Что такое принужденный ток

6.2. Переходный, принужденный и свободный режимы

Рассмотрим расчет переходных процессов на примере подключения цепи с последовательным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов к источнику периодически изменяющейся э. д. с. е (рис. 6.1).

Электрическое состояние цепи после коммутации, согласно второму закону Кирхгофа, описывается уравнением

(6.4)

Здесь i — ток переходного процесса, называемый переходным. После окончания переходного режима наступает принужденный (установивший­ся) режим, который создается источником периодически изменяющей­ся э. д. с.

При исследовании переходных процессов необходимо установить порядок уравнения электрического состояния цепи, который равен числу независимых начальных условий для токов индуктивностей и напря­жений на емкостях. Для цепи рис. 6.1 переходный процесс описы­вается уравнением второго порядка, так как значения i и u_c можно задать независимо друг от друга:

(6.5)

Из математики известно, что решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами представ­ляет собой сумму двух решений: частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Частное решение описывает принужденный режим, задаваемый источником энергии, и зависит от вида функции, стоящей в правой части уравнения. Если функция правой части уравнения постоянна или является периодической функ­цией времени, то принужденный ток будет установившимся, а расчет принужденного режима проводится в последовательности и по фор­мулам предыдущих глав.

Общее решение однородного уравнения описывает переходный процесс, протекающий без воздействия внешних источников, т. е. про­текающий за счет энергии, накопленной в индуктивных и .емкостных элементах цепи до начала переходного режима, и имеет одинаковый вид для любого переходного процесса в данной цепи. Это означает, что исследуемая цепь в этом случае освобождается от воздействия внешнего источника энергии, поэтому токи или напряжения, найден­ные в результате решения однородного уравнения, называются свобод­ными составляющими (или просто свободными). При отсутствии внеш­них источников энергия, запасенная в цепи, постепенно расходуется и свободная составляющая с течением времени уменьшится до нуля. Для определения свободного тока однородное уравнение, полученное из (6.5), имеет вид

(6.6)

Запишем характеристическое уравнение для (6.6):

(6.7)

Определив из характеристического уравнения корни p₁ и р₂, запишем общее решение в виде

(6.8)

где A₁ и А₂ — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Следует отметить, что число слагаемых в (6.8) равно порядку дифференциального уравнения.

Действительное значение тока во время переходного режима равно сумме принужденного и свободного токов:

(6.9)

Аналогично, действительное напряжение на любом участке цепи при переходном режиме равно сумме принужденной и свободной составляю­щих:

(6.10)

Итак, физически существуют только переходные токи и напряжения, а разложение их на свободные и принужденные составляющие является математическим приемом, позволяющим упростить расчет переходных процессов в линейных цепях, ибо принцип наложения применим лишь к линейным цепям. Основная трудность анализа переходных процессов классическим методом заключается в определении свободных токов и напряжений.

Пример 5.1.На выводах цепи периодическое несинусоидальное напряжение

Активное сопротивление R=2 Ом. При основной частоте ₁ индуктивное сопротивление Х_L1 = 2 Ом, емкостное X_C1 = 3 Ом. Определить мгновенные значения всех токов, активную и полную мощности, показания амперметров, измеряющих действующее значение токов.

Рисунок к примеру 5.1.

Решение. Токи определим методом наложения (цифровой индекс у всех величин — номер гармоники). На схеме показаны выбранные положительные направления токов.

Суммарное комплексное сопротивление для первой гармоники тока

Ток первой гармоники в неразветвленной части цепи

Напряжение первой гармоники на участке ab

Токи первой гармоники в параллельных ветвях:

Общее комплексное сопротивление для третьей гармоники тока

Tок третьей гармоники в неразветвленной части цепи

Напряжение третьей гармоники на участке ab

Токи третьей гармоники в параллельных ветвях;

Мгновенные и действующие значения токов (показания амперметров):

.

Переходный, принужденный и свободный режим работы цепи

Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы расчета переходных процессов на примере включения неразветвленной цепи R, L, C к источнику, напряжение которого известно и задано некоторым аналитическим выражением (рис.7 .1).

После замыкания рубильника в цепи будет протекать ток переходного процесса , который на элементах цепи будет создавать напряжения u_R, u_L, u_C соответственно. Запишем второй закон Кирхгофа для мгновенных значений R, L, C

Когда переходный процесс закончится, в цепи наступит установившийся или принужденный режим (чаще его называют принужденным), а ток в этом случае называется принужденным. Для принужденного режима уравнение (1) принимает вид

Вычитая почленно (2) из (1) и обозначив , получим

Выражение (3) является вторым законом Кирхгофа для свободного тока, поскольку разность i — i_пр принято называть током свободного режима. Несколько подробнее о свободном токе. Он существует только во время переходного процесса, поскольку после его окончания i = i_пр. Реально существует конечно ток переходного процесса, а его разложение на принужденную и свободную составляющие ( ) – это математический прием, который существенно облегчает расчет переходного процесса. Тем не менее иногда свободные токи можно наблюдать и воочию. Например, если в некоторой цепи под действием источников протекают определенные токи, а затем эти источники исчезли, то токи не сразу прекращают свое существование, а еще некоторое время протекают. Это и есть свободные токи. Об этом свидетельствует сравнение выражений (1) и (3). Заметим, что для перехода от уравнения для полного тока к уравнению для свободного тока достаточно приравнять нулю напряжение всех источников питания. Выражение соответствует и правилу нахождения решения неоднородного дифуравнения, согласно которому оно равно сумме частного решения неоднородного уравнения (принужденный ток) и общего решения однородного уравнения (свободный ток).

Из приведенного примера следует, что расчет переходного процесса сводится к решению дифуравнений, составленных по законам Кирхгофа. Из математики известно, что существует два основных метода решения таких уравнений – классический и операторный. Поэтому и в ТОЭ основными методами расчета переходных процессов являются классический и операторный. Сначала мы будем изучать классический метод, в котором наибольшую сложность представляет определение постоянных интегрирования. Последние определяются по начальным условиям. Различают независимые и зависимые начальные условия. Независимыми начальными условиями называют значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях при t=0, т.е. начальные значения тех величин, которые не могут изменяться скачком . Независимые начальные условия определяются с помощью законов коммутации. Зависимыми начальными условиями называют начальные значения (t=0) всех остальных токов и напряжений. Они определяются по независимым начальным условиям с помощью законов Кирхгофа.

В заключение введем систематизацию в условные обозначения, которая является общепринятой и основные положения которой проиллюстрируем с помощью рис.7.2. Ток до коммутации принято обозначать как i(t-). Ток непосредственно перед коммутацией – i(0-), а ток непосредственно после коммутации — i(0₊). Переходный ток – i или i(t), принужденный ток – i_пр или i_пр(t). Заметим, что ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться скачком, поэтому i_L(0-)=i_L(0₊)=i_L(0), u_C(0-)=u_C(0₊)=u_C(0).

Р ассмотрим ряд примеров расчета переходных процессов и первый из них будет процесс в цепи R,L при её закорачивании согласно схеме рис.7.3. Состояние цепи до коммутации:

Cогласно первому закону коммутации ток не может измениться скачком (в цепи есть индуктивность), поэтому

В принужденном режиме ток в цепи равен нулю (она закорочена), поэтому в данном случае i=i_св. Во время переходного процесса состояние цепи описывается уравнением . Это линейное дифуравнение первого порядка, решение которого в математике предлагается находить в виде

где А – постоянная интегрирования, а р – корень характеристического уравнения.

Если согласиться с таким решением, то . Это и есть характеристическое уравнение, а его корень Для определения А перепишем (1) при t=0:

i(0) =A. Тогда окончательно имеем: — постоянная времени цепи R, L. Напряжение на индуктивности . Постоянной времени принято называть время, в течении которого свободный ток, затухая, уменьшается в е раз. Действительно

Н а рис.7.4 приведены графики i и u_L. Если эти зависимости получены экспериментальным путем, то с их помощью можно определить  графичесим путем. Для этого достаточно провести касательную к любой точке кривой и определить длину подкасательной (рис.7.4). Легко показать справедливость такого определения :

Очень важным является вопрос о длительности ПП. Теоретически он длится бесконечно долго. Действительно выражение для тока даст результат, равный нулю, только при t = ∞. Для того, чтобы решить вопрос о практической длительности ПП, заполним табл.7.1.

Из данных табл.7.1 следует, что за время равное (35) ток упал до величины, которой можно пренебречь. Поэтому на практике берут время ПП t_п = (35).

Интересным является протекание процесса с энергетической точки зрения: вся энергия, которая была накоплена в магнитном поле индуктивности к моменту коммутации за время ПП расходуется в R в виде тепла.

На практике с рассмотренным ПП приходится сталкиваться довольно часто. Например, обмотки возбуждения крупных электрических машин не размыкают (выключатели не выдерживают выделяющейся энергии), а закорачивают.

Включение цепи R, L на постоянное напряжение

П ри включении цепи R, L на постоянное напряжение (рис.7.5) до коммутации ток отсутствовал, следовательно, и в момент коммутации i(0)=0 (в соответствии с первым законом коммутации). В принужденном режиме, учитывая, что индуктивность не оказывает сопротивления постоянному току: .

Во время ПП состояние цепи определяется уравнением u_R + u_L = U или . Перепишем это уравнение для свободного тока: . Мы получили точно такое же дифуравнение как и в предыдущем примере, поэтому и решение его точно такое же, т.е. , где . При t = 0 i_св(0) = A, а i_св(0) = i(0) – i_пр(0) = . Следовательно, и для тока окончательно имеем: . Напряжение на индуктивности . Г рафики тока и u_L приведены на рис.7.6. Поскольку до включения напряжение на индуктивности было нулевым, а в момент коммутации оно становится равным U, то полное, принужденное и свободное напряжение на индуктивности изменяются скачком. Время ПП определяется через  и практически берется . Полученные результаты показывают, что ток в цепи не устанавливается мгновенно и что требуется определенное время (t_п) для получения установившегося режима с принужденным током. Нарастание тока происходит тем медленее, чем больше L и меньше R. Во время переходного процесса энергия, поступающая от источника, частично накапливается в магнитном поле индуктивности, а частично переходит в тепло в сопротивлении R.

В этом случае (рис.7.7) до коммутации и в момент коммутации ток также равен нулю (i(0)=0). Во время переходного процесса ток будем определять как i = i_пр+i_св. Если подведенное к цепи напряжение u=U_msin(t+), то i_пр=I_msin(t+—), где .

ПП описывается уравнением u_R+u_L =u(t) или , которое для свободного тока имеет вид . Решение этого уравнения снова . При t = 0 имеем i(0)=i_пр(0)+i_св(0) или 0 = I_msin(—) + A, откуда

А = — I_msin(—) и ток переходного процесса i = i_пр + i_св = I_msin(t+—)— I_msin(—) , где .

График тока приведен на рис.7.8,а.

Поскольку ток в момент коммутации равен нулю, то начальные ординаты принужденного и свободного тока равны по величине и противоположны по знаку. Кривая тока показывает, что во время ПП он может превышать амплитуду принужденного тока I_m. Наибольшее значение тока во время ПП принято называть ударным током I_уд. В данной цепи в зависимости от того в какой момент времени происходит замыкание рубильника могут иметь место различные по тяжести переходные процессы. Если в момент коммутации выполняется условие — = 0, то свободный ток не возникает (А=0) и в цепи сразу наступает принужденный режим, это же будет при — = . Если же коммутация происходит, когда — = /2, то начальное значение свободного тока будет максимальным (i(0)= ) и переходный процесс в этом случае будет самым тяжелым. Однако даже в самом тяжелом случае и даже когда постоянная времени цепи значительно больше периода (>>T) ударный ток не может превышать амплитуду принужденного тока более, чем в два раза (см. рис.7.8,б).

Короткое замыкание (КЗ) цепи R, С

П усть предварительно заряженный до напряжения U₀ конденсатор С подключается к активному сопротивлению R (рис.7.9). Состояние цепи до коммутации: i(t-)=0; u_C(t-)=U₀. В момент коммутации в соответствии со вторым законом коммутации u_C(0)=U₀. В принужденном режиме i_пр=0; u_Спр=0, поэтому в данном случае i и u_C содержат только свободные составляющие. Cостояние цепи во время ПП определяется уравнением u_C + u_R = 0 или u_C + iR = 0 или = 0, поскольку . Решением уравнения является выражение , где р – корень характеристического уравнения 1 + pRC = 0. . Тогда , где  = RC – постоянная времени цепи R, C. Она измеряется в с [Ом_*Ф= ] и через неё может быть определено время переходного процесса (t_п=(35)). Ток в цепи На рис.7.10 приведены графики тока и u_C.

Напряжение на конденсаторе спадает тем медленнее, чем больше , т.е. больше R и больше С. С энергетической точки зрения процесс характеризуется переходом энергии, запасенной в емкости до коммутации в тепло в сопротивление R. Ток в цепи до коммутации равнялся нулю, а в момент коммутации он становится равным -U₀/R, т.е. он изменяется скачком. Но любая реальная цепь имеет какую-то индуктивность (хоть и чрезвычайно малую), поэтому в действительности ток начинается с нуля, но чрезвычайно быстро достигает значения —U₀/R. Отрицательное значение тока означает, что он течет в противоположном по сравнению с нарисованным на схеме направлением (на практике по этому поводу говорят, что при разряде конденсатора ток течет в противоположную сторону по сравнению с зарядом).

1.4 Свободные и принужденные составляющие токов и напряжений

Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариантных по времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения при f(t)=0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения характеризует свободные процессы в цепи, т.е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии. Таким образом, характер свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации. Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующим установившимся режимам работы цепей до и после коммутации. В связи с тем, что эта разность имеет конечное значение, свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают.

Частное решение уравнения определяет принужденный режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии. Принужденная составляющая тока или напряжения физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС.

Рассмотрим это на примере процесса в RL-цепи первого порядка.

В цепях первого порядка переходные процессы описываются дифференциальными уравнениями первого порядка:

Пусть при t=0 RL-цепь подключается к источнику постоянного напряжения U (рис 1.2)

Из рисунка 1.2 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому

i_L(0_) = 0, (1.10)

т.е. цепь имеет нулевые начальные условия.

После замыкания ключа (коммутации) в цепи имеет место переходной процесс. В качестве переменной дифференциального уравнения выберем ток в цепи, который совпадает с током в индуктивности i_L, и составим дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа:

(1.11)

Решение уравнения (1.11) ищем по формуле

где i_пр определяем в режиме, установившемся после коммутации цепи (рис. 1.3)

i_пр=U/R,

а i_св определяем как общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

. (1.13)

В (1.13) А – постоянная интегрирования, которая определяется с использованием первого закона коммутации (1.7) и начального условия цепи (1.10):

A =- i_пр = —U/R;

р – корень характеристического уравнения:

R+pL = 0. (1.14)

Решая уравнение (1.14), получим:

Следовательно, решение уравнения (1.11) запишется так:

В нем слагаемое есть частное решение неоднородного уравнения (1.11), а слагаемое -общее решение однородного уравнения

Частное решение неоднородного дифференциальногоуравнения называется принужденной составляющей переходного колебания, а полное решение однородного уравнения – свободной составляющей.

Принужденная составляющая тока или напряжения физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Так, если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты ω, то принужденная составляющая любого тока и любого напряжения в схеме представляет собой соответственно синусоидальный ток или синусоидальное напряжение частоты ω.

Во всех линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону е pt .Так, в рассмотренном примере

.

С увеличением времени t множитель быстро уменьшается. Название «свободная» составляющая объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, «свободного» от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).

Что такое принужденный ток

Рассмотрим расчет переходных процессов на примере подключения цепи с последовательным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов к источнику периодически изменяющейся э. д. с. е (рис. 6.1).

Электрическое состояние цепи после коммутации, согласно второму закону Кирхгофа, описывается уравнением

Здесь i — ток переходного процесса, называемый переходным. После окончания переходного режима наступает принужденный (установившийся) режим , который создается источником периодически изменяющейся э. д. с.

При исследовании переходных процессов необходимо установить порядок уравнения электрического состояния цепи, который равен числу независимых начальных условий для токов индуктивностей и напряжений на емкостях. Для цепи рис. 6.1 переходный процесс описывается уравнением второго порядка, так как значения i и u_c можно задать независимо друг от друга:

Из математики известно, что решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами представляет собой сумму двух решений: частного решения неоднородного уравнения и

общего решения однородного уравнения. Частное решение описывает принужденный режим, задаваемый источником энергии, и зависит от вида функции, стоящей в правой части уравнения. Если функция правой части уравнения постоянна или является периодической функцией времени, то принужденный ток будет установившимся, а расчет принужденного режима проводится в последовательности и по формулам предыдущих глав.

Общее решение однородного уравнения описывает переходный процесс, протекающий без воздействия внешних источников, т. е. протекающий за счет энергии, накопленной в индуктивных и емкостных элементах цепи до начала переходного режима, и имеет одинаковый вид для любого переходного процесса в данной цепи. Это означает, что исследуемая цепь в этом случае освобождается от воздействия внешнего источника энергии, поэтому токи или напряжения, найденные в результате решения однородного уравнения, называются свободными составляющими (или просто свободными ). При отсутствии внешних источников энергия, запасенная в цепи, постепенно расходуется и свободная составляющая с течением времени уменьшится до нуля. Для определения свободного тока однородное уравнение, полученное из (6.5), имеет вид

Запишем характеристическое уравнение для (6.6):
Определив из характеристического уравнения корни p₁ и р₂, запишем общее решение в виде

где A₁ и А₂ — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Следует отметить, что число слагаемых в (6.8) равно порядку дифференциального уравнения.

Действительное значение тока во время переходного режима равно сумме принужденного и свободного токов:

i = i_пр + i_св. (6.9)

Аналогично, действительное напряжение на любом участке цепи при переходном режиме равно сумме принужденной и свободной составляющих:

u = u_пр + u_св. (6.10)

Итак, физически существуют только переходные токи и напряжения, а разложение их на свободные и принужденные составляющие является математическим приемом, позволяющим упростить расчет переходных процессов в линейных цепях, ибо принцип наложения применим лишь к линейным цепям. Основная трудность анализа переходных процессов классическим методом заключается в определении свободных токов и напряжений.

Пример 6.1. На выводах цепи периодическое несинусоидальное напряжение

Активное сопротивление R = 2 Ом. При основной частоте ω₁ индуктивное сопротивление Х_L1 = 2 Ом, емкостное X_C1 = 3 Ом. Определить мгновенные значения всех токов, активную и полную мощности, показания амперметров, измеряющих действующее значение токов.

Рисунок к примеру 6.1.

Решение. Токи определим методом наложения (цифровой индекс у всех величин — номер гармоники). На схеме показаны выбранные положительные направления токов.

Постоянная составляющая тока I₀ отсутствует в ветви с конденсатором. Поэтому по закону Ома I₀ = I_L0 = U₀ / R = 6 / 2 = 3 А (здесь учтено, что для постоянной составляющей индуктивное сопротивление равно нулю).