Как получить обратную матрицу в excel

Вычисление обратной матрицы в EXCEL

Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля.

СОВЕТ : О нахождении определителя матрицы читайте статью Вычисление определителя матрицы в MS EXCEL

Матрица А -1 называется обратной для исходной матрицы А порядка n, если справедливы равенства А -1 *А=Е и А*А -1 =Е, где Е единичная матрица порядка n.

Для вычисления обратной матрицы в MS EXCEL существует специальная функция МОБР() .

Если элементы исходной матрицы 2 х 2 расположены в диапазоне А8:В9 , то для получения транспонированной матрицы нужно (см. файл примера ):

• выделить диапазон 2 х 2, который не пересекается с исходным диапазоном А8:В9 , например, Е8:F9
• в Cтроке формул ввести формулу = МОБР (A8:B9) и нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER , т.е. нужно ввести ее как формулу массива (формулу можно ввести прямо в ячейку, предварительно нажав клавишу F2 )

Если матрица большей размерности, то перед вводом формулы нужно выделить соответственно больший диапазон ячеек.

Массив может быть задан не только как интервал ячеек, например A8:B9 , но и как массив констант , например =МОБР() . Запись с использованием массива констант позволяет не указывать элементы в отдельных ячейках, а разместить их в ячейке вместе с функцией. Массив в этом случае указывается по строкам: например, сначала первая строка 5;4, затем через двоеточие записывается следующая строка 3;2. Элементы отделяются точкой с запятой.

Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на именованный диапазон .

Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены: в таких случаях функция МОБР() возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Матрицы не могут быть обращены, у которых определитель равен 0.

Если функция МОБР() вернула значение ошибки #ЗНАЧ!, то либо число строк в массиве не равно числу столбцов, либо какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст. Т.е. функция МОБР() пустую ячейку воспринимает не как содержащую 0 (как например, это делает СУММ() ), а как ошибочное значение.

Вычисление обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений

СОВЕТ : Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция МОБР() .

В файле примера приведен расчет обратной матрицы 3-го порядка через матрицу алгебраических дополнений.

Порядок действий при вычислении обратной матрицы:

• Вычисляем определитель матрицы А (далее — Det(A)) и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима)
• Строим матрицу из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы
• Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений
• Умножаем каждый элемент транспонированной матрицы из алгебраических дополнений на 1/Det(A) и получаем обратную матрицу

В качестве проверки можно перемножить исходную и обратную матрицы . В результате должна получиться единичная матрица.

Функции для работы с матрицами в Excel

В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.

Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.

Формулы массива

Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).

Порядок применения формулы массива:

1. Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
2. Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
3. Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.

В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.

Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.

Решение матриц в Excel

С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.

Транспонирование

Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.

Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.

• 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
• 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.

Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.

Сложение

Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.

В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+H2). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.

Умножение матриц в Excel

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).

Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.

В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.

Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:H11). Вводим как формулу массива.

Обратная матрица в Excel

Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).

Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.

Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:

Нахождение определителя матрицы

Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.

Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).

Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.

• Excel Formula Examples
• Создать таблицу
• Форматирование
• Функции Excel
• Формулы и диапазоны
• Фильтр и сортировка
• Диаграммы и графики
• Сводные таблицы
• Печать документов
• Базы данных и XML
• Возможности Excel
• Настройки параметры
• Уроки Excel
• Макросы VBA
• Скачать примеры

Функция МОБР

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше

Функция МОБР возвращает обратную матрицу для матрицы, храняной в массиве.

Примечание: Если у вас установлена текущая версия Microsoft 365, можно просто ввести формулу в верхней левой ячейке диапазона вывода и нажать клавишу ВВОД, чтобы подтвердить использование формулы динамического массива. Иначе формулу необходимо вводить с использованием прежней версии массива, выбрав диапазон вывода, введя формулу в левой верхней ячейке диапазона и нажав клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД для подтверждения. Excel автоматически вставляет фигурные скобки в начале и конце формулы. Дополнительные сведения о формулах массива см. в статье Использование формул массива: рекомендации и примеры.

Синтаксис

Аргументы функции МОБР описаны ниже.

• Массива Обязательный. Числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

Замечания

• Массив может быть задан как диапазон ячеек, например A1:C3 как массив констант, например или как имя диапазона или массива.
• Если какие-либо ячейки в массиве пустые или содержат текст, функции МОБР возвращают #VALUE! ошибку «#ВЫЧИС!».
• МоБР также возвращает #VALUE! если массив не имеет равного числа строк и столбцов.
• Обратные матрицы, такие как определители, обычно используются для решения систем математических уравнений с несколькими переменными. Произведением матрицы и обратной является матрица удостоверений — квадратный массив, в котором диагональные значения равны 1, а все остальные — 0.
• В качестве примера вычисления обратной матрицы, рассмотрим массив из двух строк и двух столбцов A1:B2, который содержит буквы a, b, c и d, представляющие любые четыре числа. В таблице приведена обратная матрица для массива A1:B2.

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы в EXCEL

Решим систему из 3-х линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы (матричным методом).

Запишем в ячейки основную матрицу системы и столбец свободных членов.

Систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными можно решать матричным методом только тогда, когда определитель основной матрицы системы отличен от нуля (в противном случае мы имеем линейно зависимые уравнения и соответственно решение систем не единственное). В нашем случае определитель =12.

Для этого выделите ячейки A18:C20 , а в Строке формул введите =МОБР(A11:C13) , затем нажмите CTRL+SHIFT+ENTER .

Решение системы уравнений получим умножением обратной матрицы и столбца свободных членов. Перемножить матрицы можно с помощью формулы массива =МУМНОЖ() .

Для этого выделите ячейки F18:F20 , а в Строке формул введите =МУМНОЖ(A18:C20;F11:F13) , затем нажмите CTRL+SHIFT+ENTER .

В файле примера также приведено решение системы 4-х и 5-и уравнений.