Как рассчитать суммарную погрешность измерительного канала

Лекции по метрологии / Лекция № 15

Постановка задачи: Оценить точность измерения физической величины Х по величине Y, если каждый элемент измерительной цепи вносит погрешность в результат измерения.

Рассмотрим блок-схему канала измерения:

Т. е. канал измерения содержит n средств измерений (СИ).

Рассмотрим эту задачу на примере 2-х СИ, а результаты распространим на канал с n СИ.

Будем считать, что эти СИ имеют как аддитивную, так и мультипликативную составляющие погрешности.

Тогда их можно представить следующим образом:

— случайные аддитивные погрешности, имеющие следующие характеристики:

, , , ;

, — случайные параметры мультипликативной погрешности, имеющие следующие характеристики:

, , , .

Запишем уравнение, связывающее выходную величину измерительного канала Y с входной x.

;

.

.

Т. к. , , то последними двумя слагаемыми можно пренебречь ввиду их малости.

.

Найдём погрешность измерения:

.

— выходная величина измерительного канала, без учета погрешностей измерения (истинное значение).

В уравнении для погрешности измерения первое слагаемое – это суммарная мультипликативная составляющая погрешности, а второе – суммарная аддитивная составляющая погрешности.

Найдем характеристики с. в. .

;

.

.

Определим допустимую погрешность измерения .

Для этого нам необходимо знать закон распределения суммарной погрешности .

В большинстве случаев он нам неизвестен.

Здесь обычно поступают следующим образом:

• Если складывается достаточно большое количество случайных величин, имеющих с.к.о. одного порядка величины, то согласно центральной предельной теореме теории вероятностей – суммарный закон распределения погрешности будет близок к нормальному закону;
• Имея представление о законах распределения отдельных составляющих погрешности – можно сделать приближенное представление о суммарном законе распределении;
• Если нет никакой информации – то обычно считают, что суммарная погрешность имеет нормальное распределение.

Тогда, задаваясь доверительной вероятностью , определяют квантильный множитель . Тогда: . Определим следующие величины: — абсолютная погрешность канала в начале диапазона измерения (x=0); — абсолютная погрешность канала в конце диапазона измерения (x=x_к=x_N). Тогда . Определим приведенную погрешность для начала диапазона измерения. . Здесь — относительное с.к.о. аддитивной составляющей погрешности 1-го СИ ; — относительное с.к.о. аддитивной составляющей погрешности 2-го СИ. Введем следующее обозначение: — суммарное относительное с.к.о. аддитивной составляющей погрешности канала измерения. Тогда . Для . Определим приведенную погрешность для конца диапазона измерения: Здесь — относительное с.к.о. мультипликативной составляющей погрешности 1-го СИ; — относительное с.к.о. мультипликативной составляющей погрешности 2-го СИ. Введем обозначения: — суммарное относительное с.к.о. мультипликативной составляющей погрешности канала измерения; — суммарное относительное с.к.о. погрешности измерительного канала. Тогда приведенную относительную погрешность канала измерения для конца диапазона можно представить в следующем виде: . Измерительный канал нормируется следующим образом: . А относительная погрешность измерительного канала представляется следующим образом: . Т.е. аналогично, как представляется относительная погрешность для СИ, имеющего аддитивную и мультипликативную составляющие погрешности. Очевидно, что при записи относительной погрешности в таком виде используется аппроксимация полосы погрешности канала измерения, рассмотренная ранее. Обобщим полученный результат на n – устройств. Тогда ; ; . А относительная погрешность измерительного канала определяется аналогично. Рассмотренная задача была несколько упрощена, поскольку мы не учитывали следующие обстоятельства. Мы предполагали, что все случайные величины, т. е. погрешности (помехи), не коррелированны между собой. Учтем это обстоятельство, при расчете суммарной погрешности, следующим образом:

• Все погрешности, влияющие на результат измерения СИ, делятся на мультипликативные и аддитивные;
• Все погрешности представляются своими с.к.о.;
• Для коррелированных погрешностей суммирование с.к.о. проводится алгебраически:

. Здесь — коэффициент корреляции. Знак «+» или « — » в этом выражении зависит от знака коэффициента корреляции.

• В результате все погрешности (оставшиеся и просуммированные алгебраически) будут не коррелированны между собой, и они складываются геометрически:

.

• Все остальные вычисления, по определению суммарной погрешности канала измерения остаются такими же, что были рассмотрены выше.

Рассмотрим пример на определение суммарной погрешности измерительного канала. Пример. Измеряется физическая величина х. Измерительный канал имеет следующую структуру. Здесь: Д – датчик; П – преобразователь; ВП – вторичный прибор; x – измеряемая физическая величина; Y – показание вторичного прибора. Известно: Для датчика:

• Основная погрешность задана классом точности – 0,5. Распределение основной погрешности – треугольное.
• Дополнительная погрешность обусловлена: влиянием температуры окружающей среды — =0,1%; колебаниями напряжения питания — .

Для преобразователя:

• Основная погрешность задана классом точности – . Распределение основной погрешности – равномерное.
• Дополнительная погрешность обусловлена: влиянием температуры окружающей среды — =0,1%; колебаниями напряжения питания — .

Для вторичного прибора:

• Основная погрешность задана классом точности – . Распределение основной погрешности – нормальное. Класс точности определялся для доверительной вероятности – 0,95.
• Дополнительная погрешность обусловлена: влиянием температуры окружающей среды — =0,2%; колебаниями напряжения питания — .

При этом датчик и преобразователь находятся в непосредственной близости, а датчик, преобразователь и вторичный прибор питаются от одного источника напряжения. Предполагается, что с увеличением, как температуры, так и напряжения питания выходные сигналы элементов измерительного канала увеличиваются. Требуется оценить погрешность измерения физической величины по показаниям вторичного прибора. Решение. Представим измерительный канал в виде структурной схемы, на которой покажем действия случайных воздействий, приводящих к погрешности результата измерения.

1. Представим все погрешности в виде относительных с.к.о. и разделим их на аддитивные и мультипликативные.

• Для датчика:

Так как распределение основной погрешности имеет треугольный характер, а сама погрешность задана классом точности в виде – 0,5, то она имеет аддитивный характер, а относительное с.к.о. для неё запишется следующим образом: . Дополнительные погрешности имеют аддитивный характер, поэтому их запишем следующим образом: ; .

• Для преобразователя:

Так как распределение основной погрешности имеет равномерный характер, а сама погрешность задана классом точности в виде – , то она имеет как аддитивный, так и мультипликативный характер, а относительные с.к.о. для неё запишутся следующим образом: ; . Дополнительные погрешности имеют аддитивный характер, поэтому их запишем следующим образом: ; .

• Для вторичного прибора:

Так как распределение основной погрешности имеет нормальный характер, а сама погрешность задана классом точности в виде – , то она имеет мультипликативный характер, а относительное с.к.о. для неё запишется следующим образом: . Дополнительные погрешности имеют аддитивный характер, поэтому их запишем следующим образом: ; .

1. Проведем суммирование сначала коррелированных с.к.о.

• Так как элементы измерительного канала питаются напряжением от одного источника, то погрешности этих элементов, вызванные колебаниями напряжения коррелированны между собой. Поэтому они складываются алгебраически.

.

• Дополнительные погрешности, вызванные отклонениями температуры, так же коррелированны, но только для датчика и преобразователя, так как они находятся рядом (предполагается, что вторичный прибор находится под влиянием другой температуры). Тогда имеем:

.

1. Оставшиеся и уже просуммированные погрешности между собой не коррелированны, а поэтому складываются между собой геометрически. Проведем суммирование отдельно для аддитивных и мультипликативных составляющих погрешности.

• Для аддитивных:

.

• Для мультипликативных:

.

• Суммарное с.к.о.

.

1. Перейдем от с.к.о. к доверительным интервалам. На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей, можно считать, что суммарная погрешность имеет нормальное распределение. Тогда доверительные интервалы для доверительной вероятности равной 0,95 примут следующий вид:

• .
• .

1. Запишем выражение для относительной погрешности измерительного канала:

. Так для середины диапазона измерения относительная погрешность измерения составит: .

6.4 Пример расчета погрешности измерительного канала

Приводится пример расчета погрешности измерительного канала (ИК).ИК состоит из последовательно соединенных приборов:

Датчики давления серии Метран-100ДИ (0,04-10 МПа);

Измеритель-регулятор Метакон — 514.

Структурная схема измерительного канала приведена на рисунке 6.1.

Рисунок 6.1 — структурная схема измерительного канала

Оценка допускаемых среднеквадратических отклонений (СКО) погрешности измерительного канала с учетом приборов, входящих в состав ИК.

Среднеквадратические отклонения погрешностей компонентов ИК, для нормального закона распределения случайных составляющих погрешности в % от нормирующего значения определяется по формуле:

, (6.29)

σ — СКО погрешностей компонентов ИК;

— пределы основной приведенной погрешности соответствующего прибора;

— количество приборов.

Пределы основной приведенной погрешности приборов входящих в состав ИК, приведенные в документации и руководствах по эксплуатации на соответствующие приборы:

Датчики давления серии Метран-100ДИ: 0,1% ;

Регулятор Метакон — 514: 0,1%.

Рассчитаем СКО погрешностей компонентов ИК по формуле (6.29):

.

Для диапазона измеряемого давления 2…10 МПа среднеквадратическое отклонение погрешностей составляет:

.

1 Аналогично можно рассчитать погрешность для других типов и количества приборов.

2 При подготовке к исследованиям и снятии метрологических характеристик должен быть произведен внешний осмотр приборов и средств измерений; проверена их комплектность и необходимое заземление. Все первичные преобразователи и средства поверки должны иметь клейма и свидетельства о прохождении поверки. Должны быть выполнены все специальные мероприятия по технике безопасности.

3 Если в документации на приборы, входящие в состав ИК нормируются раздельно функции влияния (основная и дополнительнаяпогрешность) и реальные условия эксплуатации отличаются от нормальных, то необходимо учитывать, что значение основной приведенной погрешности соответствующего прибора Yi в формуле (6.29), необходимо заменить на выражение:

, (6.30)

, – основная и дополнительная погрешность.

Форум АСУТП

Evangelion здесь недавно
Сообщения: 3 Зарегистрирован: 01 окт 2020, 11:10 Имя: Роман Страна: Россия Благодарил (а): 2 раза

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение Evangelion » 02 окт 2020, 09:58

Здравствуйте, подскажите пожалуйста, как можно рассчитать погрешность имея такие данные:
Шкала датчика расхода 0 — 6000 кг/ч, относительная погрешность 0,5.
Класс точности РСУ 0,5
Класс точности барьера 0,5

Evangelion

Boris Parkhomenko не первый раз у нас
Сообщения: 378 Зарегистрирован: 01 апр 2012, 11:15 Имя: Пархоменко Борис Борисович Страна: Украина Благодарил (а): 23 раза Поблагодарили: 57 раз

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение Boris Parkhomenko » 02 окт 2020, 12:36

Boris Parkhomenko

Автор темы

Evangelion здесь недавно
Сообщения: 3 Зарегистрирован: 01 окт 2020, 11:10 Имя: Роман Страна: Россия Благодарил (а): 2 раза

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение Evangelion » 02 окт 2020, 14:43

Подскажите пожалуйста, верно ли рассчитал?
√0,5²/3+0,5²/3+0,5²/3=0,498%

Evangelion

Boris Parkhomenko не первый раз у нас
Сообщения: 378 Зарегистрирован: 01 апр 2012, 11:15 Имя: Пархоменко Борис Борисович Страна: Украина Благодарил (а): 23 раза Поблагодарили: 57 раз

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение Boris Parkhomenko » 02 окт 2020, 15:42

Верно. Только не 0.498, а 0.5. И не 29.88, а 30. А так все верно 🙂

Boris Parkhomenko

vansso здесь недавно
Сообщения: 9 Зарегистрирован: 07 янв 2020, 18:38 Имя: вано Благодарил (а): 1 раз Поблагодарили: 2 раза

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение vansso » 06 окт 2020, 19:11

Откуда появилась цифра «3»?
По методике по формуле 20, просто среднеквадратичное значение?

vansso

vansso здесь недавно
Сообщения: 9 Зарегистрирован: 07 янв 2020, 18:38 Имя: вано Благодарил (а): 1 раз Поблагодарили: 2 раза

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение vansso » 08 окт 2020, 16:49

Продолжу диалог сам с собой.
Boris Parkhomenko писал(а): ↑ 02 окт 2020, 12:36 Пример

открылся, до этого был недоступен.
1) Допустим мы мерим истинную температуру 50°С
2) у нашего термометра класса С погрешность будет (0,6+0,01*Т) 1,1°С. То вполне нормально что термометр будет выдавать сигнал как будто у него температура 48,9 или 51,1°С.
3) Блока преобразования сигналов сопротивлений БПО-32, диап измерения -50. +150°С, погрешность 0,25% = 0,5°С
4) регулятора микропроцессорного МИК-21, диап измерения -50. +150°С, погрешность 0,2% = 0,4°С
В моем понятии получается так: термометр выдает температуру 48,9°С, это значение измеряет БПО-32 и тоже может выдать сигнал, что температура равна 48,4 (и это нормально для него), следом идет МИК-21 который может отобразить 48 °С [какое странное совпадение что все приборы отобразили свою погрешность в одну сторону и это они полностью исправны] и в моем понятии это нормально, а не как в примере по ссылке, когда измеряешь температуру ссаным термометром с погрешностью 1.1°С, а в результате тебе технологи компосируют мозг почему в реакторе у них не идет синтез, когда при такой температуре должен быть.

vansso

rwg почётный участник форума
Сообщения: 1030 Зарегистрирован: 29 апр 2014, 09:57 Имя: Рыбкин Владимир Геннадьевич Страна: Россия город/регион: Тверь Благодарил (а): 53 раза Поблагодарили: 125 раз

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение rwg » 08 окт 2020, 17:55

vansso писал(а): ↑ 08 окт 2020, 16:49 в результате тебе технологи компосируют мозг почему в реакторе у них не идет синтез, когда при такой температуре должен быть.

Недавно проверял одну котельную, оператор пожаловалась, что ртутный градусник врёт по сравнению с цифровым прибором. Хочется 85 градусов, как на цифровом, а ртутник почему-то 110 показывает. Оказалось, что много лет назад гильза для ТСМ не в трубопровод вварена, а просто приварена к стенке трубы. Переставил ТСМ в гильзу ртутника и остановил котёл по аварийной температуре воды :). Вывод — кроме случайных погрешностей, считаемых по формулам, ещё бывают методические, систематические и прочие, не попавшие ни в какие формулы.

Lenprom здесь недавно
Сообщения: 87 Зарегистрирован: 05 дек 2008, 12:36 Имя: Владимир Страна: Россия город/регион: Санкт-Петербург Благодарил (а): 13 раз

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение Lenprom » 11 окт 2020, 20:55

Boris Parkhomenko писал(а): ↑ 02 окт 2020, 15:42 Верно. Только не 0.498, а 0.5. И не 29.88, а 30. А так все верно 🙂

Да уж. Полный пипец! А здравый смысл включить?
Погрешность последовательно включенных трех измерительных элементов меньше, чем погрешность каждого измерительного элемента по отдельности?
Самим то не смешно?

Lenprom

Boris Parkhomenko не первый раз у нас
Сообщения: 378 Зарегистрирован: 01 апр 2012, 11:15 Имя: Пархоменко Борис Борисович Страна: Украина Благодарил (а): 23 раза Поблагодарили: 57 раз

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение Boris Parkhomenko » 18 окт 2020, 02:14

Lenprom писал(а): ↑ 11 окт 2020, 20:55 Погрешность последовательно включенных трех измерительных элементов меньше, чем погрешность каждого измерительного элемента по отдельности?
Самим то не смешно?

Не смешно. Потому как реальная погрешность каждого из составляющих элементов не обязательно будет равна максимальной паспортной и не обязательно будет иметь один и тот же знак. И теоретически, сумма реальных погрешностей с разными знаками может дать итоговую погрешность канала меньше, чем паспортная погрешность любого из составляющих канал элементов. Впрочем, по формуле все-таки получается не меньше, а столько же — 0,5.

Boris Parkhomenko

Универсал эксперт
Сообщения: 1219 Зарегистрирован: 14 фев 2013, 23:42 Имя: Евгений Страна: Россия город/регион: МО Благодарил (а): 6 раз Поблагодарили: 170 раз

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение Универсал » 18 окт 2020, 10:20

Для снижения уровня шумов применяют параллельное соединение нескольких транзисторов, и уровень шума снижается в корень квадратный из количества транзисторов.

Универсал

rwg почётный участник форума
Сообщения: 1030 Зарегистрирован: 29 апр 2014, 09:57 Имя: Рыбкин Владимир Геннадьевич Страна: Россия город/регион: Тверь Благодарил (а): 53 раза Поблагодарили: 125 раз

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение rwg » 18 окт 2020, 15:13

Boris Parkhomenko писал(а): ↑ 18 окт 2020, 02:14 теоретически, сумма реальных погрешностей с разными знаками может дать итоговую погрешность канала меньше, чем паспортная погрешность любого из составляющих канал элементов.

Теоретически надо искать корень из суммы квадратов погрешностей всех элементов, все остальные теории применяются в частных случаях после защиты основывающих такую допустимость в конкретном случае диссертаций.

Boris Parkhomenko не первый раз у нас
Сообщения: 378 Зарегистрирован: 01 апр 2012, 11:15 Имя: Пархоменко Борис Борисович Страна: Украина Благодарил (а): 23 раза Поблагодарили: 57 раз

Расчёт погрешности всего канала измерений

Сообщение Boris Parkhomenko » 18 окт 2020, 17:13

Методика, на которую я давал ссылку выше, предлагает три метода расчета обобщенных метрологических характерис­тик. Первый и третий метод применяются, когда в НД на АСИ нормируются раздельно систематическая и случай­ная составляющие основной погрешности (см. п. 1.3). У ТС в задаче даны основные погрешности средств измерения без разделения на эти составляющие. Поэтому для расчета применяем второй метод (см. п. 3.2). В п. 3.2.1 сказано: «Если для АСИ, входящих в состав ИК, нормированы метрологические характеристики без разделения их на сис­тематическую и случайную составляющие, то принимается до­пущение, что погрешности АСИ являются случайными вели­чинами, распределенными по закону равномерной плотности». Среднее квадратическое отклонение случайной по­грешности измерительного канала определяет­ся по формуле (20) в которую подставляются средние квадратические отклонения случайных погрешностей каждого средства измерения, входящего в измерительный канал, вычисленные по формуле (21). Поскольку в задании ТС нет дополнительных погрешностей, то в формуле (21) учитываем только среднее квадратическое отклонение основной погреш­ности средства измерения, распределенное по закону равномерной плот­ности, вычисленное по формуле (22).
Таким образом:
-среднее квадратическое отклонение основной погреш­ности средства измерения, распределенное по закону равномерной плот­ности (формула (22)):
=0,5/sqrt(3);
— среднее квадратическое отклонение случайной погреш­ности средства измерения (формула (21)):
=sqrt((0,5/sqrt(3))^2)=0,5/sqrt(3);
— среднее квадратическое отклонение случайной по­грешности измерительного канала (формула (20)):
=sqrt((0,5/sqrt(3))^2+(0,5/sqrt(3))^2+(0,5/sqrt(3))^2)=sqrt(0,5^2/3+0,5^2/3+0,5^2/3)=0,5

2.6.2.2 Нормирование погрешности канала измерения

При разработке проекта необходимо обосновать погрешность измерения. Для этого рекомендуется использовать методику оценивания погрешности измерительных каналов автоматизированных систем управления технологическими процессами расчетным способом в условиях ограниченной исходной информации, когда прямое экспериментальное оценивание погрешности практически невозможно или экономически неоправданно [РМГ 62—2003. Обеспечение эффективности измерений при управлении].

При расчете погрешности датчика рекомендуется использовать для выбранных каналов измерения перечень составляющих погрешности и их процентный уровень, который приведен в приложении Г []. Пример обобщенной структуры измерительного канала для измерения температур с помощью термопреобразователей сопротивления (по ГОСТ 6651-94) АС приведен на рис. 23.

Рис 23. Обобщенная структура измерительного канала

∆мет . -методическая погрешность датчика;

∆л — погрешность связей линии;

∆ инстр — суммарная инструментальная погрешность канала измерения программно-технического комплекса АС (АЦП, алгоритм расчетов, визуализация на экране компьютера).

Погрешность измерения канала может быть определена как ∆ измерений = ∆ мет * ∆ л * ∆ инстр * ∆ вф.

∆вф — погрешность влияющих факторов;

*- знак объединения в сумму;

R_к — термопреобразователь сопротивления;

Т_х — измеряемая температура;

БП — блок питания;

R_э — эталонное сопротивление;

УКТ- блок преобразования аналогового сигнала в код АЦП и передачи информации на отображение.

По каждому измерительному каналу в пояснительной записке необходимо привести обобщенную структурную схему измерительного канала (пример, приведен на рис.23) и сделать резюме, со следующим примерным содержанием.

Датчик, давления(температуры, расхода) выбирается в соответствии с рекомендацией межгосударственного нормативного документа «Обеспечение эффективности измерений при управлении технологическими процессами» с учетом заданного требования к погрешности канала измерения (не более 0.3 %) с заданной разрядностью АЦП (10 разрядов).

Расчет погрешности измерения датчика давления производится по формуле:

,

где % – требуемая суммарная погрешность измерения канала измерений при доверительной вероятности 0,95;

– погрешность передачи по каналу измерений; – погрешность, вносимая АЦП;

и – дополнительные погрешности, вносимые соответственно окружающей температурой и вибрацией.

Погрешность, вносимая 10-и разрядным АЦП, была рассчитана следующим образом:

%.

При расчете были учтены дополнительные погрешности, вызванные влиянием:

• температуры окружающего воздуха;
• вибрации.

Дополнительная погрешность, вызванная температурой окружающего воздуха, была установлена согласно рекомендации []:.Дополнительная погрешность, вызванная вибрацией:.Следовательно, допускаемая основная погрешность датчика давления должна не превышать:.По результатам расчета выбирается «Метран-22ДД» модель 2460 со следующими техническими характеристиками:верхний предел измерения – 10 МПа; предел допускаемой основной погрешности ± 0,25 %; выходной сигнал – 4–20 мА; питание – постоянный ток напряжением 36 ± 0,72 В; масса – 10 кг. Изготовитель – промышленная группа «Метран».Измерительный приборобеспечивает непрерывное преобразование значения измеряемого параметра в унифицированный токовый выходной сигнал. Преобразователь обеспечивает его работу со вторичной регистрирующей, показывающей аппаратурой, регуляторами и другими устройствами автоматики, работающими от стандартного входного сигнала 0… 5, 0 … 20 или 4 … 20 мА постоянного тока.Принцип действия преобразователя основан на использовании тензоэффекта в полупроводниковом материале. Измеряемый параметр поступает в камеру измерительного блока, где он линейно преобразуется в деформацию чувствительного элемента и изменение электрического сопротивления тензопреобразователя, размещенного в измерительном блоке. Электронное устройство преобразует изменение его сопротивления в выходной сигнал. Чувствительным элементом является пластина из монокристаллического сапфира с кремниевыми пленочными тензорезисторами, прочно соединенными с металлической мембраной тензопреобразователя. Пластина и полупроводниковый материал не вступают в активную химическую реакцию с окружающей средой, поэтому не требуется периодической оперативной калибровки ПИП.