Чем отличается частота от гармоники

Лекция 3 Форма сигнала

Изменения тока или напряжения во времени можно представить в виде различных линий, или графиков. Постоянный ток, как неизменяющий­ся во времени, изображается прямой линией (рис. 3.1), а переменный ток — самыми различными кривыми. Форма кривой переменного тока отражает периодические изменения значения тока от максимального до минимального, затем опять к максимальному и т. д. (рис. 3.1). Не­сколько таких кривых показано на рис. 3.2.

Рис.3.2. Типы кривых переменного тока:

а) синусоида; б) меандр; в) прямо­угольный; г) треугольный; д) пилообразный; е) импульсы;

Период (Цикл)

Повторяющаяся часть сигнала переметного тока называется периодом (циклом) сигнала. Так, на кривых, изображенных на рис. 3.2, точка А является на­чалом цикла, а точка В — его концом и началом следующего цикла. Время, за которое завершается полный цикл изменения сигнала, называ­ется длительностью его периода Т или просто периодом. Например, если сигнал проходит все изменения за одну секунду, то его период равен 1 с, если за половину секунды, то период равен 0,5 с.

Частота

Количество периодов (циклов) сигнала в единицу времени называется частотой сигнала. Единица измерения частоты — герц (Гц). Например, если цикл изменения сигнала повторяется один раз в секунду, то частота сигнала равна 1 Гц, если 5 раз — 5 Гц рис. 3.3

Скважность

Отношение периода следования (повторения) импульсов одной последовательности к их длительности называется скважностью. Величина, обратная скважности, называется коэффициентом заполнения. Таким образом, для импульсного сигнала справедливы следующие соотношения:

где S — скважность, D — коэффициент заполнения, T — период импульсов,

t₁ — длительность импульса. Частое применение в практике находит сигнал со скважностью, равной двум — меандр.

Соотношение между частотой и периодом

Рассмотрим графики сигналов на рис. 3.3. Период сигнала, частотой 5 Гц в 5 раз меньше, чем период сигнала частотой 1 Гц А. При увеличении частоты сигнала его период уменьшается, и наоборот.

Частота = 1/период (в герцах), или f = 1/T(в герцах),

Период = 1/частоту (в секундах), или Т = 1/f (в секундах).

Звуковые волны

Звуковые волны возникают в воздухе, например, когда кто-нибудь говорит или при работе громкоговорителя. Звуковые волны изменяют давление воздуха, и воздух необходим им для распространения. Интенсивность звуковых волн характеризуется громкостью, тон характеризует их частоту. При изменении частоты изменяется тон звука. Диапазон звуковых частот, которые воспринимаются ухом человека, называется диапазоном аудиочастот. Он простирается от 20 Гц до 20 кГц. Звуки частотой ниже 20 Гц и выше 20 кГц человек не слышит.

Гармоники

При сложении нескольких различных по частоте синусоидальных коле­баний возникает сложное колебание. И наоборот, сложный сигнал можно разложить на ряд входящих в него чистых синусоидальных колебаний. Среди этих простых синусоидальных колебаний различают основную, или первую, гармонику и набор гармоник. Таким образом, любой сложный сигнал может быть разложен на следующие компоненты:

1. первая, или основная, гармоника. Простое синусоидальное колебание, имеющее тот же период, что и исходное сложное колебании;
2. набор гармоник. Простые синусоидальные колебания, частоты ко­торых кратны частоте основной гармоники.

Например, если частота первой гармоники равна 100 Гц, то частота 2-й гармоники = 2×100 = 200 Гц, частота 3-й гармоники = 3 ×100 = 300 Гц, частота 4-й гармоники = 4×100 = 400 Гц и т. д. Чем больше номер гармоники, т. е. чем выше ее частота, тем меньше ее амплитуда. Поэтому высшими гармониками обычно пренебрегают.

У вас большие запросы!

Точнее, от вашего браузера их поступает слишком много, и сервер VK забил тревогу.

Эта страница была загружена по HTTP, вместо безопасного HTTPS, а значит телепортации обратно не будет.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы отключили сохранение Cookies, а они нужны, чтобы решить проблему.

Почему-то страница не получила всех данных, а без них она не работает.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы вернётесь на предыдущую страницу через 5 секунд.
Вернуться назад

11. Частотный спектр импульсного сигнала.

Ранее отмечалось, что любой электрический сигнал может быть представлен в виде суммы синусоид, каждая синусоида имеет свою амплитуду, частоту и фазу.

где А_к – амплитуда f_к – частота _к – фаза.

Если построить график, показывающий, как зависит амплитуда синусоиды от частоты, то это будет частотный спектр данного сигнала.

U(t) – сигнал, имеющий периодический характер.

Частотный спектр – зависимость А_к от f_к.

Можно вместо синусоиды брать косинусоиду, частотный спектр от этого не изменится. Выбор разложения по синусоиде или косинусоиде зависит от выбора начала отсчета (симметричный).

Каждая синусоида носит название гармоника. Поэтому представление в виде суммы гармоник называется гармоническим рядом.

Пусть импульсы прямоугольной формы периодически повторяются, амплитуда, период и длительность – постоянны.

Выберем начало отсчета времениt = 0 так, чтобы картина была симметричной относительно начала отсчета.

Тогда — т.е. будут одни косинусоиды,

где k 2  f _k =  _k — частота гармоники.

Отсутствует  _к , т.е. все гармоники имеют нулевой фазовый сдвиг.

Существует косинусоида, у которой к = 0, f₀ = 0, нулевая гармоника, ей соответствует постоянная составляющая U(t).

Частоты гармоник:

К = 0, f ₀ = 0 — нулевая гармоника

К = 1, f ₁ = 1/T — первая гармоника

К = 2, f ₂ = 2/T — вторая гармоника и т.д.

Если Т постоянно, т.е. сигнал периодический

Частоты гармоник:

Амплитуды гармоник.

Определяются из теории рядов Фурье.

Для прямоугольных импульсов:

где U₀ – амплитуда импульса,

К – номер гармоники (чем больше к, тем меньше U₀).

.

Как следует из формулы для A_k амплитуды гармоник идеальных прямоугольных импульсов имеют тенденцию с ростом k (частоты) убывать асимптотически, т.е. формально ширина частотного спектра идеальных прямоугольных импульсов неограниченна.

Реальные импульсы имеют отклонения от прямоугольной формы и ширина их спектра не бесконечна.

Отдельно вычисляется амплитуда нулевой гармоники.

Если к = 0 , знаком синуса можно пренебречь и тогда:

-это не что иное, как постоянная составляющая напряжения U(t).

Изобразим график частотного спектра.

Для упрощения далее будет изображаться только первая полуволна графика частотного спектра — основной частотный спектр.

Амплитуды гармоник уменьшаются с увеличением частоты, при этом наблюдается колебательный характер.

Участок до первого нуля (первая полуволна) – это основной спектр.

Частотная граница основного спектра определяет ширину частотного спектра из условия:

откуда k=k_осн=илиk_осн=q

k_осн – количество линий в основном спектре.

Величина F_осн=— ширина основного спектра

Часто требуется количественная оценка ширины частотного спектра F_c . Для идеальных прямоугольных импульсов, её условно принимают равной

F_c=(1..3)F_осн или .

Свойства частотного спектра.

1. Чем больше период повторения импульсов, тем больше линий в основном частотном спектре – чаще расположены линии в частотном спектре.
2. Чем короче импульс, тем больше ширина частотного спектра.
3. Ширина ЧС определяется для прямоугольного импульса соотношением:

Это соотношение справедливо для идеальных прямоугольных импульсов. Реальный импульс отличается от идеального более пологими фронтами. Общая формула вычисления амплитуды гармоник для любого случая: По сравнению с идеальным прямоугольным импульсом для реального импульса ЧС имеет более определенную частотную границу. Убывание амплитуд гармоник с частотой может иметь монотонный характер.

3 Спектры сигналов

Все сигналы могут быть подразделены на периодические и непе­риодические. Периодическим называется сигнал, значения которого повторяют­ся через определенные равные промежутки времени, называемые периодом повторения сигнала (Т), или просто периодом. Для непериоди­ческого сигнала это условие не выполняется.

Простейшим периодическим сигналом является гармоническое ко­лебание (рисунок 8, а):

s(t) = S sin(t),

где S,  — соответственно амплитуда и угловая частота колебания, равная

 = 2f = 2 / Т.

Рисунок 8 – Простейшие периодические сигналы

Другим примером периодического сигнала является последова­тельность прямоугольных импульсов (рисунок 8, б). Можно показать, что такая последовательность импульсов является результатом сложения большого числа гармонических колебаний (в общем случае – бесконечного) с разными амплитудами, частотами и начальными фазами.

На рисунке 9 показан процесс синтеза последовательности прямоугольных импульсов с использованием гармонических колебаний. В качестве исходной синусоиды вы­берем такую, у которой период колебаний совпадает с периодом Т прямоугольных импульсов (рисунок 9, а, б):

s(t) = S₁ sin(₁t),

Колебание заданной частоты ₁ и амплитуды S₁ можно представить в виде графика: на оси частот отметить значение ₁ и изобразить вертикальную линию высотой, равной амплитуде сигнала S₁ (рисунок 9, б).

Следующая синусоида имеет частоту колебаний в 3 раза боль­шую, а амплитуду – в 3 раза меньшую. Сумма этих двух синусоид пока еще ма­ло похожа на прямоугольные импульсы (рисунок 9, в). Но если до­бавить к ним синусоиды с частотами колебаний в 5, 7, 9, 11 и т.д. раз большими, а с амплитудами в 5, 7, 9, 11 и т.д. раз меньшими, то сум­ма всех этих колебаний будет не так уж сильно отличаться от последовательности прямоугольных импульсов.

Рисунок 9 – Периодическая последовательность прямоугольных

импульсов (а) и формирование ее сигнала (б – д)

Может показаться, что представление прямоугольных импульсов в виде совокупности синусоид есть не более чем математический при­ем и не имеет никакого отношения к реальности. Однако это не так. Радиоинженерам хорошо знакомы приборы (они называются анали­заторами спектров), которые позволяют выделить каждую входящую в сложный сигнал синусоиду.

Тот факт, что сигнал произвольной формы (а не только прямоугольные импульсы) можно разложить на сумму обыкновенных синусоид, доказал в 20-х годах XIX века французский математик Ж. Фурье. Такой набор синусоид получил название спектра сигнала.

Каждый сигнал имеет свой сугубо индивидуальный спектр. Гармонические колебания, составляющие спектр сигнала, называются гармоническими составляющими сигнала или просто гармониками.

Линии (рисунок 9) на графике, соответствующие амплитудам гармоник, называются спектральными линиями. Распределение амплитуд гармоник по частоте называется спектром амплитуд сигнала.

Так как спектр периодического сигнала состоит из отдельных спек­тральных линий, его называют дискретным (или линейчатым).

Частота первой гармоники сигнала определяется, как показано выше, периодом сигнала: ₁ = 2 / Т. Если период сигнала оставить неизменным, а изменять только длительность импульсов  (рисунок 10, а и в), то частота первой гармоники будет той же самой для обоих сигна­лов. Изменится скорость убывания амплитуд гармоник (рисунок 10, б и г). Чем короче импульс, тем медленнее убывают амплитуды гармоник и тем соответственно, большим числом гармоник следует представ­лять прямоугольные импульсы, чтобы сохранить достаточную степень их «прямоугольности».

Рисунок 10 – Изменение спектра амплитуд при уменьшении

Существует очень важное понятие – практическая ширина спек­тра сигнала. Интуитивно ясно, что если полоса пропускания какого-либо устройства недостаточно широкая, чтобы пропустить все гармо­ники, существенно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства будет искаженным. Таким образом, можно сказать, что шири­на полосы пропускания устройства не должна быть уже ширины спек­тра сигнала.

Что же следует считать шириной спектра сигнала, если число гар­моник в сигнале бесконечно? Существует несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала. Например, мож­но отбрасывать все гармоники с амплитудами меньшими 1 % макси­мальной амплитуды в спектре, тогда частоты оставшихся гармоник и определят ширину спектра сигнала. Можно отбрасывать те гармони­ки, суммарная энергия которых меньше 10 % общей энергии сигнала. В этом случае ширину спектра также определяют оставшиеся в сиг­нале гармоники.

Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить такие общие для всех сигналов за­кономерности: чем круче фронт сигнала, чем короче импульсы и чем больше пауза между импульсами, тем шире во всех этих случаях спектр сигнала, т.е. тем медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их номера.

На практике при использовании в качестве сигналов прямоугольных импульсов в качестве ширины спектра сигнала чаще всего принимается диапазон частот от  = 0 до  = 2 / .

Все, что сказано выше, относится к периодическим сигналам (в частности, к бесконечной последовательности прямоугольных импульсов).

Непериодический сигнал легко получить из периодического, увели­чивая период вплоть до Т . При увеличении периода сигнала частота первой гармоники ₁ = 2 / Т понижается. Спектральные линии становятся гуще. Ампли­туды гармоник уменьшаются. Последнее становится понятным, если учесть, что энергия сигнала, оставаясь неизменной, перераспреде­ляется теперь между возросшим числом гармоник. Естественно, доля каждой гармоники в сигнале падает.

Следовательно, при переходе к непериодическому сигналу (нап­ример, к одиночному импульсу) мы получаем в спектре такого сигнала вместо отдельных гармоник бесконечно большое число синусоидаль­ных колебаний с бесконечно близкими частотами, заполняющими всю шкалу частот. Причем амплитуда каждого такого колебания становит­ся исчезающе малой, потому что на его долю приходится бесконечно малая часть энергии сигнала. Другими словами, в любой бесконечно узкой полосе частот мы всегда обнаружим синусоидальное колеба­ние, правда, бесконечно малой амплитуды.

Понятие спектра амплитуд в последнем случае лишено смысла и заменяется понятием спектральной плотно­сти амплиту (рисунок 11), которая указывает, по сути, на удельный вес беско­нечно малой амплитуды синусоидального колебания в любой беско­нечно узкой полосе частот.

Таким образом, спектр непериодического сигнала является в общем случае не дискретным, а непрерывным.

Рисунок 11 – Спектральная плотность амплитуд одиночного

прямоугольного импульса длительностью 

Ранее отмечалось, что при передаче данных в сетях кроме импульсных сигналов используются модулированные колебания.

Спектр результирующего модулированного сигнала зависит от типа модуляции и скорости модуляции, то есть желаемой скорости передачи бит исходной информации.

Рассмотрим сначала спектр сигнала при потенциальном кодировании. Пусть логическая единица кодируется положительным потенциалом, а логический ноль – отрицательным потенциалом такой же величины. Для упрощения вычислений пред­положим, что передается информация, состоящая из бесконечной последователь­ности чередующихся единиц и нулей. В этом случае в течение одного периода передается два бита данных.

Если дискретные данные передаются с битовой скоростью N бит/с, то спектр состоит из постоянной составляющей нуле­вой частоты и бесконечного ряда гармоник с частотами f₀, 3f₀, 5f₀, 7f₀, . где f₀ = N/2. Амплитуды этих гармоник убывают достаточно медленно – с коэффициентами 1/3, 1/5, 1/7, . от амплитуды гармоники f₀ (рисунок 12, а). В результате спектр потенци­ального кода требует для качественной передачи широкую полосу пропускания. Кроме того, нужно учесть, что реально спектр сигнала постоянно меняется в зави­симости от того, какие данные передаются по линии связи. Например, передача длинной последовательности нулей или единиц сдвигает спектр в сторону низких частот, а в крайнем случае, когда передаваемые данные состоят только из единиц (или только из нулей), спектр состоит из гармоники нулевой частоты.