителем), является сушка.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Массопроводность

Массопроводностью называют явление переноса диффундирующей жидкости (газа) при наличии разности потенциалов (концентраций) в твердых проницаемых материалах или между материалами при их контакте, обусловленное хаотическим — спонтанным движением структурных частиц диффундирующей жидкости и их взаимодействием с частицами твердого материала.

Рассмотрим перенос паров влаги от наружной поверхности материала в толщу кожи при ее увлажнении. Данный вид диффузионного переноса относится к числу очень сложных процессов. В зависимости от размера пор и морфологического строения твердой фазы, т.е. от формы и сочетания различных по размерам сквозных и замкнутых пор, каналов, капилляров, а также от природных свойств диффундирующей жидкости перенос может осуществляться одним или одновременно несколькими видами механизмов. Наиболее характерные виды механизмов при переносе паров и газов: нормальная диффузия, кнудсеновская диффузия (стесненная), стефановский поток и др.; при переносе капельных жидкостей: капиллярный перенос, гравитационный перенос, избирательная диффузия и др. Причем вклад того или иного механизма в общую величину потока массопроводности различен и в зависимости от состояния проницаемого твердого тела доля этих вкладов может существенно изменяться. Указанные факторы определяют величину коэффициента массопроводности.

Перенос диффундирующего вещества в твердых материалах описывается кинетическим законом (кг/с):

где ——градиент потенциалов массопереноса — движущая сила

массопроводности, ед.П/м; F — площадь поверхности (сечения), через которую диффундирует поток массы распределяемого вещества, м 2 .

Закон массопроводности гласит: «Поток диффундирующего вещества М в твердых проницаемых материалах пропорционален градиенту потенциалов массопереноса ЭП/дп и площади поверхности F, через которую происходит перенос».

Коэффициент пропорциональности Х_т называется коэффициентом массопроводности. Он, как и коэффициент диффузии D, представляет собой физическую константу системы «диффундирующее вещество —фаза» и определяется опытным путем. Величина Х_т зависит не только от свойств системы, но и от температуры, количества, концентрации (массосодержания) диффундирующего вещества в твердом материале.

Из закона (2.43) следует размерность коэффициента массопроводности [кг-м/(с-м 2 -ед.П)] и его содержание:

Коэффициент массопроводности Х_т численно равен количеству диффундирующего вещества в килограммах, которое переносится в одну секунду через поверхность (сечение) проницаемого тела площадью в 1 м 2 при движущей силе процесса в 1 ед.П.

Приведем примерные значения коэффициентов массопроводности [кг-м/(м 2 -с-мм рт. ст)] паров влаги (паропроводности) некоторых материалов текстильной и легкой промышленности (в качестве потенциала использовано равновесное парциальное давление паров влаги в воздухе):

• а) ткани из шерсти с различными добавками Х_т = (5,5. 17)-10 -9 ;
• б) кожи без покрытий Х_т = (1 . 3)-10 -9 ;
• в) кожи с казеиновым покрытием Х_т = (0,4. 0,8)-10″ 9 .

С повышением температуры и концентрации диффундирующего вещества (влагосодержания) в пористом материале значение коэффициента Х_т возрастает. Коэффициент массопроводности Х_т является аналогом коэффициента теплопроводности X при тепловых процессах.

Интенсивность процесса массопроводности описывается законом (2.43), выраженным через удельный поток или плотность потока [кг/(м 2 -с)]:

Закон массопроводности, выраженный через градиент объемных концентраций (кг/с):

где — — движущая сила массопроводности, кг/м 4 ; Х_тс — коэффициент массопроводности, выраженный через градиент объемных концентраций, м 2 /с.

Соотношение между коэффициентами Х_т и Х_тс описывается зависимостью, подобной (2.6):

Если в явлениях массообмена последовательно придерживаться аналогии кинетики тепловых процессов, то необходимо признать, что в неподвижных жидкостях и газах, в тонких пленках жидкостей, имеющих ламинарный режим течения, а также в твердых проницаемых материалах перенос диффундирующих жидкостей и газов осуществляется массопроводностью. В этом нетрудно убедиться, сопоставив зависимости (2.1) и (2.43), а также зависимости (2.3) и (2.45). Из первого сопоставления следует равенство коэффициентов диффузии и массопроводности, отнесенных к потенциалу [кг/(м • с • ед. П)]:

а из второго — равенство коэффициентов диффузии и массопроводности, отнесенных к объемной концентрации (м 2 /с):

Следовательно, коэффициент диффузии D, отнесенный к потенциалу, является не чем иным, как коэффициентом массопроводности Х_т жидкости или газа, т. е. аналогом коэффициента теплопроводности при тепловых процессах. В свою очередь, коэффициент массопроводности Х_тс, отнесенный к объемной концентрации, является коэффициентом диффузии D_c системы «диффундирующая жидкость (газ)—твердый пористый материал», т.е. аналогом коэффициента температуропроводности при тепловых процессах. Его также называют коэффициентом внутренней диффузии.

Учитывая зависимости (2.47), (2.6) и (2.5), выразим закон массопроводности через коэффициент Д:

где D_c = — коэффициент диффузии (внутренний), м 2 /с.

• [1] Аналогичную зависимость можно записать и для теплопроводности Q = . ЭТ г дТ г Э(р/) г . , = -X—F = -арс— F = —а —— F, где а, р, с, / — соответственно коэффициентдп дп дп температуропроводности, плотность, теплоемкость и удельная энтальпия вещества.