Как посчитать ток в цепи переменного тока

Расчет цепей переменного тока

Расчет электрических цепей переменного синусоидального тока производится в комплексной форме. При этом величины синусоидальных ЭДС и токов представляются в виде комплексных амплитуд или комплексных действующих значений, а все элементы в схеме – в виде комплексных сопротивлений. Например, если ЭДС источника равна , то комплексная амплитуда запишется в виде— в показательной форме записи, или— в алгебраической форме. Комплексное действующее значение синусоидальной ЭДС:— в показательной форме записи, или— в алгебраической форме. Комплексные сопротивления элементов электрической цепи переменного тока: — для идеального сопротивления, — для идеальной индуктивности, — для идеальной емкости. Далее расчет электрической цепи переменного тока можно вести любым методом, известным из раздела – «электрические цепи постоянного тока». При этом используется математический аппарат, разработанный для операций с комплексными числами. Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины: — показательная форма, — алгебраическая форма, где и— действительная и мнимая часть комплексного значения синусоидальной величины. Переход от алгебраической формы к показательной осуществляется по формулам: ;. Переход от показательной формы к тригонометрической осуществляется по формуле Эйлера: . Сложение и вычитание комплексных величин производится в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной. При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин, сокращенно их называют комплексными значениями.

Расчет однофазных цепей

Расчет однофазных цепей переменного тока при наличии одного источника синусоидальной ЭДС производится методом эквивалентных преобразований. Рассмотрим пример расчета однофазной цепи приведенной на рис. Рис. 2.4. Схема электрической цепи к примеру расчета Пример расчета однофазной цепи По заданным значениям активных и реактивных сопротивлений и напряжению источника определить токи во всех ветвях схемы и падения напряжения на ее участках. Определить комплекс полной мощности, активную и реактивную мощность. Расчет произвести комплексным методом. Выполнить проверку правильности расчета с использованием баланса активных мощностей схемы. Построить векторную диаграмму. Построить мгновенные значения синусоидальных токов ветвей. Исходные данные для расчета приведены в таблице.

U, В	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	X1, Ом	X2, Ом	X3, Ом
100	50	100	100	50	50	100

Решение: Электрическая цепь на рис. 2.4 состоит из трех ветвей, определим комплексные сопротивления ветвей. Сопротивление первой ветви, состоящей из сопротивления R1 и идеальной катушки индуктивности с комплексным сопротивлением: Ом. Сопротивление второй ветви, состоящей из сопротивления R2 и идеальной емкости с комплексным сопротивлением: Ом. Сопротивление третьей ветви, состоящей из сопротивления R3 и идеальной катушки индуктивности с комплексным сопротивлением: Ом. Вторая и третья ветвь соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление Эквивалентное сопротивление всей схемы: Ом. Зная эквивалентное сопротивление, можно определить ток в первой ветви: А. Затем можно определить напряжения на участках цепи: В, В. Зная напряжение на участке bc можно рассчитать токи А, А. Проверку правильности расчета токов можно выполнить по первому закону Кирхгофа в комплексной форме: , или . Так как первый закон Кирхгофа выполняется, значит, расчет токов выполнен верно. Комплекс полной мощности: , где — сопряженный комплекс тока. ЕслиА, то сопряженный комплексА. Таким образом, комплекс полной мощности равен ВА. При этом действительная часть комплекса полной мощности равна активной мощности потребляемой схемой Вт, а мнимая часть комплекса полной мощности равна реактивной мощности схемы ВА. Векторная диаграмма токов и напряжений строиться на комплексной плоскости по координатам, полученным при расчете в комплексной форме. Токи и напряжения строятся в одних координатных осях, но для них выбираются разные масштабы. Диаграмма для рассчитанной схемы показана на рис. 2.5. Рис. 2.5. Векторная диаграмма токов и напряжений Выражения для мгновенных значений токов можно получить из комплексных значений записанных в показательной форме: А. Действующее значение тока I1 = 0.724 А, а фазовый сдвиг, таким образом мгновенное значение тока равно А. Аналогично для остальных токов: А. А. А. А. Графики мгновенных значений токов приведены на рис. 2.6. Рис. 2.6. Мгновенные значения токов

Расчет электрических цепей переменного тока

Для расчета электрических цепей переменного тока применяются те же методы, что и для цепей постоянного тока, но т.к. переменный синусоидальный ток характеризуется большим количеством параметров и его аналитическое представление сложнее, то это вносит свои особенности в методику расчета.

Наиболее удобной для расчетов является комплексная форма представления синусоидальных функций.

Основные закономерности, необходимые для расчета эл. цепей переменного тока (комплексная форма)

закон Ома для участка эл. цепи, с полным комплексным сопротивлением

1-ый закон Кирхгофа

2-ой закон Кирхгофа

Сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению участка и обратно пропорциональна его сопротивлению.

Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю.

Алгебраическая сумма падений напряжения в контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС в нем.

Далее рассмотрим расчет электрической цепи переменного тока с одним источником методом эквивалентного преобразования схемы. Данный метод содержит общую для всех методик подготовительную часть и в тоже время имеет свою специфику.

2.2 Методика расчета электрической цепи с одним источником эдс путем эквивалентного преобразования схемы.

2.2.1 Подписать узлы, расставить произвольно направления токов в ветвях и подписать токи.

2.2.2 Найти сопротивления всех реактивных потребителей в цепи по формулам:

2.2.3 Определить полное комплексное сопротивление цепи относительно зажимов источника, для чего используем выражения:

– для последовательного соединения;

– для параллельного соединения;

– при параллельном соединении двух потребителей.

Если необходимо выполнить преобразование звезда-треугольник (рис. 2.1 и 2.2)

, , – для преобразования треугольника в звезду;

, , – для преобразования звезды в треугольник.

2.2.4 Вычислить ток на входе по закону Ома .

2.2.5 Поэтапно используя закон Ома для отдельных участков, а также законы Кирхгофа для узлов и контуров «разворачиваем» схему и находим токи внутренних ветвей.

2.2.6 Проверку выполняют либо по балансу мощностей, либо построением векторной диаграммы в масштабе.

Пример расчета электрической цепи с одним источником ЭДС методом эквивалентного преобразования схемы

З адана схема цепи однофазного приемника переменного тока, представляющая последовательное соединение активных, индуктивных и емкостных элементов.

Дано: U=100 В, R₁=5 Ом, R₂=8 Ом, L₁= 31,8 мГн, L₂= 15,9 мГн, C₁= 159 мкФ, C₂= 318 мкФ, f = 50 Гц.

1. Рассчитать ток и напряжения на всех участках;
2. Построить векторную диаграмму цепи, включая ток и напряжение на входе, напряжения на участках;
3. Рассчитать активную, реактивную и полную мощности на входе цепи;
4. Найти показания измерительных приборов.

выполняем п. 2.2.1

Т.к. в цепи все элементы включены последовательно (измерительные приборы не учитываем), то протекает один ток.

выполняем п. 2.2.2

Находим сопротивления реактивных элементов

выполняем п. 2.2.3

П олное комплексное сопротивление цепи относительно зажимов источника

Запишем сопротивления элементов в комплексной форме: , – активные; , – индуктивные; , – емкостные.

выполняем п. 2.2.4

Определим ток на входе цепи . Здесь возможны два варианта вычисления:

1. вычисление в тригонометрической форме

1. вычисление в показательной форме

выполняем п. 2.2.5

Найдем напряжения на участках:

выполняем п. 2.2.6

П остроим векторную диаграмму в масштабе. Масштабы выбираются после анализа рассчитанных величин токов и напряжений. Масштаб тока принимаем m_i=1А/см, масштаб напряжения принимаем m_u=20В/см. При построении векторной диаграммы необходимо наглядно подтвердить выполнение законов Кирхгофа. Для рассматриваемой цепи справедлив 2-ой закон Кирхгофа .

Из векторной диаграммы следует, что второй закон Кирхгофа для рассчитанной цепи выполняется. Кроме того, фазовые сдвиги на элементах соответствуют установленным правилам. Следовательно, расчет тока и напряжений выполнен верно.

Пункты 2.2.1-2.2.6 соответствуют п. «а» и «б» задания. Выполним п. «в» и «г».

Рассчитаем активную, реактивную и полную мощность на входе цепи одним из двух способов:

1. в комплексной форме , где — сопряженный комплекс тока;
2. по действующим значениям , Вт; , ВАР; , ВА, где φ – фазовый сдвиг между током и напряжением.

Пример расчета в комплексной форме:

ВА, где Р = 330 Вт, Q = -381 ВАР, 503 ВА.

Измерительные приборы на переменном токе, как правило, определяют действующие значения.

Амперметр измеряет действующее значение входного тока А. Вольтметр измеряет действующее значение напряжения на участке 3-4-5 заданной цепи. Найдем комплексное напряжение на участке 3-4-5: В, откуда В.

3.2. Методика расчета трехфазных электрических цепей переменного тока

3.2.1. Методика расчета трехфазных электрических цепей переменного тока при соединении потребителей звездой

В цепи, изображенной на схеме (рис. 3.1), потребители трехфазного тока соединены звездой.

Известно линейное напряжение и сопротивления фаз:

, ,,,,.

Определить полные сопротивления фаз, фазные токи и ток в ней­тральном проводе, активную, реактивную и полную мощности каждой фазы и всей цепи.

Дано: , ,,,,,.

Определить:

Графоаналитический метод расчета

(расчет с применением векторных диаграмм)

1. При соединении звездой , поэтому

_{Так как есть нейтральный провод, то}

1. Вычисляем сопротивление фаз и углы φ определяем по диаграммам сопротивлений.

; ; -в фазе А напряжение отстает от тока на 60°. ; ; — в фазе В напряжение опережает ток на 60° ; -в фазе С напряжение отстает от тока на 90°, т. к. в цепь включен конденсатор.

1. Фазные токи можно определить следующим образом:

; ; .

1. Чтобы вычислить ток в нейтральном проводе, нужно построить векторную диаграмму цепи.

На векторной диаграмме под углом 120° друг относительно друга строятся векторы фазных напряжений одинаковой длины. Векторы фазных токов строятся в масштабе под вычисленными углами φ по отношению к фазным напряжениям. В фазе А нагрузка носит емкостный характер, значит, ток опережает напряжениена угол. В фазе В нагрузка носит индуктивный характер, следовательно, ток отстает от напряжениянa угол . В фазе С нагрузка емкостная, следовательно, ток опережает на­пряжениена угол. — масштаб. Ток в нейтральном проводе равен геометрической (векторной) сумме фазных токов: Рис. 3.2 Измерив длину вектора , находим ток

1. Определим активные мощности фаз:

1. Активная мощность трехфазной цепи:

1. Определяем реактивные мощности фаз:

1. Реактивная мощность трехфазной цепи:

1. Вычисляем полную мощность каждой фазы и всей цепи:

Символический метод расчета Строгий аналитический расчет трехфазных цепей производится сим­волическим методом, т. е. в комплексной форме.

1. Выразим в комплексной форме фазные напряжения:

1. Выразим сопротивления фаз в комплексной форме:

Переведем комплексные сопротивления фаз из алгебраической формы в показательную: где — полное сопротивление фазыА; — угол сдвига фаз между током и напряжением в фазе А. Аналогично определяем: где ,. где ,.

1. Находим комплексы фазных токов:

модуль , аргумент, модуль , аргумент, модуль , аргумент. Находим алгебраическую форму записи комплексов фазных токов:

1. Вычисляем ток в нейтральном проводе:

модуль , аргумент.

1. Вычисляем мощности фаз и всей цепи:

где где где тогда где

3.2.2. Методика расчета трехфазных электрических цепей переменного тока при соединении треугольником

В цепи, изображенной на схеме (рис. 3.3), потребители соединены треугольником. Известно линейное напряжение и сопротивления фаз.Определить фазные, линейные токи, мощности активные, реактивные, полные мощности каждой фазы и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи. Дано: ,. Определить:,,,,,,При соединении трехфазной цепи треугольником расчет будем вести Рис. 3.3 символическим метолом.

1. Модули фазных напряжений при соединении треугольником равны линейным напряжениям

, то есть . Комплексы данных напряжений запишем из условия, что вектор совмещен с действительной осью комплексной плоскости

1. Вычислим комплексы фазных сопротивлений:

где где где

1. Определяем фазные токи:

модуль ,; модуль ,; модуль ,.

1. Находим линейные токи из уравнений, записанных по первому за­кону Кирхгофа для узлов В, А, С (рис. 3.3).

модуль , аргумент; модуль , аргумент; модуль , аргумент.

1. Вычисляем мощности каждой фазы и всей цепи:

, где , где , где где

1. Строим в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов.

Векторы фазных токов строятся под угламик действительной оси. К концам векторов пристраиваются отрицательные фазные токи согласно уравнениям: ; ; . Замыкающие векторные треугольники векторов представляют в выбранном масштабе линейные токи. Выбираем масштаб: Рис. 3.4

1. Результаты расчетов занесем в соответствующие таблицы

Результаты расчета токов

Фазные и линейные токи	Алгебраическая форма, А	Показательная форма, А	Действующее значение, А

Расчет цепей переменного тока

Любой ток изменяющийся по величине является переменным. Но на практике под переменным током понимают такой ток, закон изменения которого во времени есть синусоидальная функция.

Математическое выражение для синусоидального тока можно записать в виде:

где, i — мгновенное значение тока, показывающее величину тока в конкретный момент времени, Im — амплитудное (максимальное) значение тока, выражение в скобках есть фаза, которая определяет значение тока в момент времени t, f — частота переменного тока, это величина, обратная периоду изменения синусоидальной величины Т, ω — угловая частота, ω = 2πf = 2π / T , α — начальная фаза, показывает значение фазы в момент времени t = 0.

Аналогичное выражение можно записать и для синусоидального переменного напряжения:

Мгновенные значения тока и напряжения условились обозначать строчными латинскими буквами i, u, а максимальные (амплитудные) значения – прописными печатными латинскими буквами I, U с индексом m.

Для измерения величины переменного тока чаще всего используют действующее (эффективное) значение , которое численно равно такому постоянному току, который за период переменного выделяет в нагрузке такое же количество тепла, что и переменный ток.

Действующее значение переменного тока :

Для обозначения действующих значений тока и напряжения используют прописные печатные латинские буквы I, U без индекса.

В цепях синусоидального тока между амплитудным и действующим значениями существует взаимосвязь:

В цепях переменного тока изменение во времени питающего напряжения влечёт за собой изменение тока, а также магнитного и электрического полей, связанных с цепью. Результатом этих изменений является возникновение ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции в цепях с катушками индуктивности, а в цепях с конденсаторами появляются зарядные и разрядные токи, которые создают сдвиг по фазе между напряжениями и токами в таких цепях.

Отмеченные физические процессы учитывают введением реактивных сопротивлений , в которых, в отличие от активных, не происходит превращение электрической энергии в другие виды энергии. Наличие тока в реактивном элементе объясняется периодическим обменом энергией между таким элементом и сетью. Все это усложняет расчёт цепей переменного тока, так как приходится определять не только величину тока, но и его угол сдвига по отношению к напряжению.

Все основные законы цепей постоянного тока справедливы и для цепей переменного тока, но только для мгновенных значений или значений в векторной (комплексной) форме. На основе этих законов можно составить уравнения, позволяющие осуществить расчёт цепи.

Как правило, целью расчёта цепи переменного тока является определение токов, напряжений, углов сдвига фаз и мощностей на отдельных участках . При составлении уравнений для расчёта таких цепей выбирают условные положительные направления ЭДС, напряжений и токов. Получаемые уравнения для мгновенных значений в установившемся режиме и синусоидальном входном напряжении будут содержать синусоидальные функции времени.

Аналитический расчёт тригонометрических уравнений неудобен, требует значительных затрат времени и поэтому не находит широкого распространения в электротехнике. Упростить анализ цепи переменного тока можно, используя тот факт, что синусоидальную функцию можно условно изобразить вектором, а вектор, в свою очередь, можно записать в виде комплексного числа .

Комплексным числом называют выражение вида:

где a – вещественная (действительная) часть комплексного числа, j – мнимая единица, b – мнимая часть, A – модуль, α – аргумент, e – основание натурального логарифма.

Первое выражение представляет собой алгебраическую форму записи комплексного числа, второе – показательную, а третье – тригонометрическую. Для отличия, в комплексной форме записи подчеркивают букву, обозначающую электрический параметр.

Метод расчёта цепи, основанный на применении комплексных чисел, называется символическим методом . В символическом методе расчета все реальные параметры электрической цепи заменяют символами в комплексной форме записи. После замены реальных параметров цепи на их комплексные символы расчет цепей переменного тока выполняют методами, которые применяли для расчета цепей постоянного тока. Отличие состоит в том, что все математические операции необходимо выполнять с комплексными числами.

В результате расчета электрической цепи искомые токи и напряжения получаются в виде комплексных чисел. Реальные действующие значения тока или напряжения равны модулю соответствующего комплекса, а аргумент комплексного числа показывает угол поворота вектора на комплексной плоскости по отношению к положительному направлению вещественной оси. При положительном аргументе вектор поворачивается против часовой стрелки, а в случае отрицательного аргумента – по часовой.

Завершают расчёт цепи переменного тока, как правило, составлением баланса активных и реактивных мощностей, который позволяет проверить правильность вычислений.

Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети: