Радиус окружности
Окружность не зря многие называют идеальной фигурой: все ее точки расположены на одном и том же расстоянии от центра. Разберемся, как называется это расстояние, и узнаем несколько способов его вычисления. Для закрепления знаний решим несколько задач по теме.
Определение радиуса окружности
Радиусом окружности называют отрезок, соединяющий центр окружности с любой из лежащих на ней точек, а также длину этого отрезка.
Полезная информация о радиусе окружности
| Радиусом окружности называют не только отрезок, но и его длину | На рисунке под радиусом мы понимаем отрезок, соединяющий центр окружности с лежащей на ней точкой, а при вычислении имеем в виду длину этого отрезка. |
| Существует общепринятое обозначение радиуса окружности | Радиус окружности обозначают латинской заглавной буквой R |
| Существует множество способов вычисления радиуса | Радиус можно вычислить, зная диаметр или длину окружности, площадь круга, а также параметры вписанных в окружность или описанных вокруг нее фигур. |
Формулы радиуса окружности
Вычислить радиус окружности можно множеством способов, самые простые из которых изучаются в третьем классе школьной программы. Более сложные формулы, а также использование радиуса при вычислении других параметров окружности и круга школьники проходят в шестом классе.
Через диаметр окружности
Первым способом, с помощью которого можно вычислить радиус окружности, является вычисление через диаметр. Такую формулу школьники узнают при изучении темы окружности в третьем классе.
R = ½*D , где D — это диаметр рассматриваемой окружности.
Через длину окружности
Более сложной формулой, изучаемой в программе шестого класса школы, является вычисление радиуса через длину окружности.
R = C/2�� , где C — длина окружности, а �� — математическая постоянная
При вычислении чаще всего используется приближенное значение ��, равное 3,14, но при необходимости можно использовать округленное значение 3 или более точное, вплоть до необходимого знака после запятой. По данным на 2022 год, в Книге рекордов Гиннеса указан мировой рекорд вычисления точного значения числа �� в 62 триллиона знаков после запятой.
Через площадь круга
Еще одним популярным способом вычисления радиуса окружности является формула с площадью круга, ограниченного рассматриваемой окружностью.
R = √ S /�� , где S – площадь круга, ограниченного рассматриваемой окружностью. При вычислениях используем наиболее распространенное значение числа �� – 3,14.
Задачи на нахождение радиуса окружности с решением
Для закрепления полученных знаний решим несколько задач на нахождение радиуса окружности, используя приведенные выше формулы.
Задача 1
На плоскости изображены три окружности, диаметры которых равны 4, 6 и 10 сантиметров соответственно. Определите радиусы этих окружностей, используя формулу вычисления радиуса через диаметр, и внесите данные в таблицу.
| Диаметр D (см) | Радиус R (см) |
| Окружность 1 | 4 |
| Окружность 2 | 6 |
| Окружность 3 | 10 |
Решение: используем формулу вычисления радиуса через диаметр.
Окружность 1: R = 4/2 = 2 см.
Окружность 2: R = 6/2 = 3 см.
Окружность 3: R = 10/2 = 5 см.
Ответ:
| Диаметр D (см) | Радиус R (см) | |
| Окружность 1 | 4 | 2 |
| Окружность 2 | 6 | 3 |
| Окружность 3 | 10 | 5 |
Задача 2
На плоскости изображена окружность, длина которой 18,84 см. Определите ее радиус, используя формулу вычисления радиуса через длину окружности.
Решение:
Воспользуемся формулой R = C/2�� , где C — длина окружности, а �� — математическая постоянная. Используем общепринятое значение �� = 3,14
R = 18,84 / 2*3,14 = 18,84 / 6,28 = 3 (см)
Ответ: радиус окружности равен 3 см.
это интересно
Умножение дробей
Советы эксперта, как научиться быстро умножать дроби
Задача 3
На плоскости изображена окружность, ограничивающая круг площадью 12,56 см 2 . Определить радиус окружности, используя формулу вычисления радиуса через площадь круга.
Решение:
Воспользуемся формулой R =√ S /�� , где S — площадь круга, �� = 3,14.
R = √ 12,56 /3,14 = √4 = 2 (см)
Ответ: радиус окружности равен 2 см.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике
Как объяснить простыми словами, что такое радиус окружности?
Радиус окружности – это отрезок от центра окружности до любой ее точки.
В чем измеряется радиус окружности?
Так как радиус – это отрезок, то измеряется его длина, как и у всех подобных величин, в сантиметрах, метрах, дюймах и так далее. В зависимости от ситуации, от задания.
Для чего в 6 классе нужно уметь вычислять радиус окружности?
В связи с тем, что очень важным для школьников в шестом классе является умение выразить одну величину через другие, одной из целей вычисления радиуса является тренировка умения искать неизвестную величину, опираясь на исходные данные (в данном случае – площадь круга, длина окружности, диаметр и прочие). А другими словами, это одна из тем, на которой тренируется умение решать уравнения.
У вас большие запросы!
Точнее, от вашего браузера их поступает слишком много, и сервер VK забил тревогу.
Эта страница была загружена по HTTP, вместо безопасного HTTPS, а значит телепортации обратно не будет.
Обратитесь в поддержку сервиса.
Вы отключили сохранение Cookies, а они нужны, чтобы решить проблему.
Почему-то страница не получила всех данных, а без них она не работает.
Обратитесь в поддержку сервиса.
Вы вернётесь на предыдущую страницу через 5 секунд.
Вернуться назад
Длина окружности
У любой геометрической фигуры можно найти периметр – общую длину границ фигуры. Например, у квадрата, прямоугольника или треугольника нужно сложить длину всех сторон. Как вычислить длину окружности, если у нее нет сторон? Это можно сделать с помощью разных формул и опираясь на изначально известные данные.
Что такое длина окружности
Длина окружности – это общая длина границы круга. В математике длину окружности обозначают латинскими буквами C или L. В этой статье мы будем использовать первую.
Полезная информация о длине окружности
| Длина окружности – загадка из давних времен | Ученые издревле умели определять длину окружности, но с определенной степенью погрешности. В III веке до н.э. древнегреческий ученый Архимед Сиракузский вывел формулу, которой мы пользуемся по сей день. |
| Не обойтись без числа π | Все формулы для вычисления длины окружности содержат одну из самых важных математических констант – число π, равное примерно 3,14 |
| Есть два варианта обозначения длины окружности | Длину окружности обозначают буквами C и L. Чаще всего используется первый вариант. |
Формулы длины окружности
Длину окружности можно вычислить разными способами, исходя из того, какие данные у нас есть.
Через диаметр окружности
Если нам известен диаметр окружности, то длину окружности можно посчитать, умножив число π на диаметр. Диаметр окружности – это отрезок, соединяющий две точки на окружности, проходящий при этом через центр окружности.
Через радиус окружности
Если нам известен радиус окружности, длина окружности представляет собой произведение 2π и радиуса. Вспомним, что радиусом называют отрезок от центра окружности до любой точки на ней. Диаметр равен двум радиусам.
Через площадь круга
Если нам известна площадь круга, то, чтобы определить длину окружности, потребуются более сложные вычисления.
Итак, вспомним формулу для вычисления площади круга:
Из этой формулы мы можем вычислить радиус круга, который равен радиусу окружности, при помощи которого определим длину окружности.
\(\mathrm r\;=\;\sqrt<\frac<\mathrm S><\mathrm\pi>>\)
Узнав радиус окружности, вычисляем длину окружности по формуле:
\(\mathrm C\;=\;2\mathrm\pi\;\cdot\;\mathrm r\)
Задачи на нахождение длины окружности с решением
Следующие задачи помогут вам потренироваться в вычислении длины окружности с помощью разных формул.
Задача 1
Радиус окружности равен 3 см. Вычислите длину окружности.
Дано:
Найти: С
Решение: поскольку нам известен радиус и значение числа π, длину окружности можно рассчитать по формуле С = 2π ∙ r
С = 2 ∙ 3,14 ∙ 3
Ответ: длина окружности равна 18,84 см.
Задача 2
Диаметр окружности составляет 8 дм. Определите длину окружности.
Дано:
Найти: С
Решение: в этой задаче нам известен диаметр окружности, поэтому для вычисления длины окружности можно использовать формулу
C = π ∙ d
С = 3,14 ∙ 8
Ответ: длина окружности равна 25,12 дм
это интересно
Площадь круга
Формулы и необычные способы вычисления площади круга
Задача 3
Известно, что площадь круга составляет 25 м. Найдите длину окружности.
Дано:
Найти: С
Решение:
1) вычисляем радиус окружности по формуле r = √ S /π
r = √ 25 /3,14
2) находим длину окружности через радиус по формуле С = 2π ∙ r
С = 2 ∙ 3,14 ∙ 2,82
Ответ: длина окружности равна 17,7 м.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Людмила Саморокова, преподаватель математики, эксперт по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике
Как объяснить простыми словами, что такое длина окружности?
Длина окружности – это длина замкнутой прямой, которая ограничивает круг.
Если поставить точку, а вокруг нее на одинаковом расстоянии нарисовать большое количество точек и соединить их вместе в одну замкнутую линию – получится окружность. А первоначально поставленная точка станет центром окружности.
В чем измеряется длина окружности?
Длина окружности имеет единицы измерения, как и любая длина – метр, дециметр, сантиметр, миллиметр, километр.
Для чего в 6 классе нужно уметь вычислять длину окружности?
Мы учим ребят применять те знания, которые они получают в школе, в жизни. А как измерить длину окружности в жизни? Только взяв ниточку и замерив контур окружности. Но эти измерения никогда не будут точными. А если ниточки под рукой нет? А если окружность настолько большая, что ниточки не хватит? К 6 классу ребята имеют достаточные математические представления и необходимые навыки для того, чтобы находить неизвестную величину через известную. Более того, в 6 классе ребята знакомятся с десятичными дробями, учатся их округлять. А ведь если мы посмотрим на статью, то увидим, что вычисление длины окружности не обходится без самой знаменитой десятичной дроби – константы, числа π. Вдобавок, математические навыки позволяют ребятам, опираясь на условия задачи (понимая известную величину), выбрать тот способ вычисления, который можно применить в том или ином случае.
Площадь круга
Как известно, круг — это замкнутая фигура на плоскости, а значит, любой круг занимает какую-то площадь. Научимся вычислять площадь круга через радиус ограничивающей окружности, ее диаметр и длину. А также узнаем у эксперта, зачем в жизни может пригодиться умение высчитывать площадь круга.
Что такое площадь круга
Площадь круга — величина, определяющая размеры плоскости, ограниченной какой-либо окружностью. Другими словами, вычислив площадь, мы можем сказать, сколько места на плоскости занимает рассматриваемый круг. Например, с помощью формулы площади круга легко можно вычислить площадь круглого участка земли или площадь поверхности круглого озера.
Полезная информация о площади круга
Пусть радиус окружности — R, тогда площадь круга
\(S\;=\;\operatorname<��>R^2\)
где �� — математическая постоянная. Принято использовать приближенное значение �� = 3,14, но при необходимости можно принять значение �� = 3 или наоборот использовать более точное, вплоть до необходимого знака после запятой.
Через диаметр
Вычисление площади круга через диаметр ограничивающей окружности практически аналогично вычислению через радиус в связи с тем, что радиус R равен половине диаметра D : R = D/2.
Проведя простые вычисления, получим формулу:
\(S\;=\;\operatorname<��>\cdot\;\left(\frac D2\right)^2=\;\operatorname<��>\cdot\;\frac4\\\)
\(S\;=\;\frac<\mathbf\pi><\mathbf4>\cdot D^2,\)
где �� — математическая постоянная и �� = 3,14.
Через длину
Еще один часто используемый способ вычисления площади круга — через длину ограничивающей окружности.
Используем стандартное обозначение длины окружности — C, вычислим формулу площади S, зная отношение площади к радиусу R и радиуса к длине окружности C : R = C /2�� и S = ��R 2 , таким образом получим:
где �� — математическая постоянная и �� = 3,14.
Другие способы вычисления площади круга
Немного о том, как еще можно вычислить площадь круга.
Построение прямоугольника, равного кругу по площади, методом Леонардо да Винчи
Для вычисления площади круга, ограниченного окружностью радиуса R, необходимо изготовить цилиндр с радиусом основания R и высотой R/2. Если смазать боковую сторону краской и один раз прокатить цилиндр по плоскости, отпечатавшийся прямоугольник будет равен кругу по площади.
После этого можно либо вычислить площадь полученного прямоугольника, проведя измерение его сторон, либо решить задачу нахождения «квадратуры круга» путем построения квадрата, равного прямоугольнику по площади.
Приближение площади круга с помощью прямоугольников
Для применения этого метода впишем в рассматриваемый круг квадрат, то есть начертим такой квадрат, углы которого будут лежать на окружности.
Если продолжить добавлять прямоугольники в оставшуюся незанятой часть круга, то таким образом можно сколь угодно близко подойти к полному заполнению окружности, как это наглядно показано на рисунке.
Площадь вписанной фигуры легко вычислить, посчитав сумму площадей квадрата и использованных прямоугольников, обозначим это значение S1. Площадь круга будет точно больше полученного значения.
Таким же образом поступим с приближением площади круга «сверху»: опишем квадрат вокруг круга, то есть начертим такой квадрат, каждая сторона которого будет касаться окружности в одной точке. В нашем случае касание будет происходить в серединах сторон квадрата, а длина каждой стороны будет равна диаметру окружности.
После этого начнем добавлять прямоугольники в часть квадрата, не занятую кругом, добавив такое количество, какое захочется. Чем больше будет прямоугольников, тем ближе итоговое значение будет к фактической площади круга.
Для вычисления площади полученной фигуры вычтем из площади квадрата площади прямоугольников, обозначим это значение S2. Площадь круга будет точно меньше полученного значения.
это интересно
Площадь прямоугольника
7 формул для расчета площади прямоугольника
Задачи на нахождение площади круга с решением
Для закрепления знаний решим несколько задач на нахождение площади круга с использованием рассмотренных формул.
Во всех задачах примем значение �� = 3,14.
Задача 1
Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью радиуса R = 7 см.
Дано:
Найти: S
Решение: используем формулу вычисления площади круга через радиус
S = �� * 7 2 = �� * 49 = 3,14 * 49 = 153,86 см 2
Ответ: площадь круга равна 153,86 см 2
Задача 2
Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью диаметра D = 6 м.
Дано:
Найти: S
Решение: используем формулу вычисления площади через диаметр
Ответ: площадь круга равна 28,26 м 2
Задача 3
Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью длины 8 дм.
Дано:
Найти: S
Решение: используем формулу вычисления площади через длину окружности
\(\mathrm S\;=\;\frac<\mathrm C^2><4\mathrm\pi>\\\mathrm S\;=\;\frac<4\mathrm\pi>\;=\;\;\frac\;=\;\frac\;\approx\;5,1\;\mathrm^2\)
Ответ: площадь круга равна 5,1 дм 2
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике
В чем измеряется площадь круга?
Площадь круга, как и любая другая площадь, измеряется в квадратных метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. А также, если речь идет про участки земли, например, площадь может измеряться в гектарах или сотках. Единица измерения площади в английской системе мер, используемая преимущественно в США и некоторых других странах, — это квадратный фут.
Для чего в 6 классе нужно уметь вычислять площадь круга?
Наряду с площадями других фигур в школе учат находить и площадь круга. Геометрию в школах России начинают серьезно изучать только в 7 классе, поэтому, прямо скажем, в 6 классе нахождение площади круга происходит довольно формально: нужно уметь подставить в формулу известное значение радиуса и посчитать.
Для чего в жизни может понадобиться умение находить площадь круга?
В век цифровых технологий способности к вычислению и нахождению величин по формулам становятся все менее необходимыми: практически в любой момент жизни можно зайти в интернет, найти необходимый калькулятор и узнать ответ, не прибегая непосредственно к вычислениям. Однако мы можем предположить ситуацию, когда интернет окажется по какой-то причине недоступным, и тогда умение находить площадь круга станет вполне используемым в жизни. Например, работнику цирка, чтобы узнать, сколько опилок потребуется для посыпания круглой арены определенного диаметра, или создателю декораций для определения количества ткани, необходимого для выкраивания большого круга (солнца, паруса или чего бы то ни было еще).