Для чего пространство между обкладками конденсатора заполняют диэлектриком

Плоский конденсатор.

Простейший конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским. Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами (рис. 1.6.1); однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния. В целом ряде задач приближенно можно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками (рис. 1.6.2). Но в других задачах пренебрежение полем рассеяния может привести к грубым ошибкам, так как при этом нарушается потенциальный характер электрического поля (см. § 1.4).

Поле плоского конденсатора

Идеализированное представление поля плоского конденсатора. Такое поле не обладает свойством потенциальности

Каждая из заряженных пластин плоского конденсатора создает вблизи поверхности электрическое поле, модуль напряженности которого выражается соотношением

Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля, создаваемого обеими пластинами, равна сумме напряженностей и полей каждой из пластин:

Внутри конденсатора вектора и параллельны; поэтому модуль напряженности суммарного поля равен

Вне пластин вектора и направлены в разные стороны, и поэтому E = 0. Поверхностная плотность σ заряда пластин равна q / S, где q – заряд, а S – площадь каждой пластины. Разность потенциалов Δφ между пластинами в однородном электрическом поле равна Ed, где d – расстояние между пластинами. Из этих соотношений можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора:

Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз:

Сферический и цилиндрический конденсатор.

Примерами конденсаторов с другой конфигурацией обкладок могут служить сферический и цилиндрический конденсаторы.Сферический конденсатор – это система из двух концентрических проводящих сфер радиусов R₁ и R₂. Цилиндрический конденсатор – система из двух соосных проводящих цилиндров радиусов R₁ и R₂ и длины L. Емкости этих конденсаторов, заполненных диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, выражаются формулами:

(сферический конденсатор), (цилиндрический конденсатор).

Параллельное и последовательное соединение конденсаторов.

Конденсаторы могут соединяться между собой, образуя батареи конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 1.6.3) напряжения на конденсаторах одинаковы: U₁ = U₂ = U, а заряды равны q₁ = С₁U и q₂ = C₂U. Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор электроемкости C, заряженный зарядом q = q₁ + q₂ при напряжении между обкладками равном U. Отсюда следует

Таким образом, при параллельном соединении электроемкости складываются.

Параллельное соединение конденсаторов. C = C₁ + C₂

Последовательное соединениеконденсаторов.

При последовательном соединении (рис. 1.6.4) одинаковыми оказываются заряды обоих конденсаторов: q₁ = q₂ = q, а напряжения на них равны и Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор, заряженный зарядом q при напряжении между обкладками U = U₁ + U₂. Следовательно,

При последовательном соединении конденсаторов складываются обратные величины емкостей.

Формулы для параллельного и последовательного соединения остаются справедливыми при любом числе конденсаторов, соединенных в батарею.

10. Электроемкость. Конденсаторы

Рассмотрим процесс зарядки произвольного проводника. Если сообщить проводнику заряд , то заряд распределится по поверхности проводника с поверхностной плотностью , гдеr –координата точки поверхности проводника в выбранной системе координат. В соответствии с выводами п.3.1 вид функции зависит только от геометрии проводника, т.е. его размеров и формы (кривизны поверхности). Такое распределение зарядов по поверхности проводника создаст в пространстве вокруг проводника электростатическое поле с напряженностью, гдеr – координата точки пространства в той же системе координат. Функцию можно найти, используя теорему Остроградского–Гаусса, при этом вид функциибудет зависеть только от формы и размеров проводника. Определим потенциал проводника с помощью интегральной связи напряженности и потенциала:

, (3.3)

где – координата какой-либо точки проводника (они все имеют одинаковые потенциалы).

Если сообщить проводнику заряд , то заряд распределится по поверхности проводника с поверхностной плотностью, создав вокруг себя поле с напряженностью. Потенциал проводника в этом случае будет равен

. (3.4)

Важно, что вид функций поверхностной плотности зарядов и напряженности поля зависит только от формы и размеров проводника. Это означает, что функции ,, …,будут одинаковы по внешнему виду. Различие между ними будет лишь в коэффициентах, определяемых зарядами,, …,. Аналогичный вывод можно сделать и для функций напряженности поля. Следовательно, результаты интегрирования однотипных функций в выражениях (3.3), (3.4) и им подобных будут пропорциональны соответствующим зарядам,, …,. Вид пропорциональности определяется только формой и размерами проводника. Поэтому для данного проводника

Электроемкостью уединенного проводника называется физическая величина, равная отношению заряда проводника к его потенциалу в поле этого заряда:

. (3.5)

Электроемкость проводника показывает, какой заряд необходимо сообщить проводнику для того, чтобы его потенциал принял заданное значение. Чем больше заряд проводника, тем больше его потенциал в поле этого заряда. Поэтому электроемкость не зависит ни от величины заряда проводника, ни от значения его потенциала, а зависит только от размера и формы проводника, а также от диэлектрических свойств среды, в которой он находится. Единица измерения электроемкости проводника в СИ называется фарад (обозначается 1 Ф): .

Рассмотрим определение емкости проводящего шара радиусом R, находящегося в вакууме. Для этого сообщим шару произвольный заряд Q. Заряд равномерно распределится по поверхности шара с поверхностной плотностью , которая будет одинакова в каждой точке поверхности шара. Этот заряд создаст электростатическое поле, напряженность которого определяется следующим образом (см. пример 1, п. 1.7):

Вид функции – гипербола (), а коэффициент пропорциональностизависит только от заряда шара. Потенциал шара можно будет найти так:

В соответствии с (3.5) емкость шара

. (3.6)

При определении емкости проводника описанным выше способом важно, чтобы вблизи него не находились другие проводники, т.е. чтобы проводник был уединенным. Рассмотрим, как изменится емкость проводника, если он будет находиться рядом с незаряженным проводником. Допустим, что проводник 1 обладает положительным зарядом (рис. 3.8). Тогда в незаряженном проводнике 2 произойдет разделение зарядов (электростатическая индукция) на отрицательные и положительные, причем. В этом случае потенциал проводника1 определится по принципу суперпозиции как сумма его потенциалов в трех полях: в поле собственного заряда Q, в поле заряда и в поле заряда:

Заметим, что , а. Однако, поскольку отрицательные индуцированные зарядырасполагаются ближе к проводнику1, чем положительные индуцированные заряды , то. Поэтому. В результате потенциал заряженного проводника уменьшается, а емкость проводника увеличивается.

Аналогичный вывод можно получить и в случае, если вблизи положительно заряженного проводника располагается незаряженное диэлектрическое тело. На поверхности диэлектрика образуются связанные поляризационные заряды, суммарный потенциал проводника в поле которых также отрицателен.

Следует отметить, что если зарядить проводник отрицательным зарядом, то вывод будет противоположным: потенциал проводника возрастет.

Таким образом, электроемкость проводника зависит от наличия в пространстве вблизи него любого тела (проводника или диэлектрика).

В случае, если заряженные проводники располагаются таким образом, что электрическое поле существует только в пространстве между ними, то они образуют конденсатор. Сами проводники при этом называются обкладками конденсатора. Примеры расположения двух обкладок, образующих конденсаторы, приведены на рис. 3.9 а, б, в. Это, соответственно, плоский, цилиндрический и сферический конденсаторы. Плоский конденсатор создается системой двух бесконечно больших параллельных пластин площадью S, находящимися на малом расстоянии d друг от друга (). Цилиндрический конденсатор образован двумя бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами (), а сферический – двумя концентрическими сферами. Если обкладки каждой из этих систем зарядить разноименными одинаковыми по модулю зарядами, то электрическое поле образуется только в пространстве между ними. Модуль заряда любой из обкладок называетсязарядом конденсатора.

Электроемкостью конденсатора называется физическая величина, равная отношению заряда конденсатора к разности потенциалов, создаваемой полем этого заряда между его обкладками:

. (3.7)

Так же, как и емкость проводника, электроемкость конденсатора не зависит ни от величины заряда конденсатора, ни от разности потенциалов между его обкладками, а зависит только от размера и формы конденсатора, а также от диэлектрических свойств среды между обкладками конденсатора. Следует отметить, что электроемкость конденсатора не зависит от наличия вблизи него других проводящих или диэлектрических тел.

В качестве примера выведем формулу емкости плоского конденсатора, изображенного на рис. 3.9, а. Определим напряженность электростатического поля, создаваемого одной заряженной пластиной площадью S. Силовые линии такого поля изображены на рис. 3.10. Если рассмотреть точки пространства, расположенные настолько близко к пластине, что расстояние от них до пластины существенно меньше, чем до ее границ (из этих точек пластина будет представляться как бесконечно большая плоскость), то искривлением силовых линий у границ пластины можно пренебречь (рис. 3.11). Таким образом, бесконечно большая заряженная плоскость создает однородное поле. Исходя из симметричности системы, модуль напряженности поля во всех точках, равноудаленных от пластины, должен быть одинаковым, а направление вектора зависит только от положения исследуемой точки пространства (слева или справа от пластины).

Определим напряженность поля в некоторой точке с координатой x, отсчитываемой вдоль оси , направленной перпендикулярно пластине. Для этого в качестве гауссовой поверхности выберем поверхность цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости, а основание имеет площадь(рис. 3.12). Модуль напряженности поля одинаков во всех точках оснований цилиндра, исходя из симметрии системы. Угол междуи внешней нормалью к поверхности во всех точках боковой поверхности цилиндра равен, а во всех точках левого и правого оснований гауссова цилиндра равен 0.

Определим поток напряженности поля через выбранную поверхность.

где – площадь левого основания гауссова цилиндра;– площадь правого основания гауссова цилиндра;– площадь боковой поверхности гауссова цилиндра. Получаем

; ;.

. (3.8)

Определим алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностью гауссова цилиндра. В данном случае электрический заряд, попавший внутрь него – это заряд “вырезанной” цилиндром части пластины. Его можно найти, умножив площадь основания цилиндра на поверхностную плотность заряда пластины:

. (3.9)

Приравняем (3.8) и (3.9) с учетом коэффициента :

. (3.10)

Полученное соотношение определяет модуль напряженности однородного поля бесконечно большой заряженной пластины.

Если две разноименно заряженные пластины расположить на малом расстоянии друг от друга так, чтобы выполнялось условие однородности поля каждой из них (рис. 3.13), то напряженность поля можно будет определить по принципу суперпозиции с учетом (3.10):

В этом случае разность потенциалов между обкладками получившегося конденсатора можно определить так:

Емкость плоского конденсатора, по определению (3.7), составит

Следует учесть, что если пространство между обкладками любого конденсатора заполнить диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью , то при том же значении заряда обкладок напряженность поля между обкладками уменьшится в  раз. Поэтому в  раз уменьшится разность потенциалов между ними, а, следовательно, в  раз увеличится емкость конденсатора:

. (3.11)

Выведем формулу емкости сферического конденсатора. Рассмотрим систему сферических обкладок, изображенную на рис. 3.9, в. Поместим на внутреннюю обкладку заряд Q, а на внешнюю заряд . Напряженность электростатического поля, созданного такой системой зарядов можно описать следующей формулой:

Определим разность потенциалов между обкладками, пользуясь дифференциальной связью напряженности и потенциала (1.13):

Емкость сферического конденсатора, по определению (3.7), составит

Если конденсатор заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью , то

. (3.12)

Подчеркнем еще раз, что емкость конденсатора зависит от размера, формы конденсатора и относительной диэлектрической проницаемости диэлектрика между его обкладками.

У вас большие запросы!

Точнее, от вашего браузера их поступает слишком много, и сервер VK забил тревогу.

Эта страница была загружена по HTTP, вместо безопасного HTTPS, а значит телепортации обратно не будет.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы отключили сохранение Cookies, а они нужны, чтобы решить проблему.

Почему-то страница не получила всех данных, а без них она не работает.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы вернётесь на предыдущую страницу через 5 секунд.
Вернуться назад

Электрическая емкость. Конденсаторы

Подробнее

Проводники и диэлектрики в электростатическом поле. Диэлектрическая проницаемость вещества. Электроемкость. Конденсаторы. Поле плоского конденсатора. Электроемкость плоского конденсатора. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора.

Проводники и диэлектрики в электростатическом поле Вещества в природе можно разделить на проводники и диэлектрики. Основная особенность — наличие свободных зарядов (электронов), которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему проводника. Типичные проводники — металлы.
Диэлектрическая проницаемость вещества В отсутствие внешнего поля в любом элементе объема проводника отрицательный свободный заряд компенсируется положительным зарядом ионной решетки. В проводнике, внесенном в электрическое поле, происходит перераспределение свободных зарядов, в результате чего на поверхности проводника возникают нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды. Этот процесс называют электростатической индукцией, а появившиеся на поверхности проводника заряды — индукционными зарядами. В отличие от проводников, в диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.
Физическая величина, равная отношению модуля напряженности $\vec_0$ внешнего электрического поля в вакууме к модулю напряженности $\vec$ полного поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества $\varepsilon$ . \[\varepsilon=\dfrac<\vec_0><\vec>\]
Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда $q$ одного из проводников к разности потенциалов $\Delta \varphi$ между ними: \[\fbox$>\] Единицы измерения: $\displaystyle [\text]$ (фарад). Величина электроемкости зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники.
Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами , а проводники, составляющие конденсатор, — обкладками .
Плоский конденсатор — система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика.
Электроемкость плоского конденсатора Разность потенциалов $\Delta \varphi$ между пластинами в однородном электрическом поле равна $Ed$ , где $d$ — расстояние между пластинами. Из этих соотношений можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора: \[C=\dfrac=\dfrac=\dfrac\] Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в $\varepsilon$ раз: \[\fbox$>\]
Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами; однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния. В целом ряде задач приближенно можно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками.
Последовательное и параллельное соединение конденсаторов Для достижения нужной емкости или при напряжении, превышающем номинальное напряжение, конденсаторы, могут соединяться последовательно или параллельно. Любое же сложное соединение состоит из нескольких комбинаций последовательного и параллельного соединений.
- Последовательное соединение конденсаторов При последовательном соединении, конденсаторы подключены таким образом, что только первый и последний конденсатор подключены к источнику тока одной из своих пластин. Заряд одинаков на всех пластинах , но внешние заряжаются от источника, а внутренние образуются только за счет разделения зарядов ранее нейтрализовавших друг друга. При этом заряд конденсаторов в батарее меньше, чем, если бы каждый конденсатор подключался бы отдельно. Следовательно, и общая емкость батареи конденсаторов меньше. Напряжение на данном участке цепи соотносятся следующим образом: \[\fbox\] Зная, что напряжение конденсатора можно представить через заряд и емкость, запишем: \[\dfrac=\dfrac+\dfrac\] Сократив выражение на $Q$ , получим формулу: \[\fbox=\dfrac+\dfrac$>\] Откуда эквивалентная емкость батареи конденсаторов соединенных последовательно: \[\fbox$>\]
- Параллельное соединение конденсаторов При параллельном соединении конденсаторов напряжение на обкладках одинаковое, а заряды разные. Величина общего заряда полученного конденсаторами, равна сумме зарядов всех параллельно подключенных конденсаторов. В случае батареи из двух конденсаторов: \[\fbox\] Так как заряд конденсатора \[q=CU\] А напряжения на каждом из конденсаторов равны, получаем следующее выражение для эквивалентной емкости двух параллельно соединенных конденсаторов \[CU=C_1U+C_2U\] \[\fbox\]
- По сути, расчет общей емкости конденсаторов схож с расчетом общего сопротивления цепи в случае с последовательным или параллельным соединением, но при этом, зеркально противоположен.
Похожие публикации: