Как взаимодействуют заряды q2 и q3

Взаимодействие зарядов. Закон Кулона.

Наличие у тела электрического заряда проявляется в том, что такое тело взаимодействует с другими заряженными телами. Тела, несущие заряды одинакового знака, отталкивают друг друга. Тела, заряженные разноименно, притягиваются друг к другу.

Сила взаимодействия так называемых точечных зарядов определяется законом Кулона (1785 г.).

Точечный заряд – заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других тел, несущих электрический заряд.

Результат измерений Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направление силы совпадает с проходящей через заряды прямой. Аналитическое представление закона Кулона:

где k – коэффициент пропорциональности, q₁ и q₂ – величины взаимодействующих зарядов, r – расстояние между ними. В случае одноименных зарядов сила, вычисленная по формуле (1), оказывается положительной (что соответствует отталкиванию между зарядами). В случае разноименных зарядов сила отрицательна (что соответствует притяжению зарядов друг к другу). Закон Кулона в векторном виде:

Электрическое поле. Напряженность поля.

Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле.

Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку электрический заряд оказывается под действием силы. Следовательно, для того чтобы выяснить, имеется ли в данном месте электрическое поле, нужно поместить туда заряженное тело (т.н. пробный заряд) и установить, испытывает ли оно действие электрической силы. По величине силы, действующей на пробный заряд, можно судить о величине поля.

Чтобы сила, действующая на пробный заряд, характеризовала поле «в данной точке», пробный заряд должен быть точечным. В противном случае сила, действующая на заряд, будет характеризовать свойства поля, усредненные по объему, занимаемому телом.

Сила, действующая на пробный заряд, зависит не только от величин, определяющих поле (от q и r), но и от величины пробного заряда q_пp.

Однако, отношение f / q_пp для всех пробных зарядов будет одно и то же и зависит лишь от величин q и r, определяющих поле в данной точке. Это отношение однозначно характеризует электрическое поле:

E = f / q_пp (4)

Векторную величину E называют напряженностью электрического поля в в той точке, в которой пробный заряд испытывает действие силы f. Таким образом, напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на единичный точечный заряд, находящийся в данной точке поля. Вектора Е и f параллельны при условии положительного заряда q_пp.

Это определение распространяется и на случай поля, создаваемого любой совокупностью неподвижных зарядов. Изменение взаимного расположения зарядов – источников поля под воздействием пробного заряда может произойти когда они расположены на проводнике и могут свободно перемещаться в его пределах.

Таким образом, напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заряда q и обратно пропорциональна квадрату расстояния r от заряда до данной точки поля:

Единица напряженности электрического поля – напряженность в такой точке, в которой на заряд, равный 1 Кл действует сила, величина которой 1Н. Эта единица напряженности электрического поля называется вольт на метр и обозначается в/м.

Сила, действующая на пробный заряд, равна f = q_пp E.

Очевидно, что на всякий точечный заряд Q в точке поля с напряженностью Е будет действовать сила

F = Q E. (6)

Если заряд Q положителен, направление силы совпадает с направлением вектора Е. В случае отрицательного Q направления векторов F и Е противоположны.

1.2. Расчет равнодействующей силы системы неподвижных точечных зарядов

Пусть на заряд Q действуют несколько сил со стороны других зарядов. Для того чтобы определить результирующую силу , действующую на этот заряд, нужно узнать еёнаправление и модуль.

Направление результирующей силы определяетсяпо принципу суперпозиции сил (векторной суммы), а модуль – из геометрических построений.

Рекомендуемая последовательность решения задач:

1. сделать рисунок, на котором, в соответствии с условием задачи, указать расположение всех зарядов;
2. построить силы, действующие со стороны каждого заряда на заряд Q с учётом знаков всех зарядов (см. рис. 2). Все силы должны быть приложены к точке, в которой расположен заряд Q (то есть начинаться в этой точке) и направлены по линии, соединяющей заряды;
3. построить векторную сумму всех сил (по правилу треугольника или параллелограмма, если силы по результатам построений не лежат на одной прямой). Таким образом, мы определим направление вектора результирующей силы;
4. модуль равнодействующей силы вычисляется в зависимости от расположения и величины составляющих её сил, каждая из которых рассчитывается по закону Кулона.

Например, для системы, состоящей из трех зарядов, . При расчете модуля результирующей силы по результатам построения возможны четыре варианта (рис. 2, а, б, в, г):

1. векторы составляющих сил направлены в одну сторону. Модуль определяется как алгебраическая сумма сил:

;

1. векторы составляющих сил направлены в разные стороны. Модуль определяется как алгебраическая разность сил:

;

1. векторы составляющих сил образуют между собой угол α. Модуль определяется по теореме косинусов:

;

1. векторы составляющих сил перпендикулярны друг другу. Модуль определяется по теореме Пифагора (частный случай теоремы косинусов):

. 1. Как ведет себя положительный заряд +q₁, помещенный в поле неподвижного отрицательного заряда–q₂: а) движется с постоянной скоростью к q₂; б) движется равноускоренно к заряду q₂; в) движется равнозамедленно к заряду q₂; г) остается в покое. 2. Если отрицательный точечный заряд, находящийся посередине между точечными зарядами qи2q, заменить на противоположный по знаку заряд, как изменится модуль и направление результирующей силы? а) модуль силы не меняется, направление меняется на противоположное; б) модуль силы уменьшается в 2 раза, направление меняется на противоположное; в) модуль силы равен нулю; г) модуль силы увеличится в 2 раза, направление не меняется; д) модуль силы увеличится в 3 раза, направление не меняется. 3. Как направлена равнодействующая сила на зарядq₃ со стороны зарядовq₁иq₂(|q₁|=|q₂|расстояния между зарядами одинаковые): 4. Как направлена сила, действующая на положительный точечный заряд, расположенный в центре квадрата? Задача 1.1. В вершинах равностороннего треугольника со стороной а расположены два положительных и один отрицательный заряды, одинаковых по величине и равных q. Найти силу, действующую на заряд Q₀< 0, расположенный на пересечении медиан. Решение.Сделаем рисунок, произвольно расположив заряды в вершинах треугольника. Расставим силы, действующие на заряд Q₀ со стороны зарядов q₁, q₂,и q_3, и обозначим их соответственно (рис. 3, а). Направление результирующей силы по определяем по принципу суперпозиции: . Для этого необходимо сложить три вектора. Так как величина зарядов q₁,q₂ и q₃ одинакова и они равноудалены от заряда Q₀, то силы будут одинаковы по модулю. Из рисунка видно, что сначала удобно сложить векторы по правилу параллелограмма (рис. 3 б). . Модуль вектора определим по теореме косинусов , где α – угол между векторами . С учётом того, что ,α = 120º; cosα = – 0,5, получим: . Теперь нужно сложить векторы . (рис. 3 в). Из рисунка видно, что эти векторы направлены в одну сторону, значит, их векторная сумма равна их алгебраической сумме. С учётом того, что, модуль результирующей силы . По закону Кулона .  Обратите внимание, что в законе Кулона все заряды пишутся со знаком «+», так как знак заряда учитывался при геометрических построениях. Расстояние r выразим из рисунка через сторону треугольника а: . Окончательно получим: . Задача 1.2. В вершинах правильного шестиугольника со стороной а расположены точечные заряды q,2q, 3q,4q,5q,6q. Найти силу, действующую на заряд Q₀ > 0, расположенный на пересечении диагоналей. Решение.Сделаем рисунок, произвольным образом расположив заряды в вершинах шестиугольника. Если все заряды одноимённые, то между зарядом Q₀ и остальными зарядами действует сила отталкивания. Расставим силы, действующие на заряд Q₀ со стороны каждого заряда, и обозначим их соответствующими индексами (рис. 4, а). По закону Кулона ; ;;;;. По принципу суперпозиции . Сначала сложим попарно силы, лежащие на одной прямой (рис. 4 б). Так как эти силы направлены в разные стороны, то модули равнодействующих сил равны алгебраической разности этих сил. Равнодействующая сил равнаи направлена в сторону большей силы, то есть в сторону. Равнодействующая силравнаи направлена в сторону. Наконец, равнодействующая силравнаи направлена в сторону. Мы видим, что векторы равнодействующих сил одинаковы. Теперь сложим векторы (см. задачу 1.1): . По теореме косинусов . С учётом того, что ,α = 120º; cosα = – 0,5, получим: Теперь осталось сложить векторы (рис. 4 в). Так как векторы сонаправлены и одинаковы по модулю, то окончательно получим: .

Глава 3

,

где F — сила взаимодействия двух точечных зарядов Q₁, и Q₂; r — расстояние между зарядами;  — диэлектрическая проницаемость среды; ₀ — электрическая постоянная:

.

Закон сохранения заряда

,

где —алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему; n — число зарядов.

Примеры решения задач

Пример 1. Три одинаковых положительных заряда Q₁=Q₂=Q₃=1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника (рис. 13.1). Какой отрицательный заряд Q₄ нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Решение. Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, например Q₁,

находился в равновесии.

В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд Q₁ будетнаходиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

где F₂, F₃, F4 — силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q₁ заряды Q₂, Q₃ и Q₄; F — равнодействующая сил F₂ и F₃.

Так как силы F и F₄ направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой:

F—F₄=0, или F₄=F.

Выразив в последнем равенстве F через F₂ и F₃ и учитывая, что F₃=F₂, получим

.

Применяя закон Кулона и имея в виду, что Q₂=Q₃=Q₁, найдем

, (2)

.

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

.

С учетом этого формула (2) примет вид

.

Подставив сюда значение Q₁, получим

Отметим, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 2. Два заряда 9Q и —Q закреплены на расстоянии l=50 см друг от друга. Третий заряд Q₁ может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q₁, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым *?

Решение. Заряд Q₁ будет находиться в равновесии в том случае, если векторная сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд Q₁ должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (рис. 13.2) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд Q₁ —положительный **.

*Равновесие называется устойчивым, если при малом смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия.

** Рекомендуется читателю самостоятельно выполнять решение задаче для отрицательного заряда.

На участке I (рис. 13.2, а) на заряд Q₁ действуют две противоположно направленные силы: F₁ и F₂. Сила F₁, действующая со стороны заряда 9Q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила F₂, действующая со стороны заряда —Q, так как больший (по модулю) заряд 9Q всегда находится ближе к заряду Q₁, чем меньший заряд -Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно;

На участке II (рис. 13.2, б) обе силы F₁ и F₂ направлены в одну сторону — к заряду -Q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III (рис. 13.2, б) силы F₁ и F₂ направление противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по модулю) заряд (—Q) всегда находится ближе к заряду Q₁, чем больший заряд (9Q). Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы F₁ и F₂ будут одинаковы по модулю, т. е.

Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда Q₁ равно х, тогда расстояние от большего заряда будет l+х. Выражая в равенстве (1) F₁ и F₂ в соответствии с законом Кулона, получим

.

Сокращая на QQ₁ и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, найдем l+x=±3x, откуда x₁=+l/2 и x₂=-l/4.

Корень x 2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F₁ и F₂ хотя и равны по модулю, но направлены в одну сторону).

Определим знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым. Рассмотрим смещение заряда Q₁ в двух случаях: 1) заряд положителен; 2) заряд отрицателен.

1. Если заряд Q₁ положителен, то при смещении его влево обе силы F₁ и F₂ возрастают, но F₁ возрастает медленнее (заряд 9Q всегда находится дальше, чем –Q). Следовательно, F₂ (по модулю) больше, чем F₁, и на заряд Q₁ будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд Q₁ удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда Q₁ вправо. Сила F₂ убывает быстрее, чем F₁. Векторная сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

2. Если заряд Q₁ отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F₂ и F₁, но сила F₁ возрастает медленнее, чем F₂, т.е. |F₂|>|F₁|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под действием этой силы заряд Q₁ возвращается к положению равновесия. При смещении Q₁ вправо сила F₂ убывает быстрее, чем F₁, т. е. |F₁|>|F₂|. результирующая сила направлена влево и заряд Q₁ опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда Q₁ несущественна.

Отметим, что в электростатике устойчивое равновесие возможно только при определенных ограничениях. В нашем примере заряд Q₁ может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды Q и –9Q. Если это ограничение снять, то устойчивого равновесия не будет. В системе зарядов, находящихся под действием одних только электростатических сил, устойчивое равновесие невозможно (теорема Ирншоу).

Пример 3. Тонкий стержень длиной l=30 см (рис. 13.3) несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью =1 мкКл/м. На расстоянии r₀=20 см от стержня находится заряд Q₁=10 нКл, равноудаленный от концов, стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных зарядов. По условию задачи, один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределенный по длине стержня. Однако если выделить на стержне дифференциально малый участок длиной dl, то находящийся на нем заряд dQ=dl можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона* сила взаимодействия между зарядами Q₁ и dQ:

, (1)

где r — расстояние от выделенного элемента до заряда Q₁.

Из чертежа (рис. 13.3) следует, что и ,где

r₀ — расстояние от заряда Q₁ до стержня. Подставив эти выражения r к dl в формулу (1), получим

. (2)

Следует иметь в виду, что dF — вектор, поэтому, прежде чем интегрировать разложим его на две составляющие: dF₁, перпендикулярную стержню, и dF₂, параллельную ему.

Из рис. 13.3 видно, что dF₁=dFcos, dF₂=dFsin. Подставляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдем:

.

* Здесь и далее, если в условии задачи не указана среда, имеется в виду, что заряды находятся в вакууме (=1).

Интегрируя эти выражения в пределах от – до +, получим

В силу симметрии расположения заряда Q₁ относительно стержня интегрирования второго выражения дает нуль;

Таким образом, сила, действующая на заряд Q₁,

. (3)

Из. рис. 13.3 следует, что .Подставив это выражение sin в формулу (3), получим

. (4)

Произведем вычисления по формуле (4):

Физика

Урок 4: Электрическое поле. Напряженность. Линии напряженности

• Видео
• Тренажер
• Теория

Электрическое поле

Закон Кулона, изученный на прошлом уроке, был установлен экспериментально и справедлив для покоящихся заряженных тел. Каким же образом происходит взаимодействие заряженных тел на расстоянии? До некоторых пор при изучении электрических взаимодействий бок о бок развивались две принципиально разные теории: теория близкодействия и теория дальнодействия (действия на расстоянии).

Теория близкодействия заключается в том, что заряженные тела взаимодействуют друг с другом посредством промежуточного звена (например, цепь в задаче о поднятии ведра из колодца является промежуточным звеном, посредством которого мы воздействуем на ведро, то есть поднимаем его).

Теория дальнодействия гласит, что заряженные тела взаимодействуют через пустоту. Шарль Кулон придерживался именно этой теории и говорил, что заряженные тела «чувствуют» друг друга. В начале XIX века конец спорам положил Майкл Фарадей (рис. 1). В работах, связанных с электрическим полем, он установил, что между заряженными телами существует некий объект, который и осуществляет действие заряженных тел друг на друга. Работы Майкла Фарадея были подтверждены Джеймсом Максвеллом (рис. 2). Он показал, что действие одного заряженного тела на другое распространяется за конечное время, таким образом, между заряженными телами должно существовать промежуточное звено, через которое осуществляется взаимодействие.

Рис. 1. Майкл Фарадей (Источник)	Рис. 2. Джеймс Клерк Максвелл (Источник)

Определение: Электрическое поле – это особая форма материи, которая создается покоящимися зарядами и определяется действием на другие заряды.

Напряженность

Электрическое поле характеризуется определенными величинами. Одна из них называется напряженностью.

Вспомним, что по закону Кулона, сила взаимодействия двух зарядов:

Максвелл показал, что это взаимодействие осуществляется за конечное время:

где l – расстояние между заряженными частицами, а c – скорость света, скорость распространения электромагнитных волн.

Рассмотрим эксперимент по взаимодействию двух зарядов. Пусть электрическое поле создается положительным зарядом +q₀, и в это поле на некотором расстоянии помещается пробный, точечный положительный заряд +q (рис. 3,а). Согласно закону Кулона, на пробный заряд будет действовать сила электростатического взаимодействия со стороны заряда, создающего электрическое поле. Тогда отношение этой силы к величине пробного заряда будет характеризовать действие электрического поля в данной точке. Если же в эту точку будет помещен вдвое больший пробный заряд, то сила взаимодействия также увеличится вдвое (рис. 3,б). Аналогичным образом отношение силы к величине пробного заряда снова даст значение действия электрического поля в данной точке. Так же действие электрического поля определяется и в том случае, если пробный заряд отрицательный (рис. 3,в).

Рис. 3. Сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов

Таким образом, в точке, где находится пробный заряд, поле характеризуется величиной:

Эта величина и называется напряженностью электрического поля. Напряженность поля в данной точке не зависит от величины пробного заряда: во всех трех случаях отношение силы к величине заряда – постоянная величина. Единица измерения напряженности:

Напряженность – векторная величина, является силовой характеристикой электрического поля, направлена в ту же сторону, куда и сила электростатического взаимодействия. Она показывает, с какой силой электрическое поле действует на помещенный в него заряд.

Напряженность поля точечного заряда

Рассмотрим напряженность электрического поля уединенного точечного заряда либо заряженной сферы.

Из определения напряженности следует, что для случая взаимодействия двух точечных зарядов, зная силу их кулоновского взаимодействия, можем получить величину напряженности электрического поля, которое создается зарядом q₀ в точке на расстоянии r от него до точки, в которой исследуется электрическое поле:

Данная формула показывает, что напряженность поля точечного заряда изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от данного заряда, то есть, например, при увеличении расстояния в два раза, напряженность уменьшается в четыре раза.

Линии напряженности

Попытаемся теперь охарактеризовать электростатическое поле нескольких зарядов. В этом случае необходимо воспользоваться сложением векторных величин напряженностей всех зарядов. Внесем пробный заряд и запишем сумму векторов сил, действующих на этот заряд. Результирующее значение напряженности получится при разделении значений этих сил на величину пробного заряда. Данный метод называется принципом суперпозиции.

Напряженность электростатического поля принято изображать графически при помощи силовых линий, которые также называют линиями напряженности. Такое изображение можно получить, построив вектора напряженности поля в как можно большем количестве точек вблизи данного заряда или целой системы заряженных тел.

Рис. 4. Линии напряженности электрического поля точечного заряда (Источник)

Рассмотрим несколько примеров изображения силовых линий. Линии напряженности выходят из положительного заряда (рис. 4,а), то есть положительный заряд является источником силовых линий. Заканчиваются линии напряженности на отрицательном заряде (рис. 4,б).

Рассмотрим теперь систему, состоящую из положительного и отрицательного зарядов, находящихся на конечном расстоянии друг от друга (рис. 5). В этом случае линии напряженности направлены от положительного заряда к отрицательному.

Большой интерес представляет электрическое поле между двумя бесконечными плоскостями. Если одна из пластин заряжена положительно, а другая отрицательно, то в зазоре между плоскостями создается однородное электростатическое поле, линии напряженности которого оказываются параллельными друг другу (рис. 6).

Рис. 5. Линии напряженности системы двух зарядов (Источник)

Рис. 6. Линии напряженности поля между заряженными пластинами (Источник)

В случае неоднородного электрического поля величина напряженности определяется густотой силовых линий: там, где силовые линии гуще, величина напряженности поля больше (рис. 7).

Рис. 7. Неоднородное электрическое поле (Источник)

Определение: Линиями напряженности называют непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с векторами напряженности в этой точке.

Линии напряженности начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных и являются непрерывными.

Изображать электрическое поле с помощью силовых линий мы можем так, как сами посчитаем нужным, то есть число силовых линий, их густота ничем не ограничивается. Но при этом необходимо учитывать направление векторов напряженности поля и их абсолютные величины.

Очень важно следующее замечание. Как говорилось ранее, закон Кулона применим только для точечных покоящихся зарядов, а также заряженных шариков, сфер. Напряженность же позволяет характеризовать электрическое поле вне зависимости от формы заряженного тела, которое это поле создает.

Список литературы

1. Мякишев Г. Я., Буховцев Б. Б., Сотский Н. Н. Физика: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. – М.: Просвещение, 2008.
2. Касьянов В. А. Физика. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. — М.: Дрофа, 2000.
3. Рымкевич А. П. Физика. Задачник. 10-11 кл.: пособие для общеобразоват. учреждений. – М.: Дрофа, 2013.
4. Генденштейн Л. Э., Дик Ю. И. Физика. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «nauka.guskoff.ru» (Источник)
2. Youtube (Источник).
3. Интернет-портал «physics.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Стр. 378: № 1–3. Касьянов В. А. Физика. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. — М.: Дрофа, 2000. (Источник)
2. С каким ускорением движется электрон в поле напряженностью 10 кВ/м?
3. В вершинах равностороннего треугольника со стороной a находятся заряды +q, +q и –q. Найти напряженность поля Е в центре треугольника.