Как определяется потенциальная энергия заряда

1.4.Потенциал. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле

Работа сил электрического поля, созданного зарядом , по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 равна:

.

Работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной энергии:

,

тогда потенциальная энергия заряда в поле заряда равна:

.

Значение константы выбирается таким, чтобы при удалении заряда на бесконечность (то есть при ) потенциальная энергия обратилась бы в ноль, поэтому

.

Ясно, что разные пробные заряды и в одной и той же точке поля будут обладать разной потенциальной энергией и . Однако отношение для всех пробных зарядов будет одинаково. Величина

называется потенциалом электрического поля и является его энергетической характеристикой. Потенциал поля точечного заряда равен

.

Если поле создается системой точечных зарядов, то

,

где — расстояние от заряда до начального положения заряда , — расстояние от заряда до конечного положения заряда (заряд перемещается силами поля).

Тогда потенциальная энергия заряда в поле системы зарядов:

,

а потенциал

• потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Зная потенциал, можно найти потенциальную энергию заряда в электрическом поле: . Работа поля над зарядом: — работа равна убыли потенциала, умноженной на заряд. Если заряд удаляется из точки на бесконечность, то работа сил поля равна следовательно, потенциал численно равен отношению работы, которую совершают силы поля над положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность, к величине этого заряда. Потенциал измеряется в вольтах: .

1.5.Связь между напряженностью и потенциалом

Электрическое поле можно описывать либо с помощью векторной величины (силовая характеристика), либо с помощью скаляра (энергетическая характеристика). Сила связана, как известно, с потенциальной энергией: , где — оператор Набла, . Для заряженной частицы в электрическом поле: , , тогда , , тогда — связь напряженности и потенциала, или , или , или — проекция вектора на произвольное направление равна скорости убывания потенциала вдоль направления , или . Так как градиент потенциала направлен в сторону его возрастания, а численная величина градиента является мерой быстроты этого возрастания, то можно сказать, что напряженность электрического поля есть мера быстроты спадания потенциала, или, просто, что она равна спаду потенциала. Вернемся к определению работы поля: , , отсюда циркуляция вектора на участке 1=2 равна . Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, так как работа не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру: и — пришли к теореме о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

1.6. Эквипотенциальные поверхности

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью: — уравнение эквипотенциальной поверхности. При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок потенциал не изменяется . Таким образом, касательная к поверхности составляющая вектора равна нулю. Тогда вектор направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности в каждой ее точке, а линии напряженности в каждой точке перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. Если эквипотенциальные поверхности построить таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одна и та же, то по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряженности поля. Действительно, чем гуще эквипотенциальные поверхности, тем больше , тем больше . Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению поля. Рассмотрим эквипотенциальную поверхность точечного заряда. Потенциал точечного заряда (рис.1.4) . Таким образом, эквипотенциальная поверхность этого заряда будет сферой радиуса с центром в точке заряда. Силовые же линии, как мы установили ранее, расходятся радиально от заряда если он , или сходятся к заряду, если он “-”. То есть вектор перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям.

1.4.Потенциал. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле

Работа сил электрического поля, созданного зарядом , по перемещению зарядаиз точки 1 в точку 2 равна:

.

Работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной энергии:

,

тогда потенциальная энергия заряда в поле зарядаравна:

.

Значение константы выбирается таким, чтобы при удалении заряда на бесконечность (то есть при ) потенциальная энергия обратилась бы в ноль, поэтому

.

Ясно, что разные пробные заряды ив одной и той же точке поля будут обладать разной потенциальной энергиейи. Однако отношениедля всех пробных зарядов будет одинаково. Величина

называется потенциалом электрического поля и является его энергетической характеристикой. Потенциал поля точечного заряда равен

.

Если поле создается системой точечных зарядов, то

,

где — расстояние от зарядадо начального положения заряда,— расстояние от зарядадо конечного положения заряда(зарядперемещается силами поля).

Тогда потенциальная энергия зарядав поле системы зарядов:

,

а потенциал

• потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Зная потенциал, можно найти потенциальную энергию заряда в электрическом поле: . Работа поля над зарядом: — работа равна убыли потенциала, умноженной на заряд. Если заряд удаляется из точки на бесконечность, то работа сил поля равна следовательно, потенциал численно равен отношению работы, которую совершают силы поля над положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность, к величине этого заряда. Потенциал измеряется в вольтах: .

1.5.Связь между напряженностью и потенциалом

Электрическое поле можно описывать либо с помощью векторной величины (силовая характеристика), либо с помощью скаляра(энергетическая характеристика). Сила связана, как известно, с потенциальной энергией: , где — оператор Набла,. Для заряженной частицы в электрическом поле: ,, тогда,, тогда— связь напряженности и потенциала, или, или, или— проекция вектора на произвольное направлениеравна скорости убывания потенциалавдоль направления ,или . Так как градиент потенциала направлен в сторону его возрастания, а численная величина градиента является мерой быстроты этого возрастания, то можно сказать, что напряженность электрического поля есть мера быстроты спадания потенциала, или, просто, что она равна спаду потенциала. Вернемся к определению работы поля: ,, отсюда циркуляция вектора на участке 1=2 равна . Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, так как работа не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру: и— пришли к теореме о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

1.6. Эквипотенциальные поверхности

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью: — уравнение эквипотенциальной поверхности. При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок потенциал не изменяется. Таким образом, касательная к поверхности составляющая вектораравна нулю. Тогда векторнаправлен по нормали к эквипотенциальной поверхности в каждой ее точке, а линии напряженности в каждой точке перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. Если эквипотенциальные поверхности построить таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одна и та же, то по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряженности поля. Действительно, чем гуще эквипотенциальные поверхности, тем больше, тем больше. Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению поля. Рассмотрим эквипотенциальную поверхность точечного заряда. Потенциал точечного заряда (рис.1.4) . Таким образом, эквипотенциальная поверхность этого заряда будет сферой радиуса с центром в точке заряда. Силовые же линии, как мы установилиранее, расходятся радиально от заряда если он , или сходятся к заряду, если он “-”. То есть векторперпендикулярен эквипотенциальным поверхностям.

1.4.Потенциал. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле

Работа сил электрического поля, созданного зарядом , по перемещению зарядаиз точки 1 в точку 2 равна:

.

Работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной энергии:

,

тогда потенциальная энергия заряда в поле зарядаравна:

.

Значение константы выбирается таким, чтобы при удалении заряда на бесконечность (то есть при ) потенциальная энергия обратилась бы в ноль, поэтому

.

Ясно, что разные пробные заряды ив одной и той же точке поля будут обладать разной потенциальной энергиейи. Однако отношениедля всех пробных зарядов будет одинаково. Величина

называется потенциалом электрического поля и является его энергетической характеристикой. Потенциал поля точечного заряда равен

.

Если поле создается системой точечных зарядов, то

,

где — расстояние от зарядадо начального положения заряда,— расстояние от зарядадо конечного положения заряда(зарядперемещается силами поля).

Тогда потенциальная энергия зарядав поле системы зарядов:

,

а потенциал

• потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Зная потенциал, можно найти потенциальную энергию заряда в электрическом поле: . Работа поля над зарядом: — работа равна убыли потенциала, умноженной на заряд. Если заряд удаляется из точки на бесконечность, то работа сил поля равна следовательно, потенциал численно равен отношению работы, которую совершают силы поля над положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность, к величине этого заряда. Потенциал измеряется в вольтах: .

1.5.Связь между напряженностью и потенциалом

Электрическое поле можно описывать либо с помощью векторной величины (силовая характеристика), либо с помощью скаляра(энергетическая характеристика). Сила связана, как известно, с потенциальной энергией: , где — оператор Набла,. Для заряженной частицы в электрическом поле: ,, тогда, , тогда— связь напряженности и потенциала, или, или, или— проекция вектора на произвольное направлениеравна скорости убывания потенциалавдоль направления ,или . Так как градиент потенциала направлен в сторону его возрастания, а численная величина градиента является мерой быстроты этого возрастания, то можно сказать, что напряженность электрического поля есть мера быстроты спадания потенциала, или, просто, что она равна спаду потенциала. Вернемся к определению работы поля: ,, отсюда циркуляция вектора на участке 1=2 равна . Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, так как работа не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру: и— пришли к теореме о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

1.6. Эквипотенциальные поверхности

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью: — уравнение эквипотенциальной поверхности. При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок потенциал не изменяется. Таким образом, касательная к поверхности составляющая вектораравна нулю. Тогда векторнаправлен по нормали к эквипотенциальной поверхности в каждой ее точке, а линии напряженности в каждой точке перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. Если эквипотенциальные поверхности построить таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одна и та же, то по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряженности поля. Действительно, чем гуще эквипотенциальные поверхности, тем больше, тем больше. Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению поля. Рассмотрим эквипотенциальную поверхность точечного заряда. Потенциал точечного заряда (рис.1.4) . Таким образом, эквипотенциальная поверхность этого заряда будет сферой радиуса с центром в точке заряда. Силовые же линии, как мы установилиранее, расходятся радиально от заряда если он , или сходятся к заряду, если он “-”. То есть векторперпендикулярен эквипотенциальным поверхностям.

1. Потенциальная энергия заряда в однородном поле. Потенциальная энергия системы точечных зарядов

Работа потенциальной силы зависит только от начального и конечного положения тела и от формы траектории не зависит. Сила Кулона является потенциальной.

Потенциальность кулоновских сил позволяет говорить о потенциальной энергии заряда в поле электрических сил. По определению потенциальной энергии полагается, что изменение потенциальной энергии при его переносе из точки \(А\) в точку \(Б\) в любом электрическом поле — это работа кулоновских сил при перемещении заряда между этими точками, взятая со знаком минус:
\(A=-(E_Б-E_А)\). (\(1\))

Энергия системы заряженных тел

Вокруг заряженного тела появляется электрическое поле, которое оказывает действие на другие заряды. Таким образом, система, состоящая из какого-либо набора заряженных тел, обладает потенциальной энергией, которую обычно называют кулоновской или электрической.

Изменение потенциальной энергии заряда в однородном электрическом поле

Рассмотрим изменение потенциальной энергии положительного заряда \(q\), если переместить его в однородном электрическом поле из точки \(А\) в точку \(Б\) по красной траектории (рис. \(1\)).

Рис. \(1\). Перемещение заряда в однородном поле

Она изменяется так же, как если бы заряд перемещался по прямой (чёрной) траектории, поскольку работа потенциальной силы зависит только от начальной и конечной точки траектории.

Сила, действующая на него, постоянна:
\(\vec=q \vec\). (\(2\))
Если ввести радиус-векторы начала и конца этой траектории \(\vec_А\) и \(\vec_Б\) соответственно, то перемещение этого заряда:
\(\vec=(\vec_Б — \vec_А)\). (\(3\))
Работу кулоновской силы можно записать как скалярное произведение силы на перемещение:
\(A=\vec\cdot =q \vec (\vec_Б — \vec_А) \). (\(4\))
Выбрав за ноль потенциальной энергии начальную точку \((\vec_А)\), перепишем формулу (\(1\)) в виде:

Из формулы (\(4\)) получим, что потенциальная энергия заряда, который расположен в точке с радиус-вектором \(\vec_Б=\vec\) в однородном электрическом поле, равна скалярному произведению радиус-вектора на вектор напряжённости электрического поля:
\(E= -A=-q \vec \cdot \vec \), (\(6\))
что в координатном виде может быть записано как:
\(E=-q (E_x x+E_у y+E_z z).\) (\(7\))

Энергия взаимодействия точечных зарядов

Для того чтобы найти энергию взаимодействия точечных зарядов, рассмотрим систему из двух положительных зарядов \(q_1\) и \(q_2\). Положим, что заряд \(q_1\) неподвижен.

Рассмотрим, какую работу совершит электрическое поле, которое создано зарядом \(q_1\), при перемещении заряда \(q_2\) из точки \(А\) в точку \(Б\) по красной траектории (рис. \(2\)).

Рис. \(2\). Перемещение заряда в поле точечного заряда

Как и в случае однородного электрического поля, вместо красной траектории будем рассматривать чёрную траекторию, где из точки \(А\) в точку \(С\) заряд перемещается вдоль линии, соединяющей эти два заряда, а из точки \(С\) в точку \(Б\) — по дуге окружности, центром которой является первый заряд.

В таком случае работа электрического поля на дуге \(СБ\) будет нулевой:
\(A=\vec \cdot \vec=|F|\cdot |r|cos(\pi/2)=0,\) \((8)\)

поскольку сила Кулона всегда перпендикулярна перемещению. На участке \(АС\) сила Кулона сонаправлена с перемещением, а по модулю:
\( F(r)=\frac\), (\(9\))
поэтому работу электрического поля можно рассчитать как:

\(A=F(r_A)r+F(r_A+\Delta r)\Delta r+F(r_A+2\Delta r) \Delta r+F(r_A+3\Delta r) \Delta r+\ldots +\)

\(+F(r_C-2\Delta r) \Delta r+ F(r_C-\Delta r) r=\sum \limits_^F(r)\Delta r=\sum \limits_^ \frac \cdot \Delta r.\) \((10)\)
В пределе, когда \(\Delta r\) мало, эта сумма равна:
\(A=-\frac\). (\(11\))
Сравнивая формулы (\(1\)) и (\(11\)), получаем, что потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов:
\(E=\frac.\) (\(12\))

Энергия системы \(n\) точечных зарядов

Если рассматривать систему, состоящую из \(n\) точечных зарядов, то её потенциальная энергия:
\( E=\frac \sum \limits_ \frac>=\frac \left(\frac>+\frac>+\frac>+\frac>+\ldots \right),\) (\(13\))
где \(r_\) — это расстояние между \(i\)-м и \(j\)-м точечными зарядами, а множитель \(\frac\) появляется из-за того, что в сумме дважды учитывается потенциальная энергия взаимодействия \(i\)-го и \(j\)-го точечных зарядов.

Свойство линий напряжённости электрического поля

Поскольку сила Кулона потенциальна, то, если перемещать заряд по любому замкнутому контуру, работа силы Кулона равна нулю.
Отсюда вытекает, что линия напряжённости электростатического поля не замкнута.
Докажем это от противного: предположим, что линия электрического поля замкнута (рис. \(3\)).

Рис. \(3\). Замкнутая линия электрического поля

Но тогда при перемещении положительного заряда по замкнутой линии электрического поля работа электрического поля будет равна:
\(A=\sum \vec \cdot \vec\). (\(14\))
Каждый член этой суммы положителен, поскольку сила всегда сонаправлена с перемещением (рис. \(3\)).