От чего зависит максимальное значение переменной эдс

2.5 Максимальное, среднее и действующее значения синусоидальных эдс. Напряжений и токов

В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС напряжения и токи также синусоидальные:

где w — угловая частота; ¥_u и ¥_i; — начальные фазы напряжения и тока; U_m и I_m— — максимальные значения (амплитуды) напряжения и тока.

Средним значением синусоидальной величины (ЭДС, тока, напря­жения) считают ее среднее значение за положительный полупериод, совпадающее со средним значением по модулю. Например, для тока вычислим среднее значение, выбрав начальную фазу равной нулю:

Аналогично для ЭДС и напряжения

Синусоидальный ток в резистивном элементе с сопротивлением г вызывает нагрев этого элемента из-за выделения тепловой энергии. Такую же тепловую энергию в этом же резистивном элементе можно получить при некотором постоянном токе. Определенное посредством такого сравнения значение постоянного тока называется действующим

значением соответствующего синусоидального тока. Например, если синусоидальный ток нагревает некоторый резистивный элемент так же, как его нагрел бы постоянный ток 5 А, то действующее значение сину­соидального тока равно 5 А,

При синусоидальном токе за один период Т в резистивном элементе с сопротивлением г выделяется тепловая энергия, Дж:

где I — мгновенное значение синусоидального тока.

Согласно определению действующего значения синусоидального тока такое же количество тепловой энергии в том же резистивном

элементе должно выделяться при постоян­ном токе за тот же интервал времени Т:

откуда находим искомое действующее значение» синусоидального тока:

Таким образом, действующее значение синусоидального тока опре­деляется как среднее квадратичное за период. На рис. 2.9 показаны синусоидальный ток i, изменение во времени квадрата тока i 2 и графическое определение значения I 2 (из равенства площадей I 2 T=i 2 dt), а тем самым и действующего значения I.

Для синусоидального тока нетрудно определить действующее зна­чение через амплитудное:

Следовательно, действующее значение синусоидального тока меньше его амплитуды в  раз.

Аналогично определяется действующее значение синусоидального напряжения. Тепловая энергия, выделяемая в резистивном элементе с проводимостью q = 1 /г за время Т при постоянном напряжении,

при синусоидальном напряжения

На основании сопоставления этих двух выражений определяется действующее значение синусоидального напряжения:

Аналогично для любой другой синусоидальной величины (ЭДС, магнитного потока, заряда и т.д.) действующее значение

Действующее значение выбрано в качестве основной характерис­тики синусоидального тока потому, что в большом числе случаев дей­ствие тока пропорционально квадрату этого значения, например тепло­вое действие и сила взаимодействия прямого и обратного проводов двухпроводной линии. Электроизмерительные приборы ряда систем (тепловые, электродинамические, электромагнитные и электростати­ческие) пригодны для измерения как постоянного, так и синусоидаль­ного токов; проградуированные при постоянном токе и включенные в цепь синусоидального тока, они показывают действующее значение последнего.

При расчете изоляции важно учесть, что дважды в течение периода мгновенное значение синусоидального напряжения больше действую­щего значения в раз. Следовательно, изоляция в установке синусо­идального тока находится в менее благоприятных условиях, чем изоля­ция в аналогичной установке постоянного тока. Это одна из причин, по которым для сверхдальних передач электроэнергии в настоящее время стремятся применять постоянный ток высокого напряжения (проектируются линии передачи с напряжением 1500 кВ).

У вас большие запросы!

Точнее, от вашего браузера их поступает слишком много, и сервер VK забил тревогу.

Эта страница была загружена по HTTP, вместо безопасного HTTPS, а значит телепортации обратно не будет.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы отключили сохранение Cookies, а они нужны, чтобы решить проблему.

Почему-то страница не получила всех данных, а без них она не работает.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы вернётесь на предыдущую страницу через 5 секунд.
Вернуться назад

У вас большие запросы!

Точнее, от вашего браузера их поступает слишком много, и сервер VK забил тревогу.

Эта страница была загружена по HTTP, вместо безопасного HTTPS, а значит телепортации обратно не будет.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы отключили сохранение Cookies, а они нужны, чтобы решить проблему.

Почему-то страница не получила всех данных, а без них она не работает.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы вернётесь на предыдущую страницу через 5 секунд.
Вернуться назад

1.4 Среднее и действующее значения токов

Для переменных токов, напряжений и ЭДС до сих пор мы пользовались двумя характеристиками их величин, а именно – мгновенными и максимальными значениями. В технике переменные токи, напряжения и ЭДС характеризуются еще средними и действующими (эффективными) значениями.

Среднее значение переменной синусоидальной величины за период равно, нулю. Поэтому, когда говорят о среднем значении синусоидальной величины, имеют в виду среднее значение за половину периода.

Среднее значение синусоидального тока (I_ср) за полупериод равно величине такого постоянного тока, при котором в течение полупериода через поперечное сечение проводника проходит то же количество электричества Q, что и при переменном токе.

Следовательно, между средним и максимальным значениями синусоидального тока существует простое соотношение:

.

Аналогичные соотношения справедливы для напряжения и ЭДС.

Графическая связь между средним и амплитудным значениями за показана на рисунке 1.6. Построим прямоугольник с основанием Т/2 и площадью, равной площади, заключенной между кривой и горизонтальной осью. Высота прямоугольника будет представлять среднее значение тока за полпериода.

Рисунок 1.6 – Среднее значение синусоидального тока

за половину периода и за период

Для сравнения действий постоянного и переменного токов вводят понятие действующего значения переменного тока.

Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором за время, равное одному периоду, в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе.

Количество тепла, выделенное постоянным током в сопротивлении R за время, равное периоду переменного тока:

.

Количество тепла, выделенное переменным током в том же сопротивлении за время dt:

,

а за период Т:

Приравнивая эти выражения получим:

откуда действующее значение синусоидального тока

=

Такое же соотношение справедливо для действующих значений любых синусоидальных величин:

Действующие значения обозначаются прописными буквами без индекса, т.е. действующее значение тока – I, напряжения – U, ЭДС – Е. Именно действующие значения тока или напряжения обычно указывают на шкалах измерительных приборов.

Так как действующие значения синусоидальных токов, напряжений и ЭДС пропорциональны амплитудным значениям этих величин, то вектор, выражающий в одном масштабе амплитудное значение, в другом масштабе представляет действующее значение той же величины. В дальнейшем при определении масштабов векторов мы будем иметь в виду их действующие значения.

1.5 Изображения синусоидальных функций

комплексными числами

Развитие электротехники потребовало разработки инженерного метода расчета электрических цепей, позволяющего использовать уже хорошо известные приемы расчета сложных цепей постоянного тока для цепей переменного тока. Таким методом расчета стал символический метод, поскольку он основан на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами.

Комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости. Проекция этого вектора на действительную (горизонтальную) ось равна его действительной (Re) части Аʹ, а проекция на мнимую (вертикальную) ось – мнимой (Im) части Aʹʹ (рисунок 1.7).

Рисунок 1.7 – Разложение вектора на составляющие

Положительные направления осей отметим знаками + и +j. Таким образом, в символической форме вектор будет:

. (1.11)

Причем, составляющая вектора по мнимой оси выделяется посредством особого множителя – символа .

Если некоторый вектор , направленный по действительной оси, умножить на j, то вектор будет повёрнут относительно на 90 о против часовой стрелки (т.е. в положительную сторону). Значит, мы тем самым рассматриваем число как поворотный множитель, умножение на который равносильно повороту вектора (без изменения его длины) на угол 90 о или в положительном направлении, т.е. против направления движения часовой стрелки. Повторное умножение на j соответствует повороту вектора на угол в положительном направлении, такой поворот эквивалентен перемене знака вектором: . Третье умножение на действительного числа дает отрицательное мнимое число:, а вектор располагается вдоль отрицательной полуоси мнимых величин. Наконец, четвертый поворот возвращает вектор в исходное положение.

В зависимости от знаков чисел и вектор может оказаться в любой четверти системы координат. Длина, или модуль вектора, не зависит от знаков чисел и и определяется по теореме Пифагора, так как и – катеты прямоугольного треугольника, а А – его гипотенуза (рисунок 1.7):

(1.12)

Угол α, образуемый вектором и действительной положительной полуосью, можно найти, учитывая положение вектора на комплексной плоскости:

I) Если вектор располагается в первой четверти комплексной плоскости, как на рисунке 1.8-I, т.е. и , то α = arccos

II) Если вектор располагается во второй четверти комплексной плоскости (рисунок 1.8-II), т.е. и , то угол α следует определять через сопряженный угол β: α = 180 0 β, где β = arccos

III) Если вектор располагается в третьей четверти комплексной плоскости (рисунок 1.8-III), т.е. и , то угол α определяют, как и во втором случае, через сопряженный угол β: α = (180 0 β), где β = arccos .

I V) Если же вектор расположен в четвертой четверти комплексной плоскости (рисунок 1.8-IV), т.е. и , то α = arccos .

Рисунок 1.8 – Определение угла α

Угол α называется аргументом вектора . Следует помнить, что угол имеет положительный знак, если он отложен от действительной положительной полуоси в направлении, противоположном ходу часовой стрелки. Отрицательный угол откладывается от действительной положительной полуоси по ходу часовой стрелки.

Таким образом, вектор, изображающий комплексное число, можно задать действительной и мнимой частями или значениями модуля и аргумента. При расчетах цепей применяют различные формы представления комплексных чисел:

1) алгебраическая форма: .

2) тригонометрическая форма записи комплексного числа (образуется из алгебраической с учетом того, что и ):

где – длина, или модуль вектора;

α – аргумент вектора, или угол, образуемый вектором и действительной положительной полуосью.

3) показательная форма (на основании формулы Эйлера тригонометрическую форму преобразуем в показательную):

Для сложения и вычитания комплексных чисел их следует представить в алгебраической форме. При этом сумма двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная и мнимая части которого равны алгебраической сумме соответствующих частей слагаемых:

(1.15)

Геометрически этому соответствует известное из векторной алгебры правило сложения векторов. Вычитание есть действие, обратное сложению, и аналитически выражает обычное геометрическое вычитание векторов:

(1.16)

Умножение и деление комплексных величин, или, как говорят, комплексов, проще всего выполнить, когда они представлены в показательной форме. При умножении модули чисел перемножаются, а аргументы складываются. Рассмотрим несколько частных случаев:

1 Если один из комплексов – положительное действительное число , то в результате перемножения комплекса и числа b получится вектор, направленный вдоль вектора с модулем : .

2 Если вектор умножается на вектор , модуль которого равен 1, т.е. на , то получается вектор с модулем, равным модулю вектора , но с аргументом, отличающимся на величину β.

3 Если сомножители имеют одинаковые модули и равные по величине, но противоположные по знаку аргументы, то их произведение равно квадрату модуля сомножителей:

Два таких комплекса называют сопряженными и обозначают:

и .

Векторы, соответствующие сопряженным комплексам расположены зеркально относительно действительной оси, так как у сопряженных комплексов противоположные знаки аргументов.

4 Если произведение двух комплексов равно единице, то сомножителями являются комплексы: и , которые называются обратными.

Комплексные величины можно также дифференцировать и интегрировать. При дифференцировании j считают постоянным числом, таким образом, производная от комплексной величины определяется выражением:

Геометрически дифференцирование сводится к повороту вектора на угол 90 0 против часовой стрелки.

Интегрирование дает следующий результат:

Этот результат говорит о том, что исходный вектор поворачивается на угол -90 0 (т.е. по ходу часовой стрелки), модуль вектора уменьшается в ω раз.

При расчете цепей переменного тока в качестве модуля вектора тока (или напряжения) выбирается действующее значение соответствующей величины. На комплексной плоскости действующее значение переменной величины изображается неподвижным вектором, например:

так как множитель принимают равным единице, т.е. рассматривают значения токов и напряжений в начальный момент времени t=0. В дальнейшем комплексные значения тока и напряжения будем для краткости именовать комплексными токами и напряжениями.

При построении векторной диаграммы на комплексной плоскости для одноименных величин (например, токов) выбирается единый масштаб, векторы других величин (напряжений, ЭДС) можно строить в других масштабах.

Строить вектор можно двумя способами:

1) определить положение точки на комплексной плоскости, используя значения мнимой и действительной части комплексного числа, и соединить найденную точку с началом координат;

2) отложить в положительном направлении (против часовой стрелки) от положительной вещественной полуоси угол, равный начальной фазе переменной величины. Из начала координат отложить под этим углом в принятом масштабе вектор переменной величины.

Символический метод является формальным переводом геометрических операций над векторами на язык комплексных чисел, вследствие чего все законы и методы расчета, полученные для цепей постоянного тока, могут применяться и для цепей переменного тока. Цепь постоянного тока можно рассматривать как частный случай цепей переменного тока.