Что такое нейтральный слой и где он находится

7. Прямой изгиб. Силовая плоскость , нейтральный слой, закон Гука при чистом изгибе,нормальные напряжения, касательные напряжения. Условия прочности.

Изгибом называется такой вид деформации при котором в поперечном сечении стержня возникают изгибающие моменты, если при этом все остальные внутренние силовые факторы =0, изгиб называется чистым.

Плоскость, в которой на брус приложены внешние нагрузки называется силовой плоскостью.

Верхние волокна балки растягиваются, а нижние сжимаются и поэтому на Y нейтральной линии деформации не наблюдаются.

Плоскость, проходящая через нейтральную линию называется нейтральным слоем.

н ейтральная линия

Выделим из бруса некоторый элементарный элемент шириной dz, будем считать что при изгибе левая плоскость останется неподвижной, а правая повернется на некоторый угол:

A 1 B 1 =(ρ+y) dϴ относительная деформация будет:

Тогда в силу допущения о ненадавливаемости продольных волокон, закон Гука будет иметь вид: где, ρ-радиус кривизны

σ- нормальное напряжение

Отсюда, нормальные напряжения изменяются по сечению бруса линейно и достигают максимального значения в крайних точках сечения.

Максимальное значение нормальных напряжений будет равно:

Формула является основной в расчетах на прочность при изгибе. Она показывает, что наиб.экономичным, являютя такие формы поперечных сечений для которых с наименьшими затратами материалов получается наибольшая величина моментов сопротивлений.

Величина касательных напряжений определяется по формулам Журавского:

b — ширина сечения,

Q_y – абсолютная величина поперечной силы в том сечении, где вычисляются касательные напряжения,

S_x * -Абсолютная величина статического момента отсеченной части поперечного сечения относительно нейтральной оси (линии),

У_х— момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

Условие прочности при изгибе формулируется следующим образом: Балка будет прочной, если максимальные нормальные напряжения не превысят допускаемых напряжений

8.Геометрические характеристики плоских сечений. Статический момент, осевой и полярный момент инерции, центробежный момент инерции, момент сопротивления. Изменение моментов инерции при параллельном переносе и при повороте осей координат. Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемых, главным образом, в расчетах на растяжение и сжатие.

Площадь, ограниченная произвольной кривой, есть

Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений, состоящих из простейших фигур, они разбиваются на конечное число n простейших частей. В этом случае

Для сечений, составленных из профилей стандартного проката, площадь каждого профиля и остальные необходимые для расчетов размеры принимаются по таблицам ГОСТов на прокатную сталь.

Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния от этой оси (рис. 4.1):

где yc – расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси x; xc – расстояние от центра тяжести всего сечения до оси y.

Статический момент( размерность м3) сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси:

Из выражений (4) можно определить координаты центра тяжести плоского сечения:

(7)

Для сложного поперечного сечения формулы (7) можно представить в следующем виде

Осевым( экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси х и у называется взятая по всей площади А сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой оси

Где х и у-расстояние от элементарной площадки, выбранной в пределах данного сечения, до соответствующей оси.

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторого полюса(точки) называется взятая по всей площади А сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этого полюса ρ

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х и у называется взятая по всей площади А сумма произведений элементарных площадок А на расстояние до этих осей

Осевым моментом сопротивления сечения называется частное от деления осевого момента, на расстояние уmax или хмах от рассматриваемой оси до наиболее удаленной точки сечения

С изменением положения системы координат изменяются по величине геометрические характеристики сечений. При параллельном переносе осей координат осевые и центробежный моменты преобразуются в соответствии с формулой Гюйгенса и определяются из выражений:

а и b- расстояние между горизонтальными и вертикальными осями соответственно, при этом оси ч и н проходят через центр тяжести сечения.

Для теоретического определения положения центра тяжести сложного сечения его разбивают на простые фигуры (прямоугольник, треугольник, круг, полукруг). Координаты центра тяжести определяются по известным из теоретической механики зависимостям где xc, yc – координаты центра тяжести сложной фигуры;

xi, yi, – координаты центров тяжести простейших фигур, на которые разбито сечение, подставляются в выражения (5.8) с учетом знаков.

Две взаимно перпендикулярных оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции, а осевые моменты инерции относительно этих осей – главными центральными моментами инерции.

9.Косой изгиб. Нормальные напряжения, уравнения нейтральной линии. Условие прочности при косом изгибе.

Косой изгиб-такой вид деформированипя, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.27, а). Косой изгиб удобнее всего рассмотреть как одновременный изгиб бруса относительно главных осей x и y поперечного сечения бруса.

Нормальное напряжение определяется как сумма нормальных напряжений, возникающих от действия каждого из моментов:

I_x и I_y— главные центральные моменты инерции сечения.

x и y- координаты точек, в к-х определяется напряжение.

уравнение представляет собой уравнение плоскости, если известен модуль , то уравнение примет вид:

Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения:

x,y- координаты точек, лежащей на нулевой линии.

Из уравнения следует, что нейтральная линия всегда проходит через начало координат. Максимальные напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии.

В общем случае нулевая линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента. Она повернута к той главной оси, относительно которой момент инерции минимален. Компоненты изгибающего момента могут растягивать и сжимать волокна, поэтому в общем виде:

10. Изгиб с растяжением (сжатием)

Расчеты на совместное действие изгиба и растяжения можно свести к следующим двум основным видам:

а) расчеты на действие продольно-поперечных нагрузок;

б) расчеты на внецентренное растяжение (сжатие).

Отдельно должен быть рассмотрен изгиб с растяжением (сжатием) кривого бруса.

Сложный изгиб с растяжением (сжатием) прямого бруса. Если на балку действуют и продольные и поперечные нагрузки, пересекающие ось бруса, то в общем случае (рис. 10.19, а) в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты Мz и Му в двух плоскостях, поперечные силы Qz и Qy, а также продольная сила N (рис. 10.19, б). Таким образом, в этом случае будет сложный изгиб с растяжением или сжатием.

Нормальное напряжение в произвольной точке сечения

(10.54)

Изгибающие моменты, продольную силу и координаты точки, в которой вычисляют напряжения, подставляют сюда с их знаками.

Пренебрегая касательными напряжениями от поперечных сил, можно считать, что напряженное состояние в опасной точке линейно. Следовательно, условие прочности имеет простейший вид:

(10.55)

Если сечение имеет две оси симметрии и выступающие углы, то опасной будет одна из угловых точек. Напряжения в ней определяют по формуле (10.54) или так: (10.56)

В случае плоского изгиба в главной плоскости уОх с растяжением (сжатием) трехчленная формула превращается в двучленную:

(10.57)

Эти формулы применяют при расчете на прочность плоских рам и арок малой кривизны. Опасными в этом случае являются те сечения, где действует наибольший изгибающий момент

При расчете брусьев с поперечным сечением произвольной формы для определения опасной точки сечения необходимо, прежде всего, установить положение нейтральной линии. Способ определения положения нейтральной линии описан ниже при рассмотрении внецентренного растяжения.

Внецентренное растяжение (сжатие) прямого бруса. Внецентренное растяжение (сжатие) представляет собой частный случай сложного изгиба с растяжением (сжатием), при котором брус растягивается силами, параллельными оси бруса, так что их равнодействующая не совпадает с осью бруса (рис. 10.21), а проходит через точку р, называемую полюсом силы.

Рис. 10.21. Внецентренное растяжение (сжатие)

Пусть на брус произвольного сечения действует одна сила F, параллельная оси бруса и пересекающая любое поперечное сечение в точке р (рис. 10.21). Координаты этой точки в системе главных осей сечения обозначим через и , а расстояние этой точки до оси х, называемое эксцентриситетом,— через е. В любом поперечном сечении при такой нагрузке действуют следующие внутренние силовые факторы:

Таким образом, напряжения в произвольной точке сечения будут складываться из напряжений осевого растяжения силой N и напряжений от чистого изгиба моментами и :

(10.59)

Внеся сюда вместо и их значения, получим

(10.60)

Этой формуле можно придать несколько иной вид, выразив главные моменты инерции через радиусы инерции:

(10.61)

Для определения опасной точки при сложном профиле целесообразно построить нейтральную линию сечения. Опасной в сечении будет точка, наиболее удаленная от нейтральной линии.

Уравнение нейтральной линии получим, приравняв к нулю правую часть уравнения (10.61) и обозначив координаты точек на нейтральной линии через и :

(10.62)

Полагая в этом уравнении поочередно и , найдем отрезки и , отсекаемые нейтральной линией на осях у и z (рис. 332):

(10.63)

Из зависимостей (10.63) следует, что нейтральная линия пересекает координатные оси в точках, принадлежащих квадранту, противоположному тому, в котором находится точка р

Теперь, проведя параллельно нейтральной линии касательные к контуру сечения, найдем наиболее напряженные точки A и B в растянутой и сжатой зонах сечения (рис. 10.22).

Рис. 10.22. Эпюра нормальных напряжений

Напряжения в этих точках и условия прочности имеют вид

(10.64)

Здесь zA, уА и -zB, -ув — координаты точек A и B соответственно. Эпюра напряжений приведена на рис. 10.22. Для прямоугольного сечения условие прочности удобнее представить в следующем виде:

(10.65)

Формулы (10.64) и (10.65) справедливы и в случае действия сжимающей силы F, если нет опасности возникновения продольного изгиба.

Нормальные напряжения при изгибе

При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту, а поперечная сила оказывается равной нулю. Этот случай изгиба носит название чистого изгиба. Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.

В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза Бернулли). Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.

Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1) Выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия. 3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии. Изгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил , возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде: (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х

Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения.

Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.

К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол . Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна: , где -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине ,тогда:

Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим: (2) Эта формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Теперь перейдем к напряжениям, т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем закон Гука при осевом растяжении-сжатии: , тогда с учетом формулы (2) имеем (3),т.е. нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь как постоянную величину, тогда имеем . Но выражение — это осевой момент инерции сечения относительно оси х — I_х. Его размерность см 4 , м 4

Тогда ,откуда (4) ,где — это кривизна изогнутой оси балки, а — жесткость сечения балки при изгибе.

Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения: (5)

Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение (6) называют осевым моментом сопротивления сечения. Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Тогда максимальные напряжения: (7)

Условие прочности при изгибе: (8)

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения,т.к. имеется поперечная сила. Касательные напряжения усложняют картину деформирования, они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5). Таким образом ,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.

Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии.

При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х , и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Условие (отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст или с учетом (3) . По тем же соображениям (см. выше) . В подынтегральном выражении — центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у равен нулю, значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр прямом изгибе взаимно перпендикулярны.

Установив положение нейтральной линии, несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М

НЕЙТРАЛЬНЫЙ ТОКОВЫЙ СЛОЙ

— слой тока высокой плотности, имеющий конечную толщину l и разделяющий две плазменные области с противоположно направленными магн. полями; в ценре H. т. с. магн. поле равно нулю. Понятие H. т. с. возникает в гидро-динамич. моделях пересоединения магн. силовых линий, используемых для объяснения, напр., солнечных вспышек (см. также Магнитная гидродинамика). В общем случае токовый слой разделяет магн. поля не обязательно противоположного направления, но магн. поле обязательно тангенциально по отношению к границе, т. е. токовый слой можно рассматривать как тангенциальный разрыв.

Токовые слои могут возникнуть при резком сжатии плазменной области вблизи нейтральной точки и на границе между двумя топологически разл. магн. конфигурациями при их сближении. В отсутствие магн. потока токовый слой расплывается вследствие диффузии со скоростью h/l, где h — коэф. магн. диффузии. В процессе магн. диффузии энергия магн. поля превращается в тепловую за счёт столкновительной или коллективной диссипации. Магн. поле вне токового слоя вморожено в плазму. Если плазма с магн. полем втекает в слой с боков (рис.) со скоростью u i h/l, то слой расширяется; если u i >h/l, то слой становится тоньше.

Пересоединение магнитных силовых линий при их прохождении через нейтральный токовый слой.

Повышенное плазменное давление в центре слоя приводит к истечению вещества от концов слоя с альвеновской скоростью u A . Вместе с веществом выносится и магн. ноток, поэтому в H. т. с. происходит пересоединение магн. поля.

Концы токового слоя разветвляются на две пары ударных волн медленной моды (см. Волны в плазме), к-рые остаются в установившемся потоке стоячими волнами. Наличие этих волн увеличивает скорость пересоединения. H. т. с. подвержен действию тиринг-неустойчивости. Изучение H. т. с. важно, в частности, для объяснения солнечных вспышек и магнитосферных

Лит.: Прист Э. Р., Солнечная магнитогидродинамика, пер. с англ., M., 1985; Основы физики плазмы, под ред. А. А. Га-леева, P. Судана, т. 1-2, M., 1983-84.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

ТОКОВЫЕ СЛОИ

-слои в хорошо проводящей плазме, разделяющие магн. поля разл. направленности. Скачок магн. поля ведёт к возникновению тонкого слоя электрич. тока. В результате происходящего в слое пересоединения магн. силовых линий меняется топология магн. поля, что сопровождается переходом его энергии в тепло, излучение, энергию магнитогидродинамич. течений и ускоренных частиц.

Частным случаем Т. | и продольную B || компоненты магн. поля Т. | и B || — соответственно у- и z-компоненты поля). Др. словами, для образования T. с. достаточно лишь одной пары пересоединяющихся компонент поля, B 0 . Строго говоря, любой T. с. конечной ширины не-нейтра-лен, однако физика процесса пересоединения меняется лишь для достаточно больших значений В | и B || .

Не-нейтральный токовый слой (симметричная половина не показана). V d — скорость втекания плазмы в токовый слой.

Плазма вытекает из слоя с альвеновской скоростью V 0 через эфф. сечение, пропорциональное xb, где x, = В | /В 0 , b — полуширина T. с. Поэтому наличие поперечной компоненты B | >(a/b)B 0 . существенно увеличивает охлаждение слоя тепловыми потоками и потоками плазмы вдоль силовых линий ( а — полутолщина Т. || , совпадающего по направлению с электрич. полем E 0 . Сжатие плазмы внутри слоя сопровождается усилением В || . Это, с одной стороны, препятствует увеличению плотности плазмы, а с другой — приводит к появлению электрич. тожа, циркулирующего в поперечном сечении слоя. В условиях конечной проводимости этот ток диссипирует, приводя к дополнит. джо-улеву нагреву плазмы. Кроме того, продольная компонента удерживает в T. с. быстрые заряж. частицы, способствуя их ускорению электрич. полем.

Свойства T. с. с ненулевыми В | и В || позволяют истолковать магнитосферные суббури, вспышки на Солнце и др. звёздах как процесс быстрого магн. пере соединения. Пересоединение в не-нейтральных T. с. экспериментально проявляется, в частности, в ловушках типа токамак.

Лит.: Кадомцев Б. Б., Перезамыкание магнитных силовых линий, «УФН», 1987, т. 151, с. 3; Проблемы физики солнечных вспышек. M., 1988; Sоmоv В. V. (ed.), Fundamentals of cosmic electrodynamics, Dordrecht-[a. o. ], 1994; см. также лит. при ст. Нейтральный токовый слой, Пересоединение. Ю. Э. Литвиненко.