Как найти токи в ветвях цепи по закону кирхгофа

1.5. Методы расчета линейных электрических цепей Расчет цепей с использованием законов Кирхгофа

Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы через b, число ветвей, содержащих источники тока, через b_ИT, число узлов — у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется (b — b_ИT). Перед тем как составлять уравнения, необходимо произвольно выбрать: а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т.е. у — 1. По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений n , равное

n= b — b_ИT — (у — 1).

При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляются уравнения, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа, т.е. число уравнений по второму закону Кирхгофа равно числу независимых контуров.

Пример 1. Найти токи в ветвях схемы рис. 1.13, в которой Е₁ = 80 В, Е₂ = 64В, R₁= 6 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 3 Ом, R₄= 10 Ом.

Решение. Произвольно выбираем положительные направления тока в ветвях. В схеме рис. 1.13 b=3; b_ИТ=0; y=2.

Следовательно, по первому закону Кирхгофа можно составить только одно уравнение y-1=1:

.

По второму закону Кирхгофа составим два уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

.

Знак плюс перед I₁R₁ взят потому, что направление тока совпадает с направлением обхода контура, а знак минус перед I₂R₂ потому, что направление I₂ встречно обходу контура.

.

Совместное решение трех уравнений дает

I₁ = 14 A, I₂ = -15 A, I₃ = -1 A.

В рассматриваемом примере отрицательными оказались токи I₂ и I₃, это следует понимать так, что в действительности токи I₂ и I₃ направлены в обратную сторону.

Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором в качестве неизвестных принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, составляемых для схемы по второму закону Кирхгофа. Преимуществом этого метода, по сравнению с методом на основе законов Кирхгофа, является меньшая вычислительная работа, так как в нем меньше уравнений.

Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно к схеме рис. 1.14, содержащей два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I₁₁ , а в правой (также по часовой) — контурный ток I₂₂. Для каждого из контуров составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что в смежной ветви (с сопротивлением R_s) течет сверху вниз ток I₁₁ — I₂₂. Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

Для первого контура

. (1.24)

Для второго контура

. (1.25)

В уравнении (1.24) множитель при токе I₁₁, являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R₁₁, множитель при токе I₂₂ (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус), – через R₁₂.

В уравнении (1.25) множитель при токе I₂₂, являющийся суммой сопротивлений второго контура, обозначим через R₂₂, множитель при токе I₁₁ (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус), – через R₂₁.

Перепишем эти уравнения следующим образом:

где R₁₁ и R₂₂ — полное или собственное сопротивление первого и второго контуров соответственно; E₁₁ и Е₂₂ — контурные ЭДС первого и второго контуров, равные алгебраической сумме ЭДС этих контуров; R₁₂ = R₂₁ -сопротивление смежной ветви между первым и вторым контуром, взятое со знаком минус, так как контурные токи по ветви протекают встречно.

Если в схеме больше контуров, например три, то система уравнений в общем виде выглядит следующим образом:

(1.26)

В результате решения системы уравнений (1.26) какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами, найденный контурный ток является истинным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяются токи ветвей.

Если в электрической цепи имеется n независимых контуров, то число уравнений тоже равно n.

Общее решение системы n-уравнений относительно тока I_kk таково:

, (1.27)

где  — определитель системы.

.

Алгебраическое дополнение ∆_km, получено из определителя ∆ путем вычеркивания k-го столбца и m-й строки и умножения полученного определителя на (-1) k + m .

Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивлениями, и что токи в этих контурах известны и равны токам соответствующих источников тока. Если для схемы рис. 1.15 принять, что контурный ток I₁₁ = J течет согласно направлению часовой стрелки по первой и второй ветвям, а контурный ток I₂₂ = I₃ замыкается также по часовой стрелке по второй и третьей ветвям, то, согласно методу контурных токов, получим только одно уравнение с неизвестным током I₂₂:

.

Отсюда и ток второй ветвиI₂=I₁₁—I₂₂=J—I₂₂ .

2.5.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Пример . Методом непосредственного применения законов Кирхгофа рассчитать токи в схеме на рис.

Число ветвей обозначим m, а число узлов n. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Поскольку в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно m. По первому закону Кирхгофа составляем n-1 уравнений. Недостающие m-(n-1) уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.

Рис. 2.20. Схема замещения сложной электрической цепи с несколькими источниками энергии: I, II, III – номера контуров

1. Проводим топологический анализ.

Она содержит пять ветвей и три узла, m = 5, n = 3. Составляем два уравнения по первому закону Кирхгофу, т. к. n – 1 = 2 (например, для узлов а и б).

2. Составляем уравнения по певому и второму законам Кирхгофа

Для узла «а» — I₁ — I₂ + I₄ = 0.

Для узла «б» — I₁ + I₂ — I₃ — I₅ = 0.

Остальные m — (n — 1) = 3 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа.

Решив систему, состоящую из пяти уравнений, находим пять неизвестных токов. Если какие-либо значения токов оказались отрицательными, то это означает, что действительные направления этих токов противоположны первоначально выбранным.

При расчётах сложных цепей с использованием ЭВМ удобна матричная форма записи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, запишем в виде

В матричной форме

или [R]·[I] = [Е],

где [R] – квадратная (5 х 5) матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных токах в исходных уравнениях;

[I] – матрица — столбец неизвестных токов;

[E] – матрица — столбец, элементами которой могут быть алгебраическая сумма ЭДС.

Решение матричного уравнения ищут в виде

[I] = [R] -1 ·[E],

где [R] -1 – матрица, обратная матрице [R].

Рассмотренный метод расчета неудобен, если в цепи имеется большое количество узлов и контуров, поскольку потребуется решать громоздкую систему уравнений. В таких случаях рекомендуется применять метод контурных токов, позволяющий значительно сократить число расчетных уравнений 2.

Метод контурных токов

Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29).

Эта схема эквивалентна, если

а)E = IZ_i I ;

б) Z_i II = Z_i I .

1) Топологический анализ схемы.

а) Как и в предыдущем методе, определяют число ветвей b.

б) Определяют число узлов у.

в) Подсчитывают число независимых контуров N_k = b – y + 1.

Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.

Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: I_k1; I_k2;I_kNk.

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений N_k = N_kпорядка:

где I_ki– контурный токi-го контура;

Z_ii– собственное сопротивлениеi-го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих вi-й контур;

Z_ji– сопротивление смежных ветвей междуi-м иj-м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;

E_ki– контурная ЭДСi-ого контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих вi-й контур. Контурная ЭДСE_kiберется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.

3) По правилу Крамера находят контурные токиI_ki=.

4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. В алгебраической сумме контурные токи берутся со знаком «+» , если ток ветви и совпадает с контурным током и «–» если не совпадает.

Если токи ветви оказались положительными, то выбранное направление тока совпадает с истинным и наоборот.

Пример.Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.30). Определить токи во всех ветвях.

1. Проводим топологический анализ

а) b= 6; б)y= 4;в)N_k= 6 – 4 + 1=3.

2) Составим систему уравнений по методу МКТ

где:

E₁₁= E₁; E₂₂ = 0;E₃₃ = 0.

3) По методу Крамера находим контурные токи I_ki = .

4) Находим токи в ветвях: I₁ = I_k1; I₂ = = I_k1 – I_k2; I₃ = I_k1 – I_k3; I₄ = –I_k2 + I_k3; I₅ = I_k2; I₆ = I_k3.

Пример 2. Рассмотрим электрической цепи постоянного тока, рис. 2.21.

1. Проводим топологический анализ

а) b= 5; б)y= 3;в)N_k= 5 – 3 + 1=3.

2) Для каждого контура записывают уравнение второго закона Кирхгофа,

Рис. 2.21. – Расчетная схема для метода контурных токов

В каждом из трех контуров протекает свой контурный ток J₁, J₂, J₃. Произвольно выбираем направление этих токов, например, по часовой стрелке. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура с учетом соседних контурных токов, протекающих по смежным ветвям

Решив систему уравнений, находят контурные токи J₁, J₂, J₃. Затем определяют реальные токи в ветвях, причем токи во внешних ветвях равны контурным, а в смежных – алгебраической сумме 2-х контурных токов, протекающих в данной ветви

Исходная система уравнений в матричной форме

[R]·[J] = [E],

где [R] – квадратная матрица коэффициентов контурных токов;

[J] – матрица – столбец контурных токов; [E] – матрица – столбец ЭДС.

Решением матричного уравнения является матрица

[J] = [R] -1 ·[E],

где [R] -1 – матрица, обратная матрице [R]

• Пример 3. Для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.1, получим следующие уравнения:

получим следующие уравнения: По методу Крамера найдем контурные токи: Действительные токи в ветвях: I1 = Ik1; I2 = Ik2 – Ik1; I3 = Ik2. Пример 4. Расчет цепи методом контурных токов на рис. 2.22. Рис. 2.22. – Расчет цепи методом контурных токов Для схемы замещения электрической цепи, показанной на рис. 2.22, задано: E₁ = 30 B; E₂ = 10 В; R₁ = 8 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 36 Ом. Требуется определить токи в ветвях методом контурных токов. Составить баланс мощности. Схема содержит три ветви (m = 3), два узла (n = 2). Выбираем положительные направления токов в ветвях произвольно. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно m — (n — 1) = 2. Задаем направление контурных токов (например, по часовой стрелке) и составляем систему уравнений (R₁ + R₂)·J₁ — R₂·J₂ = E₁ — E₂ — R₂·J₁ + (R₂ + R₃)·J₂ = E₂. Подставляя численные значения сопротивлений резисторов и ЭДС в приведённые уравнения, находим контурные токи J₁, J₂ (Например, методом определителей) 20 = 23·J₁ – 15·J₂ 10 = — 15·J₁ + 51·J₂Токи в ветвях I₁ = J₁ = 1,23 А; I₂ = — J₂ + J₁ = 1,23 — 0,56 = 0,67 А; I₃ = J₂ = 0,56 А. Составляем баланс мощностей. Мощность генераторов (источников) Р_И = Е₁·I₁ — Е₂·I₂ = 30·1,23 – 10·0,67 = 30,2 Вт, где произведение Е₂·I₂ имеет знак минус (ток через источник не совпадает с ЭДС, значит источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии). Мощность, потребляемая нагрузкой, составляет Р_Н = R₁·I₁ 2 + R₂·I₂ 2 + R₃·I₃ 2 = 8·1,23 2 + 15·0,56 2 + 36·0,56 2 = 30,13 Вт. Погрешность составляет менее 1%, т. е. токи найдены верно. Метод узловых потенциалов (МУП) Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы. Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис. 4.31). а) I = E/Z_i I ; б) Z_i II = Z_i I . 1) Топологический анализ. а) Подсчитывают число ветвей bи число узловy.Определяется количество независимых узловN_y =y – 1. б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где – потенциал нулевого узла. 2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для Nузлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов: , где Y_ii– собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся вi-м узле, все они берутся со знаком «+»; Y_ij– межузловая проводимость междуi-м иj-м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»; I_ii– алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся вi-м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–». 3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера . 4) Токи в ветвях находят по закону Ома I= (₁ –₂)/Z. Пример.Дана электрическая цепь (рис. 4.32). Рассчитать токи во всех ветвях. П I₂Z₂ редварительно преобразуем все источники напряжения (рис. 4.32) в источники тока (рис. 4.33). Z₁Z₂Z₃Z₄E₁E₂II₁I₂I₄II₃I₁Z₁Z₃Z₄ Рис. 4.32 Рис. 4.33 Проведем топологический анализ. а) число ветвей b= 4; б) число независимых узлов N_у= 2, их потенциалы: φ₁и φ₂(рис. 4.33). Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов: ; . По методу Крамера найдем потенциалы узлов . По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы: .

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ по теме цепи переменного тока

Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа – правила, которые показывают, как соотносятся токи и напряжения в электрических цепях. Эти правила были сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году. В литературе часто называют законами Кирхгофа, но это не верно, так как они не являются законами природы, а были выведены из третьего уравнения Максвелла при неизменном магнитном поле. Но все же, первое более привычное для них название, поэтому и мы будет их называть, как это принято в литературе – законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа – сумма токов сходящихся в узле равна нулю.

Давайте разбираться. Узел это точка, соединяющая ветви. Ветвью называется участок цепи между узлами. На рисунке видно, что ток i входит в узел, а из узла выходят токи i ₁ и i ₂ . Составляем выражение по первому закона Кирхгофа, учитывая, что токи, входящие в узел имеют знак плюс, а токи, исходящие из узла имеют знак минус i-i ₁ -i ₂ =0. Ток i как бы растекается на два тока поменьше и равен сумме токов i ₁ и i ₂ i=i ₁ +i ₂ . Но если бы, например, ток i ₂ входил в узел, тогда бы ток I определялся как i=i ₁ -i ₂ . Важно учитывать знаки при составлении уравнения.

Первый закон Кирхгофа это следствие закона сохранения электричества: заряд, приходящий к узлу за некоторый промежуток времени, равен заряду, уходящему за этот же интервал времени от узла, т.е. электрический заряд в узле не накапливается и не исчезает.

Второй закон Кирхгофа – алгебраическая сумма ЭДС, действующая в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения в этом контуре.

Напряжение выражено как произведение тока на сопротивление (по закону Ома).

В этом законе тоже существуют свои правила по применению. Для начала нужно задать стрелкой направление обхода контура. Затем просуммировать ЭДС и напряжения соответственно, беря со знаком плюс, если величина совпадает с направлением обхода и минус, если не совпадает. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа, для нашей схемы. Смотрим на нашу стрелку, E₂ и Е₃ совпадают с ней по направлению, значит знак плюс, а Е₁ направлено в противоположную сторону, значит знак минус. Теперь смотрим на напряжения, ток I₁ совпадает по направлению со стрелкой, а токи I₂ и I₃ направлены противоположно. Следовательно:

На основании законов Кирхгофа составлены методы анализа цепей переменного синусоидального тока. Метод контурных токов – метод основанный на применении второго закона Кирхгофа и метод узловых потенциалов основанный на применении первого закона Кирхгофа.

Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура. Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например I₁₁, I₂₂ и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I₁-I₆.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I₁₁,I₂₂,I₃₃. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R₄ принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I₁₁, умножаем на собственное сопротивление R₁₁ этого же контура, а затем вычитаем ток I₂₂, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R₂₁ и ток I₃₃, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R₃₁. Данное выражение будет равняться ЭДС E₁ этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R₄ протекает ток I₄, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!