Что такое постоянная времени цепи

5. Постоянная времени

характеризует длительность протекания переходного процесса, обычно это тот промежуток времени, в течение которого реакция схемы на единичный скачок убывает в «е» раз (е≈2.718) и напряжение достигает 63,2 % своего установившегося значения. Постоянная времени связана с граничной частотой, либо с частотой пропускания фильтра нижних частот.

.

6.Какие позитивные или негативные последствия переходных процессов в электрических приборах и системах.

При коммутационных операциях выключателями и разъединителями в сети высокого напряжения возникает высокочастотный (ВЧ) переходный процесс. Параметры этого процесса индивидуальны для каждого объекта и, более того, даже для каждой конкретной коммутации. ВЧ токи и перенапряжения через системы шин распространяются по частям объекта. Они создают электромагнитные поля, способные вызывать наводки во вторичных кабелях и даже во внутренних цепях аппаратуры. Кроме того, проникновение коммутационных помех во вторичные кабели происходит через трансформатор тока, трансформатор напряжения и т.п. Особенно серьезна ситуация в пускателях взрывозащищенного исполнения, где высоковольтное оборудование и подверженная влиянию электронная аппаратура размещаются очень близко друг к другу.

Переходные процессы являются причиной искажения формы импульсов при прохождении их через линейные цепи. Расчет и анализ устройств автоматики, где происходит непрерывная смена состояния электрических цепей, немыслим без учета переходных режимов.

В ряде устройств возникновение переходных процессов, в принципе, нежелательно и опасно. Расчет переходных режимов в этих случаях позволяет определить возможные перенапряжения и увеличения токов, которые во много раз могут превышать напряжения и токи стационарного режима. Это особенно важно для цепей со значительной индуктивностью или большой емкостью.

Тема 5. Основы теории четырехполюсников

Какая электрическая цепь называется четырехполюсником?

Четырехполюсник — это электрическая цепь произвольной конфигурации, которая имеет две пары внешних зажимов (рис.5.1): два входных зажима 1-2 для подключения источников и два выходных зажима 1`-2` для подключения приемников.

Рисунок 5.1 — Условное обозначение четырехполюсника с подключенным источником и приемником .

Четырехполюсники подразделяются на две группы — пассивные и активные. Пассивный четырехполюсник — это четырехполюсник, цепь которого содержит только пассивные элементы (например, трансформатор, пассивный фильтр и т. п.). Активный четырехполюсник — это четырехполюсник, цепь которого включает независимые и зависимые источники (например, транзисторный усилитель, активный фильтр и т. п.).

Назовите формы записи уравнений четырехполюсника.

Уравнения четырехполюсников — это зависимости между двумя напряжениями и двумя токами, которые определяют режим на первичных и вторичных выводах четырехполюсника.

Уравнения четырехполюсников выводятся на основе рассмотрения цепи с одним источником и нагрузкой (рис.5.1), для которой составляется система уравнений по МКТ. В результате получают пару уравнений с четырьмя неизвестными. Описание цепи по МКТ и последующие преобразования позволяют определить шесть различных математически эквивалентных вариантов записи уравнений четырехполюсников в формах A, Z, Y, H, G, B. Одна из них:

— коэф.передачи напряж. при х.х.на 2-2`

— передат.сопр. при к.з. 2-2`. — передат.пров. при х.х. на 2-2`

— коэф. передачи тока при к.з. 2-2`

1.5 Постоянная времени цепи и ее физический смысл

Закон изменения множителя зависит от величины. Эта величина имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи. Обозначается постоянная времени греческой буквой .

Через 5 после коммутации любой ток или напряжение цепи достигает 99,3% от своего предельного значения (при t ). В неразветвленной RL- цепи (рис.1.2):

(1.15)

Таким образом, имеем решение для i_L(t) при 0₊, т.е. при всех t переходного процесса:

. (1.16)

Определяем напряжение на резисторе R и индуктивности L в переходном режиме:

(1.17)

(1.18)

По формулам (1.17), (1.18) построим графики изменения напряжений от времени t.

Из рис. 1.4 видно, что при любом значении t сумма напряжений u_R и u_L составляет величину входного напряжения U, что подтверждает второй закон Кирхгофа.

Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t=0₊ индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t, как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).

Постоянная времени τ – это время, в течение которого свободная составляющая i_св изменяется ровно в “e” раз. Покажем это. Для этого сравним два значения i_св при произвольном времени t, взятых через время τ:

Таким образом, величина τ определяет скорость протекания переходного процесса в цепи, т.к. через (45)τ он обычно практически заканчивается.

2.Расчет прохождения сигнала через линейные электрические цепи

длительность импульса: 0,4 мс; период сигнала: 1,5 мс; середина импульса: 0,014 мс; максимальное и минимальное значение сигнала: 0,5 и 0 В.

2.1Разложение импульсных колебаний на гармонические составляющие

Результат воздействия на электрическую цепь синусоидального напряжения и тока можно найти при помощи символического метода решения уравнений Кирхгофа. Форма синусоидального напряжения (или тока) на выходе любой линейной электрической цепи остается синусоидальной, а амплитуда напряжений и его начальная фаза изменяются. Поэтому при рассмотрении воздействия на электрические цепи несинусоидальных напряжений (токов) во многих случаях целесообразно представить их в виде некоторой суммы синусоидальных колебаний.

Любое периодическое несинусоидальное колебание можно разложить в бесконечный тригонометрический ряд, состоящий из постоянной составляющей и синусоидальных составляющих различной частоты, амплитуды и фазы. Совокупность этих синусоидальных или гармонических составляющих называется частотным спектром.

Тригонометрический ряд, получающийся при разложении периодических несинусоидальных колебаний, называется рядом Фурье [7, с.7]:

Коэффициенты ряда Фурье ( А₀, a_k, b_k и φ_k ) рассчитываем по формулам [7, c.7]:

f(t) – несинусоидальная периодическая функция;

Т – период колебаний, т.е. наименьшее время, по истечении которого колебания полностью повторяются, 1/с;

ω₁ – скорость изменения фазы (угловая частота) первой или основной гармоники, рад/с;

k – порядковый номер гармоники.

В радиотехнике для определения отклика цепи на негармоническое воздействие f(t) используют косинусную форму ряда Фурье [1, с.276]:

которая связана с рядом Фурье (2.1) следующими соотношениями [1, с.276]:

где A_mk –это амплитуда «k»-ой гармоники, функция четная относительно частоты;

φ_k – начальная фаза «k»-ой гармоники, функция нечетная относительно частоты и поэтому может принимать как положительные значения, так и отрицательные;

А₀ – постоянная составляющая воздействия f(t).

Амплитуды всех гармоник разложения (A_mk) вместе с постоянной составляющей разложения (А₀) образуют амплитудно-частотный спектр (АЧС) воздействия f(t).

Начальные фазы всех гармоник разложения (ψ_k) образуют фазо-частотный спектр (ФЧС) воздействия f(t).

Заданный импульс напряжения выражается в пределах одного периода функцией

0,5,

f(t)=

0,

т.е. мы имеем импульсное напряжение прямоугольной формы с периодом повторения Т и длительностью импульса τ_И со смещением середины импульса относительно оси ординат.

Интегрирование проводим в пределах от 0 до, введя перед интегралом множитель 2.

Постоянная составляющая ряда на основании формулы (2.2) будет равна

Коэффициенты а_k, b_k (формулы (2.3) и (2.4)) :

Рассчитываем коэффициенты (амплитуды гармоник) при косинусных составляющих ряда Фурье, а также начальные фазы гармоник:

Учитывая то, что[2, c.98],

Подставляя численные значения в формулы, получим амплитуды и начальные фазы гармонических составляющих ряда Фурье.

Таким образом рассчитывают периодические колебания функций четных относительно частоты. При смещении момента отсчета времени на любую величину, т.е. при запаздывании или опережении процесса на время t₀, учитываем смещение середины импульса относительно оси ординат. Смещение периодической функции не изменяет значений амплитуд гармоник. Начальные фазы гармоник изменяются на угол [2,с.276],

где t₀ – время начала переднего фронта импульса.

t₀=—t_{смещения}= — 0,2+0,014= — 0,186,

т.е. начальные фазы гармонических составляющих сигнала воздействия рассчитываются по формуле:

.

Рассчитаем постоянную составляющую

,

и амплитуды и начальные фазы гармонических составляющих:

для первой гармоники (k=1)

для второй гармоники (k =2)

для третьей гармоники (k =3)

для четвертой гармоники (k =4)

для пятой гармоники (k =5)

для шестой гармоники (k =6)

для седьмой гармоники (k =7)

для восьмой гармоники (k =8)

для девятой гармоники (k =9)

для десятой гармоники (k =10)

Амплитудный и фазовый спектр сигнала воздействия изображен на рис. 2.1

40 Постоянная времени.

Величин, характеризующая скорость изменения электрической величины в переходном режиме, называетсяпостоянная времени ().

Воспользуемся 2 правилом коммутации:

Uc=-закон из-ияUна С

— закон изм — ия тока

Чем больше , тем медленнее переходный процесс, тем больше. Хотя полученные выше выражения определяют бесконечную длительность переходного процесса – свободные составляющие лишь асимптотически стремятся к нулю – практически можно считать, что переходный процесс заканчивается за время, равное .

Постоянную времени можно графически определить по длине подкасательной, проведённой в любой точке свободной составляющей переходного процесса (рис. 4.7).

Постоянная времени измеряется в секундах и для цепей первого порядка связана с корнем характеристического уравнения

. (4.10)

Рассмотрим энергетические соотношения, описывающие работу цепи после коммутации.

41 Подключение rc-цепи к источнику постоянного напряжения

1. Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.8

.

2. Получим дифференциальное уравнение цепи

,

, ,

.

Характеристическое уравнение цепи

,

.

Постоянная времени .

3. Запишем полное решение

.

Здесь свободная составляющая также включает только одну экспоненту, поскольку цепь имеет первый порядок.

4. Подставив в полное решениеt= 0 + , определим постоянную интегрирования на основании правил коммутации.

Таким образом, окончательный результат имеет вид

.

.

Графики изменения ипредставлены на рис. 4.9. Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, максимально в начальный момент времени, когда оно скачком достигает значение, и все напряжение источника приложено к резистору. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем повышается, что ведет к соответственному уменьшению тока в цепи.

42 Подключение индуктивности l к источнику постоянной эдс.

Подключение R-цепи к источнику постоянного напряжения

1. Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.10

.

2. Получим дифференциальное уравнение цепи

,

,

.

Корень характеристического уравнения и постоянная времени соответственно

, .

3. Полное решение имеет вид:

.

4. Подставив в i_L(t) t = 0 + на основании правила коммутации определим постоянную интегрирования

.

Таким образом,

.

Напряжение на индуктивности

. Графики изменения u_L(t), i_L(t) приведены на рис. 4.11.

44 Подключение rc-цепи к источнику гармонического напряжения.

Рассмотрим случай, когда в цепи (рис. 4.12) действует источник синусоидальной ЭДС

.

Здесь – фаза включения, т.к. она определяется моментом срабатывания коммутатора. Интуитивно следует ожидать влияниена качественную и количественную картину протекания переходного процесса.

Порядок расчета переходных процессов, описанный выше, не претерпевает никаких изменений.

1. Запишем правило коммутации

.

2. Дифференциальное уравнение и соответствующее ему характеристическое уравнение:

.

Корень характеристического уравнения

.

3. Полное решение для рассматриваемой цепи первого порядка

.

4. Расчет принужденной составляющей произведем символическим методом

;

;

;

.

5. Для расчета постоянной интегрирования запишем полное решение для момента t = 0 +

;

.

В соответствии с правилом коммутации

;

.

;

Оба выражения для u_C и i_Cв общем случае имеют периодическую принужденную и апериодическую свободную составляющие. При этом характер переходного процесса существенно зависит от двух факторов – начальной фазы напряжения источника в момент включенияи соотношения параметров цепииR.

Исследуем ожидаемое влияние фазы включения источника на переходный режим

1) Пусть , тогда. Посколькуcos 0 = 1, получим

.

а) исследование кривой напряжения (рис. 4.13) наглядно демонстрирует, что максимальное напряжение в переходном режиме ограничено .

б) исследование кривой тока (рис. 4.14).

Максимальное значение тока в переходном режиме зависит от соотношения иR и может превышатьI_mпр в несколько раз. Однако этот начальный всплеск тока является кратковременным.

2) В случае, если, поскольку , получим

Таким образом, в данном случае в цепи переходный процесс не наблюдается.

Постоянная времени электрической цепи — что это такое и где используется

Природе свойственны периодические процессы: день сменяет ночь, теплое время года сменяется холодным и т. д. Период этих событий почти постоянен и поэтому может быть строго определен. Кроме того, мы вправе утверждать, что приведенные в качестве примера периодические природные процессы не являются затухающими, по крайней мере по отношению к продолжительности жизни одного человека.

Однако в технике, а в электротехнике и в электронике — особенно, далеко не все процессы являются периодическими и незатухающими. Обычно какой-нибудь электромагнитный процесс сначала возрастает, а затем убывает. Часто дело ограничивается лишь фазой начала колебания, которое так и не успевает толком набрать размах.

Сплошь и рядом в электротехнике можно встретить так называемые экспоненциальные переходные процессы, суть которых заключается в том, что система просто стремится придти к какому-то равновесному состоянию, которое в конце концов выглядит как состояние покоя. Такой переходный процесс может быть как нарастающим, так и спадающим.

Внешняя сила сначала выводят динамическую систему из состояния равновесия, а затем не препятствует естественному возврату данной системы к ее исходному состоянию. Эта последняя фаза и есть так называемый переходный процесс, которому свойственна определенная длительность. Кроме того процесс выведения системы из равновесия также является переходным процессом с характерной длительностью.

Так или иначе, постоянной времени переходного процесса мы называем его временную характеристику, определяющую время, через которое некоторый параметр данного процесса изменится в «е» раз, то есть увеличится или уменьшится примерно в 2,718 раз по сравнению с состоянием, принятым за исходное.

Рассмотрим для примера электрическую цепь, состоящую из источника постоянного напряжения, конденсатора и резистора. Подобного рода цепь, где резистор включен последовательно с конденсатором, называется интегрирующей RC-цепью.

Если в начальный момент времени подать на такую цепь питание, то есть установить на входе некоторое постоянное напряжение Uвх, то Uвых — напряжение на конденсаторе, начнет по экспоненте нарастать.

Через время t1 напряжение на конденсаторе достигнет 63,2% от напряжения на входе. Так вот, промежуток времени от начального момента до t1 – это и будет постоянная времени данной RC-цепи.

Данную константу цепи называют «тау», она измеряется в секундах, а обозначают ее соответствующей греческой буквой. Численно для RC-цепи она равна R*C, где R выражается в омах, а С — в фарадах.

Интегрирующие RC-цепи применяются в электронике в качестве фильтров нижних частот, когда более высокие частоты необходимо отсечь (подавить), а более низкие — пропустить.

Практически механизм такой фильтрации зиждиться на следующем принципе. Для переменного тока конденсатор выступает как емкостное сопротивление, значение которого обратно пропорционально частоте, то есть чем выше частота — тем меньшим будет реактивное сопротивление конденсатора в омах.

Следовательно, если пропустить через RC-цепь переменный ток, то, как на плечах делителя напряжения, на конденсаторе упадет определенное напряжение, пропорциональное его емкостному сопротивлению на частоте пропускаемого тока.

Если известна частота среза и амплитуда входного переменного сигнала, то для разработчика не составит труда подобрать такие конденсатор и резистор в RC-цепь, чтобы минимальное (граничное) напряжение (для частоты среза — верхней частотной границы) приходилось на конденсатор как на реактивное сопротивление, входящее в состав делителя в совокупности с резистором.

Теперь рассмотрим так называемую дифференцирующую цепь. Это цепь, состоящая из последовательно соединенных резистора и катушки индуктивности, RL-цепь. Ее постоянная времени численно равна L/R, где L – индуктивность катушки в генри, а R – сопротивление резистора в омах.

Если к такой цепи приложить постоянное напряжение от источника, то через время тау напряжение на катушке уменьшится по сравнению с U вх на 63,2%, то есть в полном соответствии со значением постоянной времени для данной электрической цепи.

В цепях переменного тока (переменных сигналов) LR-цепи применяются в качестве фильтров верхних частот, когда низкие частоты необходимо отсечь (подавить), а частоты выше (выше частоты среза — нижней частотной границы)— пропустить. Так вот, индуктивное сопротивление катушки тем больше, чем выше частота.

Как и в случае с рассмотренной выше RC-цепью, здесь используется принцип делителя напряжения. Ток более высокой частоты, пропускаемый через RL-цепь, вызовет большее падение напряжения на индуктивности L, как на индуктивном сопротивлении, входящем в состав делителя напряжения в совокупности с резистором. Задача разработчика — подобрать такие R и L, чтобы минимальное (граничное) напряжение на катушке получалось как раз на частоте среза.

Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика