Что такое ачх цепи

5.3. Частотные характеристики

Поскольку сопротивления элементов цепей зависят от частоты, то параметры цепей оказываются частотно-зависимыми. Зависимости параметров цепей от частоты называют частотными характеристиками (ЧХ) или частотными функциями цепи.

Каждый параметр цепи имеет свою частотную характеристику ЧХ. Название ЧХ дают в соответствии с названием параметра. Например: ЧХ входного сопротивления, ЧХ коэффициента передачи напряжения.

ЧХ есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия. Как всякую комплексную функцию ее можно записать в одной из трех форм записи: показательной, алгебраической и тригонометрической (последняя, применяется редко).

.

H(ω)=Y_m/X_m — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) или ее называют модуль комплексной функции – mod[H(jω)] =.

АЧХ – есть зависимость от частоты отношения амплитуды гармонического сигнала на выходе к амплитуде гармонического сигнала на входе (без учета начальных фаз).

— фазо-частотная характеристика (ФЧХ) или ее называют аргументом комплексной функции – arg[H(jω)] = .

ФЧХ – есть зависимость от частоты сдвига по фазе между выходным и входным сигналами.

,,- реальная и мнимая составляющие ЧХ электрической цепи.

Для наглядности ЧХ цепей представляют в виде графиков. Графики строят двумя способами.

1. ЧХ можно представлять в виде двух графиков –АЧХ и ФЧХ.

При построении графиков АЧХ и ФЧХ пользуются следующими масштабами по осям: абсолютным или линейным и логарифмическим. На рис.5.6а приведен график в абсолютном линейном масштабе, на рис.5.6б в полулогарифмическом масштабе, а на рис.5.6в в логарифмическом масштабе.

1. ЧХ можно представить на одном графике. График комплексной функции, построенный в одной системе координат, называют годографом. Годограф – это геометрическое место точек, которые описывает конец вектора комплексной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до бесконечности.

Для построения годографа обычно используют алгебраическую форму записи частотной характеристики Н(jω) = Re[Н(jω)] + jJm[Н(jω)]. Далее для определенных частот ω_i рассчитывают значения Re[Н(jω)] = Н₁(ω_i) и Jm[Н(jω)] = Н₂(ω_i), и составляют таблицу данных, а затем, как обычно, наносят эти точки на плоскость и соединив их получают график годографа (рис.5.7). Таблица данных для построения АФХ Таблица 1.1.

Частота f, Гц

Re[Н(jω)] = Н1(ωi)

Jm[Н(jω)] = Н2(ωi)

5.4. Примеры расчёта частотных характеристик цепей

Пример 1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.5.8) рассчитать ее частотные характеристики. 1. Z_вх(j), Z_вх(), _z(). 2. K(j), K(), _k(). Решение. 1) По определению Z_вх(j)=Ů_1m/.Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления: Z_вх(j)=Ů_1m/Ĭ_1m= Ĭ_1m(Z₁+Z₂)/ Ĭ_1m =(R₁+R₂)+j(X₁+X₂)=R+jX; Z_вх()=[(R₁+R₂)²+(X₁+X₂)²] 1/2 ; _z()=arctg[(X₁+X₂)/(R₁+R₂)]. 2) Используя определение К(j) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению: Пример 2. Для цепи изображенной на рис.5.9 рассчитать: zвх(j), z(), _z(). K_U(j), K(), _K(). От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения. Она соответствует схеме на рис.5.8. Используя, определениеz_вх(j) и законы Ома и Кирхгофа получим его выражение Определим АЧХ и ФЧХ для z_вх(j) и построим их графики (рис.5.10.), подсчитав значения при =0, =. ; Zвх(0) = . Zвх() = R. _z()= -arctg ,_z(0)=-/2, _z()=0. Используя, определение K_U(j) получим его выражение K_u(j)====. Определим АЧХ и ФЧХ для Ku (j) и построим их графики (рис.5.11.), подсчитав значения при =0, =. Вспомним, что z==где:тогда, Ku(0)=1; Ku()=0. Отсюда следует: φ_к()= π/2, φ_к(0)= 0. Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0)=1) и подавляет сигналы высоких частот (Ku()=0) и называется фильтром низких частот (ФНЧ). Граничная частота определяется из выражения . Рассчитаем ее для нашего примера: , _грRC=1  . Построить годограф частотно-передаточной функции (годограф иногда называют АФЧХ). При . При Учитывая, что реальная часть всегда положительна и уменьшается от 1 до 0, а мнимая часть всегда отрицательна, можно построить график годографа (рис. 5.12.). Пример 3. Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.5.13), рассчитать ее частотные характеристики: 1. Z_вх(j), Z_вх(), _z(). 2.K(j), K(), _k(). Решение. 1) Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления. По определению Z_вх(j)=Ů_1m/.Входное сопротивление находимметодом последовательных эквивалентных преобразований. Этот метод состоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис.5.14. 2. найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По определения K_u(j)=Ů_2m/Ů_1m , а Ů_2m=Z₄İ₂ – находим по закону Ома. Отсюда видно, что для расчета КЧХ необходимо найти İ₂. Находим İ₂ методом контурных токов. Для этого: определим число независимых контуров: N_k=в-у+1=3-2+1=2, каждому из них присвоим свой контурный ток İ₁, İ₂ и составим уравнения по методу контурных токов. Z₁₁İ₁+Z₁₂İ₂=E₁₁Z₂₁İ₁+Z₂₂İ₂=E₂₂ , где: Z₁₁ – собственное сопротивление первого контура, Z₁₁=Z₁+Z₂; Z₁₂ и Z₂₁ сопротивление смежных контуров, Z₁₂= Z₂₁= — Z₂ ; Z₂₂-собственное сопротивление II контура. Z₂₂=Z₂+Z₃+Z₄ ; Ė₁₁-алгебраическая сумма источников ЭДС I-ого контура, Ė₁₁=U_1m; E₂₂— алгебраическая сумма источников ЭДС II-ого контура, во II контуре источников ЭДС нет, Ė₂₂=0. Найдем İ ₂— ток второго контура (по методу Крамера), а затем и КЧХ коэффициента передачи по напряжению: Покажем другой способ нахождения КЧХ коэффициента передачи по напряжению. Найдем КЧХ, используя для расчета U_2m метод узловых потенциалов. Для этого:

• преобразуем исходную схему к виду, показанному на рис.5.15, заменив источник эдс на источник тока;

• потенциал узла 0 примем равным нулю, ₀=0;

• тогда Ů_2m=₂ — ₀= _2.

Составив уравнения по методу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее, относительно ₂, по методу Крамера: Y₁₁₁+ Y₁₂₂=I₁₁ Y₂₁₁+ Y₂₂₂=I₂₂, где: Y_{11 –} собственная проводимость первого узла, Y₁₁=(1/Z₁)+(1/Z₂)+(1/Z₃); Y₁₂ и Y₁₂ – межузловая проводимость Y₁₂= Y₂₁= — 1/Z₃; =-1/Z₃; Y₂₂ — собственная проводимость первого узла Y₂₂=(1/Z₃) +(1/Z₄); _1, ₂ – потенциалы первого и второго узлов; I_11, I₁₁ – токи источников токов сходящихся в первом и втором узлах.

1.3. Частотные характеристики электрических цепей

Если в состав цепи входят реактивные элементы( L, C ), то из-за зависимости их сопротивлений от частоты гармонического сигнала параметры цепи становятся частотно-зависимыми. Зависимости параметров цепи от частоты гармонического воздействия называют частотными характеристиками, т.е. для каждого параметра цепи есть своя комплексная частотная характеристика (КЧХ). Названия частотным характеристикам дают в соответствии с названием параметра. Частотная характеристика цепи или комплексная функции цепи есть зависимость от частоты отношения комплексных амплитуд отклика и воздействия. Она может быть записана в показательной и алгебраической форме:

где — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) (или модуль комплексной функции -H(j)) — есть зависимость от частоты отношения амплитуд выходного и входного гармонических колебаний ;

()=arctg[Jm[H(j)] — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) (или аргумент комплексной функции – arg(H(j)) — есть зависимость от частоты разности фаз выходного и входного сигналов т.е. ()=₂-_1.

Re[ H(j)]. Im[H(j)] – реальная и мнимая части комплексной функции.

1.4. Расчет частотных характеристик

В основу расчета частотных характеристик положен метод комплексных амплитуд (МКА). Для простых цепей частотную характеристику находят, используя законы Ома и Кирхгофа. Для сложных функций при расчете частотных характеристик используют методы: эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и др. Порядок применения метода МКА следующий:

Гармонические токи и напряжения (x(t)=X_mcos(ωt-φ_x)) всех ветвей схемы заменить их комплексными амплитудами (X_m=X_me — jφ x ), а от исходной схемы цепи составленной из элементов (R,L,C), перейти к комплексной схеме замещения с комплексными сопротивлениями (Z_R=R,Z_C=1/(jωC),Z_L=jωL).

Составить уравнения электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений с использованием законов Ома и Кирхгофа или используя другие методы.

Решить систему составленных уравнений относительно комплексных амплитуд интересующих токов или напряжений (Ý_m=Y_me — jφ x ).

Для нахождения комплексной частотной характеристики (КЧХ) записать отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия.

Если необходимо, то перейти от комплексных амплитуд интересующих токов и напряжений к гармоническим функциям времени (y(t)=Y_mcos(ωt-φ_y)).

Для цепи второго порядка КЧХ в общем случае можно записать в виде

. (1.11)

Выделим в числителе и знаменателе действительную и мнимую части, приведем подобные члены, и запишем в показательной форме

. (1.12)

Отсюда получим выражения для расчета амплитудно-частотных (АЧХ) и фазо-частотных (ФЧХ) характеристик

(1.13)

1.5. Построение графиков частотных характеристик

При графическом изображении частотных характеристик электрической цепи обычно строят отдельные графики АЧХ и ФЧХ цепи. Графики функции, заданной формулой Н(ω) строятся по точкам, в определенном диапазоне частот, в котором проявляются основные свойства электрической цепи, которые затем соединяются плавной линией.

Выбор диапазона частот.

Для оценки частотного диапазона, в котором необходимо построить графики частотных характеристик цепи, определим особые точки операторной передаточной функции. Для этого заменим в формуле (1.11) =p, получим операторный коэффициент передачи по напряжению

. ()

Особыми точками (нулями и полюсами) K_u(p) являются значения аргумента (нули), при которых M(p)=0, и значения аргумента (полюсы), при которых N(p)=0, где i=1,2.. порядковый номер особой точки. Для наглядности их изображают в комплексной плоскости, комплексной частоты р=+j. Нули изображают кружочками, а полюсы крестиками.

За частотный диапазон можно принять интервал между и

; ,

где — расстояние от начала координат до ближайшей особой точки, которое определяется ее модулем, т.е. =min<||,||>; — расстояние до самой удаленной особой точки, т.е. =max<||,||>, где модуль комплексной частоты определяют по формуле |p|=.

Выбор масштаба построения графиков. При построении графиков частотных характеристик применяют различные масштабы по осям (вертикальной – ось ординат и горизонтальной – ось абсцисс): абсолютный (линейный) масштаб по осям применяют, если диапазон изменения величины не более одной декады, и логарифмический, если диапазон изменения величины составляет две и более декады. На практике часто используется полулогарифмический масштаб, когда по горизонтальной оси берется логарифмический масштаб, а по вертикальной – линейный.

В тех случаях, когда предполагаемая частотная характеристика располагается в широком диапазоне частот, то ее график строят в логарифмическом масштабе по оси частот. Сначала проводят расчет точек на частотах f→0, f→∞, а далее, на частотах в логарифмическом масштабе f =lg(f/f₀), гдеf=1,2, 3 и т.д. – нормированная частота в логарифмическом масштабе; f₀ – частота излома (частота среза) характеристики, выбранная за единицу; f/f₀=f_н — нормированная частота в абсолютном масштабе. Величина f₀ может быть принята любой. В простейшем случае за f₀ можно принять 1Гц, или 1кГц. Однако если анализируется цепь первого порядка, то за f₀ принимают f₀=(2) -1 (₀=1/), где  — постоянная времени цепи.

Если цепь имеет несколько постоянных времени, то ее ассимптотическая логарифмическая характеристика, состоит из нескольких прямых и имеет несколько точек излома, каждой из которых соответствует своя постоянная времени ₁=1/₁; ₂=1/₂ и т. д. Выбрав одну из них за опорную, можно построить график в масштабе  или lg.

При построении логарифмических частотных характеристик, более подробно, в каждой декаде следует брать по 3 –точки (0, 2, 5). Если необходимо, то проводят уточнение вблизи точек экстремумов — минимума или максимума, взяв по 10 точек вблизи них.

Особенности построения графиков ФЧХ.

Формула ФЧХ (уравнение ФЧХ) выражает зависимость аргумента (фазового угла) комплексной функции Кu(jω) от частоты:

где φ _числ(ω) — аргумент числителя Н(jω), φ _знам(ω) — аргумент знаменателя Н(jω).

При записи формул для φ _числ(ω) и φ _знам(ω) следует учитывать, что фазовый угол произвольного комплексного числа Z=А(ω)+jВ(ω) вычисляется по различным формулам в зависимости от положения комплексного числа на комплексной плоскости (см. табл. 1.1).

Область расположения числа Z=А+jВ на комплексной плоскости.

4.1.6. Частотные характеристики электрических цепей

Под входной характеристикой цепи при гармоническом воздействии понимают зависимость его входного комплексного сопротивления или проводимостиот частоты.

Комплексной передаточной функцией по напряжению называется зависимость отношения комплексного действующего значения выходного напряжения к комплексному действующему значению входного напряжения от частоты. Функцияпредставляется двумя зависимостями: АЧХ (амплитудная частотная характеристика) – зависимость модуля от частоты и ФЧХ – зависимость его фазы от частоты. Во многих случаях частотные характеристики цепи могут меняться в широких пределах, поэтому удобнее их представлять в логарифмическом масштабе (логарифмическая частотная характеристика или ЛАЧХ). Оценивается ЛАЧХ в децибелах (дБ). Для пассивных цепей данная частотная характеристика называетсяослаблением цепи. При расчете частотных характеристик линейных цепей реактивные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора записываются как функции частоты: иПредполагается, что сопротивления резистивных элементовR от частоты не зависят.

Рассмотрим расчет частотных характеристик на примере схемы с последовательным соединением элементов R и C (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Схема RC-цепи

Входное комплексное сопротивление цепи:

(4.21)

где и

На рис. 4.12 изображены графики входных характеристик ирассчитанных по формулам (4.21).

Комплексная передаточная функция по напряжению имеет вид:

(4.22)

АЧХ и ФЧХ определятся соотношениями:

и (4.23)

Рис. 4.12. Частотные характеристики последовательной RC-цепи

Для качественной оценки частотной характеристики введем параметр – постоянную времени τ = RC. Тогда формулы частотных характеристик будут иметь следующий вид:

и (4.24)

ЛАЧХ определяется выражением:

(4.25)

На рис. 4.13 представлены графики частотных характеристик АЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ, рассчитанных по формулам (4.22)–(4.24).

б

Рис. 4.13. Частотные передаточные характеристики

4.2. Домашнее задание

1. Исходные данные к расчетам и опытам приведены в табл. 4.1. Для заданных преподавателем вариантов и схем рассчитать:

1.1. Токи для частот, приведенных в табл. 4.2. Значения занести в табл. 4.2 и 4.4 соответственно.

1.2. Падения напряжения на элементах для этих частот. Значения занести в табл. 4.2 и 4.4 соответственно.

1.3. Сдвиг фаз φ(ω) между током и входным напряжением для каждого значения частоты сигнала и параметров схемы L₁ и С₁. Занести значения в табл. 4.2, 4.4 соответственно.

У вас большие запросы!

Точнее, от вашего браузера их поступает слишком много, и сервер VK забил тревогу.

Эта страница была загружена по HTTP, вместо безопасного HTTPS, а значит телепортации обратно не будет.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы отключили сохранение Cookies, а они нужны, чтобы решить проблему.

Почему-то страница не получила всех данных, а без них она не работает.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы вернётесь на предыдущую страницу через 5 секунд.
Вернуться назад