Как определить полосу пропускания контура

3.2.5. Полоса пропускания

Амплитудно-частотная характеристика последовательного контура характеризуется тем, что на резонансной частоте она имеет максимальное значение. На частотах, отстоящих значительно от резонансной частоты, значения амплитудно-частотной характеристики близки к нулю. Если к контуру прикладывать сигналы одинаковой амплитуды, но с разными частотами, то сигналы с частотой, равной резонансной частоте, будут создавать большой ток в контуре и большие напряжения на реактивных элементах. В этом случае говорят, что контур пропускает этот сигнал. Если частота сигнала значительно отличается от ₀, то в контуре практически отсутствуют электрические колебания. В этом случае говорят, что контур такой сигнал подавляет. Для оценки этих свойств контура вводится понятие его полосы пропускания.

Полосой пропускания называется интервал частот, включающий резонансную частоту контура, на границах которого значение тока контура меньше значения тока на резонансной частоте в заданное число раз.

Как правило, за исключением особой аппаратуры, требуется, чтобы на границе полосы пропускания ток контура был меньше тока на резонансной частоте враз.

На рис.3.10 показано определение полосы пропускания с помощью АЧХ. В соответствии с заданным уровнем подавления на границе полосы пропускания должно выполняться условие:

. (3.31)

Значит на границах полосы пропускания АЧХ должна иметь значение:

. (3.32) Исходя из этого, на рис.3.10 найдена полоса пропускания, границы которой обозначаются частотами ₁ и ₂. Полоса пропускания обозначается как  и измеряется в единицах измерения частоты. Тогда полоса пропускания будет равна:

. (3.33)

В зоне полосы пропускания АЧХ практически симметрична относительно резонансной частоты. Поэтому интервалы между резонансной частотой и границами полосы пропускания обозначим как ∆.

, .

С учетом этого выражение для полосы пропускания (3.33) принимает вид:

. (3.34)

Рассмотренный способ определения полосы пропускания возможен только при наличии графика АЧХ. Это не всегда удобно.

Найдем аналитическое выражение для определения полосы пропускания. Для этого воспользуемся формулой (3.29) определения АЧХ.

. (3.35)

Найдем, какой имеет вид (3.35) для границ полосы пропускания. Для этого предварительно найдем выражение в круглых скобках формулы (3.35) для ₁ и ₂.

В контурах радиоаппаратуры полоса пропускания узкая и составляет единицы килогерц, а резонансная частота высокая и составляет сотни килогерц. Это позволяет пренебречь величиной ∆ в числителе и знаменателе. Тогда рассматриваемое соотношение принимает вид:

Для =₂, с учетом сказанного получаем:

Из приведенного анализа видно, что рассматриваемая часть формулы (3.35) на граничных частотах ₁ и ₂ имеет одинаковые выражения, отличающиеся только знаком. Но так как рассмотренное соотношение в формуле (3.35) находится в квадрате, то эта формула для обеих границ полосы пропускания имеет один и тот же вид:

(3.36)

При решении задачи о полосе пропускания в общем виде вводится понятие коэффициента неравномерности . Он показывает, какую часть от резонансного тока принимает ток контура на границах полосы пропускания и имеет разные значения в зависимости от вида аппаратуры (0.707; 0.1; 0.01 и т. д.) Тогда, в соответствии с понятием полосы пропускания, приравняем (3.36) к коэффициенту неравномерности:

Решаем это уравнение относительно 2∆ и с учетом (3.34) находим:

При коэффициенте неравномерности полоса пропускания одиночного последовательного контура определяется формулой:

(3.37)

На границах полосы пропускания последовательный одиночный колебательный контур обладает рядом свойств, которые полезно знать при расчете схем с его применением.

1. Мощность, потребляемая контуром на границах полосы пропускания, в 2 раза меньше мощности, потребляемой контуром на резонансной частоте.

Действительно, на резонансной частоте мощность, потребляемая контуром, выражается через действующее значение тока контура известным соотношением:

Обозначим действующее значение тока на границе полосы пропускания через I. Тогда, с учетом (3.31), мощность, потребляемая контуром на каждой из границ полосы пропускания, равна:

2. На границах полосы пропускания сопротивление резистора контура R равно модулю суммы его реактивных элементов:

На резонансной частоте ток в контуре равен:

На границах полосы пропускания ток контура в общем виде (для =₁ и =₂) определяется формулой:

С учетом (3.31) приравняем эти токи:

После несложных преобразований находим:

(3.38)

3. На границах полосы пропускания фаза тока контура относительно входного сигнала равна 45.

Комплексное значение тока контура равно:

Фаза тока равна:

. (3.39)

Исходя из (3.38), модуль аргумента (3.39) на границах полосы пропускания равен 1. Исходя из свойств ФЧХ, на частотах 0 контур имеет емкостные свойства (Х<0) и, следовательно:

На частотах >₀ контур имеет индуктивные свойства (Х > 0), следовательно:

4. На границах полосы пропускания обобщенная расстройка .

Из (3.36) видно, что обобщенная расстройка, с учетом ранее выполненного анализа для ₁ и ₂ имеет вид:

где «плюс» имеет место для ₂, а «минус» — для ₁.

Тогда, учитывая (3.34) и (3.37), получаем:

5. На границе полосы пропускания модуль полного сопротивления контура равен:

Это легко проверить, учитывая второе из рассмотренных свойств (3.38). Из выражения модуля полного сопротивления контура находим:

Параллельный контур без диссипаций в реактивных ветвях – полное сопротивление, резонанс в контуре, напряжение на контуре и токи в ветвях, векторная диаграмма.

Параллельные колебательные контура Параллельные одиночные колебательные контура характеризуются тем, что основные элементы их — конденсатор и индуктивность соединены между собой параллельно. Резисторы могут быть включены как параллельно с реактивными элементами, так и последовательно. В первом случае диссипация энергии в параллельных ветвях, содержащих реактивные элементы, отсутствует. Во втором случае в этих ветвях имеют место диссипативные процессы. Рассмотрим каждый из названных видов параллельных контуров. 3.3.1. Параллельный колебательный контур без диссипации в реактивных ветвях Общие соотношения. В параллельном колебательном контуре без диссипации в реактивных ветвях резистор включен параллельно с конденсатором и индуктивностью, которые здесь считаются идеальными (рис.3.18). Их диссипации могут быть учтены в резисторе по параллельной схеме замещения (рис.1.4). Сопротивление контура. Для рассмотрения свойств контура определим его полное сопротивление _K (рис.3.18,в). Представим контур в виде параллельно соединенных реактивных и резистивного сопротивлений (рис.3.18,б). Воспользуемся проводимостями этих элементов: ; ; ; . Как известно, эквивалентная проводимость параллельно соединенных элементов равна сумме проводимостей этих элементов. Тогда эквивалентная проводимость контура имеет вид: . Отсюда находим величину эквивалентного сопротивления контура, выделяя в нем вещественную и мнимую составляющие: (3.50) Представим сопротивление контура в показательной форме: , (3.51) где ;. Напряжение на контуре. В отличие от последовательного контура, в параллельном контуре входным параметром является ток контура i_К(t), а выходным — напряжение на контуре u_К(t). Это связано с особенностью функционирования параллельных контуров в радиотехнических устройствах, таких как резонансные усилители, резонансные фильтры и др. В связи с этим задаем ток с определенной амплитудой и нулевой фазой, который в гармонической форме записи и в комплексной форме имеет виды: ; . Напряжение на контуре определяется в соответствии с законом Ома: , (3.52) где , . Токи в контуре. Определим токи во всех ветвях контура. Напряжение на контуре, а, значит, напряжение, приложенное к каждой из ветвей, имеет вид: . (3.53) Токи в ветвях определяются по закону Ома: ,где. , где (3.54) ,где Резонанс в контуре. Условие резонанса и резонансная частота. Как отмечалось, признаком резонанса являются максимальные значения тока и напряжения в схеме при определенной частоте сигнала. При этом в полном сопротивлении цепи мнимая составляющая равна нулю. Это мы видели в последовательном одиночном колебательном контуре. Воспользуемся этим условием. Тогда из выражения (3.50) видно, что условием резонанса в контуре является выполнение следующего равенства: . (3.55) Это значит, что при резонансе сопротивления конденсатора и катушки индуктивности равны: . Решая (3.55) относительно частоты, находим выражение для резонансной частоты контура: . (3.56) Определим сопротивление контура, напряжение на контуре и токи в ветвях на резонансной частоте. Сопротивление контура на резонансной частоте можно определить из (3.51). С учётом условия резонанса (3.55) видно, что на резонансной частоте модуль и фаза сопротивления контура принимают значения: , . Напряжение на контуре при резонансе определяется из (3.53) с учётом равенства нулю фазы сопротивления контура на резонансной частоте где , (3.57) . Токи в ветвях контура при резонансе определяются из (3.54) с учётом (3.55) и (3.57): , где ; , где ; (3.58) , где. В силу равенства видно, что токи в ветвях с индуктивностью и конденсатором равны по величине, а по фазе отличаются друг от друга на 180. Это хорошо видно на векторной диаграмме (рис.3.19). Совершенно очевидно, что в соответствии с первым законом Кирхгофа контурный ток равен сумме токов ветвей контура: . Однако, как видно из векторной диаграммы, токи и при суммировании уничтожают друг друга и контурный ток определяется током, протекающим через резистор: . (3.59) В силу рассмотренных свойств параллельного контура, резонанс в параллельном контуре еще называют резонансом токов. Мощности в контуре. Мгновенная мощность контура определяется как произведение мгновенного тока контура на мгновенное напряжение: На резонансной частоте , тогда . Средняя мощность, потребляемая контуром, равна: . С учетом (3.58) выражение для средней мощности контура принимает вид: . В полученном выражении мгновенной мощности контура на резонансной частоте отсутствует реактивная составляющая мощности. Однако под действием контурного напряжения через конденсатор и индуктивность протекают токи. Определим мгновенные мощности на этих элементах так, как это делали при анализе идеальных емкостного и индуктивного двухполюсников. Для емкостной ветви и индуктивной ветви получим: , . (3.60) При резонансе . Из (3.60) следует, что мгновенные мощности на конденсаторе и индуктивности равны по величине и противоположны по фазе. Добротность контура. Добротность контура, как и прежде, найдем из отношения амплитуды реактивной мощности контура к средней мощности. Для этого воспользуемся амплитудными значениями мощностей на конденсаторе и индуктивности (3.60). После очевидных преобразований имеем: . (3.61) Из (3.61) видно, что добротность контура без диссипации в параллельных ветвях (рис.3.18) тем выше, чем больше величина R, и тем меньше затухают колебания в контуре. С учетом полученного выражения для добротности полное сопротивление контура (3.50) примет вид: (3.62) Последнее выражение для сопротивления контура позволяет рассмотреть зависимость от частоты его модуля и фазы: ,. (3.63) На рис.3.20 представлены эти зависимости. Модуль сопротивления контура имеет наибольшее значение на резонансной частоте. Если R имеет конечное значение (присутствует в контуре), то Z_К0=R (график 1). Если R стремится к бесконечности (резистор отсутствует), то Z_К0 также стремится к бесконечности (график 2). Фазовая характеристика сопротивления контура позволяет установить его свойства на различных частотах. Если воспользоваться треугольником сопротивления, то видно, что на низких частотах (слева от резонансной частоты) контур должен иметь свойства реального индуктивного двухполюсника, а на высоких частотах (справа от резонансной частоты) контур должен иметь свойства реального емкостного двухполюсника. Сравним амплитуды токов I_L и I_C с амплитудой тока I_R. Используя соотношения (3.58), находим: ; . Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) параллельного контура называется зависимость от частоты модуля напряжения на контуре. Как и для последовательного контура, удобно АЧХ для параллельного контура рассматривать в приведенном виде. Для этого необходимо найти модуль отношения напряжения на контуре в комплексной форме при произвольной частоте к напряжению на контуре при резонансной частоте. Напряжение на контуре при произвольной частот и на резонансной частоте находятся по закону Ома: ; . Для удобства рассмотрения АЧХ здесь напряжение на контуре и сопротивление контура на резонансной частоте обозначены, соответственно как и. Берем отношение этих напряжений и, с учетом (3.58) и что, получаем: . (3.64) Модуль полученного выражения (3.60) является амплитудно-частотной характеристикой параллельного контура. . (3.65) На рис.3.21 представлены графики АЧХ параллельного контура для двух значений добротности. Увеличение добротности делает график АЧХ более крутым. Фазо-частотной характеристикой параллельного контура называется зависимость от частоты фазы напряжения на контуре. Как видно из (3.52), фаза напряжения на контуре равна фазе комплексного сопротивления контура. Учитывая (3.63), фазо-частотная характеристика параллельного контура принимает вид: . (3.66) На рис.3.22 представлен график ФЧХ параллельного контура. Так как фаза контурного тока равна нулю, то ФЧХ контура показывает, в каком фазовом соотношении (опережает, совпадает, отстает) находится напряжение по отношению к току. Эта информация позволяет судить о свойствах контура. Так, на резонансной частоте фаза контурного напряжения равна нулю. Значит на резонансной частоте напряжение контура и ток совпадают по фазе. Исходя из теории двухполюсников, этим свойством обладает резистивный двухполюсник. Следовательно, на резонансной частоте контур может быть заменен резистором. Об этом свойстве контура уже говорилось. На низких частотах (слева от резонансной частоты) фаза контурного напряжения положительная. Значит, в этом интервале частот напряжение опережает ток контура. Из теории двухполюсников известно, что этим свойством обладает реальный индуктивный двухполюсник. Следовательно, на низких частотах параллельный контур может быть заменен последовательно соединенными резистором и индуктивностью. На высоких частотах (справа от резонансной частоты) фаза контурного напряжения отрицательная. Значит, в этом интервале частот контурное напряжение отстает от контурного тока. Следовательно, на этом интервале частот контур обладает свойствами реального емкостного двухполюсника, и может быть заменен последовательно соединенными резистором и конденсатором. Необходимо отметить, что величины индуктивности и емкости в схемах замещения контура индуктивным и емкостным двухполюсниками не равны значениям индуктивности и ёмкости контура и на различных частотах будут иметь различные значения. Полоса пропускания. Физический смысл полосы пропускания резонансных контуров рассматривался для последовательного одиночного колебательного контура. Для параллельного контура физический смысл полосы пропускания совершенно аналогичен. Отличительная особенность параллельного контура состоит в том, что выходным сигналом является контурное напряжение, и АЧХ отображает его зависимость от частоты. Полосой пропускания параллельного одиночного колебательного контура называется интервал частот, включающий резонансную частоту контура, на границах которого значение напряжения контура меньше значения напряжения на резонансной частоте в раз. Это требование для значения напряжения на границе полосы пропускания можно выразить так: ; . Последнее соотношение позволяет определить границы полосы пропускания и ее величину по АЧХ контура (рис.3.23): . Пользуясь полученными соотношениями для последовательного колебательного контура, АЧХ для параллельного контура на границах полосы пропускания примет вид, аналогичный (3.36): . (3.67) Приравнивая (3.67) к коэффициенту неравномерности  и решая полученное уравнение относительно 2∆ω, находим: ; . Как отмечалось, для широкого круга приемно-передающих устройств коэффициент неравномерности берется равным: . С учетом этого находим выражение для полосы пропускания одиночного параллельного резонансного контура: . (3.68)

9.3 Избирательность и полоса пропускания последовательного контура.

Избирательность – способность контура усиливать напряжения на различных частотах в неодинаковое число раз.

Контур как бы «выбирает» из спектра напряжения на тех частотах, которые близки к резонансной.

Коэффициент передачи по напряжению в последовательном колебательном контуре зависит от частоты, поэтому при подведении на вход контура спектра частот с одинаковыми амплитудами на выходе получается спектр тех же частот, но с различными амплитудами, так как напряжение выхода равно произведению коэффициента передачи и входного напряжения.

Самый большой сигнал получается на резонансной частоте, так как коэффициент передачи наибольший.

Полоса пропускания – диапазон частот, в пределах которых коэффициент передачи уменьшается не более чем в раз по сравнению с максимальным значением.

Граничная частота – частота, на которой коэффициент передачи составляет 0,707 от коэффициента передачи на рехонансной частоте.

Абсолютное значение полосы пропускания

Π=2∆f=fo∕Q [Гц]

Относительное значение полосы пропускания:

Чем выше добротность контура, тем уже полоса пропускания контура. fгр. ниж = fo-fo∕2Q [Гц] fгр. вер = fo+fo∕2Q [Гц] Определим кривую тока: и построим ее

Электронный аналог

Пассивный колебательный контур содержит катушку, которую в микроэлектронном исполнении изготовить сложно, поэтому колебательной контур заменяют активной цепью, выполненной с помощью операционного усилителя, который имеет такую же передаточную характеристику АЧХ в виде резонансной кривой. Преимущество данной системы: -настройка колебательного контура осуществляется путем изменения сопротивления на резисторах R₂ и R₃, что конструктивно проще выполнить. Недостаток: -при изменении R₂ и R₃ меняется добротность и коэффициент передачи контура. Задача: Рассчитать индуктивность, емкость, сопротивление, напряжения входное и емкостное, полосу пропускания, частоту при резонансе в последовательном колебательном контуре, если добротность 125, ρ=500 Ом и ί=0,1 sin 94,2 * 10‘t. Решение:Тестовые задания:

Тема занятия 11: Резонанс токов

Пассивный параллельный колебательный контур – цепь, в которой элементы L и C подключены параллельно источнику энергии. Резонанс токов – явление, при котором ток в неразветвленной части минимален. При этом он может быть значительно меньше токов в разветвленных ветвях и совпадать по фазе с входным напряжением. Условия возникновения резонанса:

Параллельное соединение элементов L и C
Равенство реактивных проводимостей
Минимальная величина активного сопротивления, обеспечивающего возникновение свободных колебаний в контуре.

Общая проводимость цепи: ток и напряжение совпадают по фазе. — реактивные проводимости ветвей. Частота тока генератора, при котором возникает резонанс токов, определяется из условия равенства реактивных проводимостей параллельных ветвей. Следовательно, резонансная частота последовательного колебательного контура равна резонансной частоте параллельного колебательного контура. Резонанс токов наступает тогда, когда частота питающего генератора равна частоте собственных колебаний контура. Получить резонанс в параллельном контуре можно теми же способами, что и в последовательном колебательном контуре, то есть изменением частоты питающей сети, емкости или индуктивности. Так как в момент резонанса ток минимален, то , где Q=ρ∕R – добротность контура. Рассмотрим значения тока в момент резонанса: – минимальный общий ток в цепи. , то есть токи ветвей в момент резонанса равны. На практике Построим векторную диаграмму токов. Общий ток по фазе совпадает по фазе с напряжением и он меньше токов ветвей цепи. В идеальном колебательном контуре суммарный ток параллельных ветвей при резонансе равен нулю, то есть в контуре протекают токи I₁ и I₂ без учета генератора. Энергия от генератора конденсатора не тратится, и в контуре возникают незатухающие колебания. В реальном колебательном контуре имеется обмен энергией между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки индуктивности в равных количествах. От генератора поступает столько энергии в контур, сколько тратится безвозвратно на его активных сопротивлениях. S=Pcosφ=Po=IoUcosφ=1 Q=0. График зависимости токов в реальном контуре: Задача: Определить входное сопротивление для последовательного и параллельного колебательных контуров, если индуктивность составляет 400 мкГн, емкость 1600 пФ, сопротивление 30 Ом. Решение:Тема занятия 12: Избирательные свойства параллельного колебательного контура.

Определение полосы пропускания

В соответствии с заданием, полосу пропускания необходимо определить графически, т.е. с помощью графика амплитудно-частотной характеристики. Предварительно вспомним что понимается под полосой пропускания Полосой пропускания называется интервал частот на границах которого значение коэффициента передачи по напряжения меньше максимального значения коэффициента передачи по напряжению в раз или равно 0,707 от максимального значения коэффициента передачи по напряжению. В нашем случае максимальное значение коэффициент передачи по напряжению имеет при частоте равной бесконечности и равен 0,5115. С учётом сказанного, уровень, на котором выполняется требуемое условие, определится как произведение максимального значения коэффициента передачи по напряжению на 0,707. Величина этого уровня равна:

Далее, для определения полосы пропускания на графике АЧХ на вертикальной оси (на оси ординат) откладывается уровень 0,36 и проводится горизонтальная линия до пересечения с графиком АЧХ. От точки пересечения опускается вертикаль до оси частот, на которой определяется левая граничная частота полосы пропускания. Из графика видно,что она равна:

Правая граничная частота полосы пропускания, как видно из графика, равна бесконечности. Не трудно видеть по АЧХ, что исследуемая схема обладает свойствами высокочастотного фильтра.

Поделиться с друзьями:

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

studopedia.su — Студопедия (2013 — 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление

Генерация страницы за: 0.006 сек.

Полоса пропускания контура

При передачи музыки, речи или телевизионного сигнала требуется определенная полоса частот. Амплитудно-частотная характеристика является сложной функцией расстройки, поэтому для ориентировочных расчетов ее заменяют идеальной характеристикой, имеющей вид прямоугольника с высотой, равной 1 (рис.7.5).

Рисунок 7.5 – Замена АЧХ идеальной АЧХ

Ширина этого прямоугольника по оси часто называется полосой пропускания. Абсолютной полосой пропускания называется величина

где – нижняя и – верхняя граничные частоты полосы пропускания;

Относительной полосой пропускания называется величина

Границы полосы пропускания частот являются величиной условной.

Граничная частота – это та частота, при которой средняя мощность, поглощаемая последовательным контуром, вдвое меньше средней мощности, поглощаемой при резонансе:

т.е. полагается, что все колебания, мощность которых уменьшается не более, чем в два раза, контуром пропускаются, а все остальные колебания контуром подавляются. При уменьшении мощности в два раза ток должен уменьшаться в раза:

Полоса пропускания последовательного колебательного контура – это диапазон частот, в пределах которого значение АЧХ составляют не менее, чем ее максимального значения на резонансной частоте (рис. 7.5).

Из выражения (7.31) следует, что на границе полосы пропускания должны выполняться условия:

Причем для нижней граничной частоты соответствует уравнение:

а для верхней граничной частоты соответствует уравнение:

Решая уравнения (7.32) и (7.33) для положительных корней, получим выражение для гармонических частот:

Тогда полоса пропускания равна:

а относительная полоса пропускания равна:

Таким образом, полоса пропускания, характеризующая избирательные свойства колебательного контура, пропорциональна резонансной частоте и обратно пропорциональна добротности; относительная полоса пропускания равна затуханию контура.

Полоса пропускания только приближенно характеризует избирательные свойства контура, но для большинства расчетов точность оказывается вполне достаточной. Для некоторых специальных расчетов, например, для оценки электромагнитной совместимости устройств, учитывают реальные формы АЧХ.

4. Резонанс в параллельном колебательном контуре

\|	следующая лекция ==>
Последовательного колебательного контура	\|	Условия возбуждения резонанса токов