Что характеризует величина составляющей тока в параллельной цепи

Последовательное и параллельное соединение сопротивлений

В этой статье мы рассмотрим свойства двух основных способов соединения различных элементов в электрических цепях.

Последовательная цепь не имеет разветвлений, сопротивления элементы друг за другом, как вагоны в поезде. Параллельная цепь содержит точки разветвления (узлы), сопротивления элементы друг с другом подобно тому, как держат себя танцоры во время танца (смотрите пример на рисунке 1).

Рис. 1. Последовательные и параллельные соединения сопротивления и лампочки

Самый простой способ соединить сопротивления — соединить их последовательно или параллельно.

Расчет проще всего при последовательном соединении: общее сопротивление состоит из сложения отдельных сопротивлений. Таким образом, при последовательном соединении общее сопротивление всегда больше, чем наибольшее из отдельных сопротивлений.

При объединении двух сопротивления в параллельную цепь расчет немного усложняется. Полное сопротивление есть величина, обратная сумме обратных величин индивидуальных сопротивлений. В параллельной цепи общее сопротивление всегда меньше наименьшего индивидуального сопротивления.

Рис. 2. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений

Последовательное соединение сопротивлений

Возьмем три постоянных сопротивления R1, R2 и R3 и включим их в цепь так, чтобы конец первого сопротивления R1 был соединен с началом второго сопротивления R 2, конец второго — с началом третьего R 3, а к началу первого сопротивления и к концу третьего подведем проводники от источника тока (рис. 3 ).

Такое соединение сопротивлений называется последовательным. Очевидно, что ток в такой цепи будет во всех ее точках один и тот же.

Рис 3 . Последовательное соединение сопротивлений

Как определить общее сопротивление цепи, если все включенные в нее последовательно сопротивления мы уже знаем? Используя положение, что напряжение U на зажимах источника тока равно сумме падений напряжений на участках цепи, мы можем написать:

U1 = IR1 U2 = IR2 и U3 = IR3

IR = IR1 + IR2 + IR3

Вынеся в правой части равенства I за скобки, получим

IR = I(R1 + R2 + R3) .

Поделив теперь обе части равенства на I , будем окончательно иметь

Таким образом, мы пришли к выводу, что при последовательном соединении сопротивлений общее сопротивление всей цепи равно сумме сопротивлений отдельных участков.

Проверим этот вывод на следующем примере. Возьмем три постоянных сопротивления, величины которых известны (например, R1 == 10 Ом, R 2 = 20 Ом и R 3 = 50 Ом). Соединим их последовательно (рис. 4 ) и подключим к источнику тока, ЭДС которого равна 60 В (внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

Рис. 4. Пример последовательного соединения трех сопротивлений

Подсчитаем, какие показания должны дать приборы, включенные, как показано на схеме, если замкнуть цепь. Определим внешнее сопротивление цепи:

R = 10 + 20 + 50 = 80 Ом.

Найдем ток в цепи по закону Ома:

Зная ток в цепи и сопротивления ее участков, определим падение напряжения на каждое участке цепи

U 1 = 0,75х 10 = 7,5 В, U 2 = 0,75 х 20=15 В, U3 = 0,75 х 50 = 37,5 В.

Зная падение напряжений на участках, определим общее падение напряжения во внешней цепи, т. е. напряжение на зажимах источника тока

U = 7,5+15 + 37,5 = 60 В.

Мы получили таким образом, что U = 60 В, т. е. несуществующее равенство ЭДС источника тока и его напряжения. Объясняется это тем, что мы пренебрегли внутренним сопротивлением источника тока.

Замкнув теперь ключ выключатель К, можно убедиться по приборам, что наши подсчеты примерно верны.

Параллельное соединение сопротивлений

Возьмем два постоянных сопротивления R1 и R2 и соединим их так, чтобы начала этих сопротивлений были включены в одну общую точку а, а концы — в другую общую точку б. Соединив затем точки а и б с источником тока, получим замкнутую электрическую цепь. Такое соединение сопротивлений называется параллельным соединением.

Рис 5. Параллельное соединение сопротивлений

Проследим течение тока в этой цепи. От положительного полюса источника тока по соединительному проводнику ток дойдет до точки а. В точке а он разветвится, так как здесь сама цепь разветвляется на две отдельные ветви: первую ветвь с сопротивлением R1 и вторую — с сопротивлением R2. Обозначим токи в этих ветвях соответственно через I1 и I 2. Каждый из этих токов пойдет по своей ветви до точки б. В этой точке произойдет слияние токов в один общий ток, который и придет к отрицательному полюсу источника тока.

Таким образом, при параллельном соединении сопротивлений получается разветвленная цепь. Посмотрим, какое же будет соотношение между токами в составленной нами цепи.

Включим амперметр между положительным полюсом источника тока (+) и точкой а и заметим его показания. Включив затем амперметр (показанный «а рисунке пунктиром) в провод, соединяющий точку б с отрицательным полюсом источника тока (—), заметим, что прибор покажет ту же величину силы тока.

Значит, сила тока в цепи до ее разветвления (до точки а) равна силе тока после разветвления цепи (после точки б).

Будем теперь включать амперметр поочередно в каждую ветвь цепи, запоминая показания прибора. Пусть в первой ветви амперметр покажет силу тока I1 , а во второй — I 2. Сложив эти два показания амперметра, мы получим суммарный ток, по величине равный току I до разветвления (до точки а).

Следовательно, сила тока, протекающего до точки разветвления, равна сумме сил токов, утекающих от этой точки.

Выражая это формулой, получим

Это соотношение, имеющее большое практическое значение, носит название закона разветвленной цепи .

Рассмотрим теперь, каково будет соотношение между токами в ветвях.

Включим между точками а и б вольтметр и посмотрим, что он нам покажет. Во-первых, вольтметр покажет напряжение источника тока, так как он подключен, как это видно из рис. 5 , непосредственно к зажимам источника тока. Во-вторых, вольтметр покажет падения напряжений U1 и U2 на сопротивлениях R 1 и R2, так как он соединен с началом и концом каждого сопротивления.

Следовательно, при параллельном соединении сопротивлений напряжение на зажимах источника тока равно падению напряжения на каждом сопротивлении.

Это дает нам право написать, что

где U — напряжение на зажимах источника тока; U 1 — падение напряжения на сопротивлении R 1 , U2 — падение напряжения на сопротивлении R2. Вспомним, что падение напряжения на участке цепи численно равно произведению силы тока, протекающего через этот участок, на сопротивление участка U = IR .

Поэтому для каждой ветви можно написать:

U1 = I1R1 и U2 = I2R2 , но так как U 1 = U2, то и I1R1 = I2R2 .

Применяя к этому выражению правило пропорции, получим I1/ I2 = U2 / U1 т. е. ток в первой ветви будет во столько раз больше (или меньше) тока во второй ветви, во сколько раз сопротивление первой ветви меньше (или больше) сопротивления второй ветви.

Итак, мы пришли к важному выводу, заключающемуся в том, что при параллельном соединении сопротивлений общий ток цепи разветвляется на токи, обратно пропорциональные величинам сопротивлении параллельных ветвей. Иначе говоря, чем больше сопротивление ветви, тем меньший ток потечет через нее, и, наоборот, чем меньше сопротивление ветви, тем больший ток потечет через эту ветвь.

Убедимся в правильности этой зависимости на следующем примере. Соберем схему, состоящую из двух параллельно соединенных сопротивлений R1 и R 2, подключенных к источнику тока. Пусть R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом и U = 3 В.

Подсчитаем сначала, что покажет нам амперметр, включенный в каждую ветвь:

I1 = U / R1 = 3 / 10 = 0 ,3 А = 300 мА

I 2 = U / R 2 = 3 / 20 = 0,15 А = 150 мА

Общий ток в цепи

I = I1 + I2 = 300 + 150 = 450 мА

Проделанный нами расчет подтверждает, что при параллельном соединении сопротивлений ток в цепи разветвляется обратно пропорционально сопротивлениям.

Действительно, R1 == 10 Ом вдвое меньше R 2 = 20 Ом, при этом I1 = 300 мА вдвое больше I2 = 150 мА. Общий ток в цепи I = 450 мА разветвился на две части так, что большая его часть ( I1 = 300 мА) пошла через меньшее сопротивление ( R1 = 10 Ом), а меньшая часть ( R2 = 150 мА) —через большее сопротивление ( R 2 = 20 Ом).

Такое разветвление тока в параллельных ветвях сходно с течением жидкости по трубам. Представьте себе трубу А, которая в каком-то месте разветвляется на две трубы Б и В различного диаметра (рис. 6). Так как диаметр трубы Б больше диаметра трубок В, то через трубу Б в одно и то же время пройдет больше воды, чем через трубу В, которая оказывает потоку воды большее сопротивление.

Рис. 6 . Через тонкую трубу в один и тот же промежуток времени пройдет воды меньше, чем через толстую

Рассмотрим теперь, чему будет равно общее сопротивление внешней цепи, состоящей из двух параллельно соединенных сопротивлений.

Под этим общим сопротивлением внешней цепи надо понимать такое сопротивление, которым можно было бы заменить при данном напряжении цепи оба параллельно включенных сопротивления, не изменяя при этом тока до разветвления. Такое сопротивление называется эквивалентным сопротивлением.

Вернемся к цепи, показанной на рис. 5, и посмотрим, чему будет равно эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных сопротивлений. Применяя к этой цепи закон Ома, мы можем написать: I = U/R , где I — ток во внешней цепи (до точки разветвления), U — напряжение внешней цепи, R — сопротивление внешней цепи, т. е. эквивалентное сопротивление.

Точно так же для каждой ветви

I1 = U1 / R1 , I2 = U2 / R2 ,

где I1 и I 2 — токи в ветвях; U 1 и U2 — напряжение на ветвях; R1 и R2 — сопротивления ветвей.

По закону разветвленной цепи:

Подставляя значения токов, получим

U / R = U1 / R1 + U2 / R2

Так как при параллельном соединении U = U1 = U2 , то можем написать

U / R = U / R1 + U / R2

Вынеся U в правой части равенства за скобки, получим

U / R = U (1 / R1 + 1 / R2 )

Разделив теперь обе части равенства на U , будем окончательно иметь

1 / R = 1 / R1 + 1 / R2

Помня, что проводимостью называется величина, обратная сопротивлению , мы можем сказать, что в полученной формуле 1 / R — проводимость внешней цепи; 1 / R1 проводимость первой ветви; 1 / R2 — проводимость второй ветви.

На основании этой формулы делаем вывод: при параллельном соединении проводимость внешней цепи равна сумме проводимостей отдельных ветвей.

Следовательно, чтобы определить эквивалентное сопротивление включенных параллельно сопротивлений, надо определить проводимость цепи и взять величину, ей обратную.

Из формулы также следует, что проводимость цепи больше проводимости каждой ветви, а это значит, что эквивалентное сопротивление внешней цепи меньше наименьшего из включенных параллельно сопротивлений.

Рассматривая случай параллельного соединения сопротивлений, мы взяли наиболее простую цепь, состоящую из двух ветвей. Однако на практике могут встретиться случаи, когда цепь состоит из трех и более параллельных ветвей. Как же поступать в этих случаях?

Оказывается, все полученные нами соотношения остаются справедливыми и для цепи, состоящей из любого числа параллельно соединенных сопротивлений.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример.

Возьмем три сопротивления R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом и R3 = 60 Ом и соединим их параллельно. Определим эквивалентное сопротивление цепи (рис. 7 ).

Рис. 7. Цепь с тремя параллельно соединенными сопротивлениями

Применяя для этой цепи формулу

1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 ,

1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3

и, подставляя известные величины, получим

1 / R = 1 / 10 + 1 / 20 + 1 / 60

Сложим эта дроби: 1/R = 10 / 60 = 1 / 6, т. е.. проводимость цепи 1 / R = 1 / 6 Следовательно, эквивалентное сопротивление R = 6 Ом.

Таким образом, эквивалентное сопротивление меньше наименьшего из включенных параллельно в цепь сопротивлений , т. е. меньше сопротивления R1.

Посмотрим теперь, действительно ли это сопротивление является эквивалентным, т. е. таким, которое могло бы заменить включенные параллельно сопротивления в 10, 20 и 60 Ом, не изменяя при этом силы тока до разветвления цепи.

Допустим, что напряжение внешней цепи, а следовательно, и напряжение на сопротивлениях R1, R2, R3 равно 12 В. Тогда сила токов в ветвях будет:

I1 = U/R1 = 12 / 10 = 1 ,2 А I 2 = U/R 2 = 12 / 20 = 1 ,6 А I 3 = U/R1 = 12 / 60 = 0, 2 А

Общий ток в цепи получим, пользуясь формулой

I = I1 + I2 + I3 =1,2 + 0,6 + 0,2 = 2 А.

Проверим по формуле закона Ома, получится ли в цепи ток силой 2 А, если вместо трех параллельно включенных известных нам сопротивлений включено одно эквивалентное им сопротивление 6 Ом.

I = U / R = 12 / 6 = 2 А

Как видим, найденное нами сопротивление R = 6 Ом действительно является для данной цепи эквивалентным.

В этом можно убедиться и на измерительных приборах, если собрать схему с взятыми нами сопротивлениями, измерить ток во внешней цепи (до разветвления), затем заменить параллельно включенные сопротивления одним сопротивлением 6 Ом и снова измерить ток. Показания амперметра и в том и в другом случае будут примерно одинаковыми.

На практике могут встретиться также параллельные соединения, для которых рассчитать эквивалентное сопротивление можно проще, т. е. не определяя предварительно проводимостей, сразу найти сопротивление.

Например, если соединены параллельно два сопротивления R1 и R2 , то формулу 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 можно преобразовать так: 1/R = (R2 + R1) / R1 R2 и, решая равенство относительно R, получить R = R1 х R2 / ( R1 + R2 ), т. е. при параллельном соединении двух сопротивлений эквивалентное сопротивление цепи равно произведению включенных параллельно сопротивлений, деленному на их сумму.

Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Цепь переменного тока при параллельном соединении элементов

При параллельном соединении элементов напряжение на каждой ветви схемы одинаково и равно приложенному. Каждая ветвь схемы представляет из себя последовательное соединение элементов, следовательно, можно для каждой из ветвей найти полное сопротивление Z, ток I и угол сдвига фаз φ

Аналогично можно определить Z, I и φ для остальных ветвей

По I закону Кирхгофа ток в неразветвленной части цепи равен геометрической сумме токов в ветвях – сумма геометрическая (векторная), следовательно, необходимо построить векторную диаграмму (ВД).

Порядок построения ВД:

1. Строим вектор напряжения
2. Относительно вектора напряжения строим вектор тока первой ветви , учитывая величину и направление угла сдвига фаз между током и напряжением φ₁.
3. Из конца этого вектора строим вектор тока второй ветви и т.д. – в результате получим векторную сумму токов в ветвях, т.е. ток в неразветвленной части цепи.

Численное значение полного тока I можно определить из ВД, если разложить ток каждой ветви на две составляющие

Например, для первой ветви

– активная составляющая тока I₁

– реактивная составляющая тока I₁

– активная проводимость отдельной ветви

– реактивная проводимость отдельной ветви

Аналогично можно разложить на составляющие токи всех ветвей

Тогда из ВД, учитывая, что емкостные и индуктивные токи направлены в противоположные стороны, получим

Где: – активная составляющая полного тока

– реактивная составляющая полного тока

– эквивалентная активная проводимость цепи

– эквивалентная реактивная проводимость цепи

– полная проводимость цепи

Резонанс в параллельной цепи (резонанс токов)

При резонансе токов сумма индуктивных токов равна сумме емкостных, следовательно, реактивная составляющая полного тока

– условие резонанса токов

Следовательно, при резонансе токов

Полный ток (в неразветвленной части цепи) – равен активному, т.е. сумме активных токов всех ветвей.

Полная проводимость цепи – равно сумме активных проводимостей всех ветвей и минимальна.

Ток в цепи – минимален, т.е. параллельная цепь при резонансе обладает минимальной проводимостью, т.е. максимальным сопротивлением.

При резонансе токов полный ток совпадает по фазе с приложенным напряжением (φ = 0), т.е. вся цепь имеет чисто активный характер.

Энергия и мощность в цепи переменного тока

Различия между активными и реактивными сопротивлениями не ограничиваются наличием сдвига фаз. Оказывается, что реактивные элементы (конденсаторы и катушки) не потребляют энергию. Энергия этих элементов в определенные промежутки времени полностью возвращается источнику.

Работа электрического тока dA = u i dt

Мгновенная электрическая мощность, т.е. скорость совершения работы

p = u i = U_m sin (t + ) I_m sin t = ……..…= UI[cos – cos (2t + )] = UI cos (1 – cos 2t) + UI sin sin 2t = p_a + p_p

Из математического выражения для мгновенной мощности р и графика ее изменения видно, что это гармоническая функция с частотой изменения 2 (т.е. в два раза выше частоты сети) и амплитудой UI. За период изменения мгновенная мощность имеет как положительные значения, когда энергия поступает в цепь, так и отрицательные, когда энергия, запасенная в магнитном поле, возвращается источнику.

Среднее значение за период

Р = = U I cos  = U_RI

Р = U I cos  = U_RI – средняя активная мощность – средняя скорость потребления энергии.

Мгновенную мощность можно представить в виде двух слагаемых р = p_a + p_p

1. Мгновенная активная мощность p_a = UIcos (1 – cos 2t) – для рассматриваемой нагрузки это мгновенная мощность, которая выделяется на активном сопротивлении R.

p_a – это гармоническая функция с частотой изменения 2 и средним значением P = UIcos = U_RI

p_a  0 – всегда положительна, т.е. активная мощность характеризует потребляемую энергию, которая необратимо преобразуется в другие виды – тепловую, механическую и т.д.

2. Мгновенная реактивная мощность – p_р = UIsin sin 2t – это строго гармоническая функция – среднее значение за период равно 0.

Реактивная энергия не потребляется, происходит периодический обмен этой энергией между источником и реактивными элементами цепи – индуктивностями и конденсаторами (или между ними).

Реактивная энергия – это энергия электрического поля конденсаторов или магнитного поля катушек индуктивности. Частота изменения 2 – в два раза выше частоты сети, амплитуда Q = U I sin  = U_LI

Таким образом, в цепях переменного тока мы имеем три различные мощности:

Активная мощность P = U I cos  [Ватт]

Реактивная мощность Q = U I sin  [ВAр]

Полная мощность S = U I [ВА]

S – это геометрическая сумма активной и реактивной мощности, характеризует полную энергию, передаваемую по ЛЭП.

Но PQ – ортогональны (см. закон изменения мгновенной мощности)

Удобные формулы для расчета мощности

P = UI cos  = I 2 R = U 2 g

Q = UI sin  = I 2 X = U 2 b

S = = UI = I 2 Z = U 2 y

cos  = – коэффициент мощности, показывает, какую часть от полной энергии, передаваемой по линии, составляет активная, т.е. потребляемая или полезная энергия.

2. 3. Комплексная проводимость. Параллельное соединение ветвей

Комплексной проводимостью называется отношение комплексного тока к комплексному напряжению данного участка цепи : .

Очевидно, что . Подставляя в эту формулу , получим

где — полная проводимость участка цепи : .

Применяя к равенству (2. 21) формулу Эйлера, перепишем его в виде

где — активная проводимость;

Используя алгебраическую запись комплексного сопротивления (2. 10) , комплексную проводимость можно представить еще и так :

Сравнивая равенства (2. 22) и (2. 23), устанавливаем, что

Понятиями и величинами комплексной проводимости удобно пользоваться при параллельном соединении ветвей (рисунок 2. 9) .

Общий ток является суммой токов отдельных ветвей :

Величина является общей комплексной проводимостью цепи. Очевидно, что ее можно определить, суммируя активные и реактивные (с учетом знака) составляющие комплексных проводимостей ветвей.

Пример. Определить комплексную проводимость цепи, приведенной на рис. 2. 10. На основе формул (2. 24) находим

Следует заметить, что рассчитывать общий ток параллельного соединения через его общую проводимость имеет смысл, если это соединение входит как составная часть в более сложную цепь. Если же напряжение на зажимах параллельного соединения задано (идеальный источник напряжения), то токи в отдельных ветвях находятся по закону Ома, а общий ток- по первому закону Кирхгофа в комплексной форме.

Пример. Определить токи в цепи рисунке 2.10, если . Находим комплексные токи в ветвях :

Общий комплексный ток найдем как сумму токов :

его модуль равен . Для наглядности определение тока показано на векторной диаграмме (рисунок 2. 11).

Если в параллельном соединении имеется только две ветви, то его эквивалентное сопротивление проще определить не через проводимости, а используя непосредственно сопротивления :

Пример. Найти полное сопротивление цепи, изображенной на рис. 2. 12,

если . Подставляя в формулу (2. 25) , находим

Заметим, что если бы элементы цепи имели одинаковый характер (оба резисторы или оба конденсаторы), то полное сопротивление равнялось бы 100 Ом.

2. 4. Мощности в цепи гармонического тока

Мгновенная мощность тока в каком — либо участке цепи определяется произведением мгновенных значений напряжения и тока :

При гармонически изменяющихся напряжении и токе

Эта мощность изменяется во времени и пользоваться ею для анализа цепи невозможно. Энергетические свойства цепи характеризуются средней мощностью- работой тока, отнесенной к периоду :

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью. Единица измерения активной мощности — Ватт (Вт).

Подставляя формулу (2. 26) в интеграл (2. 27) и учитывая, что

Если сдвиг фаз равен нулю, то . В электронике активную мощность принято выражать через амплитудные значения напряжения и тока. Это связано с особенностью работы электронных устройств. Например, амплитудное значение выходного напряжения усилителя не должно превышать допустимой (с точки зрения пробоя транзистора) величины. В электроэнергетике мощность принято рассчитывать через действующие значения напряжения и тока : . Активная мощность таких устройств, как генератора и трансформатора, зависит от напряжения, тока и угла сдвига фаз нагрузки, который может меняться. Поэтому генераторы и трансформаторы удобно характеризовать полной мощностью , равной произведению действующих напряжений и тока.

Эта мощность является максимальной активной мощностью при и допустимых (номинальных) напряжении и токе. Она называется также установочной, или габаритной, так как она определяет габариты генераторов и трансформаторов. Единица измерения полной мощности — вольт- ампер (ВА).

В некоторых случаях находит применение активная мощность, величина которой определяется формулой . Эта мощность положительна при индуктивном характере цепи (Q > 0 при > 0 ) , и отрицательна при емкостном. Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют “ВАР” (от сокращения слов “вольт” , “ампер” и “реактивный” ). Реактивной мощностью характеризуют конденсаторы, работающие при больших напряжениях и токах. Например, конденсаторы в сглаживающих фильтрах мощных выпрямителей.

Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями :

Для увеличения коэффициента мощности приемника следует уменьшать реактивную и увеличивать активную мощности. Графически соотношение между мощностями можно представить в виде треугольника мощностей (рисунок 2.13).

Мощности электрической цепи могут быть выражены через ее параметры z, r, g, x. Подставляя, например, в формулу (2. 28) вместо его выражение через : , получим или, учитывая, что , . Если вместо подставить , то, с учетом , получим . Аналогично можно выразить полную и реактивную мощности.

Параллельное соединение элементов

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно соединенные элементы R, L и C (рис. 21).

Пусть U(t) = U₀·cost. Напряжение на всех элементах цепи одинаково и равно U(t). Мгновенное значение тока в неразветвленной части цепи I(t) равно сумме токов в параллельных участках:

I(t) = I_R(t) + I_C (t) + I_L(t).

В этом случае удобно строить векторную диаграмму для токов.

С учетом, что ток через сопротивление находится в фазе с приложенным напряжением, ток через участок, содержащий С, опережает напряжение на , а через участок, содержащий L, отстает от напряжения на , векторную диаграмму можно изобразить следующим образом (рис. 22).

Из диаграммы видно, что

I₀ = .

I_0R·R = = I_0L··L = U₀.

Воспользовавшись векторной диаграммой и формулой (31), нетрудно получить выражения для амплитуды тока через неразветвленную часть цепи и для сдвига по фазе между приложенным напряжением и током

,

.

Из векторной диаграммы следуют и выражения для мгновенных значений тока в ветвях цепи

I_R = ,

I_L = ,

I_C = U₀··C·cos(t + ).

При условии, что ·L = , сдвиг фаз между током в неразветвленной части цепи и напряжением равен нулю ( = 0). При этом токи I_L и I_C находятся в противофазе и численно равны. Эти токи могут превосходить ток в подводящих проводах, что требует особенно внимательного соблюдения правил техники безопасности. Такая ситуация называется резонансом токов. При этом происходит периодический обмен энергией между электрическими и магнитными полями в емкости и индуктивности, а источник питания только компенсирует потери энергии на нагревание сопротивления R.

Резонанс токов в цепи с параллельным соединением элементов приводит к тому, что ток во внешней цепи имеет наименьшее значение.

Если убрать сопротивление R, то ток в подводящих проводах будет равен нулю, хотя в контуре, состоящем из L и C, ток может быть очень большим. Это устройство используется в резонансных усилителях, в которых колебательный контур настраивается на частоту сигнала, который требуется усилить.

Мощность переменного тока

Напомним, что мощностью называется физическая величина, численно равная работе в единицу времени. Элементарная работа dA по переносу заряда dq, совершенная за время dt на участке цепи с падением напряжения U, определяется выражением

dA = U·dq.

Тогда мгновенная мощность:

,

где U(t) и I(t) – мгновенные значения напряжения и силы тока.

В цепях синусоидального переменного тока, содержащих активное сопротивление R, индуктивность L и емкость C, ток, в общем случае, сдвинут по фазе относительно напряжения на угол φ:

U(t) = U₀·cosωt,

I(t) = I₀·cos(ωt + φ),

где U₀ и I₀ – амплитудные значения напряжения и силы тока, ω – круговая частота. Тогда элементарная работа dA за время dt:

dA = U(t)·I(t)·dt = I₀·U₀·cosωt·cos(ωt + φ)·dt.

Мгновенная мощность переменного тока также является величиной переменной. Для оценки энергетических свойств электроустановок используется значение средней мощности.

Для определения средней мощности P достаточно подсчитать работу тока за один период колебания T:

Воспользуемся формулой произведения косинусов:

.

Интеграл от первого слагаемого в квадратных скобках есть среднее значение косинуса за период и, следовательно, обращается в ноль. Таким образом, получили

.

Величину P = I·U·cosφ называют активной мощностью или средней мощностью, или просто мощностью переменного тока. Активная мощность в системе СИ измеряется в ваттах (1 Вт = 1 В ´ 1 А). Прибор, предназначенный для регистрации активной мощности, называется ваттметром (подробнее об устройстве и принципе действия ваттметра см. раздел «Ваттметр» в главе «Электроизмерительные приборы»).

Кроме активной мощности в теории переменных токов рассматривают полную (кажущуюся) мощность S = I·U и реактивную мощность Q = I·U·sinj.

Для того чтобы понять смысл реактивной мощности, рассмотрим энергетические процессы в цепи переменного тока, содержащей индуктивность L. В такой цепи потребление мощности в каждый момент времени не сводится только к выделению тепла. В той части периода, где ток нарастает, в катушке индуктивности L возбуждается магнитное поле, на что расходуется энергия источника. Когда же ток начинает уменьшаться, энергия, запасенная магнитным полем катушки, возвращается обратно источнику. Таким образом, индуктивность является то потребителем, то генератором энергии, а в среднем за период расход энергии в индуктивности равен нулю.

Аналогичные колебания происходят в цепи переменного тока, содержащей емкость C. В этом случае энергия запасается в электрическом поле конденсатора. Реактивная мощность Q не совершает никакой полезной работы, однако, она оказывает существенное влияние на режим функционирования электрических цепей. Поэтому расчет проводов и других элементов цепей переменного тока производят, исходя из полной мощности, которая учитывает активную и реактивную составляющие.

Очевидно, что активная P, реактивная Q и полная S мощности имеют одинаковую размерность. Однако в электротехнике, в отличие от единиц активной мощности, для удобства полную мощность принято измерять в вольт-амперах (ВА), а единица измерения реактивной мощности Q – вольт-ампер реактивный (ВАр).

Каким образом величины P, S и Q связаны между собой?

Для наглядности рассмотрим векторную диаграмму напряжений для последовательной цепи переменного тока, содержащей R, L и C, изображенную на рис. 23.

Сумма коллинеарных векторов U_L и U_C и перпендикулярного им вектора U_R равна вектору U, который отображает общее падение напряжения в цепи. Он сдвинут относительно вектора тока I на угол j. Вектора U, U_R и (U_L + U_C) образуют треугольник напряжений А0В (прямоугольный), причем катет АВ численно характеризует падение напряжения на чисто реактивной, а 0В – на чисто активной нагрузках:

АВ = U·sinj, 0В = U·cosj.

Разделив стороны векторного треугольника напряжений на величину силы тока I, получаем треугольник сопротивлений A′0′B′ (рис. 23,б), который уже не будет векторным. Умножив стороны треугольника напряжений на I, получаем треугольник мощностей A″0″B″, также не векторный (рис. 23,в). Очевидно, что эти три треугольника подобны. Сопоставляя стороны треугольника мощностей и треугольника напряжений, заключаем:

0″A″ = I·U = S ← полная мощность,

0″B″ = I·U·cosj = S·cosj = P ← активная мощность,

А″B″ = I·U·sinj = S·sinj = Q ← реактивная мощность.

И, как видно из треугольника A″0″B″, справедливо соотношение:

S 2 = P 2 + Q 2 .

То есть полная мощность является геометрической суммой активной и реактивной мощностей.

Стороны треугольника сопротивлений и треугольника мощностей по построению связаны следующим образом:

P = I 2 ·R,

Q = I 2 ·(X_L – X_C) = I 2 ·X,

S = I 2 ·Z,

где R – активное сопротивление цепи, X – реактивное сопротивление, X_L = wL – индуктивное сопротивление, X_C = – емкостное сопротивление, – полное сопротивление (импеданс) цепи переменного тока.

Если известны индуктивная Q_Li и емкостная Q_Ci составляющие реактивной мощности и активная P_i мощность каждого i-го потребителя, то полная мощность, на которую должен рассчитываться источник, составляет

.

Величина cosj, стоящая в выражении для активной мощности (см. формулу (44)), показывает, какая часть полной мощности цепи приходится на долю активной мощности, поэтому cosj называют коэффициентом мощности.

Из формулы (50) видно, что коэффициент мощности можно увеличить, уменьшая второе слагаемое под корнем. Большинство промышленных потребителей (трансформаторы, электродвигатели) потребляют индуктивную реактивную мощность. Для уменьшения такой реактивной мощности параллельно индуктивной нагрузке включают емкость.

1 Подробнее о целесообразности введения эффективных значений тока и напряжения см. в разделе «Мощность переменного тока».

1 При построении векторной диаграммы можно вместо амплитудных значений использовать эффективные (см. предыдущий раздел).

2 Подробнее см. в разделе «Приложения. Построение векторных диаграмм».