5.5. Емкость конденсатора с диэлектриком
Давайте посмотрим, чему равняется емкость конденсатора, если внутрь его помещен диэлектрик. По определению емкость конденсатора представляет собой отношение заряда к разности потенциала на его обкладках U. Для плоского конденсатора с диэлектриком разность потенциалов U = Едd. Используя выражение (5.6), получим:
Отсюда значение емкости конденсатора с диэлектриком:
Из последнего выражения видно, что емкость конденсатора с диэлектриком увеличивается по сравнению с емкостью пустого конденсатора во столько раз, во сколько диэлектрическая проницаемость диэлектрика больше диэлектрической проницаемости вакуума.
В связи с тем, что емкость конденсатора при внесении в него диэлектрика увеличивается, изменяются и другие характеристики этого конденсатора. Допустим, что в конденсатор, подключенный к источнику напряжения U0, вводят слой диэлектрика, полностью заполняющего его объем. Например, внутрь конденсатора заливают масло или керосин с относительной диэлектрической проницаемостью . Так как напряжение на обкладках конденсатора и до и после внесения диэлектрика оставалось неизменным, то в результате изменения емкости должен измениться заряд на обкладках конденсатора. До внесения диэлектрика заряд конденсатора был q0 = С0U0. После внесения диэлектрика заряд изменился и стал q = СU0 = С0U0 = q0. Заряд увеличился в раз.
Напряженность электрического поля внутри конденсатора:
– до внесения диэлектрика
– после внесения диэлектрика
Электрическое поле внутри конденсатора после внесения диэлектрика не изменяется, если разность потенциалов между его обкладками остается неизменной.
Напряженность электрического поля внутри конденсатора может измениться, если заряженный до напряжения U0 конденсатор перед заполнением диэлектриком отключить от источника питания. Что произойдет в этом случае с зарядом на обкладках конденсатора?
Когда пустой конденсатор зарядили до напряжения U0, то на его обкладках появился заряд q0 = С0U0. После того как конденсатор отключили от источника напряжения и заполнили диэлектриком, его емкость возросла в раз, заряд конденсатора остался прежним. Разность потенциалов на пластинах конденсатора уменьшилась в раз:
Это привело к тому, что напряженность поля внутри конденсатора уменьшилась также в раз, так как
5.6. Вектор электростатической индукции
При рассмотрении поля в вакууме для характеристики этого поля была введена величина, называемая напряженностью электрического поля . В диэлектрике эта характеристика поля иногда оказывается неудобной, ее использование приводит к довольно сложным расчетам, возникающим при решении физических задач. Дело в том, что в диэлектрике источником поля являются все электрические заряды – свободные и связанные. Наличие связанных зарядов приводит к усложнению расчетов, поскольку их распределение в диэлектрике не всегда можно просто рассчитать. В связи с этим оказывается более удобным использование характеристики поля, которая называется электростатической индукцией, вектор которой связан с вектором напряженности электрического поля следующим образом:
Для изотропных диэлектриков вектор поляризации линейно зависит от напряженности электрического поля:
Следовательно, в этом случае
Вектор электростатической индукции иногда называют еще вектором электрического смещения. Он представляет собой сумму двух величин (5.9), имеющих различный физический смысл, поэтому является вспомогательным вектором, удобным для расчетов и не имеющим глубокого физического смысла. Во многих случаях введение вектора значительно упрощает вычисление характеристик электрического поля в диэлектрике.
Соотношение (5.9) для вектора справедливо для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного. В случае изотропных диэлектриков (5.10) вектор оказывается коллинеарен вектору . В анизотропных диэлектриках эти векторы, в общем случае, направлены в разные стороны.
Поле вектора можно наглядно изобразить с помощью линий вектора , направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора . Однако между этими линиями имеется одно отличие. Линии вектора начинаются и заканчиваются как на свободных, так и на связанных зарядах, источником поля вектора являются любые заряды. Источником поля вектора являются только свободные заряды, только на свободных зарядах могут начинаться и заканчиваться линии . Через область поля, где находятся связанные заряды, линии вектора проходят, не прерываясь.
Для вектора выполняется закон Гаусса-Остроградского, который утверждает, что поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности:
Если внутри поверхности, через которую мы вычисляем поток вектора , находятся распределенные заряды, то закон Гаусса-Остроградского записывается следующим образом:
Интегрирование в правой части полученного выражении проводится по объему V, охватываемому замкнутой поверхностью S.
Используя выражение (5.11) и закон Гаусса-Остроградского для вектора , можно сформулировать этот закон для вектора поляризации диэлектрика . Будем считать, что в диэлектрике имеются свободные заряды q. Поле этих зарядов будет возбуждать поляризацию диэлектрика, в результате в нем появятся связанные заряды q. Поскольку напряженность электрического поля зависит как от свободных, так и от связанных зарядов, то для нее можно записать:
Используя (5.11), перепишем выражение (5.12) следующим образом:
Вспомнив определение вектора , преобразуем выражение (5.13):
Мы получили выражение, которое является законом Гаусса-Остроградского для вектора поляризации диэлектрика . Согласно этому закону поток вектора поляризации диэлектрика через произвольную замкнутую поверхность равняется сумме связанных зарядов q, возникших в результате поляризации диэлектрика и оказавшихся внутри этой поверхности, взятой с обратным знаком.
Теперь рассмотрим пример, из которого будет понятно, в каких случаях вместо напряженности электрического поля удобнее использовать электростатическую индукцию . Рассчитаем электрическое поля вокруг положительного точечного заряда q, помещенного в центре сферической полости, расположенной внутри диэлектрика (рис.5.9).
Будем считать, что внутри полости вакуум, следовательно, напряженность электрического поля равна
В диэлектрике она равна
На границе полости с диэлектриком концентрируются связанные отрицательные заряды (если точечный заряд в полости положительный) и напряженность поля в диэлектрике уменьшается в раз. Соответственно, скачком уменьшается густота линий напряженности электростатического поля (на рис.5.10, а в полости проходит 8 линий , а в диэлектрике их осталось всего 4).
Поле вектора электростатической индукции в обеих областях будет изображаться непрерывными линиями (на рис.5.10, б число линий вектора и в полости, и в диэлектрике одинаково – 4 линии). Линии индукции проводят так, чтобы в каждой точке их направление совпадало с направлением вектора в той же точке, а число линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную к ним, равнялось бы численному значению D в данном месте.
Для рассмотренного выше примера электростатическая индукция в полости , а в диэлектрике . Следовательно, линии вектора электростатического смещения на границе с диэлектриком не будут прерываться. Сопоставляя ход линий и , можно отметить основное различие между этими полями. Линии вектора начинаются и заканчиваются на любых (как свободных, так и связанных) зарядах, поэтому на границе диэлектрика густота этих линий изменяется скачком. Линии вектора начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах, и на границе диэлектрика их густота остается неизменной.
Необходимо заметить, что напряженность электрического поля и электростатическая индукция в СИ имеют различную размерность. Это связано с тем, что электрическая постоянная 0 в СИ имеет свою размерность. Размерность напряженности электрического поля: Н/Кл (ньютон на кулон). Размерность электростатической индукции: (кулон на метр квадратный).
В системе СГС напряженность электрического поля и электростатическая индукция имеют одинаковую размерность, так как в этой системе электрическая постоянная 0 = 1. Связь единиц измерения величины электростатической индукции в СИ и СГС следующая:
СГС ед. электростатической индукции
3. Почему введение диэлектрика увеличивает электроемкость конденсатора?
3. Введение диэлектрика в конденсатор увеличивает его емкость, поскольку электроемкость конденсатора прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости среды, которая заполняет пространство между пластинами конденсатора.
Источник:
Решебник по физике за 10 класс (В.А.Касьянов, 2009 год),
задача №3
к главе «14. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. §89. Электроемкость конденсатора. Ответы на вопросы».
У вас большие запросы!
Точнее, от вашего браузера их поступает слишком много, и сервер VK забил тревогу.
Эта страница была загружена по HTTP, вместо безопасного HTTPS, а значит телепортации обратно не будет.
Обратитесь в поддержку сервиса.
Вы отключили сохранение Cookies, а они нужны, чтобы решить проблему.
Почему-то страница не получила всех данных, а без них она не работает.
Обратитесь в поддержку сервиса.
Вы вернётесь на предыдущую страницу через 5 секунд.
Вернуться назад
Электроемкость. Конденсаторы
Если двум изолированным друг от друга проводникам сообщить заряды q1 и q2, то между ними возникает некоторая разность потенциалов Δφ, зависящая от величин зарядов и геометрии проводников. Разность потенциалов Δφ между двумя точками в электрическом поле часто называют напряжением и обозначают буквой U. Наибольший практический интерес представляет случай, когда заряды проводников одинаковы по модулю и противоположны по знаку: q1 = – q2 = q. В этом случае можно ввести понятие электрической емкости.
Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда q одного из проводников к разности потенциалов Δφ между ними:
В системе СИ единица электроемкости называется фарад (Ф):
Величина электроемкости зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники. Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами, а проводники, составляющие конденсатор, – обкладками.
Простейший конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским. Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами (рис. 1.6.1); однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния. В целом ряде задач приближенно можно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками (рис. 1.6.2). Но в других задачах пренебрежение полем рассеяния может привести к грубым ошибкам, так как при этом нарушается потенциальный характер электрического поля (см. § 1.4).
Поле плоского конденсатора
Идеализированное представление поля плоского конденсатора. Такое поле не обладает свойством потенциальности
Каждая из заряженных пластин плоского конденсатора создает вблизи поверхности электрическое поле, модуль напряженности которого выражается соотношением (см. § 1.3)
Согласно принципу суперпозиции, напряженность 
поля, создаваемого обеими пластинами, равна сумме напряженностей 
и 
полей каждой из пластин:
Внутри конденсатора вектора и параллельны; поэтому модуль напряженности суммарного поля равен
Вне пластин вектора и направлены в разные стороны, и поэтому E = 0. Поверхностная плотность σ заряда пластин равна q / S, где q – заряд, а S – площадь каждой пластины. Разность потенциалов Δφ между пластинами в однородном электрическом поле равна Ed, где d – расстояние между пластинами. Из этих соотношений можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора:
Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз:
Примерами конденсаторов с другой конфигурацией обкладок могут служить сферический и цилиндрический конденсаторы. Сферический конденсатор – это система из двух концентрических проводящих сфер радиусов R1 и R2. Цилиндрический конденсатор – система из двух соосных проводящих цилиндров радиусовR1 и R2 и длины L. Емкости этих конденсаторов, заполненных диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, выражаются формулами:
(сферический конденсатор), 
(цилиндрический конденсатор).
Конденсаторы могут соединяться между собой, образуя батареи конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 1.6.3) напряжения на конденсаторах одинаковы: U1 = U2 = U, а заряды равны q1 = С1U и q2 = C2U. Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор электроемкости C, заряженный зарядом q = q1 + q2 при напряжении между обкладками равном U. Отсюда следует
Таким образом, при параллельном соединении электроемкости складываются.
Параллельное соединение конденсаторов. C = C1 + C2
Последовательное соединениеконденсаторов.
При последовательном соединении (рис. 1.6.4) одинаковыми оказываются заряды обоих конденсаторов: q1 = q2 = q, а напряжения на них равны 
и 
Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор, заряженный зарядом q при напряжении между обкладками U = U1 + U2. Следовательно,
При последовательном соединении конденсаторов складываются обратные величины емкостей.
Формулы для параллельного и последовательного соединения остаются справедливыми при любом числе конденсаторов, соединенных в батарею.
Модель. Поле плоского конденсатора
Конденсаторы. Простейшие способы разделения разноименных электрических зарядов — электризация при соприкосновении, электростатическая индукция — позволяют получить на поверхности тел лишь сравнительно небольшое число свободных электрических зарядов. Для накопления значительных количеств разноименных электрических зарядов применяются конденсаторы. Конденсатор — это система из двух проводников (обкладок), разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников. Так, например, две плоские металлические пластины, расположенные параллельно и разделенные слоем диэлектрика, образуют плоский конденсатор. Если пластинам плоского конденсатора сообщить равные по модулю заряды противоположного знака, то напряженность электрического поля между пластинами будет в два раза больше, чем напряженность поля у одной пластины. Вне пластин напряженность электрического поля равна нулю, так как равные заряды разного знака на двух пластинах создают вне пластин электрические поля, напряженности которых равны по модулю, но противоположны по направлению (рис. 145).
Электрическая емкость конденсатора. Физическая величина, определяемая отношением заряда q одной из пластин конденсатора к напряжению между обкладками конденсатора, называется электроемкостью конденсатора:
. (42.1)
При неизменном расположении пластин электроемкость конденсатора является постоянной величиной при любом заряде на пластинах.
Единица электроемкости. Единица электроемкости в международной системе — фарад (Ф). Электроемкостью 1 Ф обладает такой конденсатор, напряжение между обкладками которого равно 1 В при сообщении обкладкам разноименных зарядов по 1 Кл. . В практике широко используются дольные единицы электроемкости — микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ) и пикофарад (пФ):
Электроемкость плоского конденсатора. Напряженность поля между двумя пластинами плоского конденсатора равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждой из пластин:
.
Если на пластинах площадью S находятся электрические заряды + q и — q, то на основании формул (38.5) и (38.6) для модуля напряженности поля между пластинами можем записать
. (42.2)
Для однородного электрического поля связь между напряженностью и напряжением U дается выражением , где d — в данном случае расстояние между пластинами, U — напряжение на конденсаторе. Из выражений (42.1), (42.2) и (40.11) получаем
. (42.3)
Электроемкость конденсатора прямо пропорциональна площади обкладок и обратно пропорциональна расстоянию между обкладками. При введении диэлектрика между обкладками конденсатора его электроемкость увеличивается в раз:
. (42.4)
Устройство и типы конденсаторов. Выражение (42.3) показывает, что электроемкость конденсатора можно увеличить путем увеличения площади S его пластин, уменьшения расстояния d между ними и применения диэлектриков с большими значениями диэлектрической проницаемости . В целях экономии материалов металлические электроды конденсаторов обычно изготавливаются в виде тонкой фольги. В качестве изолирующей прокладки используется парафинированная бумага, полистирол, слюда, керамика. По типу используемого диэлектрика конденсаторы называются бумажными, слюдяными, полистирольными, керамическими, воздушными. Бумажный конденсатор изготавливают из двух полос металлической фольги, изолированных друг от друга полосами парафинированной бумаги. Полосы фольги и бумаги сворачиваются в рулон и помещаются в металлический или фарфоровый корпус. Через специальные изоляторы от листов фольги делается два вывода для подключения конденсатора в электрическую цепь (рис. 146). Аналогичное устройство имеют и конденсаторы других типов.
Наряду с конденсаторами постоянной электроемкости в практике применяются конденсаторы переменной электроемкости. Электроемкость конденсатора обычно регулируется изменением взаимного положения его пластин. При увеличении площади пластин, находящихся друг против друга, электроемкость конденсатора увеличивается, при уменьшении — уменьшается.
Энергия заряженного конденсатора. Зарядим конденсатор и затем подключим к его выводам электрическую лампу (рис. 147). При подключении лампы наблюдается кратковременная вспышка света. Из этого опыта следует, что заряженный конденсатор обладает энергией.
Если на обкладках конденсатора электроемкостью C находятся электрические заряды + q и — q, то согласно формуле (42.1) напряжение между обкладками конденсатора равно
. (42.5)
В процессе разрядки конденсатора напряжение между его обкладками убывает прямо пропорционально заряду qот первоначального значения U до 0. Среднее значение напряжения в процессе разрядки равно
. (42.6)
Для работы А, совершаемой электрическим полем при разрядке конденсатора, будем иметь:
. (42.7)
Следовательно, потенциальная энергия Wp конденсатора электроемкостью C, заряженного до напряжения U, равна
. (42.8)
Энергия конденсатора обусловлена тем, что электрическое поле между его обкладками обладает энергией. Напряженность E поля пропорциональна напряжению U, поэтому энергия электрического поля пропорциональна квадрату его напряженности.
Применение конденсаторов. Конденсаторы как накопители электрических зарядов и энергии электрического поля широко применяются в различных радиоэлектронных приборах и электротехнических устройствах. Они используются для сглаживания пульсаций в выпрямителях переменного тока, для разделения постоянной и переменной составляющих тока, в электрических колебательных контурах радиопередатчиков и радиоприемников, для накопления больших запасов электрической энергии при проведении физических экспериментов в области лазерной техники и управляемого термоядерного синтеза.
Физическая величина, определяемая отношением заряда q одной из пластин конденсатора к напряжению между обкладками конденсатора, называется электроемкостью конденсатора’.
При неизменном расположении пластин электроемкость конденсатора является постоянной величиной при любом заряде на пластинах.
Плотность энергии электростатического поля
Это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна . Для плоского конденсатора, объем которого Sd, где S — площадь пластин, d — расстояние между пластинами, имеем
С учетом, что 
и 