Что такое резонанс токов

5.8 Резонанс напряжений и токов в электрических цепях

Резонансом напряжений называют такой режим в электрической цепи, содержащей последовательно включенные катушки индуктивности и конденсаторы, при котором ее входное реактивное сопротивление равно нулю.

Резонансом токов называют такой режим в электрической цепи, содержащей параллельно включенные катушки индуктивности и конденсаторы, при котором ее входная реактивная проводимость равна нулю.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возможен в цепи, приведенной на рис.5.21.

Резонанс наступает при равенстве реактивных сопротивлений и . Реактивные сопротивления зависят от угловой частоты и при некоторой частоте , называемой резонансной индуктивное и емкостное сопротивления цепи станут равны. При этом полное реактивное сопротивление цепи равно нулю:

Определим резонансную частоту, преобразовав (5.40):

На резонансной частоте цепь обладает только активным сопротивлением. Ток в цепи максимален и равен:

Резонанс токов

Резонанс токов возможен в цепи, приведенной на рис.5.22.

Резонанс наступает при равенстве реактивных проводимостей и . Реактивные проводимости зависят от угловой частоты и при некоторой частоте , называемой резонансной индуктивная и емкостная проводимости цепи станут равны. При этом токи катушки индуктивности и емкости будут равны и противоположно направлены, а результирующий ток будет равен нулю. Резонансная частота равна:

5.9 Представление синусоидально изменяющихся электрических величин комплексными числами

Синусоидально изменяющуюся электрическую величину можно представить комплексным числом и изобразить в виде вектора на комплексной плоскости с прямоугольной системой координат (рис. 5.23, а).

Комплексное число состоит из действительной (вещественной) и мнимой частей. По оси ординат откладывают дей­ствительную часть комплексного числа, а ось обозначают +1 и -1; по оси абсцисс — мнимую часть комплексного числа, а ось обозначают j и — j.

На комплексной плоскости синусоидальная величина может изображаться в виде модуля и аргумента или в виде двух составляющих вектора, направляемых по действительной и мнимой осям. Например, синусоидальный ток представляют вектором , модулем кото­рого является значение амплитуды тока I_m, а аргументом – начальная фаза , которую можно выражать в радианах или в градусах (рис. 5.23, а).

Составляющими вектора по действительной оси будет , а по мнимой т. е. _.

рис. 5.23, а рис. 5.23, б

Вектор называют комплексной амплитудой тока.

Обычно при расчетах пользуются действующими значениями. Комплекс действующего значения электрической величины получают путем деления комп­лексной амплитуды на :

Комплексы действующих значений кратко называют комплексом величины, например комплекс тока, комплекс напряжения и т. д.

Запишем выражение для мгновенного значения тока, если комплекс­ный ток , частота тока f=50 Гц, ω=2πf=2×3,14×50=314 рад/c

В этом случае амплитуда тока I_m аргумент ψ_i . Амплитудное значение тока . Аргумент определяем через = 3/4 (рис. 5.23, а). По тригонометрической таблице находим ψ_i = 37°. В результате мгновенное значение тока запишем в виде .

Если надо сложить или вычесть синусоидальные величины одинаковой частоты, применяют два способа: графический и аналитический. Например, найдем аналитическим способом сумму двух эдс:

Решение задачи сводится к нахождению амплитуды E_m и ар­гумента ψ суммарной эдс . Эта сумма соответствует сумме проекций на действительную и мнимую оси комплексной плоскости (рис. 5.23, б):

Проекции и , найденные в результате суммирования соответствующих проекций векторов и будут действительной и мнимой составляющими комплексной амплитуды Модуль результирующей эдс: . Аргумент ψ определяется из выражения .

При построении векторных диаграмм точно фиксируют угол сдвига между векторами, а положение их относитель­но осей комплексной плоскости может быть произвольным, поэтому оси можно не изображать. При этом для удобства анализа и построения векторных диаграмм начальный фазовый угол одной из электрических величин (чаще напря­жение источника электрической энергии) принимают равным нулю.

При анализе электрических цепей переменного тока прихо­дится иметь дело с умножением и делением электрических ве­личин. В этом случае удобно пользоваться комплексами этих величин, записанными в показательной форме:

где e iψ — оператор поворота единичного вектора относительно оси действительных величин. Например, произведение и частное имеют такой вид:

Для единичного вектора тока (I=1А) и значений ψ_i = 0; π/2; -π/2; π имеем:

Отсюда следует, что умножение на j означает поворот вектора на +90 0 (в сторону, противоположную направлению движения стрелки часов). При умножении на j 2 =j*j вектор поворачивается на +180 0 и занимает направление, обратное исходному положению. Умножение на –j означает поворот вектора на угол -90 0 (по часовой стрелке).

Резонанс токов

Резонанс токов – это такой режим работы разветвленной цепи с параллельным включением активного, индуктивного и емкостного элементов, при котором индуктивная и емкостная проводимости равны друг другу (b_L = b_C).

То есть резонанс токов наступает при условии , как и резонанс напряжений при условии . По аналогии с механическими колебательными системами резонанс токов (или напряжений) в электрической цепи синусоидального тока наступает, когда частота вынужденных колебаний f совпадает с частотой собственных колебаний f₀ цепи. Частота собственных колебаний f₀ цепи зависит от соотношения реактивных параметров: индуктивности L и емкости C.

Выражение для f₀ можно получить из приведенных выше равенств

или для собственной угловой частоты ω₀ = 2πf₀

Таким образом, если требуется достичь резонанса при заданной частоте f вынужденных колебаний, в частности, при f = 50 Гц, то можно получить величину f₀ = 50 Гц посредством раздельного или совместного воздействия на индуктивность L и емкость C.

Явление резонанса в электрических цепях широко используется в технике (например, известный из школьного курса физики колебательный L–C контур).

Рассмотрим основные соотношения, характеризующие разветвленную цепь в режиме резонанса, вытекающие из соотношения b_L = b_C.

Полная проводимость равна активной g и становится наименьшей, то есть цепь на входе ведет себя как содержащая только резистивный элемент.

В соответствии с законом Ома (51) суммарный ток (на входе цепи) примет наименьшее значение

На рисунке 28 показаны векторы слагаемых токов I_a, I_L, I_C с учетом их сдвига относительно вектора напряжения U для случая резонанса тока (I_L = I_C) и построение векторная диаграмма в соответствии с первым законом Кирхгофа (48).

По аналогии с резонансом напряжений в реактивных элементах токи I_L и I_C могут значительно превосходить суммарный ток I = I_a, когда будет выполнено условие b_L = b_C >> g.

Коэффициент мощности и способы его повышения

Коэффициентом мощности называется отношение активной (средней за период) мощности Р к полной (кажущейся) мощности S.

Полная мощность, как это следует из треугольника мощности (рис. 29):

где Q – реактивная мощность. Кроме того, справедливы следующие соотношения: S = UI, P = UIcosφ, Q = UIsinφ, где U, I, φ – соответственно действующие значения напряжения и тока и угол сдвига по фазе между напряжением и током на входе потребителя переменного тока. В общем случае результирующая реактивная мощность определяется как разность индуктивной Q_L и емкостной Q_C мощностей

Нетрудно видеть (рис. 29), что коэффициент мощности может быть представлен как косинус угла сдвига φ между напряжением и током

Коэффициент мощности можно также получить как отношение активной составляющей к полной величине: сопротивления или проводимости, напряжения или тока эквивалентной последовательной и параллельной цепей, то есть

как это следует из соответствующих подобных треугольников.

Как известно [2], площадь поперечного сечения проводов линий электропередач и электрических сетей, обмоток электрических машин и трансформаторов выбирается из условий нагрева, то есть по величине тока I, который при заданном напряжении пропорционален полной мощности S = UI. Энергия, преобразуемая из электрической необратимо в другие виды (механическую, тепловую, химическую и др.), то есть используемая человеком для практических целей, пропорциональна активной энергии и соответствующей ей активной мощности Р, которая, как следует из выражения (58), может быть представлена в виде:

Поскольку U = const (стандартная величина напряжения, подаваемого на зажимы приемника), то одна и та же величина активной мощности Р может передаваться приемнику при большем токе и низком cosφ, или меньшем токе и более высоком значении коэффициента мощности cosφ.

Поэтому выгодно повышать cosφ на входе приемника, поскольку при этом снижается ток I в питающей линии, что позволяет увеличить ее пропускную способность, то есть передать дополнительную активную мощность, а также снизить потери напряжения на входе приемника и потери энергии на нагревание проводов линии электропередачи.

Большинство приемников электрической энергии переменного тока имеет индуктивный характер, то есть они потребляют индуктивную мощность Q_L (асинхронные двигатели, трансформаторы, электромагниты, выпрямители, магнитные пускатели и т.д.). Для уменьшения индуктивной мощности, передаваемой по линии, и повышения тем самым cosφ существует ряд мероприятий, в том числе искусственное повышение cosφ с помощью батареи конденсаторов, которое рассмотрим в этом разделе применительно к однофазному активно-индуктивному приемнику или одной фазе симметричного трехфазного приемника.

На рисунке 30а показана эквивалентная схема приемника, который представлен в виде двух параллельно включенных ветвей: активной r и катушки индуктивности L. Согласно первому закону Кирхгофа вектор действующее значение тока приемника равен геометрической сумме активного и индуктивного токов:

где величина тока .

Векторная диаграмма напряжения U питающей линии и токов эквивалентной схемы показана на рисунке 30б. Если стороны заштрихованного векторного треугольника токов умножить на напряжение U, то получится подобный исходному треугольник мощностей приемника со сторонами P, Q и S (рис. 30б)

На рисунке 31а показана схема, на которой параллельно приемнику с помощью ключа K можно включить компенсирующий конденсатор с емкостью С.

Если ключ K разомкнут, то по питающей линии течет ток I = I_пр, чему соответствует векторная диаграмма на рисунке 30б.

Чтобы уменьшить ток I линии, необходимо замкнуть ключ K (рис. 31а). При этом в цепи конденсатора потечет ток , опережая напряжение U на угол π /₂, причем – емкостное сопротивление конденсатора при частоте питающей сети f = 50 Гц (ω = 2πf – угловая частота).

Согласно первому закону Кирхгофа при замкнутом ключе K (рис. 31а)

где I_p = I_L – I_C – реактивный ток, поступающий из сети. Соответствующая равенству (62) векторная диаграмма показана на рисунке 31б. Из диаграммы видно, что при включенном конденсаторе ток линии изменяется до величины I < I_пр, угол φ между током I в линии и напряжением U уменьшается (φ < φ), а, следовательно, коэффициент мощности увеличится (cosφ > cosφ).

Оказывается, что экономически целесообразно повышать cosφ до величины cosφ = 0,850,9 при отстающем токе I, так как при достижении резонанса cosφ = 1,0 или перекомпенсации, то есть опережающем токе (φ < 0) чрезмерно повышается стоимость устанавливаемых конденсаторов.

Задача повышения cosφ обычно формулируется следующим образом: задан активно-индуктивный приемник, получающий питание от сети с напряжением U и имеющий при заданной активной мощности P = const невысокий cosφ. Необходимо рассчитать емкость компенсирующей батареи конденсаторов такой величины, чтобы коэффициент мощности установки повысился до значения cosφ > cosφ.

Можно показать, что величина емкости С при этом должна рассчитываться по формуле

Вывод этой зависимости приведен в [7].

Необходимо помнить, что при включении компенсирующего конденсатора (рис. 31а) сам приемник продолжает работать с тем же самым током I_пр и низким cosφ, а коэффициент мощности cosφ повышается на входе всей установки, включающей сам приемник и компенсирующий конденсатор.

Резонанс токов

Резонанс токов возникает в электрических цепях переменного тока при параллельном соединении ветвей с разнохарактерными (индуктивными и емкостными) реактивными сопротивлениями. В режиме резонанса токов реактивная индуктивная проводимость цепи оказывается равной ее реактивной емкостной проводимости, т.е. B_L=B_C.

Простейшей электрической цепью, в которой может наблюдаться резонанс токов, является цепь с параллельным соединением катушки индуктивности и конденсатора. Данная схема соответствует цепи, представленной на рис. 8, а, для которойR₂ = 0, а R₁=R_к (здесьR_к – активное сопротивление катушки индуктивности). Полная проводимость такой цепиY=.

Условие резонанса токов (B_L=B_C) можно записать через соответствующие параметры электрической цепи. Так как реактивная проводимость катушки, имеющей активное сопротивлениеR_к, определяется выражениемB_L=X_L/=L/(R_к 2 + 2 L 2 ), а проводимость конденсатора без учета его активного сопротивления (R_C= 0)B_C=X_C/= 1/X_C=C, то условие резонанса может быть записано в виде

L/(+ 2 L 2 ) = C.

Из этого выражения следует, что резонанс токов в такой цепи можно получить при изменении одного из параметров R_к,L,Cипри постоянстве других. При некоторых условиях в подобных цепях резонанс может возникать и при одновременном изменении указанных параметров.

Простейшие резонансные цепи, состоящие из параллельно соединенных между собой катушки индуктивности и конденсатора, широко применяются в радиоэлектронике в качестве колебательных контуров, резонанс токов в которых достигается при некоторой определенной частоте поступающего на вход соответствующего устройства сигнала.

В лабораторных условиях наиболее часто резонанс токов достигается при неизменной индуктивности катушки L, путем изменения емкостиСбатареи конденсаторов. С изменением емкостной проводимостиB_C=C, пропорциональной емкости конденсатора, происходит изменение полной проводимостиY, общего токаIи коэффициента мощности cos. Указанные зависимости приведены на рис. 10,a. Анализ этих зависимостей показывает, что при увеличении емкости от нуля полная проводимость электрической цепи сначала уменьшается, достигает при (B_L=B_C) своего минимума, а затем возрастает с увеличениемС, в пределе стремясь к бесконечности. Общий токI=YU, потребляемый цепью, пропорционален полной проводимости. Поэтому характер его изменения подобен характеру изменения проводимости.

Коэффициент мощности cosс увеличением емкости сначала возрастает, а затем уменьшается, в пределе стремясь к нулю, так как cos=G/Y. В результате анализа указанных зависимостей можно установить, что резонанс токов характеризуется следующими явлениями.

1. При резонансе токов полная проводимость всей электрической цепи приобретает минимальное значение и становится равной активной ее составляющей:

Y = =G.

2. Минимальное значение проводимости обусловливает минимальное значение тока цепи:

I = YU = GU.

3. Емкостный ток I_Cи индуктивная составляющаяI_L тока катушкиI_коказываются при этом равными по величине, а активная составляющая тока катушкиI_а1 становится равной токуI, потребляемому из сети:

I_р1 = I_L = B_LU = B_CU = I_C = I_р2; I_а = I_а1 =GU = YU =I.

При этом реактивные составляющие токов I_L иI_Cв зависимости от значений реактивных проводимостей могут приобретать теоретически весьма большие значения и намного превышать токI, потребляемый электрической цепью из сети.

4. Реактивная составляющая полной мощности цепи при B_L=B_Cоказывается равной нулю:

Q = B_LU 2  B_CU 2 = Q_L  Q_C = 0.

При этом индуктивная и емкостная составляющие реактивной мощности также могут приобретать весьма большие значения, оставаясь равными друг другу.

5. Полная мощность цепи при резонансе равна ее активной составляющей:

S = YU 2 = GU 2 = P.

6. Коэффициент мощности всей цепи при резонансе:

cos = P/S = GU 2 /YU 2 = 1.

Напряжение и ток электрической цепи при резонансе токов совпадают по фазе. Векторная диаграмма, построенная для условий резонанса токов и применительно к рассматриваемой цепи, представлена на рис. 10, б. В табл. 2 методических указаний по выполнению работы обозначениямI_L, I_K, I_C соответствуют обозначенияI_р1, I₁, I_р2 на векторной диаграмме токов (рис. 10,б).

Резонанс токов находит широкое применение в силовых электрических цепях для повышения коэффициента мощности, так как это имеет большое технико-экономическое значение. Большинство промышленных потребителей переменного тока имеют активно-индуктивный характер; некоторые из них работают с низким коэффициентом мощности и потребляют значительную реактивную мощность. К таким потребителям могут быть отнесены асинхронные двигатели (особенно работающие с неполной нагрузкой), установки электрической сварки, высокочастотной закалки и т.д. Для уменьшения реактивной мощности и повышения коэффициента мощности параллельно потребителю включают батарею конденсаторов. Реактивная мощность конденсаторной батарей снижает общую реактивную мощность установки и тем самым увеличивает коэффициент мощности. Повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока в проводах за счет снижения его реактивной составляющей и, соответственно, к уменьшению потерь энергии в генераторе и подводящих проводах.

У вас большие запросы!

Точнее, от вашего браузера их поступает слишком много, и сервер VK забил тревогу.

Эта страница была загружена по HTTP, вместо безопасного HTTPS, а значит телепортации обратно не будет.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы отключили сохранение Cookies, а они нужны, чтобы решить проблему.

Почему-то страница не получила всех данных, а без них она не работает.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы вернётесь на предыдущую страницу через 5 секунд.
Вернуться назад