Как рассчитать критерий стьюдента

Алгоритм расчета t-критерия Стьюдента для зависимых выборок измерений

1. Определить расчетное значение t-критерия по формуле , где 2. Рассчитать степень свободы f 3. Определить критическое значение t-критерия по таблице 1 приложения. 4. Сравнить расчетное и критическое значение t-критерия. Если расчетное значение больше или равно критическому, то гипотеза равенства средних значений в двух выборках изменений отвергается (Но). Во всех других случаях она принимается на заданном уровне значимости. U—критерий Манна—Уитни Назначение критерия Критерий предназначен для оценки различий между двумя непараметрическими выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n < 30. Описание критерия Этот метод определяет, достаточно ли мала зона пересекающихся значений между двумя рядами. Чем меньше эта область, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U, тем более вероятно, что различия достоверны. Гипотезы НО: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1. HI: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Алгоритм расчета критерия Манна-Уитни (u)

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.
2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 – другим, например, синим.

1. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания признака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой.

1. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг.
2. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие – в другой.
3. Подсчитать сумму рангов отдельно на красных карточках (выборка 1) и на синих карточках (выборка 2). Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.
4. Определить большую из двух ранговых сумм.
5. Определить значение U по формуле:

где n₁ – количество испытуемых в выборке 1; n₂ – количество испытуемых в выборке 2, Т_х – большая из двух рантовых сумм; n_х – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов. 9. Определить критические значения U по таблице 2 (см. приложение). Если U_эмп.> U_кр0,05, то гипотеза Но принимается. Если U_эмп.≤ U_кр, то отвергается. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше. Пример.Сравнить эффективность двух методов обучения в двух группах. Результаты испытаний представлены в таблице 5. Таблица 5

Перенесем все данные в другую таблицу, выделив данные второй группы подчеркиванием и сделаем ранжирование общей выборки (см. алгоритм ранжирования в методических указаниях к заданию 3).

Найдем сумму рангов двух выборок и выберем большую из них: Т_х = 113 Рассчитаем эмпирическое значение критерия по формуле 2: U_p = 30. Определим по таблице 2 приложения критическое значение критерия при уровне значимости р = 0.05 : U_k = 19. Вывод: так как расчетное значение критерия U больше критического при уровне значимости р = 0.05 и 30 > 19, то гипотеза о равенстве средних принимается и различия в методиках обучения несущественны.

6.1.2 Критерий Стьюдента (t-критерий)

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности».

При использовании критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и экспериментальная (опытная) группа, количество испытуемых в группах может быть различно.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными.

а) случай независимых выборок

Статистика критерия для случая несвязанных, независимых выборок равна:

(1)

где , — средние арифметические в экспериментальной и контрольной группах,

• — стандартная ошибка разности средних арифметических. Находится из формулы:

(2)

где n1 и n2 -соответственно величины первой и второй выборки.

Если n1=n2, то стандартная ошибка разности средних арифметических будет считаться по формуле:

(3)

где n -величина выборки.

Подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:

При численном равенстве выборок k = 2n — 2.

Далее необходимо сравнить полученное значение tэмп с теоретическим значением t—распределения Стьюдента (см. приложение к учебникам статистики). Если tэмп

Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Пример 1. В двух группах учащихся — экспериментальной и контрольной — получены следующие результаты по учебному предмету (тестовые баллы; см. табл. 1)

Таблица 1. Результаты эксперимента

Первая группа (экспериментальная) N1=11 человек

Вторая группа (контрольная)

12 14 13 16 11 9 13 15 15 18 14

13 9 11 10 7 6 8 10 11

Общее количество членов выборки: n1=11, n2=9.

Расчет средних арифметических: Хср=13,636; Yср=9,444

Стандартное отклонение: sx=2,460; sy=2,186

По формуле (2) рассчитываем стандартную ошибку разности арифметических средних:

Считаем статистику критерия:

Сравниваем полученное в эксперименте значение t с табличным значением с учетом степеней свободы, равных по формуле (4) числу испытуемых минус два (18).

Табличное значение tкрит равняется 2,1 при допущении возможности риска сделать ошибочное суждение в пяти случаях из ста (уровень значимости=5 % или 0,05).

Если полученное в эксперименте эмпирическое значение t превышает табличное, то есть основания принять альтернативную гипотезу (H1) о том, что учащиеся экспериментальной группы показывают в среднем более высокий уровень знаний. В эксперименте t=3,981, табличное t=2,10, 3,981>2,10, откуда следует вывод о преимуществе экспериментального обучения.

Здесь могут возникнуть такие вопросы:

1. Что если полученное в опыте значение t окажется меньше табличного? Тогда надо принять нулевую гипотезу.

2. Доказано ли преимущество экспериментального метода? Не столько доказано, сколько показано, потому что с самого начала допускается риск ошибиться в пяти случаях из ста (р=0,05). Наш эксперимент мог быть одним из этих пяти случаев. Но 95% возможных случаев говорит в пользу альтернативной гипотезы, а это достаточно убедительный аргумент в статистическом доказательстве.

3. Что если в контрольной группе результаты окажутся выше, чем в экспериментальной? Поменяем, например, местами, сделав средней арифметической экспериментальной группы, a — контрольной:

Отсюда следует вывод, что новый метод пока не проявил себя с хорошей стороны по разным, возможно, причинам. Поскольку абсолютное значение 3,9811>2,1, принимается вторая альтернативная гипотеза (Н2) о пре­имуществе традиционного метода.

б) случай связанных (парных) выборок

В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.

Вычисление значения t осуществляется по формуле:

(5)

где — разности между соответствующими значениями переменной X и переменной У, а d — среднее этих разностей;

Sd вычисляется по следующей формуле:

(6)

Число степеней свободы k определяется по формуле k=n-1. Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

6.1.3 F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления Fэмп нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фишера такова:

(8)

где — дисперсии первой и второй выборки соответственно.

Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение Fэмп всегда будет больше или равно единице.

Число степеней свободы определяется также просто:

k1=nl — 1 для первой выборки (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и k2=n2 — 1 для второй выборки.

Если tэмп>tкрит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

ПАРНЫЙ t-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА

– одна из модификаций метода Стьюдента, используемая для определения статистической значимости различий парных (повторных) измерений.

1. История разработки t-критерия

t-критерий был разработан Уильямом Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны, статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

2. Для чего используется парный t-критерий Стьюдента?

Парный t-критерий Стьюдента используется для сравнения двух зависимых (парных) выборок. Зависимыми являются измерения, выполненные у одних и тех же пациентов, но в разное время, например, артериальное давление у больных гипертонической болезнью до и после приема антигипертензивного препарата. Нулевая гипотеза гласит об отсутствии различий между сравниваемыми выборками, альтернативная — о наличии статистически значимых различий.

3. В каких случаях можно использовать парный t-критерий Стьюдента?

Основным условием является зависимость выборок, то есть сравниваемые значения должны быть получены при повторных измерениях одного параметра у одних и тех же пациентов.

Как и в случае сравнения независимых выборок, для применения парного t-критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. При несоблюдении этого условия для сравнения выборочных средних должны использоваться методы непараметрической статистики, такие как G-критерий знаков или Т-критерий Вилкоксона.

Парный t-критерий может использоваться только при сравнении двухвыборок. Если необходимо сравнить три и более повторных измерений, следует использовать однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) для повторных измерений.

4. Как рассчитать парный t-критерий Стьюдента?

Парный t-критерий Стьюдента рассчитывается по следующей формуле:

где М_d — средняя арифметическая разностей показателей, измеренных до и после, σ_d — среднее квадратическое отклонение разностей показателей, n — число исследуемых.

5. Как интерпретировать значение t-критерия Стьюдента?

Интерпретация полученного значения парного t-критерия Стьюдента не отличается от оценки t-критерия для несвязанных совокупностей. Прежде всего, необходимо найти число степеней свободы f по следующей формуле:

После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p<0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже).

Сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия:

• Если рассчитанное значение парного t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.
• Если значение рассчитанного парного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.

6. Пример расчета t-критерия Стьюдента

Для оценки эффективности нового гипогликемического средства были проведены измерения уровня глюкозы в крови пациентов, страдающих сахарным диабетом, до и после приема препарата. В результате были получены следующие данные:

Решение:

1. Рассчитаем разность каждой пары значений (d):

2. Найдем среднюю арифметическую разностей по формуле:

3. Найдем среднее квадратическое отклонение разностей от средней по формуле:

4. Рассчитаем парный t-критерий Стьюдента:

5. Сравним полученное значение t-критерия Стьюдента 8.6 с табличным значением, которое при числе степеней свободы f равном 10 — 1 = 9 и уровне значимости p=0.05 составляет 2.262. Так как полученное значение больше критического, делаем вывод о наличии статистически значимых различий содержания глюкозы в крови до и после приема нового препарата.

t-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ

– общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

1. История разработки t-критерия

Данный критерий был разработан Уильямом Сили Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны, статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

2. Для чего используется t-критерий Стьюдента?

t-критерий Стьюдента используется для определения статистической значимости различий средних величин. Может применяться как в случаях сравнения независимых выборок (например, группы больных сахарным диабетом и группы здоровых), так и при сравнении связанных совокупностей (например, средняя частота пульса у одних и тех же пациентов до и после приема антиаритмического препарата). В последнем случае рассчитывается парный t-критерий Стьюдента

3. В каких случаях можно использовать t-критерий Стьюдента?

Для применения t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. Также имеет значение равенство дисперсий (распределения) сравниваемых групп (гомоскедастичность). При неравных дисперсиях применяется t-критерий в модификации Уэлча (Welch’s t).

При отсутствии нормального распределения сравниваемых выборок вместо t-критерия Стьюдента используются аналогичные методы непараметрической статистики, среди которых наиболее известными является U-критерий Манна — Уитни.

4. Как рассчитать t-критерий Стьюдента?

Для сравнения средних величин t-критерий Стьюдента рассчитывается по следующей формуле:

где М₁ — средняя арифметическая первой сравниваемой совокупности (группы), М₂ — средняя арифметическая второй сравниваемой совокупности (группы), m₁ — средняя ошибка первой средней арифметической, m₂ — средняя ошибка второй средней арифметической.

5. Как интерпретировать значение t-критерия Стьюдента?

Полученное значение t-критерия Стьюдента необходимо правильно интерпретировать. Для этого нам необходимо знать количество исследуемых в каждой группе (n₁ и n₂). Находим число степеней свободы f по следующей формуле:

После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p=0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже).

Сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия:

• Если рассчитанное значение t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.
• Если значение рассчитанного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.

6. Пример расчета t-критерия Стьюдента

Для изучения эффективности нового препарата железа были выбраны две группы пациентов с анемией. В первой группе пациенты в течение двух недель получали новый препарат, а во второй группе — получали плацебо. После этого было проведено измерение уровня гемоглобина в периферической крови. В первой группе средний уровень гемоглобина составил 115,4±1,2 г/л, а во второй — 103,7±2,3 г/л (данные представлены в формате M±m), сравниваемые совокупности имеют нормальное распределение. При этом численность первой группы составила 34, а второй — 40 пациентов. Необходимо сделать вывод о статистической значимости полученных различий и эффективности нового препарата железа.

Решение: Для оценки значимости различий используем t-критерий Стьюдента, рассчитываемый как разность средних значений, поделенная на сумму квадратов ошибок:

После выполнения расчетов, значение t-критерия оказалось равным 4,51. Находим число степеней свободы как (34 + 40) — 2 = 72. Сравниваем полученное значение t-критерия Стьюдента 4,51 с критическим при р=0,05 значением, указанным в таблице: 1,993. Так как рассчитанное значение критерия больше критического, делаем вывод о том, что наблюдаемые различия статистически значимы (уровень значимости р<0,05).