1. Умножение суммы на число
и по \(2\) .
Сколько всего овощей растёт на трёх грядках?
Для решения данной задачи существует два способа.
Первый способ
Мы знаем, что всего три грядки, и на каждой грядке растут и свёкла, и морковь.
Значит, всего 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 = 12 + 6 = 18 овощей.
Второй способ
Нам известно, что на каждой грядке \(4\) свёклы и \(2\) моркови. А таких грядок всего три. Значит, всего 4 + 2 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 = 12 + 6 = 18 овощей.
Чтобы умножить сумму на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.
- 2 ⋅ ( 3 + 1 ) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 = 6 + 2 = 8 ,
- ( 5 + 7 ) ⋅ 3 = 5 ⋅ 3 + 7 ⋅ 3 = 15 + 21 = 36 .
Умножение числа на сумму
1) Чтобы умножить число на сумму, можно сначала выполнить сложение, а затем умножить число на полученный результат.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно сначала сложить числа 3 и 5:
и число 4 умножить на полученный результат:
4 · 8 = 32, значит
4 · (3 + 5) = 4 · 8 = 32.
2) Для умножения числа на сумму, можно умножить данное число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно отдельно умножить число 4 на 3 и на 5:
4 · 3 = 12 и 4 · 5 = 20
и полученные произведения сложить:
12 + 20 = 32, значит
4 · (3 + 5) = 4 · 3 + 4 · 5 = 12 + 20 = 32.
Данные способы умножения числа на сумму можно легко проверить, посчитав количество звёздочек на картинке:
Не важно как мы будем их считать:
- пересчитывать все по порядку;
- считать количество звёздочек в строке и умножать количество строк на полученный результат;
- считать сначала количество жёлтых звёздочек, затем зелёных, и складывать полученный результаты.
При любом способе счёта получится ровно 32 звёздочки.
Умножение числа на сумму можно представить в виде общей формулы:
a · (b + c) = a · b + a · c.
Примеры
Пример 1. Найти значение каждого выражения двумя способами:
- 2 · (3 + 8) = 2 · 11 = 22;
- 2 · (3 + 8) = 2 · 3 + 2 · 8 = 6 + 16 = 22.
- 5 · (6 + 3) = 5 · 9 = 45;
- 5 · (6 + 3) = 5 · 6 + 5 · 3 = 30 + 15 = 45.
- 3 · (1 + 4) = 3 · 5 = 15;
- 3 · (1 + 4) = 3 · 1 + 3 · 4 = 3 + 12 = 15.
Пример 2. Вычислить, удобным способом:
1) 5 · (4 + 6) = 5 · 10 = 50;
2) 2 · (32 + 13) = 2 · 32 + 2 · 13 = 64 + 26 = 90;
3) 7 · (10 + 5) = 7 · 10 + 7 · 5 = 70 + 35 = 105.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2024 | © | izamorfix.ru |
Умножение суммы на число
1) Чтобы умножить сумму на число, можно сначала выполнить сложение и полученный результат умножить на число.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно сначала сложить числа 3 и 5:
и полученную сумму умножить на 4:
8 · 4 = 32, значит
(3 + 5) · 4 = 8 · 4 = 32.
2) Для умножения суммы на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и полученные результаты сложить.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно отдельно умножить число 3 и число 5 на 4:
3 · 4 = 12 и 5 · 4 = 20
и полученные произведения сложить:
12 + 20 = 32, значит
(3 + 5) · 4 = 3 · 4 + 5 · 4 = 12 + 20 = 32.
Данные способы умножения суммы на число можно легко проверить, посчитав количество звёздочек на картинке:
Не важно как мы будем их считать:
- пересчитывать все по порядку;
- считать количество звёздочек в строке и умножать полученный результат на количество строк;
- считать сначала количество жёлтых звёздочек, затем зелёных, и складывать полученный результаты.
При любом способе счёта получится ровно 32 звёздочки.
Умножение суммы на число можно представить в виде общей формулы:
(a + b) · c = a · c + b · c.
Примеры
Пример 1. Найти значение каждого выражения двумя способами:
- (3 + 8) · 2 = 11 · 2 = 22;
- (3 + 8) · 2 = 3 · 2 + 8 · 2 = 6 + 16 = 22.
- (6 + 3) · 5 = 9 · 5 = 45;
- (6 + 3) · 5 = 6 · 5 + 3 · 5 = 30 + 15 = 45.
- (1 + 4) · 3 = 5 · 3 = 15;
- (1 + 4) · 3 = 1 · 3 + 4 · 3 = 3 + 12 = 15.
Пример 2. Вычислить, удобным способом:
1) (4 + 6) · 5 = 10 · 5 = 50;
2) (32 + 13) · 2 = 32 · 2 + 13 · 2 = 64 + 26 = 90;
3) (4 + 3) · 5 = 4 · 5 + 3 · 5 = 20 + 15 = 35.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2024 | © | izamorfix.ru |
Законы умножения
Если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Это можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек представленных на рисунке:
3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4
Так как множимое и множитель можно менять местами их ещё называют сомножителями или просто множителями.
Таким образом, для любых натуральных чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a,
выражающее переместительный закон умножения:
От перестановки сомножителей произведение не меняется.
Сочетательный закон умножения
Произведение чисел 3, 2 и 4 не изменится, если из них какие-нибудь два числа заменить их произведением:
3 · 2 · 4 = 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24,
3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24.
Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),
выражающее сочетательный закон умножения:
Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением.
Распределительный закон умножения
Для любых натуральных чисел верны равенства:
m · (a + b + . ) = m · a + m · b + .
(a + b + . ) · m = a · m + b · m + . ,
выражающие распределительный закон умножения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.
Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке:
Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек. В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.
Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных — 5 · 4. Всего звёздочек 3 · 4 + 5 · 4.
Кроме того, для любых натуральных чисел (если уменьшаемое больше или равно вычитаемому) верны равенства:
m · (a — b — . ) = m · a — m · b — .
(a — b — . ) · m = a · m — b · m — .
Например, 6 · (4 — 2) = 6 · 4 — 6 · 2.
Переход от умножения:
m · (a + b + . )
m · (a — b — . )
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b + .
m · a — m · b — .
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b + .
m · a — m · b — .
m · (a + b + . )
m · (a — b — . )
называется вынесением общего множителя за скобки.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2024 | © | izamorfix.ru |