Как найти исправленную дисперсию

Исправленная дисперсия

Величина называется исправленным средним квадратическим отклонением.

Оценка s 2 (а вместе с ней и ) состоятельна.

Пример 15.1. Оценить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по результатам ее независимых наблюдений: 7, 3, 4, 8, 4, 6, 3.

Решение. По формулам (15.1) и (15.4) имеем

Пример 15.2. Данные 25 независимых наблюдений случайной величины представлены в сгруппированном виде:

Оценить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Представителем каждого интервала можно считать его середину. С учетом этого формулы (15.3) и (15.6) дают следующие оценки:

_{Пример 15.3}. По выборке признака Х, заданной следующей таблицей:

_{найти выборочное среднее, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.}

Решение. Объем выборки По формуле (15.2) выборочное среднее

Для вычисления дисперсии составляем таблицу квадратов значений СВ Х:

По формуле (15.9) имеем

Получили несмещенные оценки для дисперсии и среднего квадратического отклонения. Соответствующие смещенные оценки и

Пример 15.4. Проведено несколько измерений расстояния. Результаты измерений в метрах представлены в виде ряда:

§6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной дисперсии

 Определение. Генеральной дисперсией D_Г называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака Х генеральной совокупности от его среднего значения .

Если различны, то , где N – объём выборки.

Если имеют частоты , то .

 Определение. Генеральным средним квадратическим отклонением называют .

 Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если различны, то .

Если имеют частоты , то .

Замечание. При решении практических задач выборочную дисперсию удобнее находить по следующей формуле:

 Определение. Выборочным средним квадратичным отклонением называют .

Задача. По данным выборки найти оценку для неизвестной D_Г.

Если в качестве оценки для _DГ взять D_В, то эта оценка является смещённой, а именно

(без доказательства). (4)

Значит, эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам (давая заниженное значение генеральной дисперсии).

Для получения несмещенной оценки исправим выборочную дисперсию, умножив её на .

 Определение. Исправленной (эмпирической) дисперсией называется

где – несмещённая оценка генеральной дисперсии D_Г.

Можно доказать, что – состоятельная оценка D_Г, а значит также состоятельная оценка D_Г (т.к. множитель при ).

Замечание. При больших значениях n обе оценки и различаются мало и введение поправочного коэффициента теряет смысл.

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение . не является несмещённой оценкой _Г.

 Определение. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Рассмотренные оценки являются точечными.

Пример 9. Выборка задана следующим ДCР. Найти смещённую и исправленную оценку для дисперсии.

Статистические оценки параметров распределения

Распределения в математической статистике характеризуется многими статистическими параметрами. Оценка неизвестных параметров распределения на основе различных данных выборки позволяет построить распределения случайной величины.

Найти статистическую оценку неизвестного параметра распределения — найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая даст приближенное значение оцениваемого параметра.

Статистические оценки можно разделить на несмещенные, смещенные, эффективные и состоятельные.

Определение 1

Несмещенная оценка — статистическая оценка $Q^*$, которая при любом значении объема выборки, имеет математическое ожидание, равное оцениваемому параметру, то есть

Статья: Статистические оценки параметров распределения

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Определение 2

Смещенная оценка — статистическая оценка $Q^*$, которая при любом значении объема выборки, имеет математическое ожидание, не равное оцениваемому параметру, то есть

Определение 3

Эффективная оценка — статистическая оценка, которая имеет наименьшее возможное значение дисперсии при заданном объеме выборки.

Определение 4

Состоятельная оценка — статистическая оценка, при которой при объеме выборки, стремящейся к бесконечности, стремится по вероятности к оцениваемому параметру $Q.$

Определение 5

Состоятельная оценка — статистическая оценка, при которой при объеме выборки, стремящейся к бесконечности, дисперсия несмещенной оценки стремится к нулю.

Начинай год правильно ��
Выигрывай призы на сумму 400 000 ₽

Генеральная и выборочная средние

Определение 6

Генеральная средняя — среднее арифметическое значений вариант генеральной совокупности.

Определение 7

Выборочная средняя — среднее арифметическое значений вариант выборочной совокупности.

Величины генерального и выборочного среднего можно найти по следующим формулам:

1. Если значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$, то

1. Если значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны, то

С этим понятием связано такое понятие как отклонение от средней. Данная величина находится по следующей формуле:

Среднее отклонение обладает следующими свойствами:

1. $\sum\right)=0>$
2. Среднее значение отклонения равно нулю.

Генеральная, выборочная и исправленная дисперсии

Еще одними из основных параметров является понятие генеральной и выборочной дисперсии:

Генеральная дисперсия:

Выборочная дисперсия:

С этими понятия связаны также генеральная и выборочная средние квадратические отклонения:

В качестве оценки генеральной дисперсии вводится понятие исправленной дисперсии:

Также вводится понятие исправленного стандартного отклонения:

Пример решения задачи

Генеральная совокупность задана следующей таблицей распределения:

Найдем для нее генеральное среднее, генеральную дисперсию, генеральное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение.

Для решения этой задачи для начала сделаем расчетную таблицу:

Величина $\overline$ (среднее выборочное) находится по формуле:

Найдем генеральную дисперсию по формуле:

Генеральное среднее квадратическое отклонение:

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

Исправленная дисперсия

где D_Г – истинное значение дисперсии генеральной совокупности.

Для исправления выборочной дисперсии достаточно умножить ее на дробь

В качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию s ², вычисляемую по формуле

Такая оценка будет являться несмещенной. Ей соответствует исправленное среднее квадратическое отклонение

Для оценки среднего квадратического генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение

Замечание: формулы для вычисления выборочной дисперсии и исправленной дисперсии отличаются только знаменателями. При достаточно больших n выборочная и исправленная дисперсии мало отличаются, поэтому на практике исправленной дисперсией пользуются, если n < 30.

Коэффициент вариации применяют для сравнения вариации признаков сильно отличающихся по величине, или имеющих разные единицы измерения (разные наименования).

Модой M₀ называют варианту, которая имеет наиболь­шую частоту.

варианта

частота

Медианой т_e называют варианту, которая делит ва­риационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т. е. , то , при четном п = 2k медиана

Например, для ряда 2 3 5 6 7 медиана равна 5; для ряда 2 3 5 6 7 9

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: