Что такое импульсная характеристика

10.2. Импульсная характеристика системы [1,5]

Импульсный отклик системы. По определению, импульсными характеристиками систем (второй широко используемый термин — импульсный отклик систем) называются функции h(t) для аналоговых и h(kt) для цифровых систем, которые является реакцией (откликом) систем на единичные входные сигналы: дельта-функцию (t) для аналоговых и импульс Кронекера (kt) для цифровых систем, поступающие на вход систем соответственно при t=0 и k=0. Эта реакция однозначно определяется оператором преобразования:

Импульсный отклик аналоговой системы, как результат операции над дельта-функцией, в определенной мере представляет собой математическую абстракцию идеального преобразования. С практической точки зрения под импульсным откликом аналоговой системы можно понимать математическое отображение реакции системы на входной сигнал произвольной формы с площадью, равной 1, если длительность сигнала пренебрежимо мала по сравнению со временем реакции системы или с периодом ее собственных колебаний. Под временем (длиной) реакции системы обычно понимают интервал, на котором значения функции h(t) существенно отличаются от нуля после прекращения действия единичного сигнала на ее входе.

Для цифровых систем импульсный отклик однозначно определяется реакцией системы на импульс Кронекера (kt)=1 при k=0. Функцию импульсного отклика называют также весовой функцией системы.

Рис. 10.2.1. Импульсный отклик системы h(t),

входной сигнал s(t) и выходная реакция системы y(t).

На рисунке 10.2.1 приведен пример импульсного отклика h(t) интегрирующей RC-цепи. При подаче на вход RC-цепи импульса заряда q емкость С заряжается до напряжения V_о = q/C и начинает разряжаться через сопротивление R, при этом напряжение на ней изменяется по закону v(t) = V_oe -t/RC = (q/C)e -t/RC . Отсюда, отклик RC-цепи по выходному напряжению на входной сигнал q = 1: h(t) = (1/C)e -t/RC . По существу, импульсным откликом системы h(t) определяется доля входного сигнала, которая действует на выходе системы по истечении времени t после поступления сигнала на вход (запаздывающая реакция системы).

Реакция системы на произвольный сигнал. Если функция импульсного отклика системы известна, то, с учетом принципа суперпозиции сигналов в линейной системе, можно выполнить расчет реакции системы в любой произвольный момент времени на любое количество входных сигналов с любыми моментами времени их прихода путем суммирования запаздывающих реакций системы на эти входные сигналы, как это показано на рис. 10.2.1 для трех входных импульсов. В общем случае произвольный сигнал на входе системы может быть разложен в линейную последовательность взвешенных единичных импульсов:

y(t) = T[s(t)]  T[s()(t-) d

На основании принципа суперпозиции линейный оператор Т может быть внесен под знак интеграла, т.к. последний представляет собой предельное значение суммы. При этом операция преобразования действует только по переменной t:

y(t) =s() Т[(t-)] ds() h(t-) d

Это выражение представляет собой интеграл Дюамеля или свертку (конволюцию) входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Заменой переменных t-= можно убедиться в том, что эта операция, как и положено свертке, коммутативна:

s() h(t-) d h() s(t-) d.

Аналогично, для дискретных сигналов:

y(kt) =s(nt) h(kt-nt) h(nt) s(kt-nt). (10.2.3′)

В символической форме математического представления:

y(t) = s() ③ h(t-)  s(t-) ③ h()  s(t) ③ h(t).

Усиление постоянной составляющей сигнала. Подадим на вход системы постоянный сигнал s(t) = A. При этом сигнал на выходе системы:

y(t) = h() s(t-) d = Аh() dАК_пс, (10.2.4)

т.е. площадь импульсного отклика (для цифровой системы соответственно сумма коэффициентов импульсного отклика) является коэффициентом К_пс усиления постоянной составляющей входного сигнала. Если при обработке сигналов должны изменяться только динамические характеристики их формы без изменения постоянной составляющей, а равно и различных постоянных уровней (фона, пьедесталов, региональных трендов и т.п.), то площадь импульсного отклика (сумма коэффициентов) должна нормироваться к единице.

На рис. 10.2.2 приведен пример выполнения свертки рассмотренной нами выше RC-цепью при нормированной к 1 площади импульсного отклика h(). Входной сигнал s(t) находится на постоянном фоновом значении, в данном случае — нулевом, при этом, как и следовало ожидать, площадь выходного сигнала y(t) равна площади входного сигнала.

Усиление шумов. Критерием качества системы при использовании любого метода обработки информации можно считать выполнение целевого назначения с минимальным усилением шумов (максимальным их подавлением). Допустим, что система имеет нормированный к 1 импульсный отклик h(k). Обозначим через (k) аддитивный шум с математическим ожиданием M= = 0 и дисперсией D_ 2 , который в сумме с сигналом поступает на вход системы. Значения (k) статистически независимы и некоррелированы с сигналом. С учетом помехи во входном сигнале значение сигнала на выходе системы:

y(k) = h(n)[x(k-n)+(k-n)].

Математическое ожидание значений выходного сигнала:

M = h(n)[x(k-n)+M] = h(n) x(k-n).

Вычислим дисперсию распределения отсчетов выходного сигнала:

D = M<[h(n)[x(k-n)+(k-n)]-M] 2 > = M<[h(n) (k-n)] 2 >.

Если правую часть последнего выражения представить в виде

то в этом выражении математические ожидания всех членов произведения с сомножителями (n)(m) при n  m равны 0 в силу статистической независимости значений шума. Остаются только члены с n = m, т.е.:

Mh 2 (n) 2 (n)> = h 2 (n) M = D_ h 2 (n) =  2 h 2 (n). (10.2.5)

Отсюда следует, что сумма квадратов значений нормированного импульсного отклика системы представляет собой коэффициент усиления аддитивных шумов во входном сигнале.

Пример. Сглаживающий фильтр: y(k) = 0.2x(k-n).

Коэффициент усиления шумов: 5 (0.2 2 ) = 0.2. Дисперсия шумов уменьшается в 1/0.2 = 5 раз.

Для систем с m входами и n выходами аналогично определяются парциальные импульсные отклики h_ij(t), i = , j = , каждым из которых отображается сигнал на i-м выходе при поступлении сигнала t) на j-й вход. Полная совокупность импульсных откликов образует матрицу:

,

а выражение свертки приобретает вид:

=d

Определение импульсной реакциитребуется, как правило, для рекурсивных систем, так как импульсная реакция для НЦС специального определения не требует:

h(k) =b(n)(k-n)  b(k).

Если выражение для системы известно в общей форме (10.1.2), определение импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при нулевых начальных условиях, при этом сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы: y(k)  h(k).

Расчет выходного сигнала при нулевых начальных условиях:

Импульсный отклик системы: h_k =  (O.5) k , k = 0,1,2.

Определение импульсной реакции физических систем обычно производится подачей на вход систем ступенчатой функции u_o(k) = 1 при k  0, и u_o(k) = 0 при k < 0:

g(k) =h(n) u_o(k-n) =h(n).

h(k) = g(k) — g(k-1), k=0,1,2.

Функция g(k) получила название переходной характеристики системы (перехода из одного статического состояния в другое).

Импульсная характеристика

Импульсной характеристикой(весовой функцией)называется реакция системы на единичный бесконечный импульс (дельта-функцию или функцию Дирака) при нулевых начальных условиях. Дельта-функцияопределяется равенствами ,. Это обобщенная функция– математический объект, представляющий собой идеальный сигнал, никакое реальное устройство не способно его воспроизвести. Близким аналогом физической интерпретации данной функции является «Удар». Дельта-функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса единичной площади с центром в точкепри стремлении ширины импульса к нулю. Второе название – весовая функция– связано с тем, что для произвольного входного сигналавыход системывычисляется как свертка . Здесь функция как бы «взвешивает» входной сигнал в подынтегральном выражении. Импульсная характеристика отражает лишь вход-выходные соотношения при нулевых начальных условиях, то есть, не может полностью описывать динамику системы. Понятие импульсной характеристики используется главным образом для систем, передаточные функции которых строго правильные. Если передаточная функция правильная, но не строго правильная, коэффициент прямой передачи с входа на выход (матрица модели в пространстве состояний) не равен нулю, поэтому бесконечный импульс на входе в моментпередается на выход. Такую (бесконечную по величине) импульсную характеристику невозможно построить. Система Matlab в этом случае строит импульсную характеристику для строго правильной части, принимая. Это один из тех случаев, когда компьютер выдает качественно неверный результат. Если система не содержит интеграторов, импульсная характеристика стремится к нулю. Это следует из теоремы о предельном значении: , где – передаточная функция системы, которая является преобразованием Лапласа для. Импульсная характеристика системы с одним интегратором стремится к постоянной величине, равной статическому коэффициенту передачи системы без интегратора. Для системы с двумя интеграторами импульсная характеристика асимптотически стремится к прямой, с тремя интеграторами – к параболе и т.д.

Переходная характеристика

Переходной характеристикой (переходной функцией)называется реакция системы (при нулевых начальных условиях) на единичный ступенчатый сигнал (единичный скачок) Импульсная и переходная функции связаны выражениями Для систем без интеграторов переходная характеристика стремится к постоянному значению. Переходная характеристика системы с дифференцирующим звеном (числитель передаточной функции имеет нуль в точке ) стремится к нулю. Если система содержит интегрирующие звенья, переходная характеристика асимптотически стремится к прямой, параболе и т.д., в зависимости от количества интеграторов. По определению предельное значение переходной функции приесть статический коэффициент усиления: . Эта величина имеет смысл только для устойчивых систем, поскольку при неустойчивости переходный процесс не сходится к конечному значению. Рис. 1. Пример переходных функций Если передаточная функция правильная, но не строго правильная (матрица модели в пространстве состояний не равна нулю), скачкообразное изменение входного сигнала мгновенно приводит к скачкообразному изменению выхода. Величина этого скачка равна отношению коэффициентов при старших степенях числителя и знаменателя передаточной функции (или матрицемодели в пространстве состояний). По переходной характеристике (рис.1) можно найти важнейшие показатели качества системы – перерегулирование (overshoot) и время переходного процесса (settlingtime). Перерегулирование определяется как , где – максимальное значение функции, а– установившееся значение выхода. Время переходного процесса– это время, после которого сигнал выхода отличается от установившегося значения не более, чем на заданную малую величину (в среде Matlab по умолчанию используется точность 2%).

3.2. Импульсная характеристика цепи

Импульсная (весовая) характеристика или импульсная функция цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равная реакции цепи на единичное импульсное воздействие на ее входе при нулевых начальных условиях (рис. 13.14); другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на дельта-функцию Дирана на ее входе.

Функцию можно определить, рассчитав переходную или передаточную функцию цепи.

Расчет функции с использованием переходной функции цепи. Пусть при входном воздействии реакцией линейной электрической цепи является . Тогда в силу линейности цепи при входном воздействии, равном производной , реакция цепи будет равна производной .

Как отмечалось, при , реакция цепи , а если , то реакция цепи будет , т.е. импульсная функция

.

Согласно свойству выборки произведение . Таким образом, импульсная функция цепи

. (13.8)

Если , то импульсная функция имеет вид

. (13.9)

Следовательно, размерность импульсной характеристики равна размерности переходной характеристики, поделенной на время.

Расчет функции с использованием передаточной функции цепи. Согласно выражению (13.6), при воздействии на вход функции , откликом функции будет переходная функция вида:

.

С другой стороны, известно, что изображение производной функции по времени , при , равно произведению .

Откуда ,

или , (13.10)

т.е. импульсная характеристика цепи равна обратному преобразованию Лапласа ее передаточной функции.

Пример. Найдем импульсную функцию цепи, схемы замещения которой представлены на рис. 13.12, а; 13.13.

Решение

Переходная и передаточная функции этой цепи били получены ранее:

Тогда, согласно выражению (13.8)

,

где .

График импульсной характеристики цепи представлен на рис. 13.15.

Выводы

Импульсная характеристика введена по тем же двум причинам, что и переходная характеристика .

1. Единичное импульсное воздействие – скачкообразное и потому довольно тяжелое для любой системы или цепи внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи именно при таком воздействии, т.е. импульсную характеристику .

2. При помощи некоторого видоизменения интеграла Дюамеля можно, зная вычислить реакцию системы или цепи на любое внешнее возмущение (см. далее пп. 13.4, 13.5).

4. Интеграл наложения (дюамеля).

Пусть произвольный пассивный двухполюсник (рис. 13.16, а) подключается к источнику непрерывно изменяющегося с момента напряжения(рис. 13.16,б).

Требуется найти ток (или напряжение) в любой ветви двухполюсника после замыкания ключа.

Задачу решим в два этапа. Сначала искомую величину найдем при включении двухполюсника на единичный скачок напряжения, который задается единичной ступенчатой функцией .

Известно, что реакцией цепи на единичный скачок является переходная характеристика (функция) .

Например, для – цепи переходная функция по току(см. п.2.1), для– цепи переходная функция по напряжению.

На втором этапе непрерывно изменяющееся напряжение заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками(см. рис. 13.16б). Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при постоянного напряжения, а затем как включение элементарных постоянных напряжений, смещенных относительно друг друга на интервалы времении имеющих знак плюс для возрастающей и минус для падающей ветви заданной кривой напряжения.

Составляющая искомого тока в момент от постоянного напряженияравна:

.

Составляющая искомого тока от элементарного скачка напряжения , включаемого в момент времениравна:

.

Здесь аргументом переходной функции является время , поскольку элементарный скачок напряженияначинает действовать на времяпозднее замыкания ключа или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментомначала действия этого скачка и моментом времениравен.

Элементарный скачок напряжения

,

где – масштабный коэффициент.

Поэтому искомая составляющая тока

.

Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от до момента, для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при, и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения, получаем:

.

Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения

(13.11)

называется интегралом наложения (суперпозиции) или интегралом Дюамеля (первой формой записи этого интеграла).

Аналогично решается задача при подключении цепи и источнику тока. Согласно этому интегралу реакция цепи, в общем виде, в некоторый моментпосле начала воздействияопределяется всей той частью воздействия, которая имела место до момента времени.

Заменой переменных и интегрированием по частям можно получить другие формы записи интеграла Дюамеля, эквивалентные выражению (13.11):

Выбор формы записи интеграла Дюамеля определяется удобством расчета. Например, в случае, если выражается экспоненциальной функцией, удобной оказывается формула (13.13) или (13.14), что обуславливается простотой дифференцирования экспоненциальной функции.

При илиудобно применять форму записи, в которой слагаемое перед интегралом обращается в нуль.

Произвольное воздействие может быть представлено также в виде суммы последовательно включаемых импульсов, как это изображено на рис. 13.17.

При бесконечно малой длительности импульсов получим формулы интеграла Дюамеля, аналогичные (13.13) и (13.14).

Эти же формулы можно получить из соотношений (13.13) и (13.14), заменив а них производную функцию импульсной функцией.

Вывод.

Таким образом, на основе формул интеграла Дюамеля (13.11) – (13.16) и временных характеристик цепи имогут быть определены временные функции откликов цепина произвольные воздействия.

Импульсная характеристика

��0��(��), с амплитудой ��0, поданного в момент времени t = 0, к ампли- туде импульса.

Импульсная характеристика обозначается через h(t).

Приведенное определение импульсной характеристики является физическим определением в том смысле, что позволяет найти прибли- женную оценку импульсной характеристики цепи экспериментально.

Для этого цепь необходимо возбудить импульсом тока или напряжения

произвольной формы с известной площадью

A 0 , с длительностью t_И

существенно меньшей минимальной постоянной времени исследуемой цепи и определив реакцию, найти по определяющей формуле импульс- ную характеристику.

Размерность импульсной характеристики цепи равна отношению размерности реакции [y] к размерности входного воздействия [x], умноженной на размерность времени:

Так как цепь не содержит независимых источников и находится в нулевом начальном состоянии до подачи импульсного воздействия, то

импульсная характеристика должна быть равна нулю при �� < 0:

Импульсную характеристику цепи можно определить и формаль-

Определение. Импульсной характеристикой цепи без независи- мых источников называется реакция цепи при нулевом начальном со- стоянии на единичную импульсную функцию ��(��), поданную в момент времени t = 0.

Таким образом, в этом случае

6.2.3. Связь между переходной и импульсной характеристиками

h (t) = dg (t),

g (t) = d t t,

где производная от g(t) понимается в обобщенном смысле.

Импульсная характеристика строго устойчивой цепи

Для того чтобы при ограниченном входном воздействии реакция цепи была ограниченной необходимо, чтобы импульсная характеристи- ка была абсолютно интегрируемой, т.е.

ò h (t) dt ˂ ∞

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Рекомендуем для прочтения:

Фонетические процессы русского языка Фонетика – (греч. фоне – звук) – учение о звуковой системе языка.
Кулинарная разделка и обвалка говяжьей туши Разделка полутуш мяса состоит из последовательных операций: разделения на отруба.
Классификация аминокислот I. Физико-химическая – основана на различиях в физико-химических свойствах аминокислот. 1) Гидрофобные аминокислоты.
Сущность проблемного обучения Определение сущности проблемного обучения. Его основные понятия. Одним из перспективных направлений активизации учебной деятельности.
Кривые второго порядка 1. Цель работы Приобретение умений построения кривых второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат и составления их.