5. Какое силовое поле называют потенциальным? Докажите, что однородное и центральное силовые поля являются потенциальными. Как определяется сила через потенциальную энергию?
Силово́е по́ле в физике — это векторное поле в пространстве, в каждой точке которого на пробную частицу действует определённая по величине и направлению сила. Если работа сил поля, действующих на перемещающуюся в нём пробную частицу, не зависит от траектории частицы, и определяется только её начальным и конечным положениями, то такое поле называется потенциальным.
Докажем, что всякое стационарное поле центральных сил потенциально. Для этого найдем работу центральных сил в случае, когда силовое поле вызвано наличием одной неподвижной частицы B, а затем обобщим результат на произвольный случай. Элементарная работа силы на перемещении есть Так как проекция вектора на вектор , или на соответствующий радиус-вектор , то Работа же этой силы на произвольном пути от точки 1 до точки 2 Полученное выражение зависит, очевидно, только от вида функции , т. е. от характера взаимодействия и от значений и — начального и конечного расстояний между частицами A и B. От формы пути оно никак не зависит. Это и означает, что данное силовое поле потенциально. Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное наличием совокупности неподвижных частиц, действующих на частицу A с силами . каждая из которых является центральной. В этом случае работа результирующей силы при перемещении частицы A из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так как работа каждой из этих сил не зависит от формы пути, то и работа результирующей силы от нее также не зависит. Таким образом, действительно, любое стационарное поле центральных сил потенциально. Однородное силовое поле это поле, для которого сила, действующая на пробную частицу, постоянна во всех точках пространства. Оно также является потенциальным.
Сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком .
6. Что называют механической энергией? Сформулируйте закон ее сохранения. Дайте определение кинетической и потенциальной энергий и выведите закон сохранения энергии в механике.
Механическая энергия — энергия механического движения и взаимодействия тел системы или их частей.
Закон сохранения механической энергии: Полная механическая энергия, т.е. сумма потенциальной и кинетической энергии тела, остается постоянной, если действуют только силы упругости и тяготения и отсутствуют силы трения.
Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.
Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил.
Выведение: Рассмотрим систему материальных точек массами m1, m2. mn, движущихся со скоростями v1, v2. vn. Пусть , . — равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a F1, F2, . Fn — равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим f1, f2, . fn. При vc массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:
Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные dr1, dr2, . drn. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dri==vi dt, получим
Сложив эти уравнения,получим 
(13.1).Первый член левой части равенства (13.1) 
где dT — приращение кинетической энергии системы. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).
Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем (13.2)
При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2 
т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что d (T+П) = 0, откуда 
(13.3),
т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной.
4.3.Потенциальное поле сил. Консервативные силы
Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил. Например, вблизи поверхности Земли частица находится в поле силы тяжести.
В электрическом поле неподвижного точечного заряда 
на заряженную частицу действует поле, характерное тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр (заряд
), а величина силы зависит только от расстояния до этого центра:
. Такое поле называется центральным (рис.4.3).
Если в каждой точке поля сила, действующая на частицу, одинакова по величине и направлению, поле называется однородным.
Силовое поле, которое можно описать с помощью функции такой, что
(4.6)
называется потенциальным. Функция 
называется потенциальной функцией или потенциалом. Если поле не изменяется со временем, оно называется стационарным, в этом случае
.
Добавление к функции 
произвольной постоянной величины не изменяет значений 
, вычисляемых по формулам (4.6) . Поэтому потенциальная функция определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Однако при фиксированном значении этой постоянной 
становится однозначной функцией координат и времени.
Вектор с компонентами 
, где
— скалярная функция координат, называется градиентом функции
и обозначается
либо
(
называется оператором набла,
читается: «набла фи» или «градиент фи»). Из определения градиента следует, что 
, поэтому в случае потенциального силового поля имеем:
. (4.7)
Работа силы, удовлетворяющей условию (4.7), равна
, (4.8)
т.е. представляет собой полный дифференциал функции . Проинтегрировав выражение (4.8) по некоторой траектории от точки 1 до точки 2, получаем:
. (4.9)
Форма траектории, по которой осуществлялось интегрирование, была совершенно произвольной. Таким образом, работа, совершаемая над частицей силами стационарного потенциального поля, не зависит от пути, по которому двигалась частица, а определяется только начальным и конечным положениями частицы в пространстве.
Силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое, называются консервативными. Следовательно, силы, действующие на частицу в стационарном потенциальном поле, являются консервативными.
Из независимости работы консервативных сил от пути вытекает, что работа таких сил на замкнутом пути равна нулю. Чтобы доказать это, разобьем произвольный замкнутый путь (рис.4.4) на две части: путь 1, по которому частица переходит из точки 1 в точку 2, и путь , по которому частица переходит из точки 2 в точку 1. При этом точки 1 и 2 выбраны произвольно.
Работа на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков:
. (4.10)
Очевидно, работы 
и 
отличаются только знаком. Действительно, изменение направления движения на обратное приводит к замене 
на —
, поэтому значение интеграла
изменяет знак на обратный.
Поэтому равенство (4.10) можно записать в виде: 
.Так как работа не зависит от пути, то 
= — 
, и 
.
Кроме консервативных сил существуют неконсервативные силы. К ним относятся диссипативные силы, переводящие механическую энергию во внутреннюю ( это силы трения, сопротивления среды), а также гироскопические силы, перпендикулярные скорости ( сила Кореолиса, сила Лоренца), работа которых всегда равна нулю. Для неконсервативных сил соотношение (4.7) не выполняется.
Докажем, что сила тяжести является консервативной. Эта сила в любой точке имеет одинаковые величину и направление – вниз по вертикали (рис.4.5). Поэтому, независимо от того, по какому из путей 1 или II движется частица, работа определяется выражением: 
Из рис.4.5 видно, что проекция вектора 
на направление 
равна разности высот 
. Тогда работа 
Это выражение не зависит от пути, следовательно, сила тяжести консервативна.
Силы, действующие на частицу в центральном поле, также консервативны (рис.4.6). Элементарная работа центральной силы на пути 
равна
. Проекция
на направление силы в данном месте – это проекция на направление радиуса-вектора
, она равна приращению расстояния частицы до центра силового поля О:
. Работа на всем пути 
Это выражение зависит только от вида функции 
и от значений
и
. От вида траектории оно не зависит, следовательно, центральная сила консервативна.
4.4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ СИЛ
Из выражения (4.9) следует, что работа равна приращению потенциальной функции, и эта работа идет на приращение кинетической энергии частицы, как показывает (4.5). Таким образом,
. (4.11)
Перейдем от функции 
к функции
, связанной с
соотношением
. (4.12)
Тогда из (4.11) получаем: 
, или
.
Полученный результат означает, что величина 
для частицы, находящейся в поле консервативных сил, остается постоянной, т.е. является интегралом движения. Функция
называется потенциальной энергией частицы во внешнем поле сил. Таким образом, потенциальная энергия характеризует взаимодействие частицы с полем сил и зависит от положения частицы в этом поле, т.е. от координат. Величину
, равную сумме кинетической и потенциальной энергии, называют полной механической энергией частицы.
Из выражения (4.9) с учетом (4.12) получаем
-работа, совершаемая над частицей силами консервативного поля, равна убыли потенциальной энергии частицы, т.е. работа совершается за счет запаса потенциальной энергии.
Выражение (4.7) с учетом (4.12) принимает вид
–сила, действующая на частицу в стационарном поле сил, равна градиенту потенциальной энергии частицы в этом поле, взятому с обратным знаком.
Пусть на частицу, кроме сил стационарного потенциального поля, действует также неконсервативная сила 
. Тогда при переходе частицы из точки 1 в точку 2 над ней будет совершаться работа
,гд
е
— работа неконсервативной силы. Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии. Тогда
.
Суммарная работа всех приложенных к частице сил идет на приращение ее кинетической энергии: , или
-работа неконсервативных сил затрачивается на приращение полной механической энергии частицы.
Потенциальная энергия, как и потенциальная функция, определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Однако, это не имеет значения, так как во все функции входит либо разность значений потенциальной энергии, либо ее производные. В каждой конкретной задаче выбирается начало отсчета потенциальной энергии, от которого ведут расчет энергии в других положениях. Поэтому может иметь как положительные, так и отрицательные значения.
Конкретный вид функции 
зависит от характера силового поля. В поле тяжести
, где
отсчитывается от произвольного уровня.
Рассмотрим систему, состоящую из
невзаимодействующих между собой частиц, находящихся в поле консервативных сил. Каждая из частиц обладает кинетической
и потенциальной энергией
номер частицы, тогда для каждой частицы можно записать
Просуммировав эти выражения для всех частиц, получаем
— полная механическая энергия системы невзаимодействующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.
4.5.ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц (рис.4.7). Введем вектор 
, где
и
— радиус-векторы частиц. Расстояние между частицами равно модулю этого вектора. Будем считать, что силы взаимодействия частиц
и
зависят только от расстояния
между ними, и направлены вдоль прямой, соединяющей частицы:
, (4.13)
г
де
— некоторая функция
,
— орт вектора
(рис.4.8). По третьему закону Ньютона
= 
. Уравнения движения частиц
.
Умножим первое уравнение на 
, второе – на
и сложим:
. (4.14)
Левая часть этого выражения представляет собой приращение кинетической энергии системы за время , а правая часть – работу внутренних сил за то же время:
.
Подставив в это выражение формулу (4.13), получаем
.
Из рис.4.7 видно, что скалярное произведение равно приращению расстояния между частицами. Тогда
.
Выражение
есть приращение некоторой функции от
:
.
Следовательно,и выражение (4.14) можно представить в виде:
.
или 
таким образом, величина
для замкнутой системы сохраняется. Функция
представляет собой потенциальную энергию взаимодействия. Она зависит от расстояния между частицами. Работа внутренних сил
Т.е. не зависит от путей, по которым перемещались частицы, а определяется только начальными и конечными расстояниями между частицами. Таким образом, силы взаимодействия вида (4.13) являются консервативными.
1.5. Силовое поле
ные. Например, так осуществляется притяжение планет к Солнцу, взаимодействие заряженных частиц и т. д.
35 Силовое поле описывается векторной функцией координат пространства (радиус-вектора). Каждой точке пространства сопоставляется вектор силы, который действовал бы на материальную частицу, помещѐнную в исследуемую точку пространства (рис. 1.19).
1.5.1. Центральное и однородное силовые поля
В поле центральных сил на материальную точку действуют силы, которые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку – центр сил (рис. 1.20). Величина этих сил зависит только от расстояния r до центра сил: F F r ( r ) r r . Здесь r – радиус-вектор, проведѐн- ный из центра сил в исследуемую точку поля, F r ( r ) – проекция силы F на радиус-вектор r , зависящая только от модуля радиус-вектора r . Если материальная точка отталкивается от центра сил, то F r r 0 , так как векторы F и r сонаправлены (рис. 1.20, а ). Если материальная точка притягивается к центру сил, то F r r 0 , так как F и r направлены в противоположные стороны (рис.1.20, б ).
| F | F |
| r | r |
| a | б |
Рис. 1.20. Примером центрального поля является гравитационное поле Земли, для которого: F G Mm r 2 r r , где G – гравитационная постоянная ( G = 6,67·10 -11 Н м 2 /кг 2 ), M – масса Земли, m – масса тела, r – расстояние от центра Земли до исследуемой точки поля.
36 Проекция силы F на радиус-вектор r : F r r G Mm r 2 , а модуль силы F r G Mm r 2 . Количественной мерой поля тяготения является напряженность E m F С учетом закона всемирного тяготения E G M r 2 r r , а модуль напряженности E G M r 2 . У поверхности Земли расстояние r от точек поля до центра сил равно радиусу Земли R , а модуль напряженности E G R M 2 . Если не учитывать вра- щение Земли, сила гравитации равна силе тяжести F mg , тогда E mg m g , т. е. вектор напряженности равен вектору ускорения свободного падения, а модуль ускорения свободного падения у поверхности Земли приближенно ра- вен g G R M 2 . Другим примером поля центральных сил является электроста- тическое поле точечного заряда. Упругие силы также являются центральными. Действительно, если один конец пружины закрепить шарнирно в центре сил, а другой конец пружины располагать по различным точкам пространства, то в этом случае F k r r r , где r величина деформации пружины. В одномерном случае F x kx , где k коэффициент жесткости пружины, х – величина деформации пружины (если x > 0, пружина растя-
| нута, если x < 0, пружина сжата). | |
| В однородном силовом поле на материальную части- | |
| Рис. 1.21. | цу всюду действует один и тот же вектор силы, т. е. F |
| const. Если центр сил центрального поля удален в беско- |
нечность, то такое поле приближенно можно считать однородным. Так гравитационное поле Земли у ее поверхности в относительно небольшой области
37 пространства близко к однородному (рис. 1.21). Также приближенно является однородным электрическое поле между пластинами плоского конденсатора.
1.5.2. Энергия. Работа сил поля. Мощность
Существует ряд различных форм движения материи – механическая, тепловая, электромагнитная. Их общей мерой является скалярная физическая величина называемая энергией, а взаимные превращения из одной формы в другую происходят в строго определенных количественных соотношениях. Для анализа качественно различных форм движения вводят разные виды энергии. В механике простейшими формами движения материи являются перемещение тел в пространстве и силовое взаимодействие между телами системы. Этим формам движения соответствуют кинетическая и потенциальная энергии. При превращении одной формы движения в другую совершается работа, равная переходу энергии от одного вида к другому. Энергия и работа измеряются в одних и тех же единицах. В системе СИ такой единицей является 1 Джоуль (Дж). Если тело под действием постоянной силы F перемещается по прямой линии ( r s ), то при этом совершается механическая работа
| F | A Fs cos α F s , | |
| где α – угол между направлениями силы и перемещения | ||
| r | F | |
| Рис. 1.22. | тела (рис. 1.22), F F cos – проекция вектора силы на | |
| направление перемещения. Величина работы может иметь | ||
разный знак, а также быть равной нулю. A 0 , если cos α = 0 т. е. α = 90 0 (сила перпендикулярна перемещению); A 0 , если cos α > 0, т. е. α < 90 0 (угол между силой и перемещением острый); A 0 , если cos α < 0, т. е. α >90 0 (угол α тупой). Если направления силы и перемещения совпадают, то A Fs . За единицу работы принимают такую работу, которую совершает сила в 1Н при перемещении тела в направлении действия силы на расстояние 1 м. A 1 H 1 м 1 Н м 1 Дж .
38 Если составляющая силы F в направлении перемещения во время движения тела не остаѐтся постоянной (т. е. меняется или величина силы, или угол α ), то работа А может быть найдена путѐм интегрирования элементарных работ A , совершенных на малых участках пути ds , в пределах которых составляющую силы F можно считать постоянной: A F ds . Так как ds dr , то элементарную работу A F dr cos можно записать в виде скалярного произведения: A F dr . Тогда работа на всем пути будет равна:
| F | A F ds | A F ds или A F dr . | ||||||||||||
| Графически работу можно | представить | |||||||||||||
| A | как площадь под кривой F s (рис. 1.23). | |||||||||||||
| 12 | ||||||||||||||
| Скорость совершения работы характери- | ||||||||||||||
| зуется | величиной, | называемой | мощностью . | |||||||||||
| 1 | ds | 2 | s | Мощность – это работа, совершаемая в единицу | ||||||||||
| Рис. 1.23. | времени (за 1 секунду): | |||||||||||||
| N = | dA | , | ||||||||||||
| dt | ||||||||||||||
| N | F ds | F v F | v . | |||||||||||
| 5. | dt | |||||||||||||
Если работа выполняется равномерно, то N A t . Так же определяется и среднее значение мощности 
N 
A t . В системе СИ мощность измеряется в ваттах N = 1 1 Дж с = 1Вт . 1.5.3. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы
39 Силовое поле называют потенциальным , а силы, действующие в нѐм, консервативными , если работа сил поля по перемещению материальной точки не зависит от вида траектории движения, а зависит только от по- Рис. 1.24. ложений материальной точки в исходном и конечном состояниях. В этом случае работа сил поля по замкну- той траектории равна нулю (рис. 1.24): F dr 0 . Все центральные силовые поля являются потенциальными. Действительно, работа сил поля
| e r | (2) | (2) | (2) | |||||||||
| dr r | A | F | dr F r | ( r ) | r | dr F r ( r ) e r dr . | ||||||
| M dr | ||||||||||||
| (1) | (1) | r | ||||||||||
| (1) | ||||||||||||
| r | ||||||||||||
| Вектор | r | e | – единичный вектор, | задающий на- | ||||||||
| r | ||||||||||||
| O | r | |||||||||||
| правление радиус-вектора r | материальной точки М , про- | |||||||||||
| Рис. 1.25. | веденного из центра силового поля (рис. | 1.25). Так как | ||||||||||
| e r dr dr r – проекция вектора dr на вектор e r или на | ||||||||||||
2 соответствующий радиус-вектор r , то работа A F r ( r ) dr r . Полученное вы- 1 ражение зависит только от вида функции F r ( r ) , т. е. от характера взаимодействия, и от значений r 1 и r 2 – начального и конечного положений точки М . К потенциальным полям относятся гравитационное поле Земли, поле точечного заряда, поле упругих сил. Соответственно гравитационные, кулоновские и упругие силы являются консервативными. Силы, работа которых зависит от траектории движения, неконсервативны. Если действие таких сил приводит к переходу энергии из механической в немеханические формы, то эти силы называют диссипативными . К ним относятся силы трения скольжения и сопротивления среды. Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого. При отсутствии смазки между поверхностями тел спра- ведлив закон сухого трения : сила трения скольжения не зависит от площади трущихся поверхностей и пропорциональна силе нормального давления : F тр F n ,
У вас большие запросы!
Точнее, от вашего браузера их поступает слишком много, и сервер VK забил тревогу.
Эта страница была загружена по HTTP, вместо безопасного HTTPS, а значит телепортации обратно не будет.
Обратитесь в поддержку сервиса.
Вы отключили сохранение Cookies, а они нужны, чтобы решить проблему.
Почему-то страница не получила всех данных, а без них она не работает.
Обратитесь в поддержку сервиса.
Вы вернётесь на предыдущую страницу через 5 секунд.
Вернуться назад