Что такое резонанс и антирезонанс

4.5.2. Динамические методы

Динамические методы определения пьезо-электрических характеристик кристаллов связаны с возбуждением в них упругих колебаний и распространением акустических волн. Для определения коэффициента электромеханической связи K_св через пьезоэлектрические коэффициенты необходимо знать значения диэлектрической проницаемости (ε_ij) и непроницаемости (_ij), а также компоненты тензоров упругой податливости (s_mn) и упругой жесткости (c_mn). Диэлектрическая проницаемость ε_ij обычно рассчитывается из измерений электрической емкости образца по мостовой схеме.

Для нахождения упругих характеристик s_mn и c_mn нужно определить плотность вещества  и скорость распространения в нем акустических волн либо измерить геометрические размеры образца и частоту резонансных колебаний образца. Рассмотрим основные виды акустических волн в пьезоэлектрическом кристалле и найдем, как связаны между собой их скорости и упругие постоянные s_mn и c_mn.

Метод «резонанса-антирезонанса»

Определение параметров пьезоэлектриков методом резонанса-антирезонанса обычно производят с помощью схемы, приведенной на рис. 4.3. Схема содержит плавно перестраиваемый генератор (1), электронный частотомер (2) и резистор (3), предназначенный для уменьшения влияния реактивной составляющей выходного сопротивления генератора на результаты измерений. Последовательно с генератором в цепь включают исследуемый образец пьезоэлектрического материала с нанесенными электродами. Прежде всего, для этого необходимо измерить резонансную f_р и антирезонансную f_а частоты резонатора, которые являются частотами механического резонанса электрически свободного и электрически зажатого образца, соответственно. Значения частот f_р и f_а определяют экспериментально. Для этого плавно изменяют частоту генератора 1 (рис. 4.3) и посредством частотомера 2 находят частоты f_р и f_а, соответствующие максимальному и минимальному отклонению стрелки вольтметра 6, причем f_а > f_р.

Частота f_р соответствует максимуму, а частота f_а — минимуму на зависимости U(f):

Эти частоты имеют следующий физический смысл. Когда частота задающего генератора такова, что выполняется условие _pL — (_pC) -1 = 0 для пьезоэлектрической ветви контура, сопротивление контура становится минимальным (равным R) и через кристалл течет большой ток. Поэтому частота

называется резонансной. При повышении частоты задающего генератора наступает момент (=_а), когда выполняется условие

Полное сопротивление контура (импеданс) становится максимальным, а ток в цепи – минимальным. Эта частота называется антирезонансной:

По максимуму и минимуму тока в цепи регистрируют _р и _а.

Рис. 4.3. Схема для определения резонансной и антирезонансной частот: 1 — генератор, 2 — электронно-счетный частотомер, 3 — согласующее сопротивление, 4 — образец, 5 — сопротивление нагрузки, 6 — милливольтметр

Из двух последних выражений легко получить связь между измеряемыми частотами f_р и f_а и эквивалентным параметром С:

Статическая емкость резонатора С₀ может быть вычислена по обычной формуле плоского конденсатора (или измерена с помощью моста для измерения емкостей):

здесь  — диэлектрическая проницаемость; S — площадь электрода, d — расстояние между электродами, ₀ = 8,8510 -12 Ф/м — электрическая постоянная.

Таким образом, измерив f_p и f_a, можно вычислить эквивалентный параметр С по выше приведенной формуле.

Эквивалентный параметр L находится по формуле

Эквивалентный параметр R можно определить так называемым методом замещения. Известно, что на резонансной частоте сопротивление резонатора равно сопротивлению R эквивалентной цепи. Поэтому, заменив резонатор магазином сопротивлений и подобрав сопротивление, равное тому, которое имел резонатор в момент резонанса, можно определить R.

Выше уже говорилось, что частота _р позволяет определить упругие характеристики кристалла. Знание обеих величин _р и _а позволяет определять важнейшие пьезоэлектрические характеристики – коэффициент электромеханической связи К и пьезомодуль d. Покажем это.

Резонанс наступает при . Здесь – упругая податливость кристалла при замкнутых электродах, когда напряженность поля Е=0. Условие антирезонанса (резонанса токов) соответствует минимуму тока, а при R

где q – заряд на поверхности пьезокристалла. Отсюда следует, что q = const, а следовательно, и поляризация Р = const. Кристалл при наступлении антирезонанса оказывается элек-трически зажатым. Скорость акустических волн в кристалле в этом случае будет определяться соотношением

Здесь – упругая податливость кристалла при разомкнутых электродах, когда электрическая индукция D = const. Антирезонансные колебания, как и резонансные, соответствуют стоячей волне в стержне, когда на длине стержня укладывается половина длины волны, т.е.  = 2 . В соответствии с этим

Поскольку s D < s E , то _а > _p. Таким образом, получим:

Следовательно, знание _p и _а позволяет определять s_mn и К.

Более точное соотношение между К 2 и относительным резонансным промежутком имеет вид

Оставляя только первый член этого ряда, имеем

МЕТОД «РЕЗОНАНС-АНТИРЕЗОНАНС» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Журина Ангелина Евгеньевна, Емельянов Никита Сергеевич, Печерская Екатерина Анатольевна, Фимин Андрей Владимирович

Актуальность и цели . Пьезоэлектрические материалы являются перспективными для применения в датчиках, для контроля динамических процессов в качестве первичных преобразователей информации измерительных и управляющих систем. Пьзомодуль позволяет формализовать взаимосвязи между диэлектрическими и упругими свойствами материала, что указывает на актуальность исследования методов его определения. Материалы и методы. Исследованы электрофизические параметры образцов материалов с пьезомягкой и пьезожесткой модой методом «резонанс-антирезонанс». Результаты. Выполнен анализ применимости метода «резонанс-антирезонанс» для образцов с пьезомягкой и пьезожесткой модой, при котором в образцах возбуждаются соответствующие образцу моды колебаний. По измеренным значениям характерных частот, а также емкости образцов рассчитаны величины всех упругих пьезоэлектрических и диэлектрических констант. Выводы. Подтверждена применимость метода «резонанс-антирезонанс» для определения электрофизических параметров пьезоэлектриков как у материалов с пьезомягкими модами, так и с пьезожесткими. Показано, что полный набор констант, полученный для образца одной формы, отличается от образца из того же материала, но другой формы. Это обусловлено флуктуацией свойств при переходе от пьезоэлемента одной геометрии к пьезоэлементу с другой геометрией из-за разного уровня их поляризации, разброса степени их структурной неоднородности.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE «RESONANCE-ANTIRESONANCE» METHOD FOR DETERMINING THE ELECTROPHYSICAL PARAMETERS OF PIEZOELECTRICS

Background . Piezoelectric materials are promising for use in sensors, for monitoring dynamic processes as primary information converters of measuring and control systems. The piezomodule makes it possible to formalize the relationship between the electrical and elastic properties of the material, which indicates the relevance of the study of methods for its determination. Materials and methods . The electrophysical parameters of samples of materials with piezo-soft and piezo-hard modes are investigated by the «resonance-antiresonance» method. Results . The analysis of the applicability of the «resonance-antiresonance» method for samples with piezo-soft and piezo-hard modes, in which the oscillation modes corresponding to the sample are excited in the samples, is performed. The values of all elastic piezoelectric and dielectric constants are calculated from the measured values of the characteristic frequencies, as well as the capacitance of the samples. Conclusions . The applicability of the «resonance-antiresonance» method for determining the electrophysical parameters of piezoelectrics both in materials with piezo-soft modes and with piezo-rigid ones is confirmed. It is shown that the complete set of constants obtained for a sample of one form differs from a sample of the same material, but of a different form. This is due to the fluctuation of properties during the transition from a piezoelectric element of one geometry to a piezoelectric element with another geometry due to the different level of their polarization, the spread of the degree of their structural heterogeneity.

Текст научной работы на тему «МЕТОД «РЕЗОНАНС-АНТИРЕЗОНАНС» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ»

МЕТОД «РЕЗОНАНС-АНТИРЕЗОНАНС» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ

А. Е. Журина1, Н. С. Емельянов2, Е. А. Печерская3, А. В. Фимин4

1 2, 3, 4 Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1 gelya.zhurina@mail.ru, 2 emelianoff.nikita@gmail.com, 3 pea1@list.ru, 4 mr.l0tus@mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Пьезоэлектрические материалы являются перспективными для применения в датчиках, для контроля динамических процессов в качестве первичных преобразователей информации измерительных и управляющих систем. Пьзомодуль позволяет формализовать взаимосвязи между диэлектрическими и упругими свойствами материала, что указывает на актуальность исследования методов его определения. Материалы и методы. Исследованы электрофизические параметры образцов материалов с пьезомягкой и пье-зожесткой модой методом «резонанс-антирезонанс». Результаты. Выполнен анализ применимости метода «резонанс-антирезонанс» для образцов с пьезомягкой и пьезожесткой модой, при котором в образцах возбуждаются соответствующие образцу моды колебаний. По измеренным значениям характерных частот, а также емкости образцов рассчитаны величины всех упругих пьезоэлектрических и диэлектрических констант. Выводы. Подтверждена применимость метода «резонанс-антирезонанс» для определения электрофизических параметров пьезоэлектриков как у материалов с пьезомягкими модами, так и с пьезожесткими. Показано, что полный набор констант, полученный для образца одной формы, отличается от образца из того же материала, но другой формы. Это обусловлено флуктуацией свойств при переходе от пьезоэлемента одной геометрии к пьезоэлементу с другой геометрией из-за разного уровня их поляризации, разброса степени их структурной неоднородности.

Ключевые слова: пьезоэлектрик, метод «резонанс-антирезонанс», пьезоэлектрические константы, комплексная проводимость, частота

Для цитирования: Журина А. Е., Емельянов Н. С., Печерская Е. А., Фимин А. В. Метод «резонанс-антирезонанс» для определения электрофизических параметров пьезоэлектриков// Измерения. Мониторинг. Управление. Контроль. 2022. № 3. С. 76-82. doi:10.21685/2307-5538-2022-3-9

THE «RESONANCE-ANTIRESONANCE» METHOD FOR DETERMINING THE ELECTROPHYSICAL PARAMETERS OF PIEZOELECTRICS

А^. Zhurina1, N.S. Emelyanov2, E.A. Pecherskaya3, A.V. Fimin4

1 2 3 4 Penza State University, Penza, Russia 1 gelya.zhurina@mail.ra, 2 emelianoff.nikita@gmail.com, 3 pea1@list.ru, 4 mr.l0tus@mail.ru

Abstract. Background. Piezoelectric materials are promising for use in sensors, for monitoring dynamic processes as primary information converters of measuring and control systems. The piezomodule makes it possible to formalize the relationship between the electrical and elastic properties of the material, which indicates the relevance of the study of methods for its determination. Materials and methods. The electrophysical parameters of samples of materials with pie-zo-soft and piezo-hard modes are investigated by the «resonance-antiresonance» method. Results. The analysis of the applicability of the «resonance-antiresonance» method for samples with piezo-soft and piezo-hard modes, in which the oscillation modes corresponding to the sample are excited in the samples, is performed. The values of all elastic piezoelectric and dielectric constants are calculated from the measured values of the characteristic frequencies, as well as the capacitance of the samples. Conclusions. The applicability of the «resonance-antiresonance» method for determining the electrophysical parameters of piezoelectrics both in materials with piezo-soft modes and with piezo-rigid ones is confirmed. It is shown that the complete set of constants obtained for a sample of one form differs from a sample of the same material, but of a different form. This is due to the fluctuation of properties during the transition from a piezoelectric element of one geometry to a piezoelectric element with another geometry due to the different level of their polarization, the spread of the degree of their structural heterogeneity.

Keywords: piezoelectric, the method of «resonance-antiresonance», piezoelectric constants, complex conductivity, frequency

© Журина А. Е., Емельянов Н. С., Печерская Е. А., Фимин А. В. , 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

For citation: Zhurina A.E., Emelyanov N.S., Pecherskaya E.A., Fimin A.V. The «resonance-antiresonance» method for determining the electrophysical parameters of piezoelectrics. Izmereniya. Monitoring. Upravlenie. Kontrol’ = Measurements. Monitoring. Management. Control. 2022;(з):76-82. (In Russ.). doi:10.21685/2307-5538-2022-3-9

Перспективные пьезоэлектрические материалы находят широкое применение в пьезоэлектрических преобразователях и датчиках, для контроля динамических процессов в качестве первичных преобразователей информации измерительных и управляющих систем [1]. Для применения пьезоэлектрических материалов в измерительной технике важно сочетание высокой эффективности со стабильностью характеристик при внешних воздействиях [2]. Свойства пьезоэлектрических кристаллов и пьезоэлектриков на основе различных химических соединений зависят от большого набора взаимосвязанных параметров, к которым относится температура Кюри, величины пьезоэлектрических, упругих и диэлектрических констант, стабильность от температуры, давления и других влияющих факторов [3]. Это указывает на необходимость системного выбора пьезоэлектрического материала, наилучшим образом подходящего для использования в измерительной технике. Поэтому актуальна задача изучения методов исследования электрофизических параметров пьезоэлектриков.

В электрическом поле диэлектрикам присущи различные электромеханические эффекты, так как при деформации кристалла в нем возникают упругие напряжения. Физической причиной электромеханических эффектов являются микроскопические смещения электрических зарядов в приложенном электрическом поле, поскольку электромеханические эффекты сопровождают электрическую поляризацию. Анизотропия пьезоэлектрических материалов приводит к тому, что для описания их электромеханических свойств необходимо использовать несколько компонент пьезомодулей [4]. Пьзомодуль является важным электрофизическим параметром пьезоматериала, с помощью которого описывается взаимосвязь между диэлектрическими и упругими свойствами материала. Помимо пьезомодуля существует ряд других, не менее важных параметров. Наиболее распространен следующий набор параметров пьезомате-риала [5]:

d (d33, d31) — пьезомодули (по направлению рабочих деформаций);

Кэм (k33, k31) — коэффициенты электромеханической связи характеризуют эффективность преобразования электрической энергии, подводимой к материалу, в механическую;

Yjj — модуль Юнга определяет упругие и резонансные свойства материала;

Q„ — характеризует потери энергии в материале на внутреннее трение, определяет эффективную ширину полосы пропускания, влияет на степень затухания колебательных процессов;

8r — относительная диэлектрическая проницаемость определяет полное сопротивление пьезоэлемента, характеризует диэлектрические и в конечном итоге емкостные свойства пьезо-элемента;

tgS и tgo — тангенсы углов диэлектрических и механических потерь характеризуют диэлектрические и механические потери в материале;

Известны различные методы определения констант упругости пьезоматериалов, которые целесообразно разделить на следующие группы: динамические методы, статические и квазистатистические [б].

Статистическими и квазистатическими методами обычно определяют только пьезомо-дули d31 , d31 . Отличие этих методов от динамических методов заключается в том, что у первых частота статического и квазистатического нагружения испытуемых образцов ограничена сверху единицами Герц. Динамические методы позволяют определить ряд констант пьезо-электрика с достаточно высокой точностью. В частности, к ним относится метод резонансных спектров, с помощью которого можно определить ряд упругих резонансов пьезоматериалов в сегнето- или парафазе в температурном диапазоне, включающем в себя температуру, близкую к температуре фазового перехода. Наибольшее распространение для сегнетоэлектриков и пье-зоактивных материалов получил метод резонанса-антирезонанса [б]. Данный метод позволяет определить полный набор констант пьезоэлектрического материала. При использовании метода «резонанса-антирезонанса» (Р-А) в образцах возбуждают соответствующие образцу моды колебаний. По измеренным значениям характерных частот, а также емкости образцов рассчитывают величины всех упругих пьезоэлектрических и диэлектрических констант. В работе [7] из-

Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. 2022. № 3

ложены сведения о методах и средствах измерения констант пьезокерамики и параметров пье-зорезонатора. Подробно рассмотрен метод «резонанс — антирезонанс», на нескольких модах:

• низкочастотные пьезомягкие моды:

— колебания пьезокерамических колец с аксиальной поляризацией;

— сферически симметричные колебания тонкой сферической пьезокерамической оболочки;

— продольные колебания стержня в поле, перпендикулярном его длине;

— диски с радиальными колебаниями.

• высокочастотные пьезомягкие моды:

— толщинные колебания пластин в электрическом поле, перпендикулярном толщине.

• низкочастотные пьезожесткие моды:

— продольные колебания стержня в поле параллельном его длине.

• высокочастотные пьезожесткие моды:

— тонкая пластинка с продольными колебаниями по толщине;

— пластинка со сдвиговыми колебаниями по толщине.

Моды в образце можно определить резонансным методом, в котором возбуждаются определенные акустические моды собственных колебаний образца [8]. В работе [9] при заданной нагрузке рассмотрена задача о вынужденных колебаниях для различных значений частоты. Переход через собственную частоту обнаруживается по изменению фазы всех характеристик. Таким образом, обычно фиксируется широким интервал, содержащий собственную частоту. Последующее дробление этого интервала позволяет найти с высокой точностью, как саму собственную частоту, так и характеристики соответствующей формы колебаний.

Математической моделью, используемой в методе, служат выражения для комплексной проводимости или сопротивления, полученные из решения электромеханической задачи для случаев одномерных колебаний пьезоэлемента. Основным допущением модели является пренебрежение всеми видами потерь энергии [7]. Экспериментально метод основан на измерении частот, по которым рассчитываются упругие константы и коэффициент электромеханической связи. Для расчета пьезоконстант проводятся измерения низко- или высокочастотной емкости, определяющей диэлектрические свойства материала. Последние наряду с величинами модуля комплексной проводимости на резонансе используются для определения механической добротности.

В сегнетоэлектриках типа смещения ангармоническое взаимодействие между фононами является слабым, что подтверждается малостью констант затухания для мягких мод и расчетами ангармонических поправок к частотам мягких фононных мод пьезоматериалов [10]. Выбор независимых механических переменных определяется механическими условиями в направлениях, поперечных колебательному движению. В случае низкочастотных мод элементарный объем считается свободным в поперечном направлении. На высокочастотных модах элементарный объем зажат в поперечном направлении одномерного линейного или планарно-го колебательного движения. Электрические граничные условия определяются расположением поверхностей пьезоэлектриков и их формой. Для пьезоэлектрических мягких (пьезомягких) мод поверхности электродов параллельны направлению колебаний.

Удобным способом описания метода «резонанс — антирезонанс» представляется использование классификации, которая выполнена в соответствии с электрическими и механическими граничными условиями. Можно определить пьезоконстанты, исходя из комплексной проводимости У для пьезомягких мод:

где 1д(ф) — функция, определяющая динамические свойства пьезоматерила; к — коэффициент связи, или из комплексного сопротивления Z для пьеэзожестких мод [7] согласно следующему выражению:

У = М1 + т ту I д (ф)], 1 — к

Для определения констант на пьезомягких модах используется условие антирезонанса при Y = 0, для определения констант на пьезожестких модах применено условие Z ^ œ.

Для примера рассмотрим образец в форме таблетки, имеющей природу низкочастотных мод. Тогда комплексная проводимость будет определяться согласно выражению (l). В условии антирезонанса Y = О, отсюда следует

При определении коэффициента связи воспользуемся заменой [7]

где / — частота динамического (последовательного) резонанса, / — частота параллельного резонанса (антирезонансная частота), А/ = / — / . Тогда коэффициент связи будет равен

пьезомодуль можно определить из коэффициента связи

где — упругая константа материала; £^3 — диэлектрическая константа; о — коэффициент Пуассона.

В образце в форме таблетки, имеющего пьезожесткую моду, комплексная проводимость будет определяться по формуле (2). В условии антирезонанса X ^ да, отсюда следует

При определении коэффициента связи воспользуемся заменой [7], тогда коэффициент связи будет равен

Пьезоэлектрическая константа будет равна

ИСТОЧНИКИ СИЛЫ И СКОРОСТИ, РЕЗОНАНСЫ И АНТИРЕЗОНАНСЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Определены резонанс и антирезонанс сил, резонанс и антирезонанс скоростей. Резонансы возникают при сочетаниях параллельного соединения элементов и источника силы , либо последовательного соединения и источника скорости. Антирезонансы возникают при сочетаниях параллельного соединения и источника скорости , либо последовательного соединения и источника силы . Существуют устройства, в удовлетворительном приближении способные выполнять функции источников силы и источников скорости . Источником гармонической скорости может выступать привод с кривошипно-кулисным механизмом и маховиком с большим моментом инерции. Источником гармонической силы может выступать шток пневмоцилиндра, полость которого сообщается с полостью другого пневмоцилиндра, диаметр которого неизмеримо выше, чем у первого, а поршень совершает гармонические колебания. Особое значение учет колебаний приобретает в ракетной отрасли. В авиации борьба с виброперегрузками несущего винта и изгибными аэроупругими колебаниями крыла самолета являются жизненно важными мероприятиями.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

SOURCES OF FORCE AND VELOCITY, RESONANCES AND ANTI-RESONANCES

The article considers parallel and series connections of a mechanical system’s elements with a source of harmonic force, or a source of harmonic velocity as a source of the external mechanical harmonic impact. A crank-and-yoke drive and a flywheel with a large moment of inertia can be the source of harmonic velocity. The source of the harmonic force can be represented by the rod of the pneumatic cylinder, which cavity can be in communication with the cavity of another pneumatic cylinder, which diameter is immeasurably higher than that of the first one, and which piston performs harmonic oscillations. The mechanical harmonic impacts, described in the courses of theoretical mechanics, correspond to the source of harmonic force. The article describes the four modes, namely resonances and anti-resonances of forces and velocities. The symbolic (complex) method implementation has significantly simplified the study of resonance and near-resonance phenomena, particularly, it allowed deeply unify and formalize consideration of various mechanical systems. The cumbersome and time-consuming operations associated with the preparation and solution of differential equations have been replaced by simple algebraic transformations. This method is based on the mechanical analogue of Ohm’s law in a complex representation and the concept of mechanical reactance, resistance, impedance, susceptance, conductance and admittance. The classical consideration delivers one amplitude-frequency characteristic, while the symbolic (complex) method delivers eight ones with a significantly larger number of characteristic points and characteristic ratios. Resonance and anti-resonance of forces, resonance and anti-resonance of velocities were determined. Resonances stem from the combinations of parallel connection of elements and a source of harmonic force, or a series connection of elements and a source of harmonic speed. Anti-resonances occur due to the combination of parallel connection of elements and a harmonic velocity source, or their series connection and a harmonic force source.

Текст научной работы на тему «ИСТОЧНИКИ СИЛЫ И СКОРОСТИ, РЕЗОНАНСЫ И АНТИРЕЗОНАНСЫ»

УДК 531.391 DOI: 10■34759/trd-2021-117-01

Источники силы и скорости, резонансы и антирезонансы

Курганский государственный университет, ул. Советская, 63/4,

Курган, 640020, Россия е-шаИ: ¡р.ророц^руапЛвх. ги

Статья поступила 24.02.2021

Определены резонанс и антирезонанс сил, резонанс и антирезонанс скоростей. Резонансы возникают при сочетаниях параллельного соединения элементов и источника силы, либо последовательного соединения и источника скорости. Антирезонансы возникают при сочетаниях параллельного соединения и источника скорости, либо последовательного соединения и источника силы. Существуют устройства, в удовлетворительном приближении способные выполнять функции источников силы и источников скорости. Источником гармонической скорости может выступать привод с кривошипно-кулисным механизмом и маховиком с большим моментом инерции. Источником гармонической силы может выступать шток пневмоцилиндра, полость которого сообщается с полостью другого пневмоцилиндра, диаметр которого неизмеримо выше, чем у первого, а поршень совершает гармонические колебания. Особое значение учет колебаний приобретает в ракетной отрасли. В авиации борьба с виброперегрузками несущего винта и изгибными аэроупругими колебаниями крыла самолета являются жизненно важными мероприятиями.

Ключевые слова: источник силы, источник скорости, последовательное

соединение, параллельное соединение, резонанс, антирезонанс.

В установившемся режиме при гармонических воздействиях удобно использовать комплексное представление величин [1]. При этом символический (комплексный) метод существенно упрощает исследование резонансных и околорезонансных явлений [2, 3]. В отличие от классического метода здесь не возникает необходимость в составлении и решении дифференциальных уравнений

Актуальность работы обусловлена тем, что механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [5-14]. Особое значение учет колебаний приобретает в ракетной отрасли [15, 16]. В авиации борьба с виброперегрузками несущего винта и изгибными аэроупругими колебаниями крыла самолета являются жизненно важными мероприятиями [17-19].

В основе исследования механических систем лежит дуально-инверсный аналог закона Ома для участка электрической цепи

где V и F — комплексные амплитуды скорости и силы, z и y — механические импеданс (impedance) и адмитанс (admittance) в комплексном представлении [1].

Над комплексными величинами, не являющимися изображениями синусоиды,

точка не ставится, такие величины подчеркиваются.

Далее рассматриваются параллельное и последовательное соединения элементов механической системы [1].

Аналитические описания резонанса в курсах теоретической механики соответствуют параллельному соединению.

Источниками внешнего механического гармонического воздействия на систему выступают либо источник силы, либо источник скорости [3].

Существуют устройства, в удовлетворительном приближении способные выполнять функции источников силы и источников скорости. Источником гармонической скорости может выступать привод с кривошипно-кулисным механизмом и маховиком с большим моментом инерции. Источником гармонической силы может выступать шток пневмоцилиндра, полость которого сообщается с полостью другого пневмоцилиндра, диаметр которого неизмеримо выше, чем у первого, а поршень совершает гармонические колебания.

Источник силы характеризуется комплексной амплитудой силы

Источник скорости характеризуется комплексной амплитудой скорости

Механические гармонические воздействия, описываемые в курсах теоретической механики, соответствуют источнику силы.

Параллельное соединение характеризуется следующими величинами [1].

Инертный реактанс (reactance) —

Упругий реактанс — xk = —e 1 п 2 = xke 1 п 2, (5)

где k — коэффициент упругости.

Механический резистанс (resistance) —

где г — коэффициент вязкого сопротивления. Механический импеданс —

2 = 1в1ф, где 7 = ^1 г2 +(хт -хк)2, ф = агС^%т — Х . (6)

Последовательное соединение характеризуется следующими величинами [1]. Инертный сассептанс ^шсер1апсе) —

Ь = — в~1п/2 = Ь в~1п/2. (7)

Упругий сассептанс — b— = Ю e’n 2 = bke’n 2. (8)

Механический кондактанс (conductance) —

Для элемента (инертного, упругого, резистивного), рассматриваемого вне

связи с другими механическими элементами, Ьш = 1/X’ш , Ь = VХк , g = VГ ■ В системе,

включающей несколько элементов, соотношения иные. Механический адмитанс —

у = Те1ф, где 7 = ^ g2 +(Ък — Ьш )2, ф = aгctg Ък-Ъш-. (9)

Параллельное соединение и источник силы. Резонанс сил

Комплексная амплитуда скорости (см. (1)) —

У = — = —е~1ф = Уе~1ф. (10)

Комплексная амплитуда инертной силы —

— = х У = х Уе1 (п2-ф) = — е1 (п2-ф) . (11)

Комплексная амплитуда упругой силы —

— = хкУ = хкУе-(П2+ф) = —ке-(п 2+ф) . (12)

Комплексная амплитуда резистивной силы —

— = гУ = тУе~1ф = ¥ге~1ф. (13)

Разумеется, —ш + —к + —г = —. (14)

Из закона Гука, (12) и (5) следует выражение для комплексной амплитуды

• — х Уе-(п2+Ф) СУе-(п2+Ф) У

отклонения — X = —к- = ^-= куе-= у е»1 (П2+*) = Хе»1 (П2+*). (15)

Из второго закона Ньютона, (11) и (4) следует выражение для комплексной

А = ^ = ЬУ1-= ^^-= ю уе (V 2-Ф) = Ае (V 2-Ф). (16)

Разумеется, А = ю У = ю2 X.

Из (10)—(16) и (4)-(6) следуют амплитудно-частотные характеристики

Е (ю) = 2 , У(ю) = , „ , (17)

Ет (ю) ^ ю 2 , А(ю) = ^ 2 . (18)

■иг2 +(ют — к/ ю) л/г2 +(ют — к/ ю)

Разумеется, Е = ТЁ2^^^ (19)

Графики функций X(ю), У(ю), А(ю) ведут себя качественно также как, соответственно, Ек (ю), Ег (ю), Ет (ю).

Частота юк, на которой функции X(ю) и Ек (ю) имеют максимум,

определяется из условия —\ ю

Решение этого уравнения:

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

р^/1 — г7(2кт) = ю^1 — г2/(2×1) = ю^1 — й2/2 , V т

Труды МАИ. Выпуск № 117 http://trudymai. ru/

где xw =4km — волновое сопротивление (системы), d = r/xw — затухание (системы)

(по аналогии с электротехникой).

Fkmax = Fk ) = I ^ 2 , ‘F , Xmax = X) = I ^ ‘F = I ^ 2 / ‘X ,

y/1 — d /4 V1 — d /4 k ф — d2/4

где Q = 1/ d — добротность (системы) (по аналогии с электротехникой), X0 = X(0) = F/к — статическое отклонение.

Частота юг, на которой функции V(ю) и Fr (ю) имеют максимум, очевидным

образом равна юг = yjk/m = ю0.

Frmax = Fr (Юо) = F , Vmax = VЮ = F . (20)

Частота ют, на которой функции А(ю) и Fm (ю) имеют максимум,

определяется из условия —< ю

Решение этого уравнения:

m VmJ 1 — r2 / (2km)

Fmmax = Fm ^) = , Q F , A^x = ^) = . Q F = , Q A, (22)

■y/1 — d74 V1 — d /4 m ф — d2/4

где Д) = A(0) = F/m — постоянное ускорение (при нулевой частоте).

При d2/2 > 1 функции X(ю), А(ю), Fk (ю), Fm (ю) не имеют максимумов в вещественном диапазоне частот.

Труды МАИ. Выпуск № 117 http://trudymai. ru/

Примечательно, что «k «m = «0, (23)

AmaX =®k^max = / Fma^ . (26)

Другие характерные точки:

^ / n Q — dl2 ^ ,, N Q — d/2 .

Fm(«k) = f ‘ F, A(«k) = I ‘ A, (27)

Fk К) = -№ F, X К) = -Q-4T (28)

Fm(«,) = QF, A(«,) = QA,, Fk(«,) = QF, X(«,) = QX0, (29)

F («k) = Fr («m) = F, V (%) = V (,m) = = V (®o). (30)

— d 74 Vl — d 74 r — d 74

Fk («k ) _ Fm («m ) _ Fk («k ) _ Fm («m ) _ XК ) _ A(«m ) _ 1

Fm («k ) Fk («m ) Fk («m ) Fm К ) X(«„ ) A(«k ) 1 — d^2

Fk («k ) = Fm («m ) = Q

Fr («k ) Fr («m ) у/1 — d72 ‘

На рис. 1 представлены подлинные резонансные кривые для системы с параметрами: Е = 100 Н, т = 10 кг, к = 40 кг-с-2, г = 10 кг-с-1.

Рис. 1. — Резонанс сил

На том основании, что амплитуда отклонения X имеет максимум на частоте о)к (% < ю0) она (%, а не ю0) считается резонансной частотой [20].

Это было бы сильным решением, если бы X был единственным значимым кинематическим параметром. Однако не менее значимыми параметрами являются амплитуды скорости V и ускорения А. При этом первая имеет максимум на частоте ю0, а вторая — на частоте от (от >ю0). Таким образом, ничем не лучше, чем ю0 и от. Единственным аргументом при выборе резонансной частоты остается соображение симметрии (усиленное выражением (23)), в соответствии с которым резонансная частота — ю0.

Этот выбор становится еще более очевидным, если обратиться к силам.

Амплитуда упругой силы ^ имеет максимум на частоте юк, амплитуда инертной силы Гт — на частоте от. Отдать предпочтение той или другой частоте невозможно. Однако именно на частоте ю0 имеет место резонанс сил, при котором реактивные силы ^ и Гт равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю [3].

Кроме того, величина импеданса механической системы 2 = ^г2 +(хт — хк )2,

характеризующего ее свойство оказывать сопротивление приводу, понуждающему ее совершать колебания, на частоте ю0 имеет минимальное значение. Другими

словами, именно на частоте ю0 система оказывает приводу минимальное

Таким образом, резонансной частотой является исключительно ю0. С другой стороны, имея в виду рис. 1, можно вести речь о трех резонансных частотах: юк, от и ю0. На первой имеет место резонанс упругой силы, на второй -резонанс инертной силы, на третьей — резонанс резистивной силы.

Параллельное соединение и источник скорости. Антирезонанс сил.

Комплексная амплитуда инертной силы — Ет = х^У = хпуе1 п 2 = Етв1 п 2.

Комплексная амплитуда упругой силы — ¥к = xkV = хкУе~г П 2 = ¥ке~1 п 2.

Комплексная амплитуда резистивной силы — ¥г = гУ = гУе10 = ¥гё0.

Разумеется, Ет + Ек + Ег = Е. Комплексная амплитуда отклонения —

£ = к = ХХУ^_ = кУеТ^ = * = хе-* 2 (34)

Комплексная амплитуда ускорения —

Комплексная амплитуда силы (см. (1)) — Е = У г = У2ещ = Ее’Ф.

Амплитудно-частотная характеристика Е(ю) = У-^г2 + (ют — к/ю)2 .

При ю —> 0 и ю — да кривая Е(ю) устремляется в бесконечность. При

сверхмалых частотах условие (3) порождает чрезмерные деформации упругого элемента (34), сопровождаемые, соответственно, чрезмерными силами упругости. При сверхвысоких частотах условие (3) порождает чрезмерные ускорения (35) и чрезмерные инерционные силы.

При ю0 график проходит через минимум Еш1п = Е(ю0) = Уг = Ег. Имеет место антирезонанс сил, при котором реактивные силы Ек и Ет равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю.

Для антирезонанса разночтений со смещением антирезонансной частоты (она же резонансная) не возникает.

На рис. 2 представлена подлинная антирезонансная кривая для системы,

отличающейся от первой тем, что V = 10 м-с

Рис. 2. -Антирезонанс сил

Последовательное соединение и источник скорости. Резонанс скоростей

Порядок рассуждений такой же, как в п. 1. Комплексная амплитуда силы (см. (1)) —

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

р = —= — е»1ф = Ре~1ф. У У

Комплексная амплитуда скорости инертного элемента —

V = и р = и ре~1(П2+ф) = V е~1(П2+ф)

Комплексная амплитуда скорости изменения длины упругого элемента —

Ук = Ъ.Е = ЪкЕе1( п 2-Ф) = Уке1(п/ 2-Ф). (38)

Комплексная амплитуда скорости изменения длины резистивного элемента

— Уг = £Е = gЕe-1ф = Уге~1Ф. (39)

Разумеется, Ут + Ук + Уг = У. (40)

Из (37) следует выражение для комплексной амплитуды импульса — • • 1 Е

Р = тУ = тЪ Ее~1(п2+Ф) = т—Ее~1(п2+Ф) = —е~1(п/2+Ф) = Ре~1(п2+Ф). (41)

Из (38) следует выражение для комплексной амплитуды производной силы (специального названия не имеет, приводится здесь как дуальный аналог преобразования (16)) —

В = к У = кЪкЕе1(п/2-Ф) = к ю Ее1(П2-Ф) = юЕе1(п/2-Ф) = Ве1(п/2-Ф). (42)

Это соответствует преобразованию

7 dx й(кх) йЕ ^ ку = к— = =— = В. (43)

Разумеется, В = юЕ = ю2 Р. (44)

Из (36)—(42) и (7) — (9) следуют амплитудно-частотные характеристики

Ут (ю) =-, У 2 , Р(ю) = , У 2 , (45)

ют^ 1/ г2 + [ю/к — 1/(ют)] ю^ 1/ г2 + [ю/к — 1/(ют)]

Уг (ю) = , , £У 2 , Е(ю) = У 2 , (46)

^1/г2 + [ю/к — 1/(ют)]2 ^1/г2 + [ю/к — 1/(ют)]2

ф/г2 + [о/к — 1/(от)]2 ‘ ^1/г2 + [о/к — 1/(от)]

Графики функций Р(о), р(о), В(о) ведут себя качественно также как, соответственно, Vm (о), Vr (о), V, (о).

Частота от, на которой функции Р(о) и Vm (о) имеют максимум,

определяется из условия —^ о

Решение этого уравнения:

Ж/ 1 — тк/(2г2) = о^1 — хЦ(2г2) = о^1 — 072 . V т

V« шах = Vm (от ) = , V , Рт шах = Рт (от ) = ^ = , Р , (50)

где Р0 = Р(0) = Vm — постоянный импульс (при нулевой частоте).

Частота ог, на которой функции р(о) и V. (о) имеют максимум, очевидным

образом равна ог = Ак = о0.

Vrшах = ^ (о0) = V , ршах = Р(о0) = » .

Частота ок, на которой функции В(о) и Vk (о) имеют максимум, определяется

из условия —^ о й о

Решение этого уравнения:

* m у! 1 — km/(2r2) V1 — бV2

Vkmax = ^k (®k) = / ^ 2/ V, Bmax = B(%k) = / ^ 2/ Vk = ^ Bo , (53)

V1 — б /4 л/1 — б /4 V1 — б /4

где B0 = B(0) = Vk — постоянная производная силы (при нулевой частоте).

При б2 /2 > 1 функции Р(ю), В(ю), Vm (ю), Vk (ю). не имеют максимумов в вещественном диапазоне частот.

Примечательно, что rnk ют = ю0, (54)

max = ю P = , max — (57)

Другие характерные точки:

Vm к) v , P к)Po, (58)

>/1 — б 74 V1 — б 74

Vk К) V, BK) = Bo, (59)

V1 — б 74 V1 — б 74

Vm(Юо) = d • V, P(®o) = d• Po, Vk(Юо) = d • V, BK) = d• Bo, (60)

V (%k ) = V (%m ) = V , F(%k ) = F(%m ) = V = F(%o). (61)

V1 — б 74 V1 — б 74 g V1 — б 74

V (%) = К) = V К) = Vm К) = P&J = Вю) = 1

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V, (% ) Vk (®m ) Vk (®m ) V, К ) PК ) В(®я ) 1 — d

Амплитуда скорости инертного элемента Vm имеет максимум на частоте Ют, амплитуда скорости изменения длины упругого элемента Vk — на частоте Юк.

На частоте ю0 имеет место резонанс скоростей, при котором (реактивные) скорости Vm и Vk равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю [3].

Величина адмитанса механической системы Y = 2 +(bk — Ьт )2,

характеризующего ее свойство не оказывать сопротивление приводу, понуждающему ее совершать колебания, на частоте Ю0 имеет минимальное значение. Другими словами, именно на частоте Ю0 система оказывает приводу максимальное сопротивление.

Таким образом, резонансной частотой является исключительно Ю0.

Для системы с параметрами, отличающимися от параметров второй тем, что r = 40 кг-с-1, подлинные резонансные кривые полностью совпадают с

изображенными на рис. 1 при заменах Рк ^ Vm, Рт ^ Vk, Рг ^ Vr, ок ^ от,

С другой стороны, имея в виду рис. 1, можно вести речь о трех резонансных частотах: от, ок и о0. На первой имеет место резонанс скорости инертного элемента, на второй — резонанс скорости изменения длины упругого элемента, на третьей — резонанс скорости изменения длины резистивного элемента.

Последовательное соединение и источник силы. Антирезонанс скоростей Порядок рассуждений такой же, как в п. 2. Комплексная амплитуда скорости инертного элемента —

V = Ь Р = Ь Ре-п2 = V в’1 П2.

Комплексная амплитуда скорости изменения длины упругого элемента —

ук = Ь±Р = ЬкРе1п/ 2 = Vke~1П/ 2. Комплексная амплитуда скорости изменения длины резистивного элемента

Vr = ёР = Р0 = Vrв0. • • • •

Разумеется, Vm + Vк + Vr = V. Комплексная амплитуда импульса —

Р = тУт = тЬтРе~1п/ 2 = т—Ре-1 п/2 = Ре~1п/2 = Ре-1 п/2. (65)

Комплексная амплитуда производной силы —

В = к^ = кЬкРе171/2 = к ° Ре1 п 2 = оРе1 п/2 = Ве171/2 (66)

Комплексная амплитуда скорости (см. (1)) — V = F y = Fye1ф = Уёф.

Амплитудно-частотная характеристика V(ю) = Fyjg2 + (ю/к — 1/(ют))2 .

При ю^- 0 и ю^- да кривая V(ю) устремляется в бесконечность. При сверхмалых частотах условие (2) порождает чрезмерный импульс (65), сопровождаемый, соответственно, чрезмерной скоростью инертного элемента. При сверхвысоких частотах условие (2) порождает чрезмерную производную силы (66) и чрезмерную скорость изменения длины упругого элемента. При ю0 график проходит через минимум Vmin = V(ю0) = Fg = Vr. Имеет место антирезонанс скоростей, при котором (реактивные) скорости Vm и Vk равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю.

Для системы, отличающейся от третей тем, что F = 100 Н, подлинная антирезонансная кривая полностью совпадает с изображенной на рис. 2 при замене F ^ V.

Использование символического (комплексного) метода существенно упростило исследование резонансных и околорезонансных явлений, в частности, позволило глубоко унифицировать и формализовать рассмотрение различных механических систем (п.п. 1 и 3, 2 и 4 являются дуально инверсными). Громоздкие и трудоемкие операции, связанные с составлением и решением дифференциальных уравнений, заменены простыми алгебраическими преобразованиями.

В основе метода лежит механический аналог закона Ома в комплексном

представлении (1) и понятие о механических реактансе, резистансе, импедансе, сассептансе, кондактансе и адмитансе.

С помощью этого метода получены новые результаты, в т. ч., (14), (17)-(33), (40)-(64).

В дополнение к классическому методу рассмотрены последовательное соединение механических элементов и источник скоростей.

Классическое рассмотрение доставляет одну амплитудно-частотную характеристику, символический (комплексный) метод — восемь при значительно большем числе характерных точек и характерных отношений.

Установлено, что вопреки классическому подходу резонансной частотой является исключительно о0 (а не ок). Другими словами, резонансная частота не

сдвигается от частоты свободных колебаний. Это обусловлено тем, что при классическом рассмотрении не установлена симметрия частот (23), (54), а при символическом она очевидна.

С другой стороны, можно вести речь о трех резонансных частотах: ок, от и о0. На первой имеет место резонанс упругой силы и резонанс скорости изменения длины упругого элемента, на второй — резонанс инертной силы и резонанс скорости инертного элемента, на третьей — резонанс резистивной силы и резонанс скорости изменения длины резистивного элемента.

Определены резонанс и антирезонанс сил, резонанс и антирезонанс скоростей,

которые не были определены классическим методом. Резонансы возникают при

сочетаниях параллельного соединения элементов и источника силы, либо

последовательного соединения и источника скорости. Антирезонансы возникают

при сочетаниях параллельного соединения и источника скорости, либо

последовательного соединения и источника силы.

Для всех описанных случаев фазо-частотные характеристики особой

оригинальностью не отличаются и поэтому не рассматриваются.

1. Попов И.П. Расчет механических колебаний в поле комплексных чисел // Труды МАИ. 2020. № 115. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=119888. DOI: 10.34759/trd-2020-115-01

2. Холостова О.В., Сафонов А.И. О бифуркациях положений равновесия гамильтоновой системы в случаях двойного комбинационного резонанса третьего порядка // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93297

3. Попов И.П. Резонансы сил и скоростей // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2019. № 4 (47). С. 62 — 66. DOI: 10.17072/1993-0550-2019-4-62-66

4. Алероева Х.Т., Алероев Т.С. Дробные дифференциальные уравнения и ядра, и

малые колебания механических систем // Труды МАИ. 2017. № 94. URL: http: //trudymai. ru/published.php?ID=80904

5. Добрышкин А.Ю. Колебания стержня, несущего малую присоединенную массу // Труды МАИ. 2020. № 110. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=112820. DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

6. Быкова Т.В., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А., Черненко А.В. Радиальные и изгибные колебания круглой трехслойной пластины, взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2020. № 110. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=112836. DOI: 10.34759/trd-2020-110-6

7. Добрышкин А.Ю., Сысоев О.Е., Сысоев Е.О. Эффективные испытательные стенды для исследования собственных колебаний разомкнутых цилиндрических оболочек и пластин // Труды МАИ. 2020. № 113. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 117957. DOI: 10.34759/trd-2020-113-01

8. Сысоев О.Е., Добрышкин А.Ю., Нейн С.Н. Аналитическое и экспериментальное исследование свободных колебаний разомкнутых оболочек из сплава Д19, несущих систему присоединенных масс // Труды МАИ. 2018. № 98. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=90079

9. Алероева Х.Т. Дробное исчисление и малые колебания механических систем // Труды МАИ. 2017. № 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76821

10. Мухаметзянова А.А. Раскачивание и стабилизация равновесия двухмассового

маятника ограниченным параметрическим управлением // Труды МАИ. 2015. № 84. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=62975

11. Добрышкин А.Ю., Сысоев О.Е., Сысоев Е.О. Экспериментальная проверка математической модели вынужденных колебаний разомкнутой тонкостенной оболочки с малой присоединенной массой и жестко защемленными краями // Труды МАИ. 2019. № 109. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=111349. DOI: 10.34759/trd-2019-109-4

12. Петрухин В.А., Мельников В.Е. Маятниковый построитель вертикали с релейным управлением // Труды МАИ. 2017. № 93. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80344

13. Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Продольные и изгибные колебания трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, контактирующей со слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2019. № 106. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 105618

14. Семенов М.Е., Соловьев А.М., Попов М.А. Стабилизация неустойчивых объектов: связанные осцилляторы // Труды МАИ. 2017. № 93. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80231

15. Бардин Б.С., Савин А.А. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника на круговой орбите // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: http: //trudymai.ru/published. php?ID=65212

16. Благодырёва О.В. Применение метода Ритца и метода конечных элементов к

расчёту аэроупругих колебаний крылатой ракеты // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=84426

17. Загордан А.А., Загордан Н.Л. О применении специальных обобщенных координат для исследования совместных изгибных колебаний лопастей несущего винта, закрепленного на упругодемпфирующей опоре // Труды МАИ. 2019. № 108. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 109383. DOI: 10.34759/trd-2019-108-4

18. Рыбников С.И., Нгуен Т.Ш. Аналитическое конструирование системы демпфирования изгибных аэроупругих колебаний крыла самолета // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=84572

19. Анимица В.А., Борисов Е.А., Крицкий Б.С., Миргазов Р.М. Расчетные исследования виброперегрузок несущего винта, вызванных пульсацией силы тяги, на базе вихревой теории // Труды МАИ. 2016. № 87. URL: http: //trudymai. ru/published.php?ID=69626

20. Яворский Б.М. Детлаф А.А. Справочник по физике. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

Sources of force and velocity, resonances and anti-resonances

Kurgan State University, 63/4, Sovetskaya str., Kurgan, 640020, Russia

e-mail: ip.popow@yandex. ru

The article considers parallel and series connections of a mechanical system’s

elements with a source of harmonic force, or a source of harmonic velocity as a source of

the external mechanical harmonic impact. A crank-and-yoke drive and a flywheel with a

large moment of inertia can be the source of harmonic velocity. The source of the harmonic

force can be represented by the rod of the pneumatic cylinder, which cavity can be in

communication with the cavity of another pneumatic cylinder, which diameter is

immeasurably higher than that of the first one, and which piston performs harmonic

oscillations. The mechanical harmonic impacts, described in the courses of theoretical

mechanics, correspond to the source of harmonic force. The article describes the four modes,

namely resonances and anti-resonances of forces and velocities. The symbolic (complex)

method implementation has significantly simplified the study of resonance and near-

resonance phenomena, particularly, it allowed deeply unify and formalize consideration of

various mechanical systems. The cumbersome and time-consuming operations associated

with the preparation and solution of differential equations have been replaced by simple

algebraic transformations. This method is based on the mechanical analogue of Ohm’s law

in a complex representation and the concept of mechanical reactance, resistance, impedance,

susceptance, conductance and admittance. The classical consideration delivers one

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

amplitude-frequency characteristic, while the symbolic (complex) method delivers eight ones with a significantly larger number of characteristic points and characteristic ratios. Resonance and anti-resonance of forces, resonance and anti-resonance of velocities were determined. Resonances stem from the combinations of parallel connection of elements and a source of harmonic force, or a series connection of elements and a source of harmonic speed. Anti-resonances occur due to the combination of parallel connection of elements and a harmonic velocity source, or their series connection and a harmonic force source.

Keywords: source of force, source of velocity, series connection, parallel connection, resonance, anti-resonance.

1. Popov I.P. Trudy MAI, 2020, no. 115. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 119888. DOI: 10.34759/trd-2020-115-01

2. Kholostova O.V., Safonov A.I. Trudy MAI. 2018, no. 100. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=93297

3. Popov I.P. Vestnik Permskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika. 2019, no. 4 (47), pp. 62 — 66. DOI: 10.17072/1993-0550-2019-4-62-66

4. Aleroeva Kh.T., Aleroev T.S. Trudy MAI, 2017, no. 94. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=80904

5. Dobryshkin A.Yu. Trudy MAI, 2020, no. 110. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 112820. DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

6. Bykova T.V., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A. A., Chernenko A.V. Trudy MAI, 2020, no. 110. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 112836. DOI: 10.34759/trd-2020-110-6

7. Dobryshkin A.Yu., Sysoev O.E., Sysoev E.O. Trudy MAI, 2020, no. 113. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 117957. DOI: 10.34759/trd-2020-113-01

8. Sysoev O.E., Dobryshkin A.Yu., Nein S.N. Trudy MAI, 2018, no. 98. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=90079

9. Aleroeva H.T. Trudy MAI, 2017, no. 92. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=76821

10. Mukhametzyanova A.A. Trudy MAI, 2015, no. 84. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=62975

11. Dobryshkin A.Yu., Sysoev O.E., Sysoev E.O. Trudy MAI, 2019, no. 109. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 111349. DOI: 10.34759/trd-2019-109-4

12. Petrukhin V.A., Mel’nikov V.E. Trudy MAI, 2017, no. 93. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=80344

13. Grushenkova E.D., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A. Trudy MAI, 2019, no. 106. URL: http://trudymai.ru/eng/published. php?ID= 105618

14. Semenov M.E., Solov’ev A.M., Popov M.A. Trudy MAI, 2017, no. 93. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=80231

15. Bardin B.S., Savin A.A. Trudy MAI, 2016, no. 85. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=65212

16. Blagodyreva O.V. Trudy MAI, 2017, no. 95. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=84426

17. Zagordan A.A., Zagordan N.L. Trudy MAI, 2019, no. 108. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 109383. DOI: 10.34759/trd-2019-108-4

18. Rybnikov S.I., Nguen T.Sh. Trudy MAI, 2017, no. 95. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=84572

19. Animitsa V.A., Borisov E.A., Kritskii B.S., Mirgazov R.M. Trudy MAI, 2016, no. 87. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=69626

20. Yavorskii B.M. Detlaf A.A. Spravochnik po fizike (Physics reference), Moscow, Nauka, 1980, 512 p.

О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Для исследования резонансных и околорезонансных явлений использован символический (комплексный) метод, позволяющий существенно повысить продуктивность, упростить и формализовать математические преобразования. Рассмотрены параллельное и последовательное соединения элементов механической системы с источником силы либо источником скорости в качестве источника внешнего механического гармонического воздействия. Описаны четыре режима — резонансы и антирезонансы сил и скоростей. Использование символического (комплексного) метода существенно упростило исследование резонансных и околорезонансных явлений, в частности позволило глубоко унифицировать и формализовать рассмотрение различных механических систем. Громоздкие и трудоемкие операции, связанные с составлением и решением дифференциальных уравнений, заменены простыми алгебраическими преобразованиями. В основе метода лежит механический аналог закона Ома в комплексном представлении и понятие о механических реактансе , резистансе , импедансе , сассептансе, кондактансе и адмитансе .

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ON MECHANICAL RESONANCES AND ANTI-RESONANCES

To study resonance and near-resonance phenomena, a symbolic (complex) method was used, which makes it possible to significantly increase productivity, simplify and formalize mathematical transformations. Parallel and sequential connections of elements of a mechanical system with a source of force or a source of speed as a source of external mechanical harmonic action are considered. Four modes are described — resonances and antiresonances of forces and velocities. The use of the symbolic (complex) method has significantly simplified the study of resonance and near-resonance phenomena, in particular, it has made it possible to deeply unify and formalize the consideration of various mechanical systems. The cumbersome and time-consuming operations associated with the preparation and solution of differential equations have been replaced by simple algebraic transformations. The method is based on the mechanical analogue of Ohm’s law in a complex representation and the concept of mechanical reactance, resistance, impedance, susceptance, conductance and admittance.

Текст научной работы на тему «О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ»

О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ

Поступила в редакцию 28.01.2021 г.

Рецензия от 26.02.2021 г.

Для исследования резонансных и околорезонансных явлений использован символический (комплексный) метод, позволяющий существенно повысить продуктивность, упростить и формализовать математические преобразования. Рассмотрены параллельное и последовательное соединения элементов механической системы с источником силы либо источником скорости в качестве источника внешнего механического гармонического воздействия. Описаны четыре режима — резонансы и антирезонансы сил и скоростей. Использование символического (комплексного) метода существенно упростило исследование резонансных и околорезонансных явлений, в частности позволило глубоко унифицировать и формализовать рассмотрение различных механических систем. Громоздкие и трудоемкие операции, связанные с составлением и решением дифференциальных уравнений, заменены простыми алгебраическими преобразованиями. В основе метода лежит механический аналог закона Ома в комплексном представлении и понятие о механических реактансе, резистансе, импедансе, сассептансе, кондактансе и адмитансе.

Ключевые слова: реактанс, резистанс, импеданс, сассептанс, кондактанс, адмитанс

Keywords: reactance, resistivity, impedance, susceptance, conductance, admittance

В установившемся режиме при гармонических воздействиях удобно использовать комплексное представление величин [1 — 3]. При этом символический (комплексный) метод существенно упрощает исследо-

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2021. № 2. С. 79—94.

вание резонансных и околорезонансных явлений [4—11]. В отличие от классического метода здесь не возникает необходимости в составлении и решении дифференциальных уравнений [12].

По аналогии с электротехникой гармоническую величину можно представить в виде

a = Asrn(roi + ф) = Im [Ae'(т’+ф) ] ,

где Ae — вращающийся в комплексной плоскости вектор, w — циклическая частота, ф — начальная фаза.

Векторы в комплексной плоскости принято изображать для нулевого момента времени. При этом величина Ae’ (т0+ф) = Ae’p = A называется комплексной амплитудой.

где V и F — комплексные амплитуды скорости и силы, z и y — механические импеданс (impedance) и адмитанс (admittance) в комплексном представлении [1 — 3].

Над комплексными величинами, не являющимися изображениями синусоиды, точка не ставится, такие величины подчеркиваются.

Далее рассматриваются параллельное (рис. 1) и последовательное (рис. 2) соединения элементов механической системы [1; 2].

Рис. 1. Параллельное соединение

Рис. 2. Последовательное соединение

Аналитические описания резонанса в курсах теоретической механики соответствуют параллельному соединению.

Источниками внешнего механического гармонического воздействия на систему выступают либо источник силы, либо источник скорости.

Существуют устройства, в удовлетворительном приближении способные выполнять функции источников силы и источников скорости. Источником гармонической скорости может выступать привод с криво-шипно-кулисным механизмом и маховиком с большим моментом инерции. Источником гармонической силы может выступать шток пневмо-цилиндра, полость которого сообщается с полостью другого пневмоци-линдра, диаметр которого неизмеримо выше, чем у первого, а поршень совершает гармонические колебания.

Источник силы характеризуется комплексной амплитудой силы

Источник скорости характеризуется комплексной амплитудой скорости

Параллельное соединение характеризуется следующими величинами [1; 2].

Инертный реактанс (reactance) —

xт = юте1″!2 = xme1″‘2, (4)

xk = e = xke , (5) ю

где k — коэффициент упругости.

Механический резистанс (resistance) —

где г — коэффициент вязкого сопротивления. Механический импеданс —

% = Ъе’р, где Ъ = ^г2 + (хт — хк )2 , р = arctg ——— . (6)

Последовательное соединение характеризуется следующими величинами [1; 2].

Инертный сассептанс (susceptance) —

L, =— e»»‘2 = bme «‘/2 ют т

k = kei^2 = bkei/2. (8)

Механический кондактанс (conductance) —

Для элемента (инертного, упругого, резистивного), рассматриваемого вне связи с другими механическими элементами, bm = 1/xm , bk = Vx , g = 1/r . В системе, включающей несколько элементов, соотношения

y = Yeip, где Y = Jg2 +(bk — bm )2 , p = arctg ^^. (9)

1. Параллельное соединение и источник силы. Резонанс сил.

Комплексная амплитуда скорости (см. (1)) —

V = — =—e-ip = Ve-ip . (10)

Комплексная амплитуда инертной силы —

Fm = x^V = xmVei(71/1 -p) = Fmei(‘/2-p). (11)

Комплексная амплитуда упругой силы —

Fk = xkV = xkVe-i(72+p) = Fke-i(//2+p). (12)

Комплексная амплитуда резистивной силы —

Fr = r_V = rVe-ip= Fre-ip. (13)

Fm + Fk + Fr = F . (14)

Из закона Гука, (12) и (5) следует выражение для комплексной амплитуды отклонения

F г Ve-i(/2+р) kVe-i(/2+p) V . ,

X = £L = xkVe_= kVe_= —e-i(‘/2+p) = Xe-i(/2+P) (15)

Из второго закона Ньютона, (11) и (4) следует выражение для комплексной амплитуды ускорения

• Р х УР (ж!2-Р) атУр(ж!2-Р) , ,

А = = ХтУр-= -= У Ч2-р) = АеР2-р . (16)

Разумеется, А = аУ = а2X .

Из (10) — (16) и (4) —(6) следуют амплитудно-частотные характеристики

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

W r2 + (ют — k/ ю) ю r2 +(ют — k/ю)2

Jr2 + (ют — k/ю) Jr2 +(ют — k/a)

Jr2 +(ют — ^ю) Jr2 +(ют — ^ю)

Графики функций Х(а), У (а), А(а) ведут себя качественно так же, как соответственно Рк(а), Рг(а), Рт(а).

Частота ак, на которой функции Х(а) и Рк(а) имеют максимум, определяется из условия

Решение этого уравнения: k

= J= ю^1 -r7(2×2) =ю^1 -d72 ,

где xw =4km — волновое сопротивление (системах), d = r/xw — затухание (системы) (по аналогии с электротехникой).

Fk max = Fk (ю. ) = , Q , F , = Х(ю. ) = = , X0 ,

71 — d 74 k ,/1 — d 74

где Q = 1/й — добротность (системах) (по аналогии с электротехникой), Х0 = Х(0) = рк — статическое отклонение.

Частота аг, на которой функции У (а) и / (а) имеют максимум, очевидным образом равна аг = ^к/т = а0.

^ = £ (а) = £ , Утах = У(а) = — . (20)

Частота ат, на которой функции А(а) и £т (а) имеют максимум, определяется из условия

Решение этого уравнения:

am = , II . 1 = =, (21)

—Vm^/1 — r 7(2 km) — d2/2

Fm max = Fm (am ) = F , A^ = A(a„, ) = ~Л= » = «3=== A , (H)

— d ¡4 ^/1 — d ¡4 m — d2/4

где A0 = A(0) = F/m — постоянное ускорение (при нулевой частоте).

При d2/2 > 1 функции X(a), A(a), Fk(a), Fm(a) не имеют максимумов в вещественном диапазоне частот. Примечательно, что

Amax =®02 Xmax, (25)

max max — = akXmax = -¡=П= . (26)

Другие характерные точки:

Fk (am) = 0^ F, X(am) = X,, (28)

Fm a) = QF , A(a0) = QA0, Fk (a0) = QF , Xfo) = QX0, (29)

Fr (ak) = Fr (am) = V ‘ F,

V (ak) = V (am) = V F = V, V (a0). (30)

,/1 — d 74 r д/1 — d /4

Рк а) = Р, (а,) = Рк а) = Р, а) = Х(ак) = А(ат) = 1 Р, а) Рк (ат) Рк а) Р, а) Х(ат) А(ак) 1 — й1 ¡2′

На рисунке 3 представлены подлинные резонансные кривые для системы с параметрами Р=100 Н, т = 10 кг, к=40 кг-с-2, г = 10 кг-с-1.

Рис. 3. Резонанс сил

На том основании, что амплитуда отклонения Х имеет максимум на частоте ак (ак <а0), она (ак, а не а0) считается резонансной частотой

Это было бы сильным решением, если бы Х был единственным значимым кинематическим параметром. Однако не менее значимыми па-

раметрами являются амплитуды скорости V и ускорения А. При этом первая имеет максимум на частоте а0, а вторая — на частоте ат (ат > а0). Таким образом, ак ничем не лучше, чем а0 и ат . Единственным аргументом при выборе резонансной частоты остается соображение симметрии (усиленное выражением (23)), в соответствии с которым резонансная частота — а0.

Этот выбор становится еще более очевидным, если обратиться к силам.

Амплитуда упругой силы Рк имеет максимум на частоте ак, амплитуда инертной силы Ет — на частоте ат . Отдать предпочтение той или другой частоте невозможно. Однако именно на частоте ю0 имеет место резонанс сил, при котором реактивные силы ¥к и Рт равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю [14; 15].

С другой стороны, величина импеданса механической системы

Ъ = ^г2 + (хт — хк )2 , характеризующего ее свойство оказывать сопротивление приводу, понуждающему ее совершать колебания, имеет минимальное значение на частоте а0. Другими словами, именно на частоте а0 система оказывает приводу минимальное сопротивление.

Таким образом, резонансной частотой является исключительно а0.

2. Параллельное соединение и источник скорости. Антирезонанс сил.

Комплексная амплитуда инертной силы —

Комплексная амплитуда упругой силы —

Комплексная амплитуда резистивной силы —

Разумеется, Рт + Рк + Рг = £ . Комплексная амплитуда отклонения —

Р х Ve-i»‘2 к\/е-1″‘2 V , ,

X = рк_ = ЧУ!-= ^-= —е-«2 = Хе-«2. (34)

Комплексная амплитуда ускорения —

Комплексная амплитуда силы (см. (1)) — Р = V х = VzelV = Рещ

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

При ю ^ 0 и ю ^ да кривая Р(а) устремляется в бесконечность. При сверхмалых частотах условие (3) порождает чрезмерные деформации упругого элемента (34), сопровождаемые, соответственно, чрезмерными силами упругости. При сверхвысоких частотах условие (3) порождает чрезмерные ускорения (35) и чрезмерные инерционные силы.

При ю0 график проходит через минимум Ртп = Р(ю0) = Ут = Рт. Имеет место антирезонанс сил, при котором реактивные силы Рк и Рш равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю.

Для антирезонанса разночтений со смещением антирезонансной частоты (она же резонансная) не возникает.

На рисунке 4 представлена подлинная антирезонансная кривая для системы, отличающейся от первой тем, что У =10 м-с-1.

Рис. 4. Антирезонанс сил

3. Последовательное соединение и источник скорости. Резонанс скоростей.

Порядок рассуждений такой же, как в п. 1. Комплексная амплитуда силы (см. (1)) —

Р = — = — е-*= Ре-ир. (36)

Комплексная амплитуда скорости инертного элемента —

Vm = ЬтР = ЬтРе(ж’2+9) = Vme-l(*’2+9). (37)

Комплексная амплитуда скорости изменения длины упругого элемента —

Vk = ЬкР = ЬкРе'(«‘2-р) = Vkeг(«‘2-р). (38)

Комплексная амплитуда скорости изменения длины резистивного элемента —

V, = £Р = %Ре-1*= Ке-г* . (39)

Из (37) следует выражение для комплексной амплитуды импульса —

Р = mVm = тЬтРе-‘(«‘2+р) = т—Ре-1(«2+р) = —е-1(«2+р) = Ре-1(«2+р). (41) т т ат а

В = Щ = кЬкРе1(«‘2-9) = к—Ре'»2-9) = аРе'»2-9) = Ве'(«2-р) . (42)

Это соответствует преобразованию

к„ = к^Х = ^ = а = В . (43)

Из (36) — (42) и (7), (8), (9) следуют амплитудно-частотные характеристики

Vm(а) =-. V 2 , Р(а) = —,(45)

ату/1/ г2 +[а/к — 1/(ат)] а—1/ X2 +[а/к — 1/(ат)]

^1/т2 + [ю/к- 1/(юш)]2 ‘ У ‘ ^1/т2 + [-1/(юш)]2 ‘

Ц1/ т2 + [ю/к — 1/(юш)]] ^1/ т2 +[ю/к- 1(юш)]2

Графики функций Р(ю), Р(ю), В(ю) ведут себя качественно так же, как соответственно Уш (ю), Ут (ю), Ук(ю).

Частота юш, на которой функции Р(ю) и Уш (ю) имеют максимум, определяется из условия

Решение этого уравнения:

1- шк/(2т2) =ю^1- хЦ(2т2) = ю^1- 02/2 . (49)

где Р0 = Р(0) = Уш — постоянный импульс (при нулевой частоте).

Частота ют, на которой функции Р(ю) и Ут(ю) имеют максимум, очевидным образом равна

Ут тах = Ут ю) = У , ^тах = Р(ю„) = У .

Частота юк, на которой функции В(ю) и Ук(ю) имеют максимум, определяется из условия

Решение этого уравнения:

ш V1 -кш/(2т2) 71-072

Vkmax = Vk (—к) = , й 2/ V, Втах = В—к) = й Vk = й В0 ,(53)

71-074 71-074 71-074

где В0 = В(0) = Vk — постоянная производная силы (при нулевой частоте).

При 0 72 > 1 функции Р(а), В(а), Vm (а), Vk (а) не имеют максимумов в вещественном диапазоне частот. Примечательно, что

Втах =—02 Рпах, (56)

Другие характерные точки:

Vm (—к) = V, Р(—к) = -й=Щ* Р0, (58)

Vk (—т ) =*-Щ= V , В(—т ) В0, (59)

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Vm (а0) = й • V, Р(а0) = й • Р0, Vk (а0) = й -V , В(а0) = й • В0, (60)

Р( ) Р( ) 71 — 072 V 71 — 072 Р( )

Р(ак ) = Р(—т ) = П—^— = I , , Р(а0)

Vk (—к ) = Vm (—т ) = Vk (—к ) = Vm От ) = Р(—т ) = В— ) = 1

Vm (—к ) Vk К ) Vk (—т ) V (—к ) Р— ) В— ) 1 — й

Vr (—к ) V, (—т ) 7Т-072′

Амплитуда скорости инертного элемента Уш имеет максимум на частоте юш, амплитуда скорости изменения длины упругого элемента Ук — на частоте юк.

На частоте ю0 имеет место резонанс скоростей, при котором (реактивные) скорости и Ук равны и противоположны, а их сумма соответственно равна нулю [14; 15].

Величина адмитанса механической системы У = ^я2 + (Ьк -Ьш )2 ,

характеризующего ее свойство не оказывать сопротивление приводу, понуждающему ее совершать колебания, имеет минимальное значение на частоте ю0. Другими словами, именно на частоте ю0 система оказывает приводу максимальное сопротивление.

Таким образом, резонансной частотой является исключительно ю0.

Для системы с параметрами, отличающимися от параметров второй тем, что т=40 кг-с-1, подлинные резонансные кривые полностью совпадают с изображенными на рисунке 3 при заменах — ^ Уш, —ш ^ Ук, —т ^ Ут, юк ^ юш , юш ^ юк .

4. Последовательное соединение и источник силы. Антирезонанс скоростей.

Порядок рассуждений такой же, как в п. 2.

Комплексная амплитуда скорости инертного элемента —

Уш = Ьш — = Ьш—е-‘*’2 = Уше-‘*’2.

Комплексная амплитуда скорости изменения длины упругого элемента —

Ук = к — = Ьк—е*2 = Уке-*2.

Комплексная амплитуда скорости изменения длины резистивного элемента —

Разумеется, Уш + Ук + Ут = У.

Комплексная амплитуда импульса —

Р = шУш = шЬ—-‘*’2 = ш——е-‘*2 = —в-42 = Ре42. (65)

Комплексная амплитуда производной силы —

В = кУк = кЬ—е*2 = кв*2 = ю—е’*2 = Ве’*2. (66)

Комплексная амплитуда скорости (см. (1)) — У = —у = —уещ = Уещ.

При ю —> 0 и ю — да кривая У(ю) устремляется в бесконечность. При сверхмалых частотах условие (2) порождает чрезмерный импульс (65), сопровождаемый, соответственно, чрезмерной скоростью инертного элемента. При сверхвысоких частотах условие (2) порождает чрезмерную производную силы (66) и чрезмерную скорость изменения длины упругого элемента. При ю0 график проходит через минимум Ущт = У(ю0) = —Я = Ут. Имеет место антирезонанс скоростей, при котором (реактивные) скорости Уш и Ук равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю.

Для системы, отличающейся от третьей тем, что —=100 Н, подлинная антирезонансная кривая полностью совпадает с изображенной на рисунке 4 при замене — — У.

Использование символического (комплексного) метода существенно упростило исследование резонансных и околорезонансных явлений, в частности позволило глубоко унифицировать и формализовать рассмотрение различных механических систем (п. 1 и 3, 2 и 4 являются дуально инверсными). Громоздкие и трудоемкие операции, связанные с составлением и решением дифференциальных уравнений, заменены простыми алгебраическими преобразованиями.

В основе метода лежит механический аналог закона Ома в комплексном представлении (1) и понятие о механических реактансе, резистансе, импедансе, сассептансе, кондактансе и адмитансе. С помощью этого метода получены новые результаты, в том числе (14), (17) — (33), (40) — (64).

Установлено, что вопреки классическому подходу резонансной частотой является исключительно ю0 (а не юк). Другими словами, резонансная частота не сдвигается от частоты свободных колебаний. Это обусловлено тем, что при классическом рассмотрении не установлена симметрия частот (23), (54), а при символическом она очевидна.

Определены резонанс и антирезонанс сил, резонанс и антирезонанс скоростей, которые не были определены классическим методом. Резо-нансы возникают при сочетаниях параллельного соединения элемен-

тов и источника силы либо последовательного соединения и источника скорости. Антирезонансы возникают при сочетаниях параллельного соединения и источника скорости либо последовательного соединения и источника силы.

Для всех описанных случаев фазо-частотные характеристики особой оригинальностью не отличаются и поэтому не рассматриваются.

1. Попов И. П. Применение символического (комплексного) метода для расчета сложных механических систем при гармонических воздействиях // Прикладная физика и математика. 2019. № 4. С. 14 — 24. doi: 10.25791/pfim.04.2019. 828.

2. Попов И. П. Импедансы и адмитансы механических систем // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2020. № 5 (343). С. 3 — 11. doi: 10.33979/2073-7408-2020-343-5-3-11.

3. Попов И. П. Алгебраические методы расчета разветвленных механических систем при вынужденных колебаниях // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2020. № 5 (343). С. 12 — 20. doi: 10.33979/ 2073- 7408-2020-343-5-12-20.

4. Кужелев А. А., Пониматкин В. Е., Шпилевая С. Г., Попов А. А. К вопросу об увеличении диапазонных свойств несимметричного вибратора // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2020. № 2. С. 95 — 103.

5. Шабловский О. Н. Колебания, резонансы и волны в нелокальной среде с источниками // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 4. С. 5—14.

6. Великанов Н.Л., Наумов В. А., Корягин С. И. Внутреннее трение при продольных колебаниях троса // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 3. С. 84—92.

7. Пониматкин В. Е., Шпилевой А. А., Кужелев А. А. К вопросу об увеличении диапазонных свойств несимметричного вибратора // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 2. С. 69 — 77.

8. Popov I. P. Free harmonie oscillations in systems with homogeneous elements / / Journal of Applied Mathematies and Mechanics. 2012. Vol. 76, iss. 4. P. 393 — 395. doi: 10.1016/j. jappmathmech.2012.09.005.

9. Popov I. P. Theory of a Multi-Inert Oscillator // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2020. Vol. 49, iss. 8. P. 16—20. doi: 10.3103/S105261882 0080105.

10. Попов И. П. Теоретические предпосылки создания мультиинертного осциллятора // Оборонный комплекс — научно-техническому прогрессу России. 2020. № 1 (145). С. 15—19.

11. Попов И. П., Родионов С. С., Мошкин В. И. Повышение энергоэффективности приводов решетных сортировальных вибромашин. Курган, 2019.

12. Попов И. П. Дифференциальные уравнения двух механических резонан-сов // Прикладная физика и математика. 2019. № 2. С. 37—40. doi: 10.25791/ pfim.02.2019.599.

13. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. М., 1980.

14. Попов И. П. Антирезонанс — резонанс скоростей // Мехатроника, автоматизация, управление. 2019. Т. 20, №6. С. 362 — 366. https://doi.org/10. 17587/таи.20.362-366.

15. Попов И. П. Разновидности резонансов в механике // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2019. Т. 51, № 1. С. 88—85. doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-1-88-95.

Игорь Павлович Попов — канд. техн. наук, ст. преп., Курганский государственный университет, Россия.

Dr Igor P. Popov, Assistant Professor, Kurgan State University, Russia. E-mail: ip.popow@yandex.ru

Что такое резонанс и антирезонанс

4.5.2. Динамические методы

Метод «резонанса-антирезонанса»

МЕТОД «РЕЗОНАНС-АНТИРЕЗОНАНС» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

THE «RESONANCE-ANTIRESONANCE» METHOD FOR DETERMINING THE ELECTROPHYSICAL PARAMETERS OF PIEZOELECTRICS

Текст научной работы на тему «МЕТОД «РЕЗОНАНС-АНТИРЕЗОНАНС» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ»

ИСТОЧНИКИ СИЛЫ И СКОРОСТИ, РЕЗОНАНСЫ И АНТИРЕЗОНАНСЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Попов Игорь Павлович

SOURCES OF FORCE AND VELOCITY, RESONANCES AND ANTI-RESONANCES

Текст научной работы на тему «ИСТОЧНИКИ СИЛЫ И СКОРОСТИ, РЕЗОНАНСЫ И АНТИРЕЗОНАНСЫ»

О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Попов Игорь Павлович

ON MECHANICAL RESONANCES AND ANTI-RESONANCES

Текст научной работы на тему «О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ»

Добавить комментарий Отменить ответ