Все формулы для треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
a , b , c — стороны произвольного треугольника
α , β , γ — противоположные углы
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
a , b — катеты
c — гипотенуза
α , β — острые углы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
b — сторона (основание)
a — равные стороны
α — углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания), (b ):
Формулы длины равных сторон , (a):
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
H — высота треугольника
a — сторона, основание
b, c — стороны
β , γ — углы при основании
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
5. Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
H — высота из прямого угла
a, b — катеты
с — гипотенуза
c 1 , c 2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α , β — углы при гипотенузе
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, ( H ):
Формула длины высоты через катет и угол, ( H ):
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , ( H ):
6. Найти длину биссектрисы в треугольнике
L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам
a, b — стороны треугольника
с — сторона на которую опущена биссектриса
d, e — отрезки полученные делением биссектрисы
γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам
p — полупериметр, p =(a+b+ c )/2
Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):
Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):
Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):
Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e , ( L ):
Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.
7. Биссектриса прямоугольного треугольника
1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:
L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)
a, b — катеты прямоугольного треугольника
с — гипотенуза
α — угол прилежащий к гипотенузе
Формула длины биссектрисы через катеты, ( L ):
Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L ):
2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:
L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла
a, b — катеты прямоугольного треугольника
с — гипотенуза
α , β — углы прилежащие к гипотенузе
Формулы длины биссектрисы через катет и угол, ( L ):
Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, ( L ):
8. Длина биссектрисы равнобедренного треугольника
L — высота = биссектриса = медиана
a — одинаковые стороны треугольника
b — основание
α — равные углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, ( L ):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, ( L ):
9. Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника
Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.
В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.
L — высота=биссектриса=медиана
a — сторона треугольника
Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, ( L ):
10. Найти длину медианы треугольника по формулам
Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.
Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.
M — медиана, отрезок |AO|
c — сторона на которую ложится медиана
a, b — стороны треугольника
γ — угол CAB
Формула длины медианы через три стороны, ( M ):
Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):
11. Длина медианы прямоугольного треугольника
Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c , пополам.
Медиана в прямоугольном треугольнике ( M ), равна, радиусу описанной окружности ( R ).
M — медиана
R — радиус описанной окружности
O — центр описанной окружности
с — гипотенуза
a, b — катеты
α — острый угол CAB
Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, ( M ):
Формула длины через катеты, ( M ):
Формула длины через катет и острый угол, ( M ):
Формулы площадей всех основных фигур
Зная диаметр или радиус круга, можно найти его площадь.
r — радиус круга
D — диаметр
Формула площади круга, (S):
2. Формула расчета площади треугольника
h — высота треугольника
a — основание
Площадь треугольника (S):
3. Площадь треугольника, формула Герона
a , b , c , — стороны треугольника
p— полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):
4. Площадь прямоугольного треугольника по катетам
Зная катеты прямоугольного треугольника, можно по формуле, найти его площадь.
a , b — катеты треугольника
Формула площади прямоугольного треугольника, (S):
5. Как вычислить площадь равнобедренного треугольника ?
b — основание треугольника
a — равные стороны
h — высота
Формула площади треугольника через высоту h и основание b , ( S ):
Формула площади треугольника через, стороны a , b , (S):
6. Площадь равностороннего треугольника равна:
Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.
a — сторона треугольника
h — высота
Площадь треугольника только через сторону a , (S):
Площадь треугольника только через высоту h , ( S ):
Площадь треугольника через сторону a и высоту h , (S):
7. Найти площадь треугольника, угол и две стороны
Зная у треугольника, две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь.
a , b , c — стороны треугольника
α , β , γ — углы
Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, ( S ):
8. Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.
a , b , c — стороны треугольника
α , β , γ — противолежащие углы
Площадь треугольника через сторону и два угла (S):
9. Формула расчета площади прямоугольника
b — длина прямоугольника
a — ширина
Формула площади прямоугольника, (S):
10. Как рассчитать площадь квадрата через диагональ или сторону
a — сторона квадрата
c — диагональ
Формула площади квадрата через сторону a , (S):
Формула площади квадрата через диагональ c , (S):
11. Формулы площади параллелограмма
1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы
a, b — стороны параллелограмма
α , β — углы параллелограмма
Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):
2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
a, b — стороны параллелограмма
H b — высота на сторону b
H a — высота на сторону a
Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):
3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α , β — углы между диагоналями
Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , (S):
12. Площадь произвольной трапеции
1. Формула площади трапеции через основания и высоту
b — верхнее основание
a — нижнее основание
m — средняя линия
h — высота трапеции
Формула площади трапеции, (S):
2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними
d 1, d 2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
Формула площади трапеции, (S):
3. Формула площади трапеции через четыре стороны
b — верхнее основание
a — нижнее основание
c, d — боковые стороны
Формула площади трапеции, (S):
13. Площадь равнобедренной трапеции
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
b — верхнее основание
a — нижнее основание
c — равные боковые стороны
α — угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности
R — радиус вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности
O — центр вписанной окружности
H — высота трапеции
α , β — углы трапеции
Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d — диагональ трапеции
α , β — углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
m — средняя линия трапеции
c — боковая сторона
α , β — углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
b — верхнее основание
a — нижнее основание
h — высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
Математика
Урок 1: Формулы. Площадь.Формула площади прямоугольника
- Видео
- Тренажер
- Теория
Формулы. Площадь. Формула площади прямоугольника.
В математике существуют буквенные выражения, которые определяют зависимость между физическими величинами. Такая зависимость называется формулой.
Физические величины – это путь, время, скорость, периметр, площадь и другие.
Если обозначить каждую величину определенной буквой, то для них можно записать формулы.
Обозначим скорость буквой v,
Пусть скорость постоянна. Чтобы найти путь, нужно скорость умножить на время. Соответствующая формула: S = vt .
Следовательно, чтобы найти скорость, нужно путь разделить на время: v = S : t . А чтобы найти время, нужно путь разделить на скорость: t = S : v .
Периметр – это сумма всех сторон фигуры. У квадрата четыре одинаковые стороны, значит, его периметр можно найти по формуле P = a + a + a + a = 4 a , где a – длина стороны. У прямоугольника две пары одинаковых сторон, значит, его периметр можно найти по формуле P = a + a + b + b = 2 a + 2 b = 2 ( a + b ) , где a и b – длины соседних сторон.
Площадь прямоугольника – это произведение длин двух соседних сторон. Формула S = a * b . Так как у квадрата все стороны одинаковы, его площадь можно найти по формуле S = a * a = a 2 .
Две фигуры называются равными, если они совпадают при наложении. Площади и периметры равных фигур равны.
Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.
С помощью формул можно решать разные задачи.
Задача 1. Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч. Какое расстояние он проедет за 4 ч?
Решение: S = v * t = 15 * 4 = 60 км.
Задача 2. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. За какое время он пройдет путь в 600км?
Решение: t = S : v = 600 : 60 = 10 ч.
Задача 3. С какой скоростью должен идти человек, чтобы пройти 24 км за 4 ч?
Решение: v = S : t = 24 : 4 = 6 км/ч
Задача 4. Длина прямоугольника 4 дм, ширина 3 дм. Найдите периметр прямоугольника.
P = 2 a + b = 2 4 + 3 = 2 * 7 = 14 дм.
Все формулы объемов геометрических тел
2. Найти по формуле, объем прямоугольного параллелепипеда
a , b , c — стороны параллелепипеда
Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.
Формула объема параллелепипеда, (V):
3. Формула для вычисления объема шара, сферы
R — радиус шара
По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V):
4. Как вычислить объем цилиндра ?
h — высота цилиндра
r — радиус основания
По формуле найти объема цилиндра, есди известны — его радиус основания и высота, (V):
5. Как найти объем конуса ?
R — радиус основания
H — высота конуса
Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V):
7. Формула объема усеченного конуса
r — радиус верхнего основания
R — радиус нижнего основания
h — высота конуса
Формула объема усеченного конуса, если известны — радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса (V ):
8. Объем правильного тетраэдра
Правильный тетраэдр — пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.
а — ребро тетраэдра
Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V):
9. Объем правильной четырехугольной пирамиды
Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.
a — сторона основания
h — высота пирамиды
Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V):
10. Объем правильной треугольной пирамиды
Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.
a — сторона основания
h — высота пирамиды
Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны — высота и сторона основания (V):
11. Найти объем правильной пирамиды
Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.
h — высота пирамиды
a — сторона основания пирамиды
n — количество сторон многоугольника в основании
Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V):