11. Упругие (механические) волны
Поверхность, во всех точках которой волна в данный момент времени имеет одинаковую фазу, называется фронтом волны. Передний фронт волны — это граница волнового поля, поэтому процесс распространения волны можно рассматривать как перемещение ее переднего фронта. В однородной изотропной среде направление распространения волны перпендикулярно к её фронту. Это направление называется лучом.
Различают два вида упругих волн — продольные и поперечные.
Продольными называются волны, в которых колебания частиц среды происходит в направлении распространения волны. Упругие продольные волны связаны с объёмной деформацией упругой среды и поэтому могут возникать в любых средах — твёрдых, жидких и газообразных.
Поперечными называются такие волны, в которых колебания частиц среды происходят в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут распространяться лишь в средах, обладающих упругой деформацией сдвига, т.е. в твёрдых телах.
Найдём уравнение гармонической одномерной упругой волны, называемой часто бегущей волной.
Пусть источник S колеблется в упругой среде по гармоническому закону: =A cos t.
Колебание в точке М, отстоящей от источника на расстоянии х, совершается по закону
где — время, в течение которого волновой фронт достигает точки М — рис. 11.1. Таким образом,
Это и есть уравнение бегущей волны. Здесь — смещение от положения равновесия в точке пространства с координатой x в момент времени t.
Длиной волны называется расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Длина волны численно равна пути, который проходит передний фронт волны за время, равное периоду колебаний: =vT.
Преобразуем выражение для фазы волны следующим образом:
Тогда уравнение волны можно представить в виде
12. Интерференция волн
Интерференцией называется явление наложения волн от двух когерентных источников, в результате которого происходит перераспределение интенсивности волн в пространстве, т.е. возникают интерференционные максимумы и минимумы.
Когерентными называются волны, имеющие одинаковую частоту и не зависящую от времени (постоянную) разность фаз.
Найдём условия возникновения интерференционных максимумов и минимумов при интерференции волн от двух когерентных источников S1 и S2 — рис. 12.1.
Каждый из источников «посылает» в точку М волны, уравнения которых имеют вид:
В точке М происходит сложение колебаний одинакового направления. Для нахождения результирующей амплитуды колебаний воспользуемся формулой (8.1). В данном случае:
где величина = x2 — x1 называется разностью хода.
Рассмотрим частные случаи.
1. Пусть разность хода равна чётному числу полуволн =2k/2 (k=0, 1, 2. ). Тогда , и из выражения (8.1) следует, что Ap=A1+A2, т.е. в данном случае возникает интерференционный максимум.
2. Пусть разность хода равна нечётному числу полуволн =(2k+1)/2 (k=0, 1, 2. ). Тогда , и из выражения (8.1) следует, что Ap=A1-A2, т.е. в данном случае наблюдается интерференционный минимум.
I. 4. Какие типы волн существуют в природе, технике? Какие волны называются упругими? Дайте определение продольных и поперечных упругих волн.
Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны. В поперечных – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространению волны.
Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.
I. 5. Какие упругие волны называются гармоническими? График упругой волны, распространяющейся вдоль оси х. Что называют длиной волны, волновым фронтом?
Упругая волна называется гармоникой, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис. 3.2 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью V вдоль оси Х, т.е. приведена зависимость между смещением ξ частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного момента времени t. Приведенный график функции ξ (х, t) похож на график гармонического колебания, однако они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний – зависимость смещения данной частицы от времени.
Расстояние между ближайшими частицами, колеблющихся в одинаковой фазе, называется длиной волны λ (рис. 3.2)
Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период, т.е.
или, учитывая, что Т = 1/ν, где ν – частота колебаний,
волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.
I. 6. Что называется волновой поверхностью? Какие волны называются плоскими, сферическими? Запишите их уравнения.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени – один. Волновой фронт так же является волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.
В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
где А = const – амплитуда волны, ω – циклическая частота, φ0 – начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начала отсчета х и t, [ + φ0] – фаза плоской волны.
Уравнение сферической волны (волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер), записывается как
ξ(r,t)= (3.3)
где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (3.3) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).
1. Бегущая волна. Упругие волны
Возьмем длинную разноцветную пружину (слинки), растянем её и легонько ударим рукой по одному из её концов (рис. \(1\)).
Рис. \(1\). Удар по пружине
Витки пружины с этого конца сблизятся. Под действием силы упругости витки с одной стороны начинают расходиться, а с другой сближаться. На протяжении всей длины пружины можно наблюдать, как перемещается область уплотнения (сгущения) по пружине (рис. \(2\)).
Рис. \(2\). Перемещение области уплотнения по пружине
Постукивая с одного конца ритмично, можем добиться того, что витки будут передавать колебательные движения, оставаясь около своего положения равновесия.
Колебания будут передаваться последовательно по виткам пружины. На рисунке \(3\) показаны сгущения и разрежения в пружине вследствие распространения колебания вдоль всей пружины.
Ритмично запуская колебания по пружине, воздействуя рукой, мы добьёмся распределения сгущения и разрежения вдоль пружнины (рис. \(3\)).
Рис. \(3\). После ритмических ударов по пружине
Наблюдая за витками пружины, можно сделать вывод, что от одного ее конца к другому будет распространяться возмущение, иными словами — изменение некоторых физических величин, характеристик состояния среды.
В случае пружины таким возмущением будет изменение модуля и направления силы упругости, а также ускорения и скорости движения витков, смещение витков от их изначального положения.
Волны — это возмущения, распространяющиеся в пространстве.
Эту волну называют бегущей. При распространении волны в пространстве происходит перенос энергии, а само вещество, в котором, распространяется волна, не переносится.
Витки пружины получают энергию при ударе. Так как витки связаны между собой, то одни витки, начинают передавать ее соседним виткам. Передача энергии происходит от витка к витку, при этом мы видим как распространяется механическое возмущение вдоль пружины (рис. \(4\)), т.е. создается бегущая волна.
Рис. \(4\). Передача энергии по пружине
Легко заметить, что вся пружина остаётся на прежнем месте, но при этом происходит колебание каждого витка пружины.
Механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде, называют упругой волной.
Примером упругих волн являются звуковые волны (рис. \(5\)).
Рис. \(5\). Звуковые волны
Упругие волны образуются в среде в результате возникновения упругих сил. Причиной возникновения этих сил является деформация.
Рассмотрим пример с камертоном. При ударении молоточком по одной из ветвей камертона возникнет упругая волна (рис. \(6\)).
Рис. \(6\). Распространение звука камертона
При отсутствии молекул среды распространение упругих волн невозможно. В этом случае могут распространятся только электромагнитные волны (рис. \(7\)).
Рис. \(7\). Распространение электромагнитной волны
Механика волновых процессов исследуется в оптической физике, в электродинамике, в акустике и в других смежных науках и прикладных отраслях. Чем больше возможностей наблюдать, изучать и описывать волновые процессы, тем точнее прогнозируются явления природы и пути их использования.
Упругие волны.
Любое упругое тело состоит из большого числа частиц (атомов, молекул), взаимодействующих друг с другом. Силы взаимодействия проявляются при изменении расстояния между частицами (при растяжении возникают силы притяжения, при сжатии – отталкивания) и имеют электромагнитную природу. Если какая-либо частица внешним воздействием выводится из положения равновесия, то она потянет за собой в том же направлении другую частицу, эта вторая — третью, и возмущение будет распространяться от частицы к частице в среде с определенной скоростью, зависящей от свойств среды. Если частица была сдвинута вверх, то под действием верхних частиц, отталкивающих, и нижних, притягивающих, она начнет двигаться вниз, пройдет положение равновесия, по инерции сместиться вниз и т.д., т.е. будет совершать гармоническое колебательное движение, вынуждая к колебаниям соседнюю частицу, и т.д. Поэтому при распространении возмущения в среде все частицы совершают колебания с одинаковой частотой, каждая около своего положения равновесия. Процесс распространения механических колебаний в упругой среде называется упругой волной. Этот процесс периодичен во времени и пространстве. При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основное свойство всех волн — перенос энергии без переноса вещества. Различают продольные и поперечные упругие волны. Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны (рис.7). Для взаимного расположения колеблющихся точек характерны сгущения и разряжения. При распространении такой волны в среде возникают сгущения и разряжения. Продольные волны возникают в твердых, жидких и газообразных телах, в которых возникают упругие деформации при сжатии или растяжении. Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (рис. 8). П
ри распространении поперечной волны в упругой среде образуются гребни и впадины. Поперечная волна возможна в среде, где деформация сдвига вызывает упругие силы, т.е. в твердых телах. На границе раздела 2-х жидкостей или жидкости и газа возникают волны на поверхности жидкости, они вызываются либо силами натяжения, либо силами тяжести. Таким образом, внутри жидкости и газа возникают только продольные волны, в твердых телах – продольные и поперечные. Скорость распространения волн зависит от упругих свойств среды и ее плотности. Скорость распространения продольных волн в 1,5 раза больше скорости поперечных. Распространяясь от одного источника, обе волны приходят к приемнику в разное время. Измеряя разность времен распространения продольных и поперечных волн, можно определить место источника волн (атомного взрыва, эпицентра землетрясения и т.д.). С другой стороны, скорость распространения волн в земной коре зависит от пород, залегающих между источником и приемником волн. Это является основой геофизических методов исследования состава земной коры и поиска полезных ископаемых. Продольные волны, распространяющиеся в газах, жидкости и твердых телах и воспринимаемые человеком, называются звуковыми волнами. Их частота лежит в пределах от 16 до 20000 Гц, ниже 16 Гц — инфразвук, выше 20000Гц — ультразвук. Соколов С.Я., член корреспондент АН СССР, в 1927-28 гг. обнаружил способность ультразвуковых волн проникать сквозь металлы и разработал методику УЗ дефектоскопии, сконструировав первый УЗ генератор на 10 9 Гц. В 1945 году он первым разработал метод преобразования механических волн в видимые световые и создал ультразвуковой микроскоп. Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых распространились колебания к данному моменту времени t, называется фронтом волны. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесконечно много, но их вид для данной волны одинаков. Волновой фронт представляет собой волновую поверхность в данный момент времени. В принципе волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае это совокупность параллельных плоскостей или концентрических сфер (рис. 9). Волна называется плоской, если ее фронт представляет собой плоскость. В
олна называется сферической, если ее фронт представляет собой поверхность сферы. В
олны, распространяющиеся в однородной изотропной среде от точечных источников, являются сферическими. На большом расстоянии от источника сферическая волна может рассматриваться как плоская. Принцип Гюйгенса: каждая точка фронта волны (т.е. каждая колеблющаяся частица среды) является источником вторичных сферических волн. Новое положение фронта волны представляется огибающей этих вторичных волн. Это утверждение высказал в 1690 году голландский ученый Гюйгенс. Справедливость его можно проиллюстрировать с помощью волн на поверхности воды, которые имитируют сферические волны, возникающие в объеме упругой среды. а1в1 — фронт в момент t1, а2в2 — фронт в момент t2. Перегородив поверхность воды преградой с малым отверстием и направив на преграду плоскую волну, убеждаемся, что за преградой — сферическая волна (рис. 10). Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию.
Получим уравнение бегущей плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось Y совпадает с направлением распространения волны. Уравнение волны определяет зависимость смещения колеблющейся частицы среды от координат и времени. Пусть некоторая частица среды В (рис. 11) находится на расстоянии у от источника колебаний, расположенного в точке О. В точке О смещение частицы среды от положения равновесия происходит по гармоническому закону,
где t — время, отсчитываемое от начала колебаний. В точке C
где
— время, за которое волна от точки O доходит до точки C,
— скорость распространения волны.
— уравнение плоской бегущей волны. Это уравнение определяет величину смещения х колеблющейся точки, характеризуемой координатой у, в любой момент времени t. Если плоская волна распространяется не в положительном направлении оси Y, а в противоположном направлении, то
Т.к.
уравнение волны можно записать в виде
Расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны — расстояние, на которое распространяется волна за период колебаний частиц среды, т.е.
. Т.к.
, где
— волновое число. В общем случае
.
19.05.2015 523.78 Кб 103 Лекция 1.doc
19.05.2015 347.65 Кб 130 Лекция 10.doc
19.05.2015 373.25 Кб 107 Лекция 11.doc
19.05.2015 464.38 Кб 159 Лекция 12.doc
19.05.2015 550.4 Кб 199 Лекция 13.doc
19.05.2015 445.95 Кб 114 Лекция 14.doc
19.05.2015 189.95 Кб 110 Лекция 15.doc
19.05.2015 260.1 Кб 123 Лекция 16.doc
19.05.2015 210.94 Кб 131 Лекция 17.doc
Ограничение
Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу: