Какая сила действует на заряженную частицу в магнитном поле

2. Сила Ампера. Cила Лоренца

В начале \(XIX\) века французский физик Андре Ампер, проведя несколько серий опытов, обнаружил, что сила, которая действует в магнитном поле на проводник, по которому течёт ток, прямо пропорциональна следующим величинам:

• длине проводника;
• силе тока в этом проводнике;
• модулю вектора магнитной индукции поля.

При этом есть некоторая зависимость от угла между вектором магнитной индукции и элементом тока. Эмпирически установлено, что сила прямо пропорциональна синусу этого угла. Направление силы всегда перпендикулярно векторам магнитной индукции и элемента тока. Направление этой силы определяется по правилу левой руки.
\(\Delta \vec=k l > \times \vec\). (\(1\))

В таком случае модуль этой силы
\(\Delta F=k I \Delta l B\sin\), (\(2\))
где \(\alpha\) — угол между направлением вектора \(\vec\) и направлением вектора \(\vec\).
Эту силу, действующую на проводник с током, находящийся в магнитном поле, называют силой Ампера .

Если прямой проводник длиной \(l\), по которому течёт ток \(I\), находится в однородном магнитном поле с индукцией \(B\), то величина силы определится по формуле:

Рассмотрим два параллельных проводника бесконечной длины, по первому из которых течёт ток величиной \(I_1\), а по второму — ток \(I_2\). Пользуясь формулой (\(1\)) и законом Био — Савара — Лапласа, можно найти величину силы, которая действует на участок второго проводника длиной \(l\):
\(F=\frac<\mu_0>\cdot\frac\). (\(4\))
Заметим, что эта сила направлена так, что проводники притягиваются, если ток по ним течёт в одну сторону, а если в противоположные стороны, то проводники отталкиваются.

Сила Лоренца

Пользуясь выражением для силы Ампера, можно найти и силу, которая будет действовать на заряд, движущийся в магнитном поле, — силу Лоренца.
Если представить электрический ток как совокупность \(N\) заряженных движущихся частиц в кусочке проводника длиной \(\Delta l\), то можно записать
\(I=qnvS\), (\(5\))
где \(q\) — это заряд частиц, \(n\) — их концентрация, \(v\) — скорость упорядоченного движения, а \(S\) — площадь поперечного сечения проводника.
Из закона Ампера с учётом формулы (\(3\)) следует, что сила, действующая на элемент с током длины \(\Delta l\), определяется по формуле:
\(\vec=I\cdot \Delta \vec \times \vec=qnvS \cdot \vec \times \vec\).
Поскольку векторы скорости \(\vec\) и \(\vec\) сонаправлены, а количество заряженных частиц в рассматриваемом отрезке проводника \(N=nS \Delta l\), то
\(\vec=qnS \Delta l \cdot \vec \times \vec=qN \cdot \vec \times \vec\).

Итого, на каждую движущуюся заряженную частицу действует магнитное поле с силой, называемой силой Лоренца
\(\boxed=q \vec \times \vec.>\) (\(6\))

Заметим, что сила Лоренца перпендикулярна скорости. Откуда следует, что она перпендикулярна перемещению частицы. Поэтому её работа на любом пути равна нулю.

1. Обнаружение магнитного поля по его действию на электрический ток. Правило левой руки

Магнитное поле, как мы выяснили, — это особый вид материи, существующей независимо от нашего сознания. Магнитное поле можно изобразить с помощью линий магнитного поля. А можно ли обнаружить магнитное поле?

Соберём электрическую цепь. Пока ключ не замкнут, с проводником ничего не происходит. Если замкнуть ключ, проводник начнёт двигаться внутрь магнита. Если поменять полюсы источника тока, проводник будет двигаться в противоположную сторону.

Рис. \(1\). Проводник без тока в магнитном поле

Рис. \(2\). Проводник с током в магнитном поле

Опыт демонстрирует воздействие магнитного поля на часть проводника, помещённого в поле подковообразного магнита.

При отсутствии электрического тока в проводнике он висит неподвижно. Магнитное поле не воздействует на проводник.

При замыкании ключа ток идёт от положительного полюса источника напряжения по красному проводу к проводнику. Поле постоянного магнита притягивает проводник. Проводник изменил своё положение.

Магнитное поле обнаруживается по его воздействию на проводник с током.

Движение проводника вызвано действием на него магнитного поля со стороны дугового магнита. Если поменять местами полюсы магнита, проводник изменит направление движения на противоположное.

Экспериментальные факты по обнаружению магнитного поля являются основанием для формулировки зависимости между физическими величинами, которые являются характеристиками электрического и магнитного полей.

На проводник с током, находящимся в магнитном поле, действует сила Ампера, направление которой определяется правилом левой руки.

Правило левой руки для проводника с током

Если левую руку расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь перпендикулярно ей, а четыре пальца указывали направление тока, то отставленный большой палец покажет направление действующей на проводник силы Ампера.

Рис. \(3\). Правило левой руки

На направление тока указывает направление движения положительно заряженных частиц. На заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Направление силы Лоренца также определяется по правилу левой руки.

Правило левой руки для заряженной частицы, движущейся в магнитном поле
Если левую руку расположить так, чтобы линии магнитного поля входили в ладонь перпендикулярно ей, а четыре пальца были направлены по движению положительно заряженной частицы (или против движения отрицательно заряженной частицы), то отставленный большой палец покажет направление действующей на проводник силы.

Если заряженная частица движется вдоль линии магнитного поля, то сила со стороны магнитного поля не действует.

44. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца.

Сила, дей­ствующая на электрический заряд Q, дви­жущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражает­ся формулой F=Q[vB], где В — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Модуль силы Лоренца равенF=QvBsin, где  — угол между v и В. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды. Так как по действию силы Лоренца можно определить модуль и направление вектора В, то выражение для силы Лорен­ца может быть использовано для определения вектора магнитной индукции В.

Сила Лоренца всегда перпендикуляр­на скорости движения заряженной части­цы, поэтому она изменяет только направ­ление этой скорости, не изменяя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает. Иными словами, постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изме­няется.

Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индук­цией В действует и электрическое поле с напряженностью Е, то результирующая сила F, приложенная к заряду, равна век­торной сумме сил — силы, действующей со стороны электрического поля, и силы Ло­ренца: F=QE + Q[vB]. Это выражение называется формулой Ло­ренца. Скорость v в этой формуле есть скорость заряда относительно магнитного поля.

45. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Ускорители элементарных частиц.

Направление силы Лоренца и на­правление вызываемого ею отклонения за­ряженной частицы в магнитном поле за­висят от знака зарядаQ частицы. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях.

Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное поле одно­родно и на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная частица дви­жется в магнитном поле со скоростью v вдоль линий магнитной индукции, то угол а между векторами v и В ра­вен 0 или . Тогда сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует и она дви­жется равномерно и прямолинейно.

Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v, перпен­дикулярной вектору В, то сила Лоренца F=Q[vB] постоянна по модулю и нор­мальна к траектории частицы. Согласно второму закону Ньютона, эта сила создает центростремительное ускорение. Отсюда следует, что частица будет двигаться по окружности, радиус r которой определяет­ся из условия QvB = mv 2 /r, откуда Период вращения частицы, т. е. вре­мя Т, затрачиваемое ею на один полный оборот, т. е. период вращения частицы в однород­ном магнитном поле определяется только величиной, обратной удельному заряду(Q/m) частицы, и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости (при v

Если скорость v заряженной частицы направлена под углом а к вектору В (рис. 170), то ее движение можно пред­ставить в виде суперпозиции: 1) равно­мерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью v_||=vcos; 2) равно­мерного движения со скоростью v_┴= vsin по окружности в плоскости, пер­пендикулярной полю. В результате сложения обоих движений возникает движение по спирали, ось кото­рой параллельна магнитному полю. Шаг винтовой линии h=v_||T=vTcos. Радиус окружности определяется формулой (в данном случае надо заменитьv на v_┴=vsin).

Ускорителями заряженных частиц назы­ваются устройства, в которых под дей­ствием электрических и магнитных полей создаются и управляются пучки высокоэнергетичных заряженных частиц (элек­тронов, протонов, мезонов и т.д.).

Любой ускоритель характеризуется типом ускоряемых частиц, энергией, со­общаемой частицам, разбросом частиц по энергиям и интенсивностью пучка. Ускорители делятся на непрерывные (из них выходит равномерный по времени пу­чок) и импульсные (из них частицы вы­летают порциями — импульсами). По­следние характеризуются длительностью импульса. По форме траектории и меха­низму ускорения частиц ускорители делят­ся на линейные, циклические и индукци­онные. В линейных ускорителях траекто­рии движения частиц близки к прямым линиям, в циклических и индукционных — траекториями частиц являются окружно­сти или спирали.

Рассмотрим некоторые типы ускорите­лей заряженных частиц.

1. Линейный ускоритель. Ускорение частиц осуществляется электростатиче­ским полем, создаваемым, например, вы­соковольтным генератором Ван-де-Граафа. Заряженная частица проходит поле однократно: заряд Q, проходя раз­ность потенциалов ₁-₂, приобретает энергию W=Q(₁-₂). Таким способом частицы ускоряются до 10 МэВ. Их дальнейшее ускорение с помощью источ­ников постоянного напряжения невозмож­но из-за утечки зарядов, пробоев и т. д.

2. Линейный резонансный ускоритель. Ускорение заряженных частиц осуще­ствляется переменным электрическим по­лем сверхвысокой частоты, синхронно из­меняющимся с движением частиц. Таким способом протоны ускоряются до энергий порядка десятков мегаэлектрон-вольт, электроны — до десятков гигаэлектрон-вольт.

3. Циклотрон — циклический резонан­сный ускоритель тяжелых частиц (прото­нов, ионов). Между полюсами сильного электромагнита помещается ва­куумная камера, в которой находятся два электрода (1 и 2) в виде полых металличе­ских полуцилиндров, или дуантов. К дуантам приложено переменное электриче­ское поле. Магнитное поле, создаваемое электромагнитом, однородно и перпенди­кулярно плоскости дуантов.

Если заряженную частицу ввести в центр зазора между дуантами, то она, ускоряемая электрическим и отклоняемая магнитным полями, войдя в дуант 1, опишет полуокружность, радиус кото­рой пропорционален скорости частицы. К моменту ее выхода из дуанта 1 полярность напряжения изменя­ется (при соответствующем подборе изме­нения напряжения между дуантами), по­этому частица вновь ускоряется и, перехо­дя в дуант 2, описывает там уже полу­окружность большего радиуса и т. д.

Для непрерывного ускорения частицы в циклотроне необходимо выполнить усло­вие синхронизма (условие «резонан­са») — периоды вращения частицы в маг­нитном поле и колебаний электрического поля должны быть равны. При выполне­нии этого условия частица будет двигать­ся по раскручивающейся спирали, полу­чая при каждом прохождении через зазор дополнительную энергию. На последнем витке, когда энергия частиц и радиус ор­биты доведены до максимально допусти­мых значений, пучок частиц посредством отклоняющего электрического поля выво­дится из циклотрона.

Циклотроны позволяют ускорять про­тоны до энергий примерно 20 МэВ. Даль­нейшее их ускорение в циклотроне ограни­чивается релятивистским возрастанием массы со скоростью, что при­водит к увеличению периода обращения, и синхронизм нарушается. Поэтому цик­лотрон совершенно неприменим для ус­корения электронов (при E=0,5 МэВ m = 2m₀, при E=10 МэВ m=28m₀!).

4. Фазотрон (синхроциклотрон) — циклический резонансный ускоритель тя­желых заряженных частиц (например, протонов, ионов, -частиц), в котором уп­равляющее магнитное поле постоянно, а частота ускоряющего электрического по­ля медленно изменяется с периодом. Дви­жение частиц в фазотроне, как и в цикло­троне, происходит по раскручивающейся спирали. Частицы в фазотроне ускоряются до энергий, примерно равных 1 ГэВ (огра­ничения здесь определяются размерами фазотрона, так как с ростом скорости частиц растет радиус их орбиты).

5. Синхротрон — циклический резо­нансный ускоритель ультрарелятивистских электронов, в котором управляющее маг­нитное поле изменяется во времени, а частота ускоряющего электрического по­ля постоянна. Электроны в синхротроне ускоряются до энергий 5—10 ГэВ.

6. Синхрофазотрон — циклический ре­зонансный ускоритель тяжелых заряжен­ных частиц (протонов, ионов), в котором объединяются свойства фазотрона и син­хротрона, т. е. управляющее магнитное поле и частота ускоряющего электрическо­го поля одновременно изменяются во вре­мени так, чтобы радиус равновесной орби­ты частиц оставался постоянным. Протоны ускоряются в синхрофазотроне до энергий 500 ГэВ.

7. Бетатрон — циклический индукци­онный ускоритель электронов, в котором ускорение осуществляется вихревым элек­трическим полем (см. §137), индуцируе­мым переменным магнитным полем, удер­живающим электроны на круговой орбите. В бетатроне в отличие от рассмотренных выше ускорителей не существует пробле­мы синхронизации. Электроны в бетатроне ускоряются до энергий 100 МэВ. При W> 100 МэВ режим ускорения в бетатро­не нарушается электромагнитным излуче­нием электронов. Особенно распростране­ны бетатроны на энергии 20—50 МэВ.

20.Сила Ампера. Сила Лоренца. Движение заряда в магнитном поле.

Сила Ампера — сила, действующая на проводник с током, помещенный в магнитное поле.

Сила Ампера равна произвед вектора магн индукции на силу тока, длину участка проводника и на синус угла между магнитной индукцией и участком проводника F=B*|I| * ∆l * sin α, где α угол между отрезком проводника и вектором В

Направление силы определяют по правилу левой руки: если левую руку расположить так что бы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции В входила в ладонь, а 4 вытянутых пальца были направлены по напр тока, то большой палец покажет напр силы действ на отрезок проводника.

Лоренца сила

Лоренца сила, сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле. Формула для Л. с. F была впервые получена Х. А. Лоренцом как результат обобщения опыта и имеет вид:

Здесь е — заряд частицы, Е — напряжённость электрического поля, В — магнитная индукция, u — скорость заряженной частицы относительно системы координат, в которой вычисляются величины F, Е, В, а с — скорость света в вакууме. Формула справедлива при любых значениях скорости заряженной частицы. Она является важнейшим соотношением электродинамики, так как позволяет связать уравнения электромагнитного поля с уравнениями движения заряженных частиц.

Первый член в правой части формулы — сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, второй — в магнитном. Магнитная часть Л. с. пропорциональна векторному произведению u и В, то есть она перпендикулярна скорости частицы (направлению её движения) и вектору магнитной индукции; следовательно, она не совершает механической работы и только искривляет траекторию движения частицы, не меняя её энергии. Величина этой части Л. с. равна e/cuBsina, где a — угол между векторами u и В [множитель 1/с связан с выбором единиц измерения: предполагается, что все величины измеряются в абсолютной (гауссовой) системе единиц (СГС системе единиц); в системе СИ этот множитель отсутствует]. Таким образом, магнитная часть Л. с. максимальна, если направление движения частицы составляет с направлением магнитного поля прямой угол, и равна нулю, если частица движется вдоль направления поля.

В вакууме в постоянном однородном магнитном поле (В = Н, где Н — напряжённость поля) заряженная частица под действием Л. с. (её магнитной части) движется по винтовой линии с постоянной по величине скоростью u, при этом её движение складывается из равномерного прямолинейного движения вдоль направления магнитного поля Н (со скоростью u||, равной составляющей скорости частицы u в направлении Н) и равномерного вращательного движения в плоскости, перпендикулярной Н (со скоростью u^, равной составляющей u в направлении, перпендикулярном Н). Проекция траектории движения частицы на плоскость, перпендикулярную Н, есть окружность радиуса R = cmu ^ /eH, а частота вращения равна w = eH/mc (так называемая циклотронная частота). Ось винтовой линии совпадает с направлением поля Н, и центр окружности перемещается вдоль силовой линии поля.

Если электрическое поле Е не равно нулю, то движение носит более сложный характер. Происходит перемещение центра вращения частицы перпендикулярно полю Н, называемое дрейфом. Направление дрейфа определяется вектором [Е H] и не зависит от знака заряда. Скорость дрейфа и для простейшего случая скрещенных полей (Е^Н) равна u = cE/H.

Воздействие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы приводит к перераспределению тока по сечению проводника, что находит своё проявление в различных термомагнитных и гальваномагнитных явлениях (Нернста — Эттингсхаузена эффект, Холла эффект и других).

Движение заряженных частиц в магнитном поле

Формула силы Лоренца дает возможность найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле. Зная направление силы Лоренца и направление вызываемого ею отклонения заряженной частицы в магнитном поле можно найти знак заряда частиц, которые движутся в магнитных полях. Для вывода общих закономерностей будем полагать, что магнитное поле однородно и на частицы не действуют электрические поля. Если заряженная частица в магнитном поле движется со скоростью v вдоль линий магнитной индукции, то угол α между векторами v и В равен 0 или π. Тогда сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует и она движется равномерно и прямолинейно. В случае, если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v, которая перпендикулярна вектору В, то сила Лоренца F=Q[vB] постоянна по модулю и перпендикулярна к траектории частицы. По второму закону Ньютона, сила Лоренца создает центростремительное ускорение. Значит, что частица будет двигаться по окружности, радиус r которой находится из условия QvB=mv 2 /r , следовательно (1) Период вращения частицы, т. е. время Т, за которое она совершает один полный оборот, Подствавив (1), получим (2) т. е. период вращения частицы в однородном магнитном поле задается только величиной, которая обратна удельному заряду (Q/m) частицы, и магнитной индукцией поля, но при этом не зависит от ее скорости (при v<v заряженной частицы направлена под углом α к вектору В (рис. 170), то ее движение можно задать в виде суперпозиции: 1) прямолинейного равномерного движения вдоль поля со скоростью v_parall=vcosα ; 2) равномерного движения со скоростью v_perpend=vsinα по окружности в плоскости, которая перпендикулярна полю. Радиус окружности задается формулой (1) (в этом случае надо вместо v подставить v_perpend=vsinα). В результате сложения двух данных движений возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю (рис. 1). Шаг винтовой (спиральной) линии Подставив в данное выражение (2), найдем Направление, в котором закручивается спираль, определяется знаком заряда частицы. Если скорость v заряженной частицы составляет угол α с направлением вектора В неоднородного магнитного поля, у которого индукция возрастает в направлении движения частицы, то r и h уменьшаются с увеличением В. На этом основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле.