5. Анализ сложных электрических цепей постоянного тока. Метод законов Кирхгофа
Сложной электрической цепью принято называть разветвленную цепь, содержащую несколько источников, расположенных в разных ветвях. Пример сложной цепи постоянного тока приведен на рис. 22.
Рис. 22. Пример сложной цепи постоянного тока
Истинные направления токов в ветвях сложной электрической цепи, как правило, неизвестны. Поэтому анализ сложной цепи начинается с выбора так называемых положительных направлений токов в ветвях схемы. На схеме положительные направления токов в ветвях обозначают стрелками с символами тока I. Пример выбора условных положительных направлений токов в ветвях схемы показан на рис. 22.
Если в результате анализа цепи получается, что ток в ветви положителен, то истинное направление тока будет совпадать с выбранным положительным направлением тока. Если в результате расчета окажется, что ток в ветви отрицателен, то истинное направление тока противоположно выбранному положительному направлению тока. Т.е. в ходе анализа электрической цепи токи в ветвях рассматриваются как алгебраические величины.
Наиболее общий подход к анализу сложных электрических цепей основан на использовании законов Кирхгофа. С помощью законов Кирхгофа составляется система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных токов. Число неизвестных токов равно числу ветвей схемы. Обозначим это число через m. Следовательно, с помощью законов Кирхгофа необходимо составить систему из mуравнений сmнеизвестными токами.
При составлении уравнений по законам Кирхгофа необходимо придерживаться следующего правила. Если в схеме nузлов, то с помощью первого закона Кирхгофа составляется (n – 1) независимое уравнение. (Уравнение для последнего узла будет зависимым). Оставшиеся [m–(n–1)] уравнения составляются с помощью второго закона Кирхгофа для так называемых независимых контуров.
Независимый контур– это такой контур, при обходе которого появляется хотя бы одна новая ветвь по сравнению с ранее рассмотренными контурами.
В разветвленной цепи число независимых контуров всегда меньше общего количества контуров. Поэтому при выборе независимых контуров имеется определенная свобода выбора. Однако число независимых контуров в схеме всегда регламентировано. Схема рис. 22, например, содержит
[m – (n – 1)] = [6 – (4 – 1)] = 3
В результате составления (n – 1) уравнения по первому закону Кирхгофа и [m – (n – 1)] уравнения по второму закону Кирхгофа образуется система изm уравнений относительно неизвестных токов ветвей. Решение этой системы позволяет определить токи ветвей.
Схема рис. 22 состоит из шести ветвей. Выбранные положительные направления токов в ветвях указаны на схеме стрелками с символами тока I1,I2,I3, I4,I5,I6. Для расчета токов в ветвях этой схемы с помощью законов Кирхгофа необходимо составить систему из шести уравнений.
Схема содержит четыре узла (n = 4). По первому закону Кирхгофа необходимо составить три уравнения. Условимся при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токи, выходящие из рассматриваемого узла, брать со знаком «плюс», а входящие в узел, – со знаком «минус».
В узел авходит токI1, а выходят токи I2 иI3. Тогда для узлаaуравнение первого закона Кирхгофа будет иметь вид
Из узла b выходят токи I1,I4,I6. Уравнение первого закона Кирхгофа для узлаbимеет вид
В узел c входят токи I2и I4, а выходит токI5. Поэтому для узлаcможно записать
Уравнения первого закона Кирхгофа, составленные для узлов а,b,c, включают в себя токи всех шести ветвей рассматриваемой схемы. Суммируя уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для узлова,b,c, получаем следующее уравнение:
Это уравнение отличается от уравнения первого закона Кирхгофа для узла dтолько знаками, а именно:
То есть, уравнение первого закона Кирхгофа для узла dзависимое.
По второму закону Кирхгофа для рассматриваемой схемы необходимо составить три уравнения для трех независимых контуров. В качестве независимых контуров можно рассматривать, например, левый контур, составленный из первой, второй и четвертой ветвей, правый контур, составленный из второй, третьей и пятой ветвей, и нижний контур, составленный из четвертой, пятой и шестой ветвей.
При составлении уравнения второго закона Кирхгофа для каждого независимого контура необходимо придерживаться следующего правила. Если выбранное положительное направление тока в ветви совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения на соответствующем элементе Rв левой части уравнения второго закона Кирхгофа берется со знаком «плюс». Если выбранное положительное направление тока в ветви противоположно направлению обхода контура, то падение напряжения на соответствующем элементеRв левой части уравнения второго закона Кирхгофа берется со знаком «минус». Если направление действия источника ЭДС, указанное на схеме стрелкой, совпадает с направлением обхода контура, то соответствующая ЭДСЕв правой части уравнения второго закона Кирхгофа берется со знаком «плюс». Если направление действия источника ЭДС, указанное на схеме стрелкой, противоположно направлению обхода контура, то соответствующая ЭДСЕв правой части уравнения второго закона Кирхгофа берется со знаком «минус».
Направления обхода независимых контуров на схеме рис. 22 выберем по часовой стрелке. Эти направления обхода указаны на схеме стрелками, замыкающимися вдоль каждого из независимых контуров.
Рассмотрим поочередно каждый из независимых контуров. В левом контуре токи I1 иI2совпадают с направлением обхода контура. Падения напряжений R1I1,R2I2 в левой части уравнения второго закона Кирхгофа для левого контура необходимо взять со знаком «плюс». Ток I4имеет направление, противоположное направлению обхода левого контура. Падение напряжения R4I4в левой части уравнения второго закона Кирхгофа для левого контура необходимо взять со знаком «минус». Направление действия источника ЭДС Е1совпадает с направлением обхода контура. В правой части уравнения второго закона Кирхгофа ЭДСЕ1 необходимо взять со знаком «плюс». Направления действия источников ЭДС Е2иЕ4 противоположны направлению обхода контура. В правой части уравнения второго закона Кирхгофа ЭДСЕ2иЕ4 необходимо взять со знаком «минус». Таким образом, для левого независимого контура справедливо следующее уравнение второго закона Кирхгофа:
Аналогично для правого и нижнего независимых контуров схемы рис. 22 получаем следующие уравнения второго закона Кирхгофа:
При объединении уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа для схемы рис. 22, получается следующая система линейных алгебраических уравнений:
Решение этой системы позволяет найти токи I1,I2,I3, I4,I5,I6. По известным токам можно найти падения напряжений на элементах схемы, мощности и так далее.
Изложенный метод анализа сложных электрических цепей носит название метода законов Кирхгофа. Метод законов Кирхгофа – это наиболее общий подход к анализу электрических цепей.
Для анализа сложных электрических цепей могут использоваться и другие методы, например, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, метод эквивалентного генератора. Эти методы строятся на основе законов Кирхгофа, закона Ома, принципа наложения. Поэтому они справедливы для линейных цепей. Исключение составляет метод эквивалентного генератора, который предполагает, что ветвь с искомым током может быть и нелинейной. Многообразие методов анализа сложных электрических цепей позволяет в каждом конкретном случае выбрать тот метод, который дает наиболее простой алгоритм расчета.
В частности, метод контурных токов и метод узловых потенциалов подобно методу законов Кирхгофа сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений. Однако количество искомых величин, а, следовательно, и порядок систем линейных алгебраических уравнений в этих методах меньше, чем в методе законов Кирхгофа.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений используются известные математические методы. При малом количестве уравнений в системе можно использовать метод определителей (правило Крамера). При достаточно большом количестве уравнений в системе целесообразно использовать метод последовательного исключения неизвестных Гаусса с выбором главного элемента или итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, например, метод Зейделя.
Проверку правильности полученного решения можно выполнить путем подстановки найденных значений токов ветвей в систему уравнений, составленную по законам Кирхгофа, или путем составления баланса мощностей (смотри ниже).
Рассмотрим поочередно основные методы анализа электрических цепей. Но предварительно рассмотрим общий вопрос, касающийся геометрической структуры электрических цепей.
Топологии цепи — основные понятия
Электрическая цепь — это совокупность устройств (элементов) и соединяющих их проводников, по которым может протекать электрический ток. Все элементы электрических цепей делят на пассивные и активные.
Активные элементы преобразуют различные виды энергии (механическую, химическую, световую и т.д.) в электрическую. На пассивных элементах электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии. Активные элементы называют источниками, пассивные — потребителями или приемниками.
В теории цепей рассматриваются идеализированные модели электрических элементов. Это позволяет сделать описание элементов максимально простым. Более сложные, реальные элементы моделируются совокупностью идеализированных элементов.
Основными пассивными элементами электрических цепей являются резистор (резистивный элемент), катушка индуктивности (индуктивный элемент) и конденсатор (емкостный элемент). Элементы устанавливаются в электрическую цепь для формирования напряжения и тока заданной величины и формы (смотрите — Электрическая цепть и ее элементы).
Электрическая цепь состоит из ветвей и узлов. Ветвь — это участок электрической цепи (схемы), по которому течет один и тот же ток. Узел — соединение трех и более ветвей. На электрической схеме узел обозначается точкой (рис. 1).
Рис. 1. Обозначение узла на схеме
При необходимости на схеме узлы нумеруются слева направо сверху вниз.
На рис. 2 изображена резистивно-емкостная ветвь, в которой протекает ток iС.
Рис. 2. Резистивно-емкостная ветвь
Можно дать еще одно определение ветви — это участок цепи между двумя смежными узлами (узлы (1) и (2) на рис. 2).
Контур — это любой замкнутый путь на электрической схеме. Контур может замыкаться через любые ветви, включая условные ветви, сопротивление которых равно бесконечности.
На рис. 3 изображена разветвленная электрическая цепь, которая состоит из трех ветвей.
Рис. 3. Двухконтурная электрическая цепь
На схеме обозначены три контура, причем контур I замыкается через ветвь с бесконечным сопротивлением. Это ветвь обозначена как напряжение uLC .
Для схемы на рис. 3 можно составить множество контуров, замыкающихся через реальные или условные ветви, однако для расчета электрических испей используют понятие «независимый контур». Число независимых контуров схемы всегда определено как минимально необходимое для расчета.
Независимые контуры всегда замыкаются но ветвям, имеющим сопротивление, не равное бесконечности и каждый независимый контур включает в себя хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры. Для сложных электрических цепей определить число независимых контуров можно, использую граф схемы.
Графом электрической цепи называется условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии. Элементы в ветвях не изображаются. Например, на рис. 4 изображены разветвленная электрическая цепь и ее граф.
Рис. 4. Разветвленная электрическая цепь: а — схема цепи, б — граф схемы
Для составления графа схемы нужно соединить узлы линиями ветвей без указания на них элементов. Ветви нумеруются, а направления токов на них указываются стрелками. Сам граф не имеет никакого физического смысла, однако с его помощью можно определить число и вид независимых контуров. Для этого составляется «дерево графа».
Дерево графа — это граф схемы, на котором узлы соединены ветвями таким образом, чтобы не получилось ни одного замкнутою контура. Вариантов изображения дерева графа может быть несколько. На рис. 5 изображены два возможных вариантадля схемы рис. 4.
Рис. 5. Дерево графа схемы
Число отсутствующих ветвей на дереве графа равно числу независимых контуров схемы. В примере — это три ветви, три независимых контура. Конфигурацию независимых контуров можно получить, последовательно соединяя узлы дерева графа ветвями, не обозначенными на дереве графа. Например, для дерева графа рис. 5, а независимые контуры изображены на рис. 6.
Рис. 6. Определение независимых контуров по дереву графа
Выбор варианта конфигурации независимых контуров для расчета цепи осуществляется при анализе схемы. Выбрать нужно такие контуры, чтобы расчет получился максимально простым, т.е. число зависимых уравнений в системе было минимальным.
Топологические уравнения устанавливают связь между напряжениями и токами цепи, причем число и вид уравнений не зависит от того, какие элементы входят в состав ветвей. К топологическим уравнениям относятся уравнения, составленные по законам Кирхгофа.
Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
Основы теории цепей постоянного и переменного токов: Учебное пособие для самостоятельной работы студентов , страница 7
1. Выбираются направления токов ветвей. Число токов равно числу ветвей схемы. Токи ветвей с источниками тока известны (см. п. 2.7.1, рис.2.13).
2. Записываются уравнения по первому закону Кирхгофа. Их число на единицу меньше числа узлов схемы.
3. Выбираются независимые контуры и направления их обхода.
4. Записываются уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, при этом уравнения для контуров, включающих источники тока, не составляются. Независимым считается такой контур, который от любого соседнего отличается хотя бы одной ветвью.
5. В результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, определяются токи ветвей.
2.2. Метод контурных токов
В этом методе за неизвестные принимают токи независимых контуров (контурные токи), а токи ветвей выражают через контурные.
Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 2.3, в которой известны ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.
Рис. 2.3. Схема электрической цепи с контурными токами
Сначала выбираются независимые контуры и направления их обхода. Допустим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток, совпадающий с направлением обхода – I11, I22, I33. Выберем направления токов ветвей и составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных контуров (для контура с источником тока уравнение не составляется, так как ):
Выразим токи ветвей через контурные
и подставим в систему (2.1):
После группировки получим:
В конечном итоге получим систему уравнений:
где R11, R22 – собственные сопротивления контуров 1 и 2, каждое из которых равно сумме сопротивлений, входящих в данный контур;
R12 = R21, R13, R23 – общие или взаимные сопротивления контуров. Общее сопротивление равно сопротивлению ветви, общей для рассматриваемых контуров. Общие сопротивления берутся со знаком «плюс», если контурные токи в них направлены одинаково и со знаком «минус», если контурные токи направлены встречно. Если контуры не имеют общей ветви, то их общее сопротивление равно нулю. В рассматриваемом примере R13 = 0;
Е11, Е22 – контурные ЭДС, каждая из которых равна алгебраической сумме ЭДС данного контура. ЭДС берется со знаком «плюс», если ее направление совпадает с направлением контурного тока, если не совпадает – со знаком «минус».
Структура уравнений (2.2), использующая понятия собственных и взаимных сопротивлений контуров, а также контурных ЭДС, является общей для метода контурных токов. В зависимости от сложности исследуемой цепи изменяется лишь количество уравнений.
2.2.1. Последовательность определения токов ветвей методом
контурных токов
1. Выбираются независимые контуры и направления контурных токов.
2. Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений равно числу независимых контуров схемы минус число контуров, содержащих источники тока. Количество слагаемых в левой части уравнения равно числу независимых контуров.
3. Определяются коэффициенты при неизвестных – собственные и общие сопротивления контуров, а также контурные ЭДС. Если общей ветвью контуров является источник ЭДС без сопротивления, то общее сопротивление этих контуров равно нулю.
4. Рассчитываются контурные токи.
5. Выбираются направления токов ветвей.
6. Определяются токи ветвей.
2.3. Метод узловых потенциалов
В этом методе за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы.
Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 2.4, в которой известны ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.
Рис. 2.4. Электрическая схема для метода узловых потенциалов
В этой схеме два неизвестных потенциала и , поскольку , , , потенциал одного из узлов, в данном случае , принимается равным нулю, что на схеме обозначают заземлением узла 3 ().
Основы электротехники и электроники: Курс лекций , страница 3
При свертке параллельных ветвей эквивалентное сопротивление всегда меньше наименьшего из сворачиваемых.
Если параллельно соединены n одинаковых сопротивлений (Рис. 3.3), эквивалентное сопротивление в n раз меньше сопротивления любой из ветвей.
Если на участке цепи параллельно соединены лишь два элемента (Рис. 3.4), выражение (3.2) упрощается. В этом случае эквивалентное сопротивление можно определить как отношение произведения двух сопротивлений к их сумме:
4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
К основным законам электрических цепей относятся закон Ома и законы Кирхгофа.
Закон Ома
Если в ветви не содержится ЭДС, к ней применим уже известный закон Ома для пассивного участка цепи (1.1). Его можно сформулировать и следующим образом. Ток в ветви, не содержащей ЭДС, равен падению напряжения в ветви, деленному на сопротивление ветви (Рис. 4.1):
Закон Ома для ветви, содержащей ЭДС, позволяет найти ток этой ветви по известной разности потенциалов на концах ветви. Ток в ветви, содержащей ЭДС, равен дроби, знаменатель которой – это сопротивление ветви. В числителе дроби – напряжение на концах ветви плюс алгебраическая сумма ЭДС, заключенных между концами ветви. С плюсом берутся напряжения и ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, с минусом – противоположные.
В частности, ток в ветви, изображенной на Рис. 4.2, равен:
Первый закон Кирхгофа
В любом узле цепи алгебраическая сумма токов равна нулю. При этом, токи, направленные к узлу, принято считать положительными, токи, направленные от узла, принято считать отрицательными (Рис. 4.3).
По первому закону Кирхгофа можно написать столько уравнений, сколько узлов содержит схема. Но не все они будут независимыми. Если схема содержит узлов, независимыми будут уравнений. Оставшееся уравнение будет являться следствием всех предыдущих.
Второй закон Кирхгофа
В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма напряжений равна алгебраической сумме ЭДС, включенных в контур.
При этом, положительными считаются те напряжения и ЭДС, которые совпадают с направлением обхода контура, отрицательными считаются напряжения и ЭДС, которые противоположны направлению обхода контура. Направление обхода контура можно выбирать произвольно.
Алгоритм составления уравнения по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура цепи
Для заданного контура (Рис. 4.4 а) уравнение по второму закону Кирхгофа составляется в следующем порядке:
- Задается направление токов в ветвях (Рис. 4.4 б).
- Выбирается направление обхода контура (Рис. 4.4 в).
- Записывается уравнение, в левой части которого – сумма падений напряжений на сопротивлениях ветвей. В правой части – сумма ЭДС контура.
Примечание: Падение напряжения на сопротивлении ветви записывается в соответствии с известным уже законом Ома (1.1):
Применение второго закона Кирхгофа для незамкнутого участка цепи
Второй закон Кирхгофа справедлив только для замкнутого контура. При этом, любой незамкнутый участок цепи можно дополнить до замкнутого контура с помощью напряжения в разрыве незамкнутого участка.
Незамкнутый участок цепи abcd изображен на Рис. 4.5 а.
Дополняем участок до замкнутого контура, добавляя напряжение между незамкнутыми точками c и d (Рис. 4.5 б). Теперь для контура abcd можно записать второй закон Корхгофа:
Применение законов Кирхгофа при наличии в цепи источника тока
Источник тока имеет бесконечно большое сопротивление, поэтому не образует замкнутого контура и не может входить в уравнения второго закона Кирхгофа. Однако, в уравнениях первого закона Кирхгофа источник тока должен содержаться обязательно.
При необходимости записать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, содержащего источник тока, его заменяют напряжением на выводах источника тока.
Написать уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a и уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abcd (Рис. 4.6 а).
Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a содержит источник тока и имеет вид:
Для того чтобы написать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abcd, заменяем источник тока напряжением на его выводах (Рис. 4.6 б), задаем направление обхода контура против часовой стрелки и получаем:
Для упрощения расчетов источник тока с параллельным сопротивлением можно заменить на эквивалентный источник ЭДС (Рис. 4.7). После расчета необходимо обязательно вернуться к исходной схеме.
Независимый контур цепи
В принципе, по второму закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько контуров содержит цепь. Но не все эти уравнения будут независимыми. Для определения независимости уравнений по второму закону Кирхгофа вводится такое понятие как независимый контур цепи.
Независимый контур цепи – это такой контур, который содержит хотя бы одну новую ветвь, не вошедшую в другие контуры цепи.
Независимые контуры в общем случае выбираются произвольно, но проще всего выбирать их так, чтобы они совпадали с ячейками цепи (Рис. 4.8 б).
Если схема содержит ветвей и узлов, число независимых контуров равно
Схема на Рис. 4.8 б содержит три независимых контура.
5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА ДЛЯ РАСЧЕТА ТОКОВ ЦЕПИ
Законы Кирхгофа можно использовать для расчета токов в ветвях цепи. Главное требование при этом – получение системы независимых уравнений, в которой число неизвестных равно количеству токов, подлежащих определению.
Алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа