Запас устойчивости как найти

5.5 Определение запасов устойчивости

Определить запасы устойчивости по амплитуде и по фазе, используя критерий Найквиста и логарифмический критерий.

Запас устойчивости по амплитуде — это минимальный отрезок действительной оси h, характеризующий расстояние между критической точкой (-1, j0) и ближайшей точкой пересечения годографом Найквиста вещественной оси.

Запас устойчивости по фазе  — это минимальный угол, образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа Найквиста с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат и вещественной отрицательной полуосью

Рисунок. 17. Запасы устойчивости САР по критерию Найквиста

Определение запасов устойчивости по логарифмическому критерию.

Запас устойчивости по амплитуде характеризует отрезок при том значении частоты, при котором ЛФЧХ ( )= —. Запасу устойчивости по фазе соответствует угол между ЛФЧХ и линией —при частоте среза.

Рисунок18. Запасы устойчивости САР по логарифмическому критерию

6. Синтез системы автоматического управления методом логарифмических частотных характеристик.

Meтод ЛЧХ является одним из наиболее распространенных методов синтеза автоматического управления, так как построение ЛЧХ, как правило, может выполняться практически без вычислительной работы. Особенно удобно использовать асимптотические «идеальные» ЛАЧХ.

Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции;

1. Построение ЛАЧХ неизменяемой части системы.

Неизменяемая часть системы регулирования содержит объект регулирования и исполнительный элемент, а также основной элемент обратной связи и элемент сравнения ЛАЧХ неизменяемой части строят по передаточной функции разомкнутой неизменяемой части системы.

2. Построение желаемой части ЛАЧХ.

График желаемой ЛАЧХ делается на основе тех требований, которые предъяв­ляются к проектируемой системе управления. Желаемую ЛАЧХ Lж условно можно разделить на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

2.1 Низкочастотную часть определяет статическую точность системы, точность в установившихся режимах. В статической системе низкочастотная асимптота параллельна оси абсцисс. В астатической системе наклон этой асим­птоты составляет –20мдБ/дек, где — порядок астатизма (=1,2). Ордината низко­частотной частиLж определяется значением передаточного коэффициента К ра­зомкнутой системы. Чем шире низкочастотная часть Lж, тем больше высоких частот воспроизводится системой без замкнутого ослабления.

2.2 Среднечастотная часть является наиболее важной, так как она определяет устойчивость, запас устойчивости и, следовательно, качество переходных процес­сов, оцениваемое обычно показателями качества переходной характеристики. Основные параметры среднечастотной асимптоты -это её наклон и частота среза ср (частота при которойLж пересекает ось абсцисс). Чем больше наклон сред­нечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойст­ва системы. Поэтому наиболее целесообразен наклон -20дБ/ дек и крайне редко он превышает -40дБ /дек Частота срезаср определяет быстродействие системы, и значение величины перерегулирования. Чем большеср, тем выше быстро­действие, тем меньше время регулирования Тпп переходной характеристики, тем больше перерегулирование.

2.3 Высокочастотная часть ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Лучше иметь возможно больше наклон ее асимптоты, что уменьшает требуемую мощность исполнительного opгана и влияние высоко­частотных помех. Иногда при расчете высокочастотную ЛАЧХ не принимают во внимание.

При построении желаемой ЛАЧХ рекомендуется иметь наклон среднечастотной асимптоты -20дб/дек, а частоту среза и частоты, ограничиваю- щие среднечастотную асимптоту, иопределить по формулам (2;c 218)

где — коэффициент, зависящий от величины перерегулирования,

,должен быть выбран по графику приведенном на рисунке 1.

Рисунок 18- График для определения по допустимому перерегулированию коэффициента .

Ордината низкочастотной асимптоты определяется соответственно коэффици­

ентом усиления и наклоном высокочастотной асимптоты переходной, разомкну­той CAP.

3. Определение параметров корректирующего устройства.

3.1 График ЛАЧХ корректирующего устройства получается вычитанием из зна­чения графика желаемой ЛАЧХ значений графика неизменяемой, после чего по ЛАЧХ корректирующего устройства определяется его передаточная функция [1;с415].

3.2 По передаточной функции регулятора подбирается электрическая схема для реализации корректирующего устройства и рассчитываются значения её па­раметров. Схема регулятора может быть на пассивных или на актив­ных элементах.

3.3 Передаточная функция корректирующего устройства, полученная в пункте 3.1,включается в обобщенную структурную схему САУ Используя обобщенную структурную схему скорректированной САУ, с помощью ЭВМ, строятся графики переходных процессов, которые должны быть не хуже заданных.

6.Синтез системы автоматического управления методом логарифмических частотных характеристик.

9.4. Запас устойчивости

Определение устойчивости систем для заданных параметров, а также выбор некоторых параметров должны производиться с учетом запаса устойчивости. Требуемый запас устойчивости системы определяется рядом причин: идеализацией звеньев автоматической системы; погрешностью определения параметров (коэффициентов усиления, сопротивлений, емкостей, постоянных времени и др.) в ходе расчета или экспериментального исследования; случайными разбросами и отклонениями параметров из-за различных дестабилизирующих факторов (например, изменения температуры) и прочее. Применительно к системам радиоавтоматики одним из основных факторов, определяющих устойчивость, является нестабильность амплитуды принимаемого сигнала из-за меняющихся условий распространения, дальности до подвижного объекта и других причин.

Определяя запас устойчивости, обычно вводят понятие о запасе устойчивости по фазе и по амплитуде (по усилению). Оба эти запаса рассматриваются одновременно.

Формулировка запаса устойчивости зависит от выбранного критерия. При использовании критерия Найквиста запас устойчивости тем больше, чем дальше расположена АФХ от критической точки (рис. 9.4, а).

Запасом по фазе  называют угол, равный разности . Частота_ср, соответствующая вектору K_p(j_ср), имеющему модуль, равный единице, называется частотой среза разомкнутой системы.

Запас устойчивости по усилению К определяется величиной отрезка оси абсцисс, заключенного между критической точкой (–1, j0) и АФХ.

При использовании логарифмических характеристик запас по фазе  находят по кривой ЛФХ при _ср а запас по усилению L – по кривой ЛАХ при  = –  рад (рис. 9.4, б).

Для того, чтобы система обладала определённым запасом устойчивости, на графики ЛАХ и ЛФХ наносятся запретные области по заданным запасам K и . Эти области (рис. 9.5) представляют прямоугольники, ограниченные для ЛАХ горизонтальными линиями на расстоянии 201g (1+K) и 201g (1 – K) от оси абсцисс, а для ЛФХ – линиями ( – ) и ( +). Считается, что система обладает запасом по усилению и по фазе, если частотные характеристики не заходят в запретные области (на рисунке заштрихованы).

Численные значения L (или K) и , характеризующие запас устойчивости определяются обычно опытным путём для систем определённых классов. В радиоавтоматике принято считать достаточным запас по фазе  > /6 рад и по усилению L >6 дБ (или K>0,5). Такой выбор позволяет обеспечить и заданный характер переходного процесса.

Контрольные вопросы

1. Как записывается характеристическое уравнение замкнутой системы?

2. Сформулируйте общие требования к устойчивости системы.

3. Поясните использование критерия Гурвица для анализа устойчивости систем.

4. Как определяется критический коэффициент усиления разомкнутой системы? В чём его смысл?

5. Как формулируется критерий устойчивости Найквиста?

6. Как определяется устойчивость замкнутой системы при использовании логарифмических частотных характеристик?

7. Чем объясняется необходимость обеспечения запаса устойчивости? Как определяется запас устойчивости по АФХ и логарифмическим частотным характеристикам?

8. Какие системы называются структурно неустойчивыми? (Приведите примеры).

10. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости(-1, j0). Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте среза ω_с и критической частоте ω_кр . На частоте среза амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы |W(jω)| равна единице, а на критичес­кой частоте фазо-частотная характеристика этой системы φ(ω) принимает значение, равное -π.

Запас устойчивости по фазе Δφ показывает, насколько фазо-частотная характеристика разомкнутой системы на частоте среза ω_с отлича­ется от -π (рис. 3.9):

Δφ = π – .

Величина запаса устойчивости по усилению может быть определена на частоте ω_кр, как разность:

= 1 – |W(jω_кр)|,

либо как отношение

α = 1/ |W(jω_кр)

Во втором случае величина запаса устойчивости по усилению определяет, во сколько раз необходимо увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Системы, годографы W(jω) ко­торых пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, j0) (рис. 3.10, а), называют аб­солютно устойчивыми. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении коэффициента усиления.

Если годограф частотной характеристики W(jω) разомкну­той системы пересекает вещественную ось и слева от точ­ки с координатами (-1, j0), то систему называют услов­но устойчивой (рис. 3.10, б). Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.

Для нормальной работы САУ необходимо, что­бы запас устойчивости по усилению α был не менее двух, а запас устойчивости по фа­зе – от 0,5 до 1 рад.

Оценка устойчивости

Оценку устойчивости замкнутой САУ можно осуществлять по логарифмическим амлитудно- и фазо-частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии: L(ω) и φ(ω). В том случае, когда годограф W(jω) не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с коор­динатами (-1, j0), для устойчивости замкнутой сис­темы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

На рис. 3.11 приведены ЛАХ и ФЧХ устойчивых разомкнутых системы, одна из которых при замыкании остается устойчивой (рис. 3.11, а), а другая – становится неустойчивой (рис. 3.11, б).

По L(ω) и φ(ω) разомкнутой системы можно определить за­пасы устойчивости: запас по фазе Δφ отсчитывают по фазо-частотной характеристике на частоте среза ω_с, а запас устойчивости по усилению ΔL равен зна­чению ЛАХ на критической частоте ω_кр, взятому с обратным знаком, т.е. ΔL = |L(ω_кр)| (см. рис. 3.11, а).

Если ω_с = ω_кр, то система находится на границе устойчивости.

Если при некотором значении коэффициента усиления (k) замкнутая система устойчива с запасом устойчивости по усилению равным ΔL, то величина критического коэффициента усиления k_кр может быть вычислена по формуле:

20lg k_кр = 20lg k + ΔL.

Для оценки устойчивости условно устойчивых САУ реальных технических систем, имеющих обычно достаточно сложную форму, также можно воспользоваться понятием перехода.

При этом переходом называется пересечение графика φ(ω) с горизонтальной прямой -π, при условии, что на частоте, при которой φ(ω) = – π, ЛАХ положительна.

Правило определения знака перехода противоположно рассмотренному для W(jω): переход графика φ(ω) через уровень(- π) считается положительным, если при увеличении частоты ω пересечение этого уровня происходит снизу вверх, в противном случае переход считается отрицательным. Обозначим число положительных переходов m₊ , а число отрицательных переходов m_— .

В этом случае формулировка критерия устойчивости Найквиста: система в замк­нутом состоянии становится устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна m/2, т.е.m₊ m= m/2, (3.23)

где m – число правых полюсов разомкнутой системы.

Если число положительных переходов φ(ω) равно числу отрицательных, то система, устойчивая в разомкнутом состоянии , остается устойчивой при замыкании. На рис. 3.12 в качестве примера приведены логарифмические амлитудно- и фазо-частотные характеристики неустойчивой разомкнутой системы, имеющей два правых полюса . При замыкании такая система становится устойчивой, так как m₊ = 1, а m_— = 0, и условие (3.23) выполняется

Рекомендации для обеспечения запаса устойчивости, которые следуют из практики проектирования САУ:

 во-первых, для того чтобы в системе были обеспечены необ­ходимые запасы устойчивости, наклон ЛАХ в диапазоне частот, в котором расположена частота среза, должен быть равен -20 дБ/дек. Если в указанном частотном диапазоне наклон L(ω) равен -40 дБ/дек, обеспечить необходи­мый запас устойчивости по фазе затруднительно. При наклоне 0 дБ/дек система обладает чрезмерно большим запасом устойчивости по фа­зе и становится передемпфированной с длитель­ным переходным процессом:

 во-вторых, запас устойчиво­сти системы по фазе зависит от диапазона частот, в котором ЛАХ разомкнутой системы в области частоты среза имеет наклон -20 дБ/дек. Чем шире этот диапазон частот, тем выше запас устойчивости по фазе и наоборот.

Запас устойчивости

С помощью запаса устойчивости – количественной характеристики удаления устойчивости определенной системы от границы устойчивости, производится оценка устойчивости системы. Обеспечение запаса устойчивости является необходимым условием, т.к. при линеаризации уравнений искажаются количественные характеристики системы, существует погрешность описания параметров звеньев, которые входят в коэффициенты уравнения, с течением времени внутренние параметры системы могут изменяться под действием температуры, режима эксплуатации, старения и других факторов. Запас устойчивости расширяет диапазон изменения внутренних параметров системы до определенных значений и более подробно характеризует переходные процессы в системе. С учетом того, каким критерием устойчивости пользуются при расчете, определяется запас устойчивости. Например, используя критерий Найквиста, согласно которого устойчивость системы зависит от того, охватывает ли АФЧХ системы на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0), при расчете запаса устойчивости оценивают степень удаления АФЧХ от указанной точки. Различают запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде (модулю) равен расстоянию h на действительной оси, между точкой (-1; j0) и ближайшей точкой пересечения годографа АФЧХ с этой же осью. Графическое представление запаса устойчивости по амплитуде изображено на рисунке 77.

Рис.77. Графическое представление запаса устойчивости

В случае, если годограф АФЧХ имеет вид, изображенный на рисунке 78, запас устойчивости по модулю будет иметь два значения h ₁ и h ₂, равных расстояниям от точки

(-1; j0) до ближайших точек пересечения годографа АФЧХ с действительной осью.

Рис.78. АФЧХ системы с двумя значениями запаса устойчивости

Запасом устойчивости по фазе называется угол γ, который образует отрицательная часть действительной оси и единичный радиус окружности с центром в точке начала координат, проходящий через точку пересечения годографа с данной окружностью.

Допустимый запас устойчивости при заданных величинах запаса устойчивости по модулю и по фазе, представляет собой сектор на комплексной плоскости, включающий точку (-1; j0) и ограниченный допусками ±h и ±γ, причем годограф АФЧХ в указанный сектор заходить не должен, как представлено на рисунке 79.

Рис.79. Графическое представление допустимого запаса устойчивости

Рассчитывая устойчивость САУ с использованием ЛЧХ, величину запаса устойчивости по модулю принимают соответствующей отрезкам l_i = 20 lg h_i, при тех значениях частоты ω, когда ЛФЧХ φ (ω) = −π, а величину запаса устойчивости по фазе принимают равной величине угла, представляющего превышение ЛФЧХ над уровнем −π при частоте ω_с ( при L=0). Графическое представление запасов устойчивости по ЛЧХ приведены на рисунке 80.