1. Диполь в однородном электрическом поле.
Рассмотрим поведение жесткого диполя во внешнем однородном электрическом поле.
Пусть вектор напряженности составляет с электрическим моментом диполя угол .
Очевидно, на такой диполь будет действовать пара сил и ,которые равны по величине и противоположны по направлению.
Эта пара сил создаст вращательный момент равный:
Учитывая, что , получим:
Во внешнем однородном электрическом поле на электрический диполь действует вращательный момент, под действием которого диполь стремится развернуться вдоль силовых линий внешнего поля.
Определим работу, которую необходимо совершить для поворота диполя в однородном электрическом поле на угол .
Элементарная работа по повороту диполя на угол равна:
Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии диполя во внешнем электрическом поле:
Проинтегрировав по углу, получим, что энергия диполя равна:
Считая, что вне поля потенциальная энергия диполя равна нулю, константу интегрирования будем считать равной нулю.
2. Диполь в неоднородном электростатическом поле.
Рассмотрим теперь поведение диполя в неоднородном электрическом поле. Для простоты рассмотрим плоскую задачу, т.е. будем считать, что поле имеет осевую симметрию относительно оси ОХ.
Поскольку заряды и в этом случае,
находятся в точках поля, имеющих разную
напряженность, силы и будут иметь
разную величину. Так как размер диполя мал,
можно продолжать считать эти силы
коллинеарными. Обозначим расстояние, на
которое смещены заряды и по оси ОХ
относительно друг друга через .
Напряженность поля на этом участке изменится на величину .
Проекция результирующей силы, действующей на диполь, на ось ОХ будет равна:
Если , то сила, действующая на диполь будет положительной и он будет втягиваться в область более сильного поля. При поле будет выталкивать диполь и сила считается отрицательной.
Таким образом, на диполь, находящийся в неоднородном электрическом поле, будут действовать одновременно вращательный момент и дополнительная сила, стремящаяся переместить его вдоль силовых линий внешнего поля.
Пусть диэлектрическая пластина находится во внешнем электрическом поле, напряженность которого перпендикулярна ее поверхности. Ориентация электрических диполей в пластине приводит к появлению на ее поверхности наведенного заряда .
Дипольный момент пластины будет равен :
где — поверхностная плотность наведенных
S- площадь пластины, — ее толщина.
По определению вектор поляризации равен:
В случае, если вектор поляризации составляет с нормалью к поверхности угол ,
где — проекция вектора поляризации
на внешнюю нормаль к поверхности.
Соотношение (*) дает не только величину, но и знак поверхностного связанного заряда.
Если , то >0 и тоже положительная величина.
Электрическое воздействие поля на диэлектрик (поляризация) определяется суммарным электрическим полем, созданным свободными и связанными (наведенными) зарядами.
Где — напряженность результирующего поля;
— напряженность поля свободных зарядов;
— напряженность поля связанных зарядов.
По теореме Гаусса поток вектора напряженности результирующего поля можно записать:
Получается, что результирующая напряженность связана с величиной наведенных зарядов, которая в свою очередь определяется той же напряженностью .
Можно доказать, что поток вектора поляризации равен:
Подставив это выражение в теорему Гаусса, получим:
Величина, стоящая в скобке называется вектором электрического смещения или электростатической индукцией и обозначается .
Теорему гаусса для вектора электрического смещения можно записать:
Поток вектора электрического смещения (электростатической индукции) через замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, заключенных внутри этой поверхности.
В вакууме нет связанных зарядов, поэтому вектор поляризации = 0 и
электростатическая индукция будет связана с напряженностью электростатического поля соотношением:
В других диэлектриках , следовательно, ,
где — диэлектрическая проницаемость среды.
Полученное соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков, т.к. только в этом случае вектора и параллельны друг другу.
ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.
1. Распределение избыточных зарядов на проводнике.
2. Проводники во внешнем электрическом поле.
3. Электроемкость. Конденсаторы.
Сообщим некоторому проводнику избыточные заряды . Процесс распределения заряда по проводнику будет продолжаться до тех пор пока не установится устойчивое равновесие. Определим условия, при которых это равновесие возможно.
— Во первых, и это очевидно, что напряженность результирующего поля внутри проводника должна быть тождественно равна нулю. ( ). Иначе на заряды будет действовать отличная от нуля сила, которая заставит их перемещаться по проводнику.
Учитывая, что , то при нулевой напряженности потенциал электрического поля внутри проводника будет равен const. Это означает, что поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью.
— Во вторых, вектор напряженности электрического поля
в каждой точке поверхности проводника должен быть
направлен по нормали к поверхности проводника ,
иначе опять результирующая сила, действующая на заряд,
не будет равна нулю. Рис. 16
Запишем теорему Гаусса для вектора :
Поскольку напряженность поле внутри проводника равна нулю, то , следовательно, .
Вывод: все избыточные заряды располагаются на поверхности проводника. Внутри проводника избыточных зарядов нет.
Поместим незаряженный проводник во внешнее электрическое поле напряженностью .
Под действием этого поля свободные заряды
в проводнике переместятся так, что на одной
грани его возникнет избыток отрицательных
зарядов, а на другой – положительных.
Возникшее собственное поле этих зарядов
будет направлено противоположно внешнему, и
будет ослаблять его действие.
В результате перераспределение зарядов будет
происходить до тех пор пока собственное
внутреннее поле не скомпенсирует внешнее.
Вывод: в результате перераспределения свободные заряды также расположатся на поверхности проводника.
Таким образом, и индуцированные (наведенные) и избыточные заряды располагаются на поверхности проводника.
Это приводит к тому, что, если внутри проводника есть полость, то электрического поля в ней не будет. На этом основана, так называемая электростатическая защита.
Сообщим изолированному проводнику некоторый заряд и измерим потенциал электростатического поля, создаваемого этим зарядом, в точке А.
Заряд создаст в точке А поле с потенциалом .
Т.е., потенциал поля заряженного уединенного проводника будет пропорционален величине заряда на проводнике.
С – электроемкость проводника, физическая величина численно равная величине заряда, сообщение которого проводнику увеличивает потенциал этого проводника в некоторой точке на единицу потенциала.
В системе СИ единицей электроемкости является фарад .
Один фарад – это электроемкость такого проводника, у которого сообщение ему заряда в один Кулон вызывает повышение потенциала на один вольт.
Вычислим электроемкость заряженного шара (сферы) радиуса R.
Будем считать шар уединенным, т.е. .
Используя теорему о циркуляции вектора напряженности электростатического поля, можно записать:
Учитывая определение электроемкости и то, что на потенциал равен нулю, получим:
Если шар находится в диэлектрической среде с проницаемостью , электроемкость будет равна: .
Легко подсчитать, что электроемкостью в один фарад в вакууме обладает уединенный шар, радиус которого примерно равен 9 м, что в 1500 раз больше радиуса Земли.
Если проводник не будет уединенным, т.е. вблизи него находятся другие проводники, пусть даже не заряженные, то сообщение ему заряда вызовет перераспределение зарядов на соседних проводниках, что в свою очередь повлияет на распределение зарядов на самом проводнике. При достижении равновесия заряды в системе проводников расположатся так, чтобы поле внутри каждого проводника было равно нулю.
В результате , потенциал заряженного проводника окажется равным сумме потенциалов полей собственных перераспределившихся зарядов и зарядов индуцированных на других проводниках, что приведет к увеличению электроемкости этого проводника.
Это явление используется при создании устройств, называемых конденсаторами, основное назначение которых накапливать электрический заряд.
Любой конденсатор состоит из двух или более обкладок (металлических проводников), разделенных между собой слоем диэлектрика.
Конденсаторы различаются по форме обкладок: плоские, цилиндрические, сферические и по типу диэлектрика: воздушные, масляные, керамические, бумажные и др.
Основной характеристикой конденсатора является электроемкость:
где — разность потенциалов между обкладками конденсатора.
Электроемкость плоского конденсатора равна:
где — диэлектрическая проницаемость диэлектрика между обкладками конденсатора,
— площадь его обкладок, — расстояние между обкладками.
Емкость сферического конденсатора равна:
где R и r – радиусы внешней и внутренней сфер, соответственно.
Емкость цилиндрического конденсатора зависит от его длины L и радиусов его внешнего
и внутреннего цилиндров (R, r):
В электрической цепи конденсаторы можно соединять в системы:
— при последовательном соединении конденсаторов складываются величины обратные электроемкости
-при параллельном соединении общая электроемкость равна:
Сила притяжения между обкладками конденсатора равна:
Где общее напряжение, поданное на конденсатор,
— поверхностная плотность зарядов на обкладках конденсатора.
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.
1. Энергия системы зарядов.
2 Энергия заряженного проводника и конденсатора.
3. Энергия электростатического поля.
4. Теорема ИрнШоу.
Определим потенциальную энергию (энергию взаимодействия) системы из двух точечных зарядов и .Будем считать, что в начальный момент заряды находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга и не взаимодействуют между собой. Следовательно, их начальная потенциальная энергия равна нулю.
Начнем сближать эти заряды. При этом будет совершаться работа, которая идет на увеличение потенциальной энергии всей системы. Это утверждение двузначно.
Можно закрепить заряд и перемещать заряд в поле первого заряда, а можно наоборот. Из консервативности природы сил электростатического поля следует, что работа в обоих случаях будет одинакова, т.е. .
По определению эта работа равна:
В тоже время работа есть изменение потенциальной энергии:
Так как при , то
С другой стороны:
где — потенциал поля, создаваемый зарядом в точке, где находится заряд ,
потенциал поля, создаваемый зарядом в точке, где находится заряд .
Поскольку задача симметричная, то можно записать:
Если же система состоит из n зарядов, то, использую тот же прием, получим:
Где — потенциал поля, созданного всеми зарядами кроме i- того, в точке, где находится заряд .
При выводе данного соотношения мы пользовались представлениями о точечных зарядах, чтобы освободиться от этих ограничений, представим всю систему зарядов, как совокупность объемных и поверхностных зарядов, и тогда:
где потенциал поля всех объемных и поверхностных зарядов в данной точке.
1.7. Диполь в однородном электрическом поле
(рис. 1.7), которая вызывает вращающий момент пары сил .
По абсолютной величине М = Fd, где
d = sin; сила F = qE; Е электрического поля; угол между вектором и (рис. 1.7).
C учетом этого М = qE sin или М = рЕ sin, т. е.
. (1.22)
Вывод: в результате действия момента пары сил диполь поворачивается во внешнем электрическом поле и устанавливается так, чтобы вектор дипольного момента был направлен вдоль вектора (состояние устойчивого равновесия при = 0 0 , М м in = 0). При = 90 0 , М мах = рЕ.
1.8. Диполь в неоднородном электрическом поле
При внесении диполя во внешнее, неоднородное электрическое поле на него, кроме вращающего момента, действует добавочная сила, вызванная градиентом напряженности поля.
Рассмотрим случай, когда градиент напряженности внешнего поля происходит вдоль направления оси Х (рис. 1.8). Согласно рис. 1.8 на отрицательный заряд диполя действует большая сила, чем на положительный.
или F = qЕ. Из-за градиента напряженности поля на отрезке х = сos
.
Тогда добавочная сила
. (1.23)
При 90 о , Fx = F 0.
Под действием этой силы диполь втягивается в область более сильного поля.
При 90 о , Fx 0 диполь выталкивается в область слабого поля.
Наличие добавочной силы при внесении диполя во внешнее электрическое поле используется в электрических фильтрах, между электродами которого создается сильное неоднородное электрическое поле.
Эти фильтры устанавливаются в заводских трубах для сбора частиц пыли и газа при выбросах дыма в атмосферу, что ослабляет вредное воздействие на окружающую среду в районе завода.
Притяжение мелких кусочков бумаги к наэлектризованной стеклянной или эбонитовой палочке также объясняется наличием добавочной силы в неоднородном электростатическом поле, созданного заряженной палочкой.
Замечание: системы из зарядов, имеющих несколько полюсов, называются мультиполями, например, квадруполь, октуполь и др.
Электрический диполь. Дипольный момент. Поведение диполя в электрическом и магнитном полях.
Электрический диполь — это система двух равных по величине и противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя).
Дипольный момент (электрический момент) – основная характеристика электрического диполя, представляет собой вектор, равный произведению заряда (q) на плечо диполя (l), направленный от отрицательного заряда к положительному: p=ql, [кулон-метр].
Поместим диполь в однородное электрическое поле напряжённостью Е. На каждый из зарядов диполя действуют силы F+=qE и F—= -qE; эти силы противоположно направленны и создают момент пары сил. M=qEsin = pEsin или в векторном виде M=pE.
Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует вращающий момент, зависящий от электрического момента, ориентации диполя в поле и напряжённости поля.
При помещении диполя в неоднородное электрическое поле (к примеру диполь расположен вдоль силовой линии), на него будет действовать сила, зависящая от его электрического момента и степени неоднородности поля dE/dz. Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует ещё и вращающий момент. Так что свободный диполь практически всегда втягивается в область больших значений напряжённости поля.
При попадании магнитного диполя в магнитное поле его поведение аналогично поведению электрического диполя с электрическим полем, только при расчётах вводят магнитный момент и вектор магнитной индукции
.
=
Потенциальная энергия постоянного магнитного диполя U= .
12.Диэлектрики. Поляризация диэлектриков. Диэликтрическая проницаемость среды.
Диэлектрики – это тела, которые не проводят электрического тока. Этот термин введен Фарадеем для обозначения веществ, через которые проникают электрические поля, в отличие от металлов, внутри которых электростатического поля нет. К диэлектрикам относятся твердые тела (эбонит, фарфор), жидкости (дистиллированная вода), газы.
При изменении внешних условий (нагревание, воздействие ионизирующих излучений) диэлектрик может проводит электрический ток. Изменение состояния диэлектрика в электрическом поле можно объяснить его молекулярным строением.
Диэлектрики:
— полярные (вода, нитробензол). Молекулы этих диэлектриков не симметричны, «центры масс» их положительных и отрицательных зарядов не совпадают, поэтому такие молекулы обладают электрическим дипольным моментом даже в случаях, когда эл. поля нет. Если диэлектрик поместить в эл. поле, то дипольные моменты молекул стремятся ориентироваться вдоль поля, однако полной ориентации не будет из-за молекулярно-теплового хаотического движения (ориентационная поляризация).
— н еполярные (водород, кислород), молекулы которых в отсутствие эл. поля не имеют дипольных моментов. В таких молекулах заряда электронов и ядер расположены так, что «центры масс» положительных и отрицательных совпадают. Если неполярную молекулу поместить в эл. поле, то разноименные заряды несколько сместятся в противоположные стороны и молекула будет иметь дипольный момент (электронная поляризация).
— кристаллические (NaCl), решетка которых состоит из «+» и «-» ионов. Такой диэлектрик можно рассматривать как совокупность двух «подрешеток», одна из которых заряжена «+», другая- отрицательно. Если диэлектрик поместить в эл. поле, то подрешетки немного сместятся в противоположные стороны и диэлектрик приобретет эл. момент (ионная поляризация).
Все процессы, происходящие в разных диэлектриках при наложении эл. поля, объединяют общим термином — поляризация, то есть, приобретение диэлектриком дипольного момента.
Изменение напряженности эл. поля, в котором находится диэлектрик, будет влиять на состояние его поляризации. Для оценки состояния поляризации диэлектрика вводят величину, называемую поляризованностью, среднее значение которой равно отношению суммарного электрического момента, элемента объема диэлектрика к этому объему. (измеряется в кулонах на квадратный метр)
При отсутствии электрического поля дипольные моменты молекул ориентированы хаотически, и векторная сумма моментов всех n молекул равна нуль.
Диэлектрическая проницаемость среды () – величина показывающая, во сколько раз поле внутри диэлектрика меньше внешнего поля в вакууме. Равна отношению силы взаимодействия зарядов в вакууме к силе взаимодействия этих же зарядов на том же расстоянии в среде: Fo/F=
, или Fo=
F.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
3.1.1. Диполь в однородном электрическом поле
При внесении электрического диполя в однородное внешнее электрическое поле на каждый из его зарядов со стороны поля будут действовать равные по величине, но противоположные по направлению силы:
.
Силы создают вращающий момент:
или
, (3.4)
который будет стремиться повернуть диполь так, чтобы его электрический дипольный момент был направлен по направлению внешнего электрического поля (рис. 3.2).
3.1.2. Диполь в неоднородном внешнем электрическом поле
Если диполь помещен в неоднородное внешнее электрическое поле, то силы, действующие на заряды q+ и q—, не равны по величине и направлению, так как напряженность электрического поля в точках расположения зарядов не одинакова по величине, отличается на величину
, (3.5)
где — угол между направлением вектора напряженности электрического поля E и направлением электрического дипольного момента p.
В этом случае на отрицательный заряд действует сила
.
На положительный заряд действует сила
.
Результирующая сила, действующая на диполь,
(3.6)
Под действием этой силы диполь будет либо втягиваться в область более сильного поля (
), либо выталкиваться из него (
) (рис. 3.4).
Такое же действие оказывает электрическое поле на молекулы диэлектрика.
3.2. Свободные и связанные (поляризационные) заряды в диэлектриках. Поляризация диэлектриков. Вектор поляризации (поляризованность)
Так как на молекулы диэлектрика во внешнем однородном электрическом поле действуют силы, стремящиеся развернуть их так, чтобы их электрический дипольный момент был направлен по направлению поля, то при определенных условиях может получиться так, что все молекулы диэлектрика сориентируются в поле и их электрические дипольные моменты будут направлены по направлению внешнего электрического поля. На поверхностях диэлектрика в этом случае «появятся» заряды обоих знаков с поверхностной плотностью + ‘ и - ‘ (рис. 3.5).
Процесс «появления» зарядов на диэлектриках во внешнем электрическом поле называют поляризацией диэлектрика. «Появившиеся» заряды называют связанными (поляризационными).
Различные вещества поляризуются по-разному в зависимости от их строения. Наиболее часто встречаются следующие виды поляризации диэлектриков:
а) деформационная поляризация – это поляризация диэлектриков, при которой у атомов возникает (индуцируется) дипольный момент за счет деформации электронных орбит. Наблюдается у диэлектриков, состоящих из неполярных молекул у веществ, молекулы которых имеют симметричное строение (N2, H2, O2, CO2, CH4);
б) ориентационная, или дипольная поляризация, которая заключается в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по направлению электрического поля. Естественно, что тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате совместного действия обоих факторов (электрического поля и теплового движения) возникает преимущественная ориентация дипольных моментов по полю. Ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура. Она характерна для диэлектриков, состоящих из полярных молекул веществ, молекулы которых имеют асимметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. К таким веществам, например, относятся H2O, NH3, SO2, CO;
в) ионная поляризация, которая заключается в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных ионов — против поля. Смещение подрешеток приводит к возникновению дипольных моментов и появлению на поверхности диэлектрика связанных зарядов. Наблюдается у диэлектриков, имеющих ионную кристаллическую решетку (например, у таких веществ, как NaCl, KCl, KBr).
При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле он поляризуется, т.е. приобретает отличный от нуля электрический дипольный момент:
, (3.7)
где pi – дипольный момент одной молекулы.
Для количественной характеристики поляризации диэлектриков вводится в рассмотрение физическая величина, численно равная электрическому дипольному моменту единицы объема диэлектрика:
. (3.8)
Эта величина называется вектором поляризации, или поляризованностью. Если поле или диэлектрик однородны, то вектор поляризации одинаков по всему объему. Такую поляризацию называют однородной. Если эти условия не выполняются, то поляризацию называют неоднородной.
У большинства диэлектриков, кроме так называемых сегнетоэлектриков, вектор поляризации пропорционален напряженности внешнего электрического поля:
, (3.9)
где – диэлектрическая восприимчивость вещества, не зависящая от напряженности внешнего электрического поля.
Между вектором поляризации P и поверхностной плотностью связанных зарядов ‘ имеется связь
, (3.10)
т. е. поверхностная плотность связанных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации в данной точке поверхности диэлектрика.
При совпадении направления нормальной составляющей вектора поляризации с направлением положительной нормали к поверхности Pn>0 и ‘ >0, при несовпадении — Pn
Так как
, а
, то
, (3.11)
где En – нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля внутри диэлектрика.
Следовательно, там, где линии вектора напряженности электрического поля E выходят из диэлектрика (En>0) — ‘ >0, где входят в диэлектрик (En<0) - ' <0 (рис. 3.6).
3.3. Поле в диэлектриках. Электрическое смещение. Диэлектрическая восприимчивость вещества. Относительная диэлектрическая проницаемость среды. Теорема Остроградского-Гаусса для потока вектора индукции электрического поля
Электрическим смещением (индукцией электрического поля) называют векторную физическую величину, связанную с вектором поляризации и вектором напряженности электрического поля соотношением
. (3.12)
Сучетом того что
, уравнение (3.12) можно переписать в виде
, (3.13)
где – относительная диэлектричес-кая проницаемость среды.
Если в поле, созданное в вакууме бесконечно заряженными плоскостями, внести пластину из однородного диэлектрика так, чтобы её боковые грани были параллельны плоскостям, то на поверхностях пластины «появятся» связанные заряды с поверхностной плотностью ‘ , которые создают свое электрическое поле, направленное в сторону, противоположную внешнему полю (рис. 3.7).
Внутри диэлектрика в этом случае существует результирующее электрическое поле с напряженностью
, (3.14)
где – напряженность внешнего электрического поля;
–напряженность электрического поля связанных зарядов.
. (3.15)
Вне диэлектрика напряженность внешнего поля равна напряженности результирующего электрического поля.
Так как поле перпендикулярно граням пластины и плоскостям, то En = E, а с учетом того, что , выражение (3.15) можно переписать так:
. (3.16)
Из формулы (3.16) имеем
,
,
. (3.17)
Следовательно, относительная диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько раз электрическое поле ослабевает за счет диэлектрика.
Индукция электрического поля D внутри диэлектрика и вне диэлектрика одинакова, т.к. при умножении на0 имеем
, или
, (3.18)
где D = 0E – индукция (электрическое смещение) электрического поля внутри диэлектрика;
Do = 0E – индукция (электрическое смещение) электрического поля вне диэлектрика.
Таким образом, индукция электрического поля в диэлектрике изменяет свое направление, но не изменяет свою величину, в то время как напряженность электрического поля E Eo. Полученный результат справедлив для любых электрических полей.
Следовательно, на границе раздела двух сред происходит изменение вектора напряженности электрического поля E (уменьшается число силовых линий вектора E), а вектор индукции электрического поля не изменяется (изменяется лишь вид силовых линий вектора D). Отсюда вывод: поток вектора индукции электрического поля через любую замкнутую поверхность остается величиной постоянной.
Для потока вектора индукции электрического поля D справедлива теорема Остроградского-Гаусса: поток вектора индукции электрического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключенных внутри этой замкнутой поверхности.
Математически эту теорему можно записать так:
. (3.19)