Что такое механическая волна

Лекции по физике / 4.2.Механические волны

Распространяющиеся в пространстве колебания вещества или поля называются волной. Колебания вещества порождают упругие волны (частный случай – звук).

Механическая волна – это распространение колебаний частиц среды с течением времени.

Волны в сплошной среде распространяются вследствие взаимодействия между частицами. Если какая-либо частица приходит в колебательное движение, то, вследствие упругой связи, это движение передается соседним частицам, и волна распространяется. При этом сами колеблющиеся частицы не перемещаются вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия.

Продольные волны – это такие волны, в которых направление колебаний частиц x совпадает с направлением распространения волны . Продольные волны распространяются в газах, жидкостях и твердых телах.

Поперечные волны – это такие волны, в которых направление колебаний частиц перпендикулярно направлению распространения волны . Поперечные волны распространяются только в твердых средах.

Волны обладают двоякой периодичностью – во времени и в пространстве. Периодичность во времени означает, что каждая частица среды колеблется около своего положения равновесия, и это движение повторяется с периодом колебаний T. Периодичность в пространстве означает, что колебательное движение частиц среды повторяется через определенные расстояния между ними.

Периодичность волнового процесса в пространстве характеризует величина, называемая длиной волны и обозначаемая .

Длина волны — это расстояние, на которое распространяется волна в среде за время одного периода колебаний частицы .

Отсюда , где — период колебаний частиц, — частота колебаний, — скорость распространения волны, зависящая от свойств среды.

Как записать уравнение волны? Пусть кусочек шнура расположенный в точке О (источник волны) совершает колебания, происходящие по закону косинуса

.

Пусть точка некоторая В находится на расстоянии х от источника (точки О). для того чтобы волна, распространяющаяся со скоростью v, дошла до нее требуется время . Это означает, что в точке В колебания начнутся позже на . То есть . После подстановки в это уравнение выражения для и ряда математических преобразований, получим

, . Введем обозначение: . Тогда . В силу произвольности выбора точки В это уравнение и будет искомым уравнением плоской волны .

Выражение, стоящее под знаком косинуса называется фазой волны .

Если две точки находятся на различных расстояниях от источника волны, то фазы их будут различны. Например, фазы точек В и С, находящихся на расстояниях и от источника волны, будут соответственно равны

Разность фаз колебаний, происходящих в точке В и в точке С обозначим и она будет равна

.

В таких случаях говорят, что между колебаниями, происходящими в точках В и С имеется сдвиг по фазе Δφ. Говорят, что колебания в точках В и С происходят в фазе, если . Если , то колебания в точках В и С происходят в противофазе. Во всех остальных случаях – просто имеется сдвиг по фазе.

Понятие «длина волны» можно определить и иначе:

• длина волны — это минимальное расстояние между частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе
• расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в фазе, называется длиной волны .

. Поэтому k называют волновым числом. Мы ввели обозначение и показали, что . Тогда . Длина волны – это путь, проходимый волной за один период колебания. Определим два важных в волновой теории понятия. Волновая поверхность – это геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновую поверхность можно провести через любую точку среды, следовательно, их бесконечно много. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей (если источник волн – бесконечная плоскость), параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер (если источник волн точечный). Фронт волны (волновой фронт) – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени . Фронт волны отделяет часть пространства, вовлеченную в волновой процесс, от области, где колебания еще не возникли. Следовательно, волновой фронт – это одна из волновых поверхностей. Он разделяет две области: 1 – до которой дошла волна к моменту времени t, 2 – не дошла. Волновой фронт в каждый момент времени только один, и он все время перемещается, тогда как волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Плоская волна – это такая волна, у которой волновые поверхности (и фронт волны) являются параллельными плоскостями. Сферическая волна – это такая волна, у которой волновые поверхности являются концентрическими сферами. Уравнение сферической волны: . Каждая точка среды, до которой дошли две или более волн, будет принимать участие в колебаниях, вызванных каждой волной в отдельности. А каким будет результирующее колебание? Это зависит от ряда факторов, в частности от свойств среды. Если свойства среды не изменяются из-за процесса распространения волн, то среда называется линейной. Опыт показывает, что в линейной среде волны распространяются независимо друг от друга. Мы будем рассматривать волны только в линейных средах. А каким будет колебание точки, до которой дошли две волны одновременно? Для ответа на этот вопрос необходимо понять как найти амплитуду и фазу колебания, вызванного этим двойным воздействием. Для определения амплитуды и фазы результирующего колебания необходимо найти смещения, вызванные каждой волной, а затем их сложить. Как? Геометрически! Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Важным понятием волновой теории является понятие когерентность – согласованное протекание во времени и в пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Если разность фаз волн, приходящих в точку наблюдения не зависит от времени, то такие волны называются когерентными. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. Рассмотрим, каким будет результат сложения двух когерентных волн, приходящих в некоторую точку пространства (точку наблюдения) В. Для того, чтобы упростить математические расчеты будем считать, что волны, которые излучаются источниками S₁ и S₂ имеют одинаковую амплитуду и начальные фазы равные нулю. В точке наблюдения (в точке В) волны, приходящие от источников S₁ и S₂ будут вызывать колебания частиц среды: и . Результирующее колебание в точке В найдем как сумму . Обычно амплитуду и фазу результирующего колебания, возникающего в точке наблюдения, находят с помощью метода векторных диаграмм, представляя каждое колебание в виде вектора, вращающегося с угловой скоростью ω. Длина вектора равна амплитуде колебания. Первоначально этот вектор образует с выбранным направлением угол равный начальной фазе колебаний. Тогда амплитуда результирующего колебания определяется по формуле . Для нашего случая сложения двух колебаний с амплитудами , и фазами , . Следовательно, амплитуда колебаний, возникающих в точке В, зависит от того, какова разность путей , проходимых каждой волной в отдельности от источника до точки наблюдения ( – разность хода волн, приходящих в точку наблюдения). Интерференционные минимумы или максимумы могут наблюдаться в тех точках, для которых . А это уравнение гиперболы с фокусами в точках S₁ и S₂. В тех точках пространства, для которых , амплитуда возникающих колебаний будет максимальна и равна . Так как , то амплитуда колебаний будет максимальна в тех точках, для которых . в тех точках пространства, для которых , амплитуда возникающих колебаний будет минимальна и равна . амплитуда колебаний будет минимальна в тех точках, для которых . Явление перераспределения энергии, возникающее в результате сложения конечного числа когерентных волн, называется интерференцией. Явление огибания волнами препятствий называется дифракцией. Иногда дифракцией называют любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики (если размеры препятствий соизмеримы с длиной волны). Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т.д. Как объяснить попадание волн в область геометрической тени? Объяснить явление дифракции можно с помощью принципа Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, является источником вторичных волн (в однородной среде сферических), а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени. Вставка из интерференции света посмотреть что может пригодитьсяВолной называется процесс распространения колебаний в пространстве. Волновая поверхность — это геометрическое место точек, в которых колебания совершаются в одинаковой фазе. Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых волна доходит к определенному моменту времени t. Фронт волны отделяет часть пространства, вовлеченную в волновой процесс, от той области, где колебания еще не возникли. Для точечного источника фронт волны представляет собой сферическую поверхность с центром в точке расположения источника S. 1, 2, 3 — волновые поверхности; 1 — фронт волны. Уравнение сферической волны, распространяющейся вдоль луча, исходящего от источника: . Здесь — скорость распространения волны, — длина волны; А — амплитуда колебаний; — круговая (циклическая) частота колебаний; — смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии r от точечного источника, в момент времени t. Плоская волна — это волна с плоским волновым фронтом. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси y: , где x — смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии y от источника, в момент времени t. 9

Механические волны

Когда в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды происходит возбуждение колебаний частиц, результатом взаимодействия атомов и молекул среды становится передача колебаний от одной точки к другой с конечной скоростью.

Если в указанной модели твердого тела один или несколько шариков получают смещение перпендикулярно всей цепочке, можно говорить о возникновении деформации сдвига. Пружины, получившие деформацию в результате смещения, будут стремиться вернуть смещенные частицы в положение равновесия, а на ближайшие несмещенные частицы начнет оказываться влияние упругих сил, стремящихся отклонить эти частицы от положения равновесия. Итогом станет возникновение поперечной волны в направлении вдоль цепочки.

В жидкой или газообразной среде упругая деформация сдвига не возникает. Смещение одного слоя жидкости или газа на некоторое расстояние относительно соседнего слоя не приведет к появлению касательных сил на границе между слоями. Силы, которые оказывают воздействие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. Аналогично можно сказать и о газообразной среде.

С течением времени t происходит изменение координаты x любой точки на графике, отображающем волновой процесс (к примеру, точка А на рисунке 2 . 6 . 4 ), при этом значение выражения ω t – k x остается неизменным. Спустя время Δ t точка А переместится по оси O X на некоторое расстояние Δ x = υ Δ t . Таким образом:

ω t — k x = ω ( t + ∆ t ) — k ( x + ∆ x ) = c o n s t или ω ∆ t = k ∆ x .

Из указанного выражения следует:

υ = ∆ x ∆ t = ω k или k = 2 π λ = ω υ .

Становится очевидно, что бегущая синусоидальная волна имеет двойную периодичность – во времени и пространстве. Временной период является равным периоду колебаний T частиц среды, а пространственный период равен длине волны λ .

Если следовать данным определениям, для возникновения стоячей волны оба зафиксированных конца струны должны являться узлами. Указанная ранее формула отвечает этому условию на левом конце ( x = 0 ) . Чтобы условие было выполнено и на правом конце ( x = L ) , необходимо чтобы k L = n π , где n является любым целым числом. Из сказанного можно сделать вывод, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а только тогда, когда длина L струны равна целому числу длин полуволн:

l = n λ n 2 или λ n = 2 l n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) .

Набору значений λ n длин волн соответствует набор возможных частот f

f n = υ λ n = n υ 2 l = n f 1 .

В этой записи υ = T μ есть скорость, с которой распространяются поперечные волны по струне.

Каждая из частот f n и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f 1 носит название основной частоты, все прочие ( f 2 , f 3 , … ) называются гармониками.

Рисунок 2 . 6 . 6 иллюстрирует нормальную моду для n = 2 .

Стоячая волна не обладает потоком энергии. Энергия колебаний, «запертая» в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в остальные части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T ) преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно, подобно обычной колебательной системе. Однако, здесь имеется различие: если груз на пружине или маятник имеют единственную собственную частоту f 0 = ω 0 2 π , то струна характеризуется наличием бесконечного числа собственных (резонансных) частот f n . На рисунке 2 . 6 . 7 показано несколько вариантов стоячих волн в струне, зафиксированной на обоих концах.

Рисунок 2 . 6 . 7 . Первые пять нормальных мод колебаний струны, зафиксированной на обоих концах.

Согласно принципу суперпозиции стоячие волны различных видов (с разными значениями n ) способны одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Рисунок 2 . 6 . 8 . Модель нормальных мод струны.

19. Механические (упругие) волны. Основные характеристики волн. Уравнение плоской волны. Поток энергии и интенсивность волны. Вектор Умова.

Механической волной называют механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию. Различают два основных вида механических волн: упругие волны (распространение упругих деформаций) и волны на поверхности жидкости. Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с конечной скоростью.

Пусть волна распространяется вдоль оси ОХ без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек одинаковы и равны. Пусть в источнике волн изменения колеблющейся системы происходят по закону:

До точки с некоторой произвольной координатой х возмуще­ние от начала координат дойдет через время τ(знак с формулы), поэтому колебания этой точки запаздывают

Т.к время и скорость связаны зависимостью ,

,то получаем :

Это и есть уравнение плоской волны

Основные характеристики волн:

• Частота волны– частота колебаний точек среды, в которой распространяется волна.
• Фронт волны– геометрическое место точек, до которых к данному моменту дошло колебание (возмущение среды).
• Скорость волны (v) – скорость перемещения её фронта.
• Длина волны– расстояние, на которое перемещается её фронт за время, равное периоду колебаний частиц среды.

Колеблющийся источник волн обладает энергией. В процессе распространения волны каждая частица среды, до которой доходит волна, также колеблется и имеет энергию. Выделим некоторый объем V упругой среды, в которой распространяется волна с амплитудой A и циклической частотой ω. В этом объеме имеется средняя энергия гдеm— масса выделенного объема среды.Средняя плотностьэнергии волныесть энергия волны, сосредоточенная в единице объема среды:где ρ — плотность среды. Интенсивностью волныIназывается величина, равная энергии, которую в среднем переносит волна за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волны:где ʋ— скорость распространения волны. В векторной форме называется вектором Умова

20. Внутреннее трение (вязкость жидкости). Формула Ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Формула Гагена-Пуазейля.

В реальной жидкости вследствие взаимного притяжения и теплового движения молекул имеет место внутреннее трение, или вязкость. Ньютон установил, что сила Fтр внутреннего трения между двумя слоями жидкости, движущимися с различными скоростями зависит от природы жидкости и пропорциональная площади S соприкасающихся слоёв и градиенту скорости dv/dx между ними: где η – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости или просто вязкостью жидкости и зависящий от её природы. Жидкость, которая подчиняется уравнению Ньютона называют ньютоновской. У большинства жидкостей (вода, низкомолекулярные органические соединения, расплавленные металлы и их соли и др.) коэффициент вязкости зависит только отприроды жидкости и температуры(с повышением температуры коэффициент вязкости понижа­ется). Такие жидкости называются ньютоновскими.а их вязкость нормальной У некоторых жидкостей, преимущественно высокомолекулярных (например, растворы полимеров) или представляющих дисперсные системы (суспензии и эмульсии), коэффициент вязкости зависит также от режима течения — давления и градиента скорости.Такие жидкости называют неньютоновскими,а их вязкость аномальной .Например,кровь В жидкости течение может быть ламинарным или турбулентным. Ламинарное (слоистое) течение – течение, при котором слои жидкости текут, не перемешиваясь, скользя друг относительно друга. Распределение скоростей имеет параболический характер: Турбулентное течение – течение, при котором скорости частиц жидкости в каждой точке беспорядочно меняются. Такое движение сопровождается появлением звука. Турбулентное течение – это хаотическое, крайне нерегулярное, неупорядоченное течение жидкости. Скорость V_кр перехода ламинарного течения в турбулентное определяется числом Рейнольдса Re:

Количество жидкости Q, протекающее через поперечное сечение в единицу времени равно Q = vср S, где S=πR2. Следовательно Формула Гагена-Пуазейля. Или _______________________ –Гидравлическое сопротивление.

Механические волны

Многие колебательные процессы в Природе сопровождаются распространением волн. Рассмотрим подробнее особенности одного из видов волн – механических.

Механическая волна и ее возникновение

Механическая волна – это процесс распространения возмущений в материальной среде (чаще всего в каком-то веществе).

Для возникновения волны необходимо начальное воздействие, при котором колебания (свободные или вынужденные) возникают только в одной или нескольких «начальных» материальных точках среды.

В материальной среде все точки связаны друг с другом, поэтому колебательные движения начальных точек будут влиять на соседние точки, и воздействие будет периодическим, в соответствии с исходными колебаниями. В результате и соседние точки также придут в колебательное движение.

Далее, соседние точки начнут воздействовать (и опять, периодически) на более дальних соседей, и так колебательное воздействие будет распространяться по всем точкам среды. А поскольку воздействие распространяется с какой-то задержкой, то в среде будут точки, которые только начнут движение «вперед», в то время, как начальная точка уже может двигаться «назад», то есть, колебательный процесс «отрывается» от его источника, и распространяется в среде.

Такой процесс называется «волной».

Условия распространения волн

Из описания процесса возникновения волны можно вывести условия, необходимые для ее возникновения. Это:

• Наличие источника колебаний.
• Наличие упругой среды без разрывов.

Источник колебаний может быть как внешним (воздействие со стороны тела, не связанного со средой), так и внутренним (изменения упругих свойств самой среды за счет изменения внутренней энергии).

Упругость среды обеспечивает «связь» соседних точек среды. Именно за счет сил упругости колебательный процесс одних точек передается соседним точкам. Отсутствие разрывов также важное условие – в месте разрыва невозможна передача воздействия, волна здесь распространяться не будет.

Виды и характеристики механических волн

Механические волны делятся на два вида – продольные и поперечные, в зависимости от ориентации колебаний отдельных частиц. Так, колебания частиц воды при возникновении волн возникают в вертикальной плоскости. При этом волна распространяется горизонтально. Такая волна называется поперечной. Продольная волна – это, например, волна колебаний в длинной пружине. Если одна часть пружины совершает частые мелкие колебания, то эти колебания доходят до другой части в результате волнового процесса, который будет продольным. Продольными также являются звуковые волны. Звук – это распространяющиеся продольные уплотнения воздуха или другой среды.

Формула механических волн может быть достаточно сложной, однако, волна любого вида может быть представлена в виде бесконечной суммы простейших волн, описываемых законом синуса, называемых гармоническими:

Характеристики гармонической волны включают параметр $A$ – амплитуду, параметр $\omega$ – частоту параметр $\varphi$ – фазу.

Что мы узнали?

Механические волны – это процесс распространения возмущений в материальной среде. Механические волны бывает продольными и поперечными. Любая волна может быть представлена в виде суммы простейших гармонических составляющих.