42. Синусоидальные (гармонические) волны. Уравнение бегущей волны. Длина волны и волновое число. Волновое уравнение. Фазовая скорость. Энергия волны.
Гармонические волны в твердых, жидких и газообразных средах возникают вследствие гармонических или синусоидальных колебаний источника (излучателя) волн. Колебания частиц среды в гармонических волнах также являются синусоидальными с одинаковыми циклическими частотами.
Расстояние между двумя точками, находящимися в одинаковом колебательном состоянии, называется длиной волны. Длина волны λ соответствует одному периоду Т.
Такая же форма синусоидального колебания получается в том случае, когда отдельные частицы упругой среды вводятся из положения равновесия. Эти частицы влияют на соседние и также приводят их в колебание. Но колебания каждой последующей частицы начинаются несколько позже. Эти частицы в свою очередь влияют на своих соседок, и так далее.
с = λ · f — основное уравнение учения о волнах.
Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова.
Уравнение бегущей волны:
где А = const — амплитуда волны, w — циклическая частота
Длина волны — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, обычно длина волны обозначается греческой буквой λ.
Волновое число — это отношение 2π радиан к длине волны, то есть это пространственный аналог круговой частоты ω (рад·с−1). Единица измерения — рад·м−1.
Волновое число численно равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров.
Обозначение — k, формула:
где λ — длина волны, ν («ню») — частота, vp = vф — Фазовая скорость волны, ω — угловая частота, E — энергия, ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака), c — скорость света в вакууме.
Волновое уравнение — дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды волновое уравнение имеет вид:
где х, у, z — пространственные переменные, t — время, u = u (х, у, z) — искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а — скорость распространения возмущения. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то Волновое уравнение упрощается и называется двумерным (одномерным).
Фазовая скорость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Ее можно рассматривать при желании как векторную величину.
Наиболее употребительное обозначение: .
При распространении волны в пространстве от какого-либо источника происходит и распространение энергии; частицы среды, вовлекаемые в колебательное движение, получают энергию от волны. Проследим, как энергия от источника распространяется в пространстве.
Предположим, что источник — плоская металлическая мембрана, колеблющаяся с определённой частотой. Колебаться мембрану заставляет вынуждающая сила, в данном случае — переменное (синусоидальное) магнитное поле. Мембрана, в свою очередь, заставляет колебаться частицы воздуха, и в пространстве за мембраной распространяется плоская продольная упругая волна.
Энергия мембраны есть энергия её движения, то есть чисто кинетическая энергия.
Поскольку мембрана колеблется по синусоидальному закону, её энергия (кинетическая) также будет периодически меняться со временем, но с удвоенной частотой (энергия пропорциональна квадрату скорости и не зависит от её знака). Следовательно, энергия источника будет поступать в среду циклически, с частотой, в два раза большей частоты колебаний источника.
Волновой процесс: определение, волны поперечные и продольные, волновая поверхность и волновой фронт. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое число и длина волны.
Волновым процессом называют процесс распространения в пространстве возмущения какой-либо физической величины. Например, брошенный в воду камень приводит к вертикальному смещению частиц воды вблизи ее поверхности. Возмущенные частицы, благодаря поверхностному натяжению, воздействуют на соседние невозмущенные, и те также начинают колебаться и т.д.
Если колебания возмущенной величины происходят перпендикулярно направлению распространения волны, то волна называется поперечной, а если параллельно, то продольной. Так, поплавок на воде колеблется вверх-вниз, а волна распространяется в горизонтальном направлении и потому является поперечной.
Геометрическое место (ГМ) точек, до которых доходит волновое возмущение к данному моменту времени, называется фронтом волны, а ГМ точек, колеблющихся в одной фазе, называется волновой поверхностью. Брошенный в воду маленький камень порождает расходящиеся круги, последний из которых — волновой фронт, а любой из внутренних — волновая поверхность.
Уравнение плоской волны.
точка 1, координата которой х = 0, колеблется по закону
(0, t) = A sin t.
(x, t) для любой точки с координатой х. — ?
Возмущение до точки дойдет с запаздыванием на время распространения волны, равное = x/V, а искомое уравнение запишется как (x, t) = A sin (t — ). В самом деле, если сюда подставить t = , то получим (x, ) = 0, т.е. нулевое начальное состояние (0, 0) за время t = переместилось в виде волны в точку х.
Поэтому (x, t )= A sin (t — ). В общем случае можно учесть и возможную начальную фазу :
Волновое число.
Расстояние, которое волна проходит в пространстве за время, равное одному периоду колебаний, называется длиной волны (). Скорость распространения волновой картины называется фазовой скоростью (V ). Поэтому
Введенное здесь волновое число k, как и длина волны , характеризует пространственную периодичность волнового процесса (равно как и Т характеризуют временнýю периодичность: = 2/T).
Длина волны — это минимальное расстояние между двумя точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Можно также взять расстояние между соседними горбами или же соседними впадинами.
Дифференциальное волновое уравнение Даламбера и его общее решение. Фазовая и групповая скорость. Дисперсия.
Снова вернемся к одномерной задаче, когда плоская гармоническая волна распространяется вдоль направления х. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что (9.2)
( ) удовлетворяет дифференциальному уравнению Даламбера:
Более того, уравнению удовлетворяет любая функция
f(t kx+) и суперпозиция (x, t) = A f1(t — kx+) + B f2(t + kx+), представляющая собой две волны, бегущие вдоль х во встречных направлениях. Эта суперпозиция и является общим решением (9.3).
Убедимся в этом, дифференцируя (x, t) и подставляя в (9.3) производные:
Отсюда что и требовалось, т.к. k = /V.
Если задача трехмерна, то в декартовой системе координат в левой части (9.3) будет сумма частных производных , которая для краткости обозначается оператором Лапласа , который имеет свое представление и в других системах координат. Поэтому самая общая форма записи уравнения Даламбера выглядит так:
До сих пор, говоря о скорости распространения волны, мы имели в виду скорость изменения волновой картины — фазовую скорость V = /k. Наблюдатель, сидя на гребне (или впадине) бесконечной гармонической волны и перемещаясь вместе с ней с такой же скоростью, видит вокруг себя неподвижную картину горбов и впадин. Для передачи информации сигнал должен быть промодулирован, а как следует из теории Фурье, любой негармонический сигнал состоит из бесконечного числа гармонических составляющих, каждая из которых необязательно будет распространяться с одной и той же скоростью. Передача некоторого количества энергии (или «сгустка») осуществляется передачей в пространстве и времени так называемого волнового пакета.
чтобы волновой пакет распространялся через среду без изменения формы огибающей необходимо, чтобы все его гармонические спектральные составляюшие распрострянялись с одной и той же фазовой скоростью. Возвращаясь к проблеме передачи сигнала, отметим, что волна внутри волнового пакета может распространяться со скоростью V (фазовая скорость), которая, вообще говоря, отличается от скорости распространения u всего пакета как целого (групповая скорость), причем всегда u c, а V может иметь любые значения.
З ависимость фазовой скорости от частоты [или длины волны] V = f () [или V = f ()] называется дисперсией 1 . Дисперсия — это свойство среды, в которой распространяется сигнал. В вакууме дисперсия отсутствует.
Связь между фазовой скоростью vф и групповой скоростью vгр: . т.к. , имеем: . Если , то vгр≠vф и существует дисперсия – зависимость vф от частоты. Если , дисперсии нет и vгр= vф.
Дисперсия в оптике — это зависимость оптического показателя преломления от длины волны n = f () или частоты. Понятие дисперсии подразумевает зависимость фазовой скорости волны V = c/n от частоты. Классической демонстрацией оптической дисперсии является разложение белого света на семь монохроматических компонент: красную, оранжевую, желтую, зелёную, голубую, синюю и фиолетовую. Самый большой показатель преломления — для фиолетовой компоненты, а самый маленький — для красной. Потому белый свет и разпадается на спектральную полоску, и дело здесь не в излучении, а в среде. Дисперсия — это свойство среды, в которой излучение распространяется!
- Упругие волны. Скорость продольных и поперечных упругих волн. Плотность потока звуковой энергии и уровень интенсивности звука. Определение децибела. Шкала упругих волн. Инфра- и ультразвук. Методы генерации ультразвука. Понятие об акустической локации
Упру́гие во́лны (звуковые волны) — волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил.
V — фазовая скорость распространения продольных упругих волн. Для поперечных волн, когда за процесс распространения отвечает не сжатие-растяжение, а изгиб, получится сходная формула с модулем сдвига G, который так же, как и модуль Юнга Е, является универсальной константой, зависящей от свойств среды: V = V . В газах скорость звука (там всегда распространяются только упругие волны!) определяется формулой
где — константа, зависящая от свойств газа; р — среднее давление. Скорость звука в воздухе при комнатной температуре около 340 м/с, в жидкостях — около 1500 м/с, в твердых телах — от 3000 до 5500 м/с.
При cкорости распространения волны V расстояние, проходимое волной за время t, равно Vt, а объем, в котором распространяется волна, равен SVt. Тогда E = wSVt, а энергия, доставляемая волной в единицу времени через единичную площадку (плотность потока энергии), равна .
Этой формуле часто придают векторный смысл: соответствующий вектор называется вектором Умова. Он направлен вдоль направления скорости. Найдем среднее значение величины , поскольку именно оно характеризует интенсивность звуковой волны. Поскольку sin 2 (. ) меняется от 0 до 1, то среднее значение равно ½. Получим . Тогда, по определению, интенсивность звуковой волны равна . Наиболее распространенной величиной, характеризующей воздействие звука на организм человека, является уровень интенсивности звука, измеряемый в децибелах (дБ) и определяемый как
где jo = 10 -12 Вт/м 2 — опорный уровень, принятый за порог слышимости. (Если j = jo , то L = 0). В табл. 1 приводятся некоторые значения L (при частоте = 1000 Гц).
Таблица 1 (Уровни интенсивности звука)
Уровень интенсивности L, дБ
Значение словосочетания «волновое число»
В спектроскопии волновым числом часто называют просто величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см−1). Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя 2π.
Единица измерения — рад·м−1, физическая размерность м−1 (в системе СГС: см−1).
Используется в физике, математике (преобразование Фурье) и таких приложениях, как обработка изображений.
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: дроблёнка — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?
Нейтральное
Положительное
Отрицательное
Ассоциации к слову «число»
Синонимы к словосочетанию «волновое число»
Предложения со словосочетанием «волновое число»
- Из комбинационного принципа следует, что разность волновых чисел двух спектральных линий одной и той же серии атома даёт волновое число спектральной линии какой-то другой серии того же атома.
Сочетаемость слова «волновой»
- волновая функция
волновая природа
волновая теория - волновая теория света
коллапс волновой функции
волновая природа света - иметь волновую природу
описывается волновой функцией - (полная таблица сочетаемости)
Сочетаемость слова «число»
- задним число
большое число
множественное число - число людей
число жертв
число членов - увеличение числа
рост числа
закон больших чисел - число делится
- принадлежать к числу
входить в число
относиться к числу - (полная таблица сочетаемости)
Понятия, связанные со словосочетанием «волновое число»
Инфракрасная расходимость (инфракрасная катастрофа) — ситуация якобы испускания бесконечно большого числа фотонов с бесконечно малыми энергиями при столкновении двух заряженных частиц. Является следствием расходимости интеграла из-за вкладов объектов с очень малой энергией (почти равной нулю), или что то же самое, из-за физического явления на очень больших масштабах.
Диспе́рсия волн — в теории волн различие фазовых скоростей линейных волн в зависимости от их частоты. Дисперсия волн приводит к тому, что волновое возмущение произвольной негармонической формы претерпевает изменения (диспергирует) по мере его распространения.
Спектральная плотность излучения — характеристика спектра излучения, равная отношению интенсивности (плотности потока) излучения в узком частотном интервале к величине этого интервала. Является применением понятия спектральной плотности мощности к электромагнитному излучению.
В физике, планковская частица — это гипотетическая элементарная частица, определенная как черная дыра, у которой комптоновская длина волны совпадает с радиусом Шварцшильда. Масса частицы равна (по определению) планковской массе, а комптоновская длина волны и радиус Шварцшильда равны (по определению) планковской длине.
Вращение плоскости поляризации поперечной волны — физическое явление, заключающееся в повороте поляризационного вектора линейно-поляризованной поперечной волны вокруг её волнового вектора при прохождении волны через анизотропную среду. Волна может быть электромагнитной, акустической, гравитационной и т. д.
Афоризмы русских писателей со словом «число»
- Все великое в искусстве в единственном числе.
Волновое число: физический смысл, размерность, формулы, примеры расчета
Вы хотите знать, в чем разница между волновым числом и угловым волновым числом и как их рассчитать? Тогда эта статья как раз для вас. Мы подробно объясним эту тему и покажем на примере, как можно рассчитать эти величины.
Если вы рассматриваете электромагнитную волну с определенной длиной волны, то волновое число является обратным этой длине волны — оно ведет себя противоположным образом. Например, если длина волны увеличивается, волновое число уменьшается. Если, с другой стороны, длина волны уменьшается, то волновое число увеличивается.
Волновое число в спектроскопии
Волновое число k определяется в спектроскопии как обратная величина длины волны λ, то есть ξ = 1 / λ (называется еще пространственной частотой). Однако его также можно выразить через частоту f и скорость света в вакууме c, тогда ξ = f / c или также через число n длин волн, укладывающихся в определенную длину l, то есть ξ = n / l .
В целом, для волнового числа применимо следующее соотношение: ξ = 1 / λ = f / c = n / l .
Важно: Волновое число ξ не следует путать с частотой f. Частота имеет единицу измерения Гц = 1 / с = с -1 и определяется через обратную величину периода T: f = 1 / T . Она показывает, как часто электромагнитная волна колеблется в секунду.
Единица измерения волнового числа
Обычно волновое число выражается в в следующих единицах измерения (в СИ): 1 / м = м -1 , что соответствует числу колебаний на метр. Однако единица может быть также преобразована, например, в единицы 1 / см = см -1 или 1 / мм = мм -1 .
Между этими единицами измерения существует следующая взаимосвязь: 1 м -1 = 0,01 см -1 = 0,001 мм -1 , соответственно 1 мм -1 = 100 см -1 = 1000 м -1 .
Разница между волновым числом и угловым волновым числом
Угловое волновое число часто ошибочно называют просто волновым числом. Однако, угловое волновое число k является величиной волнового вектора k и связано с волновым числом ξ следующим образом: k = | k | = 2*π*ξ = ω / c = 2*π / λ . В этой формуле где ω представляет собой так называемую угловую частоту. Волновой вектор — это вектор, перпендикулярный волновому фронту волны. Эта формула показывает, что волновое число ξ также может быть вычислено из углового волнового числа k: ξ = k / 2*π .
Важно: Угловую частоту и частоту также нельзя путать друг с другом. Угловая частота ω связана с частотой f следующим образом: ω = 2*π*f .
Физический смысл волнового числа.
Волновое число численно равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров. Это пространственный аналог круговой частоты ω (рад·с -1 ). Характеристика периодического процесса в пространстве.
Пример расчета волнового числа
Если мы наблюдаем электромагнитную волну с длиной волны λ = 500 нм и хотим вычислить по ней волновое число ξ, то поступаем следующим образом. Чтобы получить размерность м -1 сначала переведите длину волны в метры. То есть 500 нм = 500 * 10 -9 м = 5*10 -7 м.
Используя представленную выше формулу, вы можете определить соответствующее волновое число: ξ = 1 / λ = 1 / 5*10 -7 = 2*10 6 м -1 .
На одном метре волна колеблется 2 миллиона раз. Если преобразовать единицу измерения, то можно сказать, что волна колеблется 2000 раз на одном миллиметре: 2 * 10 6 м -1 = 0,001 * 2 * 10 6 мм -1 = 2000 мм -1 .
Пример расчета углового волнового числа
Если использовать ту же длину волны λ = 500 нм =5 *10 -7 м, как в предыдущем примере, и подставьте это значение в формулу для расчета углового волнового числа, то это приведет к следующим результатам: k = 2 * π / λ = 2 * π / 5 *10 -7 м = 1,2566 * 10 7 м -1 .
Легко видеть, что угловое волновое число k отличается от волнового числа ξ из предыдущего примера:
ξ = 2*10 6 м -1 ↔ k = 1,2566 * 10 7 м -1
Преобразование длины волны в волновой число
В следующей таблице показаны два направления преобразования из длины волны в волновое число и наоборот. Кроме того, в последней колонке перечислены некоторые области применения спектроскопии:
| Волновое число в 1/мм | Волновое число в 1/см | Волновое число в 1/м | Длина волны в нм | Длина волны в мкм | Длина волны в мм | Применение |
| 1 000 | 10 000 | 1 000 000 | 1 000 | 1 | 0,001 | Инфракрасная спектроскопия |
| 100 | 1 000 | 100 000 | 10 000 | 10 | 0,01 | Инфракрасная спектроскопия/терагерцовая спектроскопия |
| 10 | 100 | 10 000 | 100 000 | 100 | 0,1 | Терагерцовая спектроскопия |
| 1 | 10 | 1 000 | 1 000 000 | 1 000 | 1 | Микроволновая спектроскопия |
| 0,1 | 1 | 100 | 10 000 000 | 10 000 | 10 | Микроволновая спектроскопия/электронный спиновый резонанс |
Список использованной литературы
- Мартин Шапер, Mehrdimensionale Ortsfiltertechnik, Springer-Verlag 2014, ISBN 3-658-04944-8
- Физическая энциклопедия. В 5 томах/ Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин. — М.: Советская энциклопедия + Большая российская энциклопедия. — 1998.