Как движутся частицы в электрическом поле

3. Движение заряженных частиц в электрическом поле

Отдельная группа задач посвящена движению заряженных частиц в электрическом поле. Полагая, что заряженная частица не испытывает никаких воздействий, кроме как со стороны сил электрического поля (как правило, речь идет о таких частицах как электрон, протон и др., масса которых весьма мала и силой тяжести действующих на них можно пренебречь в сравнении с силой электрического поля) большинство задач решается с помощью закона сохранения энергии.

Энергия заряженной частицы в электрическом поле складывается из кинетической энергии ее движения и потенциальной энергии ее взаимодействия с электрическим полем, т.е.

,

здесь ипотенциалы точек поля, между которыми происходит перемещение частицы, аиее скорости в этих точках.

Двигаясь вдоль линий напряженности электрического поля (в этом направлении потенциал поля убывает), положительно заряженная частица увеличивает свою кинетическую энергию (при ,) и, наоборот, тормозится встречным полем.

Если, в частности, , то

.

В случае однородного поля разность потенциалов в последнем выражении может быть найдена с помощью формулы

.

Задача 3.3.1 Электрон движется между обкладками плоского конденсатора, заряженного до напряжения 200 В. Расстояние между обкладками 2 см. Какую скорость получит электрон, переместившись на 0,5 мм вдоль линии напряженности, если в начале этого перемещения его скорость м/с. Найти время этого перемещения и ускорение электрона.

см = 0,02 м;

м/с;

мм = м;

Кл;

кг;

В.

В соответствии с законом сохранения энергии

,

откуда искомая скорость равна

,

здесь изменение потенциала на участке перемещения равно

.

.

Проверка размерности и вычисления дают окончательный результат:

м/с.

В виду однородности поля () электрон движется с постоянным ускорением

.

.

Искомое время найдем из определения средней скорости

с.

Обратите внимание на то, что ускорение электрона в электрическом поле . Так что, действительно, в подобных задачах силой тяжести можно пренебречь.

О т в е т: м/с;;с.

Задача 3.3.2 Два электрона находясь на бесконечно большом расстоянии друг от друга начинают двигаться навстречу друг другу с одинаковой начальной скоростью км/с. На какое минимальное расстояние они сблизятся?

км/с = м/с;

Кл.

На бесконечном удалении друг от друга электроны обладают лишь кинетической энергией (потенциальной энергией их взаимодействия на таком расстоянии пренебрегаем).

Сблизившись на минимальное расстояние – расстояние, на котором их скорости обращаются в нуль, они обладают лишь потенциальной энергией их взаимодействия в электрическом поле друг друга. Следовательно, в соответствии с законом сохранения энергии можно записать

,

,

потенциальная энергия их взаимодействия;

.

м.

О т в е т: м.

Задача 3.3.3 Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов в 40 В, влетает посередине между обкладками плоского конденсатора, параллельно его пластинам. При каком минимальном напряжении электроны не вылетят из конденсатора? Длина обкладок конденсатора см, расстояние между нимисм.

В;

см = 0,1 м;

см = 0,02 м.

Из условия задачи вытекает, что силой тяжести, действующей на электроны, можно пренебречь по сравнению с силой электрического поля.

Сделаем чертеж, на котором укажем силу, действующую на электрон со стороны электрического поля конденсатора, начальную скорость электрона при входе в конденсатор и оси координат (как показано на рис. 3.8).

В виду однородности электрического поля конденсатора ,и.

Кинематические уравнения движения в координатной форме, применительно к условию задачи, дают

,

,

где , а начальная скорость электронов

.

Решая эти уравнения совместно, получим (с учетом проверки размерности)

В.

О т в е т: В.

Слободянюк А.И. Физика 10/14.0

§14. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

Электрические и магнитные поля действуют на движущиеся заряженные частицы с известной силой. Поэтому эти поля могут использоваться для управления движением заряженных частиц. Потоки движущихся заряженных частиц широко используются в различных приборах, принципы действия и применения некоторых из них мы рассмотрим в данном параграфе.

Описание движения заряженной частицы проводится на основании второго закона Ньютона, уравнение которого имеет вид

\(~m \vec a = q \vec E + q \vec \upsilon \times \vec B\) , (1)

где \(~q \vec E\) — сила, действующая на частицу с электрическим зарядом q со стороны электрического поля; \(~q \vec \upsilon \times \vec B\) — сила Лоренца, действующая на частицу со стороны магнитного поля. В общем случае напряженность электрического поля \(~\vec E\) и индукция магнитного поля \(~\vec B\) могут зависеть от координат (в еоднородных полях) и времени (в нестационарных полях). Для однозначного решения уравнения (1) его необходимо дополнить начальными условиями: положением частицы \(~\vec r_0\) и скоростью \(~\vec \upsilon_0\) в некоторый момент времени t₀.

При описании распространения потоков частиц в некоторых случаях необходимо также учитывать взаимодействия частиц между собой, или принимать во внимание зависимость характеристик полей от положения и скоростей других частиц. Наконец, при записи уравнения (1) принято, что частицы движутся в вакууме, где отсутствуют силы сопротивления среды. Движение частиц в средах, обладающих сопротивлением, описываются в рамках уравнений для электрического тока. При движении частиц в электромагнитном поле, как правило, пренебрегают действием силы тяжести, которая обычно значительно меньше электромагнитных сил.

Записанное уравнение движения справедливо для частиц движущихся со скоростями, значительно меньшими скорости света. В противном случае необходимо использовать релятивистские уравнения движения теории относительности.

Рассмотрим некоторые частные простейшие случаи решения уравнения (1) для частиц движущихся в стационарных полях.

Слободянюк А.И. Физика 10/14.1

§14. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

14.1 Заряженная частица в электростатическом поле.

Уравнение движения частицы в электростатическом поле имеет вид

\(~m \vec a = q \vec E(x,y,z)\) . (1)

Так как электростатическое поле является потенциальным, то для движущейся частицы выполняется закон сохранения энергии, на основании которого можно записать в виде уравнения

где ϕ(x, y, z) — потенциал электростатического поля.

Это же уравнение часто формулируется в иной форме: изменение кинетической энергии частицы равно работе сил электростатического поля. Работа сил поля не зависит от формы траектории частицы (Рис.83) и равна произведению заряда частицы на разность потенциалов между начальной и конечной точкой траектории

Обратите внимание на расстановку индексов в этом уравнении: увеличение кинетической энергии частицы равно уменьшению ее потенциальной энергии!

14.1.1 Движение заряженной частицы в однородном электростатическом поле.

В однородном электрическом поле, сила, действующая на заряженную частицу, постоянна как по величине, так и по направлению. Поэтому движение такой частицы полностью аналогично движению тела в поле тяжести земли без учета сопротивления воздуха. Траектория частицы в этом случае является плоской, лежит в плоскости, содержащей векторы начальной скорости частицы и напряженности электрического поля (Рис. 84). Поэтому для описания положения частицы достаточно двух координат. Удобно одну из декартовых осей координат направить вдоль направления вектора напряженности поля (тогда движение вдоль этой оси будет равноускоренным), а второй перпендикулярно вектору напряженности (движение вдоль этой оси – равномерное). Начало отсчета удобно совместить с начальным положением частицы.

Простейший пример: частица массы m, несущая электрический заряд q движется в однородном электрическом поле напряженности \(~\vec E\), в начальный момент ее скорость равна \(~\vec \upsilon_0\). Выберем ось Oy в сторону противоположную направлению вектора \(~\vec E\), начало отсчета совместим с начальным положением частицы (Рис. 85). Частица будет двигаться с постоянным ускорением \(~g* = \frac\), направленным «вертикально вниз», поэтому дальнейшее описание движения, со всеми его особенностями можно переписать с решения задачи о движении тела в поле тяжести без учета сопротивления воздуха.

Опишем принцип работы электростатического отклоняющего устройства, используемого в ряде приборов (например, в некоторых типах осциллографов) для изменения направления движения потока электронов. Пучок электронов, имеющих скорость \(~\vec \upsilon_0\), влетает в пространство между двумя параллельными пластинами длиной h, между которыми создано постоянное электрическое поле напряженности \(~\vec E\). На расстоянии l от пластин расположен экран, на который попадает этот пучок электронов (Рис. 86). Найдем зависимость отклонения пучка от напряженности приложенного поля.

Введем декартовую систему координат, как показано на рис. 86. При движении электронов между пластинами на них действует постоянная сила \(F = eE\) (e — заряд электрона, m — его масса), которая сообщает ему ускорение \(~a = \fracE\), направленное вдоль оси Oz. Будем считать, что длина пластин такова, что электроны на нее не попадают, кроме того, пренебрежем краевыми эффектами, то есть будем считать, что поле между пластинами однородное, а вне пластин отсутствует. Так как проекция электрической силы на ось Ox равна нулю, то проекция скорости на эту ось не изменяется и остается равной υ₀. За время пролета между пластинами \(~t_1 = \frac<\upsilon_0>\) электрон приобретет компоненту скорости, направленную вдоль оси Oy \(~\upsilon_y = a t_1 = \frac \frac<\upsilon_0>\) и сместится на расстояние \(~\delta_1 = \frac a t^2_1 = \frac \left (\frac <\upsilon_0>\right )^2\) . После вылета из области поля электрон будет двигаться равномерно, поэтому за время движения до экрана \(~t_2 = \frac<\upsilon_0>\) дополнительно сместится вдоль вертикальной оси на расстояние \(~\delta_2 = \upsilon_y t_2 = \frac \frac <\upsilon_0>\frac <\upsilon_0>= \frac \frac<\upsilon^2_0>\). Суммарное вертикальное смещение потока будет равно

\(~\Delta z = \delta_1 + \delta_2 = \frac \left (\frac + l \right )\) .

Из этой формулы следует, что смещение пропорционально напряженности поля, следовательно, и разности потенциалов между отклоняющими пластинами. Таким образом, изменяя напряжение между пластинами, можно изменять положение пучка электронов на экране.

14.1.2 Электронно-лучевая трубка с электростатическим отклонением.

Электронно-лучевые трубки используются для получения изображения на экране. Принципиальная схема такой трубки показана на рис. 87.

Узкий пучок электронов, формируемых электронной пушкой 1, ускоряется под действием электрического поля, созданного между пушкой и экраном 4. На своем пути пучок электронов проходит через две пары отклоняющий пластин 2, 3. К пластинам прикладывается переменное напряжение, которое создает электрические поля между пластинами, отклоняющее электроны в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Экран покрыт специальным слоем, который дает кратковременные вспышки света [1] , при попадании на него движущихся электронов. Все устройство находится в стеклянной колбе, из которой откачан воздух. Конечно, реально действующий прибор гораздо сложнее, описанной здесь принципиальной схемы.

Изучаемый сигнал подается только на одну пару отклоняющих пластин, отклонение луча в перпендикулярном направлении необходимо, чтобы «развернуть» сигнал на экране, поэтому напряжение, подаваемое на горизонтально направляющие пластины, называется разверткой. Пусть на горизонтально отклоняющие пластины 2 подается напряжение, линейно возрастающее со временем \(U_x = bt\), а на вертикально отклоняющие пластины 3 подается напряжение, зависимость от времени которого U(t) изучается. Так как отклонения луча на экране вдоль соответствующих направлений пропорциональны напряжениям, приложенным к отклоняющим пластинам, то его закон движения на экране описывается уравнениями

\(~\left\ x = K_x U_x = K_x bt \\ y = K_y U_y = K_y U(t) \end\right.\) . (1)

Уравнение траектории луча на экране можно получить в явном виде, избавившись от времени с помощью первого уравнения:

\(~t = \frac x ; y = K_y U \left(\frac x \right )\) . (2)

Таким образом, траектория луча на экране совпадает [2] с графиком функции U(t), что позволяет ее визуально наблюдать. С другими, наиболее часто применяемыми способами развертки мы познакомимся позднее, при изучении теории колебательных процессов.

Примечания

1. ↑ Эти вспышки называются сцинциляции, а такой экран сцинцилирующим.
2. ↑ Из курса математики хорошо известно, что умножение аргумента и функции на константу приводит только к изменению масштабов осе графика.

Kvant. Движение частиц в полях

Рассмотрим вначале движение частицы с зарядом q и массой m в однородном постоянном электрическом поле напряженностью \(~\vec E\). Напряженность поля в этом случае не зависит ни от координат, ни от времени (такое поле возникает, например, в заряженном плоском конденсаторе, отсоединенном от источника). Следовательно, на заряженную частицу со стороны поля действует постоянная сила \(~\vec F = q \vec E\), которая сообщает частице постоянное ускорение \(~\vec a = \frac = \frac\). Если частица имеет начальную скорость \(~\vec \upsilon_0\), как показано на рисунке 1, то ее движение в таком поле похоже на движение тела, брошенного под углом к горизонту в однородном поле тяжести, где ускорение тела также постоянно и равно \(~\vec g\)! В учебнике «Физика 8» показано, что траектория движения в таком случае — парабола.

При движении заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле на нее действует сила Лоренца \(~\vec F_L\). Если начальная скорость \(~\vec \upsilon_0\) частицы перпендикулярна вектору магнитной индукции \(~\vec B\) поля, то заряженная частица движется по окружности (рис. 2). Этот случай рассмотрен в учебнике «Физика 9».

А что если поместить частицу одновременно в электрическое и магнитное поля? Рассмотрим, например, случай, когда напряженность электрического поля \(~\vec E\) и индукция магнитного поля \(~\vec B\) взаимно перпендикулярны, а поля однородны и постоянны (рис. 3). Предположим, что в начальный момент частица находится в начале координат (положение 1) и ее начальная скорость равна нулю. Под действием электрического поля частица начнет ускоряться, то есть приобретет скорость. Сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля, перпендикулярна скорости частицы и поэтому не совершает работы. Она изменяет только направление скорости (искривляет траекторию частицы), но не меняет ее модуля (об этом рассказано в «Физике 9»). В результате после некоторого момента времени (положение 2) частица начнет двигаться в обратном направлении, и электрическое поле будет тормозить ее. В положении 3 скорость частицы опять обратится в нуль, и далее цикл будет повторяться (см. рис. 3).

Точный расчет (он довольно сложный и выходит за рамки школьного курса физики) показывает, что траектория частицы в этом случае такая же, как у точки колеса, катящегося с постоянной скоростью без проскальзывания по горизонтальной плоскости (рис. 4; соответствующая кривая называется циклоидой) . Другими словами, движение частицы можно представить как сложение двух движений — равномерного поступательного движения с постоянной скоростью \(~\vec \upsilon_d\) в направлении, перпендикулярном векторам \(~\vec E\) и \(~\vec B\) (ее называют скоростью дрейфа частицы), и вращения вокруг точки О.

Как известно, для описания движения можно пользоваться любой инерциальной системой отсчета. Рассмотрим движение относительно системы отсчета, движущейся со скоростью \(~\vec \upsilon_d\). Относительно этой системы заряженная частица движется по окружности. Вдумайтесь в полученный результат. Мы уже говорили о том, что заряженная частица движется по окружности, когда на нее действует только магнитное поле. Значит, в движущейся системе отсчета электрическое поле исчезает!

В прошлом номере журнала в заметке «Электрическое и магнитное поля» рассказывалось о том, что магнитное поле относительно — его индукция зависит от системы отсчета. Сейчас мы пришли к выводу, что относительно и электрическое поле.