От чего зависит амплитуда собственных незатухающих колебаний

Гармонические колебания и их характеристики.

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени, т.е. колебания — периодические изменения какой-либо величины. В зависимости от физической природы различают механические и электромагнитные колебания. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания. Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, изменяющихся при колебаниях системы, повторяются через равные промежутки времени. Период — это время, за которое совершается одно полное колебание: , где — число колебаний за время . Частота колебаний — число полных колебаний, совершенных за единицу времени. Циклическая или круговая частота — число полных колебаний, совершенных за время 2 (единиц времени): . Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, при которых изменение величины происходит по закону синуса или косинуса (рис.1): , где — значение изменяющейся величины; — амплитуда колебаний, максимальное значение изменяющейся величины; — фаза колебаний в момент времени (угловая мера времени); ₀ — начальная фаза, определяет значение в начальный момент времени при , . Колебательная система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях:

Свободные незатухающие механические колебания.

Свободными или собственными называются колебания, которые совершает система около положения равновесия после того, как она каким-либо образом была выведена из состояния устойчивого равновесия и представлена самой себе. Как только тело (или система) выводится из положения равновесия, сразу же появляется сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Эта сила называется возвращающей, она всегда направлена к положению равновесия, происхождение ее различно: а) для пружинного маятника — сила упругости; б) для математического маятника — составляющая сила тяжести. Свободные или собственные колебания — это колебание, происходящие под действием возвращающей силы. Если в системе отсутствуют силы трения, колебания продолжаются бесконечно долго с постоянной амплитудой и называются собственными незатухающими колебаниями. Пружинный маятник — материальная точка массой m, подвешенная на абсолютно упругой невесомой пружине и совершающая колебания под действием упругой силы. Рассмотрим динамику собственных незатухающих колебаний пружинного маятника. — по II закону Ньютона, по закону Гука, где k – жесткость, ; или. Обозначим циклическая частота собственных колебаний. — дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний. Решением этого уравнения является выражение: . период колебаний пружинного маятника. При гармонических колебаниях полная энергия системы остается постоянной, происходит непрерывный переход в и наоборот. Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (рис.2). Можно доказать, что в этом случае Пружинный и математический маятники являются гармоническими осцилляторами (как и колебательный контур). Гармоническим осциллятором называется система, описываемая уравнением: . Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

Собственные незатухающие колебания

Пружинный маятник — это грузик массой m, прикреплённый к пружине жесткостьюk. Грузик может двигаться вдоль осиxпо горизонтальной поверхности без трения (рис. 12.4). Начало отсчета совместим с положением равновесия. Тогда координата грузика —xв любой момент времени равна деформации пружины. На движение маятника оказывает влияние только упругая сила. Запишем уравнение движения этого маятника. Рис. 12.4. Это дифференциальное уравнение собственных незатухающих колебаний пружинногоосциллятора. Его принято записывать так: (12.3) Решением этого уравнения является гармоническая функция x=a Cos(₀t+). (12.4) Покажем, что предлагаемая функция удовлетворяет уравнению (12.3). Возьмём вторую производную по времени функции (12.4) . (12.5) Подставим (12.4) и (12.5) в дифференциальное уравнение (12.3). Это равенство становится тождеством, если . Так мы показали, что пружинный маятник при отсутствии сил трения совершает собственные незатухающие гармонические колебания x=aCos(₀t+) c частотой. Эта частота зависит только от свойств осциллятора: массы грузаmи жёсткости пружины k. Начальная фаза — определяется методом задания колебаний. Оттянем вначале груз на расстояниеx₀=aи отпустим. При таком запуске колебаний в моментt= 0,x(0) =x₀=a. При этомCos (t+) =Cos= 1. Откуда следует, что= 0. Теперь запустим колебания по–другому. Нанесем по грузику, покоящемся в положении равновесия, короткий удар, сообщив ему тем самым начальную скорость v₀. В начальный момент времениt= 0,x(0) = 0 иCos (t+) =Cos= 0. Отсюда приходим к выводу, что при таком запуске колебаний=. Знак начальной фазы в этом случае определяется направлением начальной скоростиv₀. Можно оттянуть грузик из положения равновесия и не просто отпустить, но и толкнуть. Тогда начальная фаза может принять любое значение от 0 до 2. Зная частоту колебаний , легко вычислить период: . Скорость колеблющегося грузика: (12.6) тоже меняется по гармоническому закону с частотой ₀. Амплитуда колебания скорости равнаa₀, а по фазе скорость наопережает смещение. Ускорение груза (12.7) колеблется с той же частотой ₀, опережая смещение по фазе на(рис. 12.5). Рис. 12.5

Математический маятник

Математический маятник — это идеализированная система, представляющая собой материальную точку на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к этой модели является маленький тяжелый шарик на легкой длинной нити (рис.12.6). Рис. 12.6 Движение такого маятника происходит под действием двух сил: силы тяжести — и упругой силы натяжения нити —. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на касательное направление: –mg Sin=ma_. (12.8) Тангенциальное ускорение a_связано с угловым ускорением: . Учтя это соотношение, перепишем уравнение движения ещё раз: , или так: . При условии «малых колебаний» Sinи уравнение движения приобретает знакомую форму: . (12.9) Это дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника. Решение такого уравнения известно — это гармоническая функция:  = ₀ Cos(t+). Квадрат круговой частоты этих колебаний равен коэффициенту при функции в уравнении (12.9): , то есть. (12.10) Частота определяется только длиной нити. Период колебаний математического маятника равен: . (12.11)

физика лекцыи / 1.21

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы. Апериодический процесс. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Процесс установления колебаний. Случай резонанса. Автоколебания.

Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.

Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:

Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.
Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.
Частота и период зависят от степени затухания колебаний.
Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.

Механические затухающие колебания.Механическая система: пружинный маятник с учетом сил трения. Силы, действующие на маятник:Упругая сила., где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия. Сила сопротивления. Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак “минус” показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела: Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона: ma = F_упр. + F_сопр. Учитывая, что и , запишем второй закон Ньютона в виде: . (21.1) Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний: Обозначим , где β–коэффициент затухания, , где ω₀ – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе. В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид: . (21.2) Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Это линейное дифференциальное уравнение решается заменой переменных. Представим функцию х, зависящую от времени t, в виде: . Найдем первую и вторую производную этой функции от времени, учитывая, что функция z также является функцией времени: , . Подставим выражения в дифференциальное уравнение: . Приведем подобные члены в уравнении и сократим каждый член на , получим уравнение: . Обозначим величину . Решением уравнения являются функции , . Возвращаясь к переменной х, получим формулы уравнений затухающих колебаний: . Таким образом, уравнение затухающих колебаний есть решение дифференциального уравнения (21.2): (21.3) Частота затухающих колебаний:(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ). Период затухающих колебаний:(21.5) Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: . Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении. Для механической системы пружинного маятника имеем: , . Амплитуда затухающих колебаний:, для пружинного маятника . Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить. При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период. Графикизависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 21.1 и 21.2. Рисунок 21.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний. Рисунок 21.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний Характеристики затухающих колебаний.1.Коэффициент затуханияβ. Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону: . Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в “e ” раз (“е” – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды А_зат.(t) и А_зат.(t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда . Промежуток времениτ, за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.Коэффициент затуханияβ – величина, обратно пропорциональная времени релаксации. 2.Логарифмический декремент затуханияδ — физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период . Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так: , где А_зат.(t) и А_зат.(t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т.е.в момент времени (t + NT). 3. ДобротностьQколебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний: . Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то . При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна , где N_e – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз. Так, добротность пружинного маятника — .Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе. Добротность колебательной системы — безразмерная величина, которая характеризует диссипацию энергии во времени. 4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшается, а период увеличивается. При ω₀ = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ω_зат. = 0, а Т_зат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими. При ω₀ = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими. Для пружинного маятника условие ω₀ = β запишется так:, откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:. Рис. 21.3. Зависимсть амплитуды апериодических колебаний от времени Вынужденные колебания. Все реальные колебания являются затухающими. Чтобы реальные колебания происходили достаточно долго нужно периодически пополнять энергию колебательной системы, действуя на нее внешней периодически изменяющейся силой Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы. Такие колебания называются вынужденными.Общие признаки вынужденных механических колебаний. 1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая) периодическая сила . Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления . Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом: (21.6) Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний: Обозначим (β–коэффициент затухания), (ω₀ – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид: (21.7) Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений . – общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы: , где . Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса. Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 21.2), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение . Решение — это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части: , (21.8) где А_ампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ₀ –сдвиг фаз, т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда А_ампл., и сдвиг фаз φ₀ зависят от параметров системы (β, ω₀) и от частоты вынуждающей силы Ω. Период вынужденных колебанийравен(21.9) График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1. Рис.21.3. График вынужденных колебаний Установившиеся вынужденные колебания являются так же гармоническими. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс. 1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид: , . Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение. , , Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить . Рисунок 21.4. , (21.10) . (21.11) Учитывая значение , ,, получим формулы для φ₀ и А_ампл. механической системы: , . 2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график . Результаты исследования отражены в Рисунке 21.5, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β. При амплитуда колебаний становится бесконечно большой . Явление резкого возрастания амплитудывынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной, называется резонансом.(21.12) Кривые на Рисунке 21.5 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми.Рисунок 21.5 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Амплитуда резогансных колебаний примет вид: (21.13) Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями. В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов). Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 21.6 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Рисунок 21.6. Функциональная схема автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 21.7.). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной.

Рисунок 21.7. Часовой механизм с маятником.

Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику. Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.