Как преобразовать звезду в треугольник

8.5. Метод преобразования и расчёта цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник».

Этот метод основан на том, что схему, имеющую три узла, можно заменить другой, с тем же числом узлов. При этом сопротивление участка между двумя любыми узлами новой схемы должно быть равно сопротивлению заменяемого участка. В результате получается схема, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Поскольку в результате такого преобразования изменяются токи внутри цепи, то такую замену проводят в тех случаях, когда не нужно находить распределение токов.

Рассмотрим преобразование схем, имеющих три вывода (трёхполюсников).

Это преобразование называется преобразованием «звезды» (рис. 47,а) в «треугольник» (рис. 47,б), и наоборот.

В «звезде» сопротивление между точками 1 и 2 равно r₁ + r₂, в «треугольнике» R₁₂ (R₁₃ + R₂₃)/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). Следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо выполнение равенства:

r₁ + r₂ = R₁₂ (R₁₃ + R₂₃)/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). (8.15)

Аналогично для точек 1 и 3 и для точек 2 и 3:

r₁ + r₃ = R₁₃ (R₁₂ + R₂₃)/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). (8.16)

r₂ + r₃ = R₂₃ (R₁₂ + R₁₃)/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). (8.17)

Сложив левые и правые части этих уравнений и разделив полученные суммы на 2, получим:

r₁ + r₂ + r₃ = (R₁₂ R₁₃ + R₁₂ R₂₃ + R₁₃ R₂₃)/ )/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). (8.18)

Вычитая из (8.18) поочерёдно уравнения (8.17), (8.16) и (8.15), получим:

r₁ = R₁₂ R₁₃/ (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃); (8.19)

r₂ = R₁₂ R₂₃/ (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃); (8.20)

r₃ = R₁₃ R₂₃/ (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). (8.21)

Эти выражения легко запомнить: знаменатель в каждой формуле есть сумма сопротивлений всех резисторов «треугольника», а в числителе дважды повторяется индекс, стоящий слева: r₁ — R₁₂ R₁₃; r₂ — R₁₂ R₂₃; r₃ — R₁₃ R₂₃.

Аналогично получаются формулы для обратного преобразования:

R₁₂ = (r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃) / r₃; (8.22)

R₁₃ = (r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃) / r₂; (8.23)

R₂₃ = (r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃) / r₁. (8.24)

Выражения (8.22) – (8.24) также легко запомнить: числитель у всех выражений один и тот же, а у сопротивления, стоящего в знаменателе, стоит тот индекс, которого не достаёт у сопротивления, стоящего в левой части выражения.

Задача № 45. Определите сопротивление цепи АВ (рис. 48.а), если R₁ = R₅ =

1 Oм; R₂ = R₆ = 2 Oм; R₃ = R₇ =

3 Oм; R₄ = R₈ = 4 Oм.

Преобразуем «треугольники» R₁ R₂ R₈ R₄ R₅ R₆ в эквивалентные «звёзды», тогда схема примет вид, изображённый на рис. 48,б. Сопротивления r_1, r_2, r₃, … r₆ рассчитаем по формулам:

r₁ = R₁ R₈/ (R₁ + R₂ + R₈) = 4/7 Ом;

r₂ = R₁ R₂/ (R₁ + R₂ + R₈) = 2/7 Ом;

r₃ = R₂ R₈/ (R₁ + R₂ + R₈) = 8/7 Ом;

r₄ = R₄ R₆/ (R₄ + R₅ + R₆) = 8/7 Ом;

r₅ = R₅ R₆/ (R₄ + R₅ + R₆) = 2/7 Ом;

r₆ = R₄ R₅/ (R₄ + R₅ + R₆) = 4/7 Ом;

Схема, изображённая на рис. 48,в является эквивалентной схеме на рис. 48,б.

Здесь R’₃ = r₂ + R₃ + r₄ = 31/7 Ом;

R’₇ = r₃ + R₇ + r₅ = 31/7 Ом, R’₃ = R’₇.

Общее сопротивление цепи

R_общ = r₁ + R’₃/2 + r₆ = 47/14 Ом.

Задача № 46. Определить общее сопротивление неуравновешенного моста (рис. 49,а) , если R₁ = 1,0 Oм; R₂ = 1,6 Oм; R₃ = 2,0 Oм; R₄ = 1,2 Oм; R₅ = 2,0 Oм.

Если преобразовать «треугольник» из резисторов R₁, R₃, R₅ в эквивалентную «звезду», то получится простая схема (рис. 49,б). Рассчитаем сопротивления r₁, r₂ и r₃ по формулам: r₁ = R₁R₃/(R₁ + R₃ + R₅) = 0,4 Ом; r₂ = R₁R₅/(R₁ + R₃ + R₅) = 0,4 Ом; r₃ = R₃R₅/(R₁ + R₃ + R₅) = 0,8 Ом;

Общее сопротивление цепи R_общ = r₁ + (r₂ + R₂) (r₃ +R₄)/ (r₂ + R₂ + r₃ + R₄) = 1,4 Ом.

Треугольник в звезду

Расчет и исследование сложных электрических цепей во многих случаях можно значительно облегчить и сделать более наглядным путем преобразования электрических схем одного вида в схемы другого вида. Одним из способов является эквивалентное преобразование треугольника в звезду. В этом методе выполняется преобразование пассивной части электрической цепи, т.е. приемников электрической энергии.

Определение соединения сопротивлений треугольником

Если три сопротивления соединены так, что образуют собою стороны треугольника, то такое соединение сопротивлений называют треугольником сопротивлений.

Соединение, при котором три сопротивления, находящиеся в пассивных ветвях, соединены между собою попарно и образуют замкнутый контур — называется треугольником.

Обычно в курсе электротехники принято элементы рисовать только горизонтально и вертикально. На следующем рисунке так же представлено соединение треугольником.

Определение соединения сопротивлений звездой

Если соединение трех сопротивлений имеет общий узел и имеет внешний вид трехлучевой звезды, то такое соединение сопротивлений называется звездой.

Причина преобразования треугольника в звезду

При расчете электрической цепи бывают случаи, когда нет ни последовательных, ни параллельных соединений сопротивлений. В этом случае можно попробовать отыскать соединение сопротивлений треугольником и выполнить экивалентное преобразование треугольника в звезду.

Если в электрической цепи нашли соединение сопротивлений треугольником, то в узлы соединения сопротивлений подставляем концы лучей соединения сопротивлений в виде звезды.

Далее убираем (удаляем первоначальное) соединение треугольником. В результате получается эквивалентное соединение звездой.

Формулы для расчета преобразования треугольника в звезду

Пример преобразования

Для электрической цепи необходимо выполнить преобразование треуголькника R12 — R23 — R31 в звезду.

Добавляем к узлам подключения сопротивлений треугольником концы лучей подключения сопротивлений звездой.

Удаляем соединение сопротивлений треугольником. В результате остается подключение сопротивлений звездой. По формулам рассчитываются значения сопротивлений R1, R2, R3.

Лекции по ТОЭ

• История электротехники
• ТОЭ и электроника
• Основные сведения
  • Основные определения
  • Топология цепи
  • Преобразование цепей
  • Элементы электрической цепи
  • Режимы работы
  • Постояный ток
  • Переменный ток
  • Постоянный ток
  • Переменный ток
  • Мощность
  • Магнитное поле
  • Постоянная МДС
  • Переменная МДС
  • Ферромагнитные материалы
  • Однофазный трансформатор
  • Трехфазный трансформатор
  • Постоянный ток
  • Переменный ток
  • Электропривод
  • Параметры
  • Уравнения
  • Схемы замещения
  • Фильтры
  • Холостой ход
  • Короткое замыкание
  • Характеристическое сопротивление
  • Коэффициент распространения
  • Передаточная функция
  • Обратные связи
  • Общие сведения
  • Классический метод
  • Операторный метод
  • Интеграл Дюамеля
  • Основная литература
  • Дополнительная литература
  • Сборники задач

  39.Преобразование «звезды» сопротивлений в треугольник

  К такому преобразованию приходится обращаться, если в цепи нет ни параллельно, ни последовательно включённых сопротивлений. В таком преобразовании участвуют три сопротивления. При этом преобразование звезды сопротивлений в треугольника или треугольника — в звезду приводит к появлению в цепи последовательно или параллельно включённых сопротивлений, что позволяет в конечном счёте методом эквивалентных преобразований рассчитать любую электрическую цепь с одним источником.

  При соединении по схеме «звезда» один из двух зажимов каждого сопротивления объединяется в один узел «n». Вторые зажимы подключаются к тем или иным узлам (точкам) электрической цепи.

  На рис. _____ представлены некоторые варианты таких соединений.

  

  При соединении сопротивлений по схеме «треугольник» зажимы приемников последовательно соединяются между собою, образуя три угла — А, В, С — вершины треугольника.

  На рис. представлены соединения трех сопротивлений по схеме «треугольник».

  

  Формулы для взаимного преобразования сопротивлений, соединённых по схемам «звезда» и «треугольник» предельно просты, доказываются во всех учебниках по теории электрических цепей и выглядят следующим образом:

  — при преобразовании «звезды» сопротивлений (z_A, z_B и z_C известны) в «треугольнике»:

  

  

  

  — при преобразовании «треугольника» сопротивлений z_AВ, z_BС и z_CА в «звезду» _:

  

  

  

  40.Линейная цепь переменного тока с реальной индуктивностью

  Реальная катушка в отличии от идеальной имеет не только индуктивность, но и активное сопротивление, поэтому при протекании переменного тока в ней сопровождается не только изменением энергии в магнитном поле, но и преобразованием электрической энергии в другой вид. В частности, в проводе катушки электрическая энергия преобразуется в тепло в соответствии с законом Ленца — Джоуля.

  Ранее было выяснено, что в цепи переменного тока процесс преобразования электрической энергии в другой вид характеризуется активной мощностью цепи Р, а изменение энергии в магнитном поле —реактивной мощностью Q.

  В реальной катушке имеют место оба процесса, т. е. ее активная и реактивная мощности отличны от нуля. Поэтому одна реальная катушка в схеме замещения должна быть представлена активным и реактивным элементами.

  Схема замещения катушки с последовательным соединением элементов

  В схеме с последовательным соединением элементов реальная катушка характеризуется активным сопротивлением R и индуктивностью L.

  Активное сопротивление определяется величиной мощности потерь

  R = P/I 2

  

  

  а индуктивность — конструкцией катушки. Предположим, что ток в катушке (рис. 13.9, а) выражается уравнением i = I_msinωt. Требуется определить напряжение в цепи и мощность. При переменном токе в катушке возникает э. д. с. Самоиндукции e_L поэтому ток зависит от действия приложенного напряжения и эдс e_L. Уравнение электрического равновесия цепи, составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид:

  Приложенное к катушке напряжение состоит из двух слагаемых, одно из которых u_R равно падению напряжения в активном сопротивлении, а другоеu_L уравновешивает эдс самоиндукции.

  

  В соответствии с этим катушку в схеме замещения можно представить активным и индуктивным сопротивлениями, соединенными последовательно (рис. 13.9, б). Дополнительно заметим, что оба слагаемых в правой части равенства (13.12) являются синусоидальными функциями времени. Согласно выводам полученных в этих предыдущих двух (первая, вторая) статьях получим —u_R совпадает по фазе с током, U_L опережает ток на 90°.

  Поэтому: u = R*I_msinωt + ωLI_msin(ωt+π/2).

  Коэффициентом мощности или cos φ электрической сети называется отношение активной мощности к полной мощности нагрузки расчетного участка.

  cos φ = P/S, где:

  φ – коэффициент мощности;

  P — активная мощность Вт;

  S — полная мощность ВА;

  Коэффициент мощности можно определить как расчетным путем, так и измерить специальными приборами. Только в том случае, когда нагрузка имеет исключительно активный характер, cos φ равен единице. В основном же, активная мощность меньше полной и поэтому коэффициент мощности меньше единицы.

  Способы улучшения коэффициента мощности действующей электроустановки. Имеется два понятия коэффициента мощности: естественный коэффициент мощности — при отсутствии каких-либо компенсаторов реактивной энергии и общий, искусственный коэффициент мощности – фактически достигнутое значение коэффициента мощности установки за счет каких-либо компенсаторов реактивной энергии, поэтому способы улучшения коэффициента мощности технологического процесса можно разделить на две группы.

  Мероприятия по повышению естественного коэффициента: правильный выбор электродвигательных устройств по требуемой механической мощности (нагрузке ЭДУ Мс или Р); устранение холостых ходов силовых трансформаторов – перераспределение нагрузки между работающими трансформаторами; устранение режимов холостых ходов электродвигательных устройств и сварочных трансформаторов, агрегатов и аппаратов – применение ограничителей РХХ и схем переключения с «треугольника» на «звезду»; применение многодвигательных приводов и систем автоматической адаптации к нагрузке.

  1.15. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

  Очень часто при преобразовании электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду или наоборот – звезду в треугольник. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды, притекающие к этим точкам токи, будут одинаковы, то произведенная замена не скажется на работе всей внешней цепи (рис. 1.13).

  Получим формулы преобразования, для чего выразим токи I₁, I₂ и I₃ в звезде и треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

  Подставим (1.15) в (1.14)

  Введем это выражение в уравнение для тока I₁

  Так как ток I₁ в схеме треугольника и звезды должен быть одинаков при любых значениях потенциалов ₁, ₂ и ₃, то коэффициенты при потенциалах ₂ и ₃ в правой части (1.18) должны равняться аналогичным коэффициентам в правой части выражения (1.17). Следовательно,

  Заменим проводимости на сопротивления

  Подставив (1.20) в (1.19), получим формулы для преобразования звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник

  Решив эту систему относительно R₁, R₂ и R₃, получим формулы для преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду

  1.16. Метод эквивалентного генератора

  В любой электрической цепи всегда можно мысленно выделить одну какую-то ветвь, а всю остальную часть схемы независимо от ее структуры и сложности условно изобразить некоторым прямоугольником, который называется двухполюсником, так как имеет только два зажима.

  Если в двухполюснике имеется источник энергии, то его называют активным и обозначают буквой А.

  Если в двухполюснике нет ни одного источника энергии, то его называют пассивным и обозначают буквой П или букву вообще не ставят.

  Пусть задана некоторая схема, и требуется найти ток в одной ее ветви ab. Мысленно заключим всю схему, содержащую ЭДС и сопротивления в прямоугольник, выделив из нее ветвь ab (рис. 1.14).

  Ток I в этой ветви не изменится, если в ветвь ab включить две равные и противоположно направленные ЭДС.

  Рис. 1.14. Схема для пояснения метода эквивалентного генератора

  На основании принципа наложения ток можно представить в виде суммы двух токов . Ток I‘ вызван ЭДС E₁ и всеми источниками в схеме активного двухполюсника. Ток I» вызывается только одной ЭДС E₂.

  ЭДС E₁ направлена встречно напряжению U_ab. По закону Ома .

  Выберем E₁ так, чтобы I‘ = 0, что эквивалентно размыканию ветви, т.е. холостому ходу. Напряжение на ветви ab на холостом ходу обозначим U_{ab хх}.

  Если E₁ = U_{ab хх}, то I‘ = 0, а I = I«.

  где R_вх – входное сопротивление двухполюсника по отношению к зажимам ab.

  Совокупность E₂ и R_вх можно рассматривать как некоторый эквивалентный генератор (рис. 1.15). Поэтому метод расчета, использующий такой подход, называют методом эквивалентного генератора.

  1. Находится напряжение на разомкнутой ветви ab;

  2. Определяется входное сопротивление R_вх всей схемы по отношению к зажимам ab при закороченных источниках ЭДС и разомкнутых источниках тока;

  3. Определяется ток ветви

  При опытном определении R_вх необходимо измерить напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и ток КЗ ветви, а затем рассчитать входное сопротивление.

  Похожие публикации:

  1. Как провайдер подключается к интернету
  2. Как создать доменную почту на майл ру
  3. Как установить драйвер для камеры на компьютер
  4. Файл state чем открыть