Какие площади и какие напряжения называют главными

Главные площадки и главные напряжения

Выражение (2) представляет собой квадратичную форму относительно направляющих косинусов. Из линейной алгебры известно, что невырожденная квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду, т.е. такому виду, когда члены с произведениями координат отсутствуют. Для нашего случая это будет означать, что существуют такие площадки, для которых коэффициенты при произведениях направляющих косинусов равны нулю:

Определение. Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по ним, — главными напряжениями.

Найдем главные напряжения. Допустим, что главная площадка существует и ее внешняя нормаль .

Главное напряжение по этой площадке Спроектируемна координатные оси:

Подставим это в (1) и после несложных преобразований получим

(3)

Система (3) линейна и однородна относительно направляющих косинусов. Тривиальное решение невозможно ввиду известного соотношения

Тогда для существования решения, отличного от тривиального, определитель системы (3) должен быть равен нулю:

Раскрывая определитель, получим кубическое уравнение относительно которое есть не что иное, как характеристический многочлен матрицы, составленной из компонентов тензора напряжений, а главные напряжения есть не что иное, как собственные значения этой матрицы. Характеристический многочлен выглядит так:

(4)

Коэффициенты уравнения (4) являются инвариантами напряженного состояния, т.е. скалярными величинами, независящими от выбора тех исходных трех взаимно перпендикулярных площадок, от которых мы отправляемся искать главные напряжения, они определяются следующим образом:

— квадратичный инвариант, равный сумме миноров элементов, стоящих на главной диагонали;

— кубический инвариант, равный определителю матрицы, составленной из компонентов тензора напряжений. Уравнение (4) имеет три действительных корня (симметричная матрица имеет только действительные собственные значения).

Корни упорядочиваются следующим образом:

где — наибольшее в данной точке напряжение, а— наименьшее.

После вычисления главных напряжений можно проверить найденные значения:

Экстремальные касательные напряжения возникают по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом Наибольшее из них равно(5)

Классификация напряженных состояний

В зависимости от числа ненулевых главных напряжений напряженные состояния классифицируются следующим образом:

1. Трехосные или объемные напряженные состояния — случай, когда ни одно из главных напряжений не равно нулю. Определение главных напряжений при трехосном напряженном состоянии подробно рассмотрено в предыдущем пункте.

2. Напряженное состояние называется двухосным или плоским, если только два главных напряжения отличны от нуля. В этом случае кубический инвариант равен нулю. Находим главные напряжения:

Одно из главных напряжений равно нулю, а два других определяются из решения приведенного выше квадратного уравнения. Если напряженное состояние задано напряжениями по площадкам, одна из которых, например, с внешней нормалью является той главной площадкой, по которой главное напряжение равно нулю, то тензор напряжений принимает вид

Инварианты напряженного состояния примут вид

Подставляя это в выражение для главных напряжений, получим формулу

(6)

Данная формула применима не только в случае плоского напряженного состояния, но и в случае трехосного напряженного состояния, когда известно положение одной из главных площадок. В этом случае по этой формуле определяются два других главных напряжения.

3. Если кубический и квадратичныйинварианты одновременноравны нулю, то лишь одно главное напряжение отлично от нуля. Оно называется одноосным или линейным и возникает, например, при растяжении и сжатии при чистом изгибе.

Помимо приведенной выше классификации, возможна классификация, основанная на знаках главных напряжений:

1. Трехосные растяжения, когда ни одно из главных напряжений не является сжимающим.

2. Трехосные сжатия, когда ни одно из главных напряжений не является растягивающим.

3. Смешанные напряженные состояния, когда иимеют разные знаки.

4.3. Главные площадки. Главные напряжения

. (4.8)

Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. Главные напряжения являются экстремальными, т.е. одно главное напряжение имеет наибольшее, другое – наименьшее из возможных значений нормальных напряжений на множестве площадок, проходящих через исследуемую точку.

Определяются главные напряжения по формулам (4.5) и (4.6), где вместо угла  подставляется угол наклона главных площадок ₀.

Вместо формул (4.5) и (4.6) главные напряжения могут определяться по формуле

. (4.9)

Знаки в формуле (4.9) расставляются таким образом, чтобы удовлетворялись условия: если _x > _y, то _гл I >_гл II , и наоборот.

При изучении плоского напряженного состояния в точке обычно рассматриваются две задачи:

1. По известным напряжениям на главных площадках требуется определить нормальные и касательные напряжения на произвольных площадках. В этом случае для определения напряжений пользуются формулами (4.3), (4.5) и (4.6), в которых вместо _х и _у подставляются главные напряжения. Например, известны главные напряжения, действующие по граням элемента ₁ и ₂ (рис. 4.5). Требуется найти нормальные и касательные напряжения на двух наклонных площадках:

(4.10)

;

. (4.11)

2. По известным нормальным и касательным напряжениям на произвольных взаимно перпендикулярных площадках необходимо определить главные напряжения и положение главных площадок. Задача решается с помощью формул (4.8) и (4.9). Пример задачи дан на рис. 4.6. Полагаем, что в задачах _х  _у.

Наибольшие и наименьшие касательные напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45 к главным площадкам. Они вычисляются по формуле

(4.12)

Если по граням элемента действуют не главные, а нормальные и касательные напряжения, то экстремальные касательные напряжения определяются по формуле

(4.13)

На площадках с максимальным касательным напряжением нормальные напряжения определяются по формуле

. (4.14)

4.4. Объемное напряженное состояние

4.4.1. Определение максимальных касательных напряжений

При объемном напряженном состоянии по граням элементарного параллелепипеда действуют все три главных напряжения – ₁, ₂, ₃.

Рассмотрим вычисление максимальных касательных напряжений, возникающих на площадках, параллельных действию главных напряжений. Так как на площадке, параллельной главному напряжению₃ (рис. 4.7), нормальные и касательные напряжения целиком определяются величинами ₁ и ₂, максимальное касательное напряжение согласно формуле (4.12) будет равно

. (4.15)

На площадке, параллельной напряжению ₂,

. (4.16)

На площадке, параллельной главному напряжению ₁,

. (4.17)

Наибольшее касательное напряжение действует по площадке, перпендикулярной второй главной площадке, наклоненной к двум другим главным площадкам под углом 45, и равно

4.4.2. Деформации при объемном напряженном состоянии

Рассмотрим деформацию бесконечно малого элемента с размерами реберdx, dy, dz (рис. 4.8). По граням параллелепипеда действуют главные напряжения ₁, ₂, ₃. Вследствие деформации длины ребер элемента становятся равными dx + dx, dy + dy, dz + dz.

Величины называются относительными удлинениями в направлении главных напряжений, или главными линейными деформациями.

Зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае трехосного напряженного состояния выражается обобщенным законом Гука:

(4.18)

Из формул (4.18) легко можно получить закон Гука для плоского напряженного состояния как частного случая объемно-напряженного состояния.

Объемная деформация. При упругой деформации тела изменяется его объем. Относительное изменение объема определяется по формуле

(4.19)

Здесь V₀ – объем элемента до деформации, V₁ – объем элемента в деформированном состоянии. Выразив главные удлинения через главные напряжения при помощи формул (4.18), получим

. (4.20)

1.3 Главные напряжения и главные площадки

Главными нормальными напряжениями называются такие напряжения, которые действуют на площадках элементарного параллелепипеда, на которых отсутствуют касательные напряжения. Площадка, на которой отсутствуют касательные напряжения, является главной. Главные нормальные напряжения дают возможность разделить напряженное состояние на три вида:

— одноосное (рис. 3.6а);

— двухосное (рис. 3.6б);

— трехосное (рис. 3.6в).

В дальнейшем принимаем, что:

Главные напряжения обладают следующими свойствами.

1-ое свойство (свойство инвариантности).

При любой ориентации осей координат в пространстве тройка главных напряжений остается неизменной, т.е. главные напряжения инвариантны относительно осей координат.

2-ое свойство (свойство стационарности).

Одно из главных напряжений является максимальным напряжением из всех нормальных напряжений в точке (σ₁=σ_max), а другое является минимальным (σ₃=σ_min).

1.4 Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора

По известным значениям главных напряжений σ₁, σ₂, σ₃ определим напряжения действующие на накладной площадке. Пусть на гранях элементарного параллелепипеда задана тройка главных напряжений σ₁  σ₂  σ₃. Необходимо определить напряженное состояние на любой площадке параллельной одному из векторов главных напряжений, в частности, вектору σ₁ (рис. 3.7а). Эта площадка может иметь со смежной гранью произвольный угол α. Выделим отсеченную часть — трехгранную призму, на которую действуют заданные главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃, и на наклонной площадке действуют нормальные напряжения σ_α и касательные напряжения τ_α, которые необходимо определить (рис. 3.7б). На рисунке n- внешняя нормаль, приведенная к площадке S, а t -касательная, лежащая в плоскости S и перпендикулярная n.

Проецируя усилия действующие на призму на оси n и t получим:

n = σ_α dx (dy/cosα)- σ₂ sinα dx dy tgα — σ₃ cosα dx dy =0,

t = τ_α dx (dy/cosα)+σ₂ cosα dx dy tgα — σ₃ sinα dx dy =0,

σ_α= σ₂ sin 2 α+ σ₃ cos 2 α

τ_α = (σ₂— σ₃) sinα cosα

Преобразуем полученные соотношения к виду:

Этим выражением можно дать геометрическое толкование. Перемещая в левую часть, возводя левые и правые части выражений в квадрат и складывая, получим:

Это уравнение окружности в системе координат «σ-τ» (рис. 3.8).

Центр окружности находится на оси абсцисс на расстоянии от начала координат с радиусом . Окружность называют круговой диаграммой Мора. Полученное уравнение окружности может быть истолковано, как параметрическое уравнение окружности, где роль параметра играет угол α наклона плоскости S. Каждой секущей площадке соответствует определенная точка на круге Мора. Показанная на рисунке 3.8 окружность построена для семейства площадок, параллельных вектору σ₁.

Аналогичным способом можно построить круги Мора для семейств площадок, параллельных векторам σ₂, σ₃. В этих случаях круги строятся соответственно на отрезках «σ₂‑σ₃» и «σ₁‑σ₂», как на диаметрах. Таким образом, может быть построено три круга Мора (рис. 3.9). Поскольку знак τ не оговаривается, ограничиваются обычно построением только верхней части круга.

Главные площадки и главные напряжения. Классификация напряженных состояний кратко

Значения нормальных и касательных напряжений на произвольных площадках, проходящих через какую-либо точку тела, зависят от положения этих площадок. Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих на различных площадках, проходящих через заданную точку, называется напряженным состоянием в этой точке. В курсе теории упругости доказано, что в окрестности любой точки можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения будут отсутствовать. Такие площадки называются главными. Нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения, называются главными напряжениямии обозначаются: σ₁, σ₂, σ₃. Здесь σ₁– наибольшее (в алгебраическом смысле) главное напряжение, σ₃– наименьшее, а σ₂– промежуточное, т.е. σ₁≥ σ₂≥ σ₃. На рис. 4.1а показаны три взаимно перпендикулярные произвольные площадки, на гранях которых действуют нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения показаны растягивающими, т.е. положительными. Касательные напряжения (на каждой грани по два) показаны с двумя индексами: первый индекс указывает параллельно какой оси координат действует, а второй – на грани с какой нормалью. В общем случае напряженное состояние в точке описывается тензором напряжений . На рис. 4.1б показан параллелепипед с бесконечно малыми размерами сторон, грани которого являются главными площадками, так как на них отсутствуют касательные напряжения. В зависимости от наличия отличных от нуля главных напряжений на главных площадках различают три вида напряженных состояний:

1. Если все три главных напряжения отличны от нуля, то имеет место в данной точкеобъемноеилипространственное напряженное состояние(ОНС) (рис. 4.1б).
2. В том случае, когда два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю – имеет место плоское напряженное состояние(ПНС) (рис. 4.2а).
3. Если только одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю, имеет местоодноосное(линейное) напряженное состояние(ЛНС) (рис. 4.2б).

Наиболее простым и наглядным случаем одноосного (линейного) напряженного состояния является центральное растяжение–сжатие стержней. Определение напряжений на наклонных площадках при ЛНС было исследовано в п. 3.3 предыдущей главы.

Статически неопределимые задачи