В чем отличие аналоговых и цифровых фильтров

Сравнительная оценка цифровых и аналоговых линейных фильтров

Так как цифровой фильтр отличается от дискретного лишь способом представления отсчетов (в аналоговой или цифровой форме), то полученные ранее структурные схемы дискретных фильтров могут быть использованы и для цифровых фильтров (ЦФ), однако эти схемы будут являться условными, так как характеризуют лишь алгоритмы работы фильтров.

Реализация ЦФ может быть осуществлена двумя способами:

1) программный способ, когда алгоритм фильтрации реализуется в виде программы цифровой вычислительной машины.

Этот способ удобен при математическом моделировании фильтра на этапе полученных исследований или проектирования.

При технической реализации конкретного фильтра, работающего в полном масштабе времени, этот способ неэффективен (либо он дорог, либо не хватает быстродействия);

2) схемный способ, когда ЦФ реализуется в виде специального вычислителя или процессора.

Такой вариант предполагает использование стандартных элементов цифровой техники, обладающей высокой надежностью, быстродействием, малыми габаритами и массой.

ЦФ имеют ряд преимуществ перед аналоговыми:

— они не имеют реактивных элементов, поэтому нет проблем с точностью их изготовления и их стабильностью;

— характеристики ЦФ прогнозируются и реализуются с высокой точностью, так как зависят в основном от стабильности тактовой частоты, которая вырабатывается в высокостабильном кварцевом генераторе. Отсюда получение высокой добротности и чрезвычайно большой постоянной времени. Последняя особенно важна на сверхнизких частотах, где реализация аналоговых фильтров невозможна;

— характеристики цифрового фильтра легко изменяются в широких пределах путем изменения тактовой частоты;

— в цифровом фильтре возможно получение линейной ФЧХ;

— нет проблем согласования нагрузки;

— отсутствует дрейф нуля;

— ЦФ реализуется на стандартных элементах цифровой техники, причем несколько фильтров могут обслуживаться одним тактовым генератором, одним управляющим устройством и одним арифметическим блоком.

Отсюда высокая надежность, стабильность, малые габариты, вес. 1

В то же время ЦФ присуще характерные ошибки и погрешности, которые надо учитывать при проектировании и разработке:

— ошибки при временной дискретизации и восстановлении аналогового сигнала, о которых говорили ранее;

— ошибки, возникающие при амплитудном квантовании отсчетов воздействия и отсчетов импульсной характеристики, что объясняется ограниченной разрядностью АЦП (10-12 разрядов);

— ошибки округления, возникающие при перемножении многоразрядных чисел;

— ошибки, связанные с цифро-аналоговыми преобразованиями отсчетов отелика.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Понятие дискретной и цифровой линейной фильтрации аналогового сигнала

При этом надо выдерживать требования теоремы Котельникова:

Непосредственно в дискретном фильтре осуществляются необходимые линейные операции, преобразующие дискретный сигнал в дискретный сигнал .

Или по-другому совокупность отсчетов превращается в совокупность отсчетов .

Если отклик дискретного фильтра нужно получить в аналоговой форме, то можно преобразовать дискретные колебания в аналоговый сигнал . Эту операцию выполняет восстанавливающий фильтр ВФ – идеальный фильтр нижних частот, который работает по алгоритму ряда Котельникова.

Изобразим структурную схему дискретной линейной фильтрации:

При цифровой линейной фильтрации в отличие от дискретной происходит дополнительное преобразование отсчетов из аналоговой формы в цифровую.

Величины принимают лишь дискретные или квантованные значения, каждому из которых может быть поставлено в соответствие определенное число, в том числе выраженное в двоичным кодом.

АЦП превращает дискретный сигнал в цифровой.

Непосредственно в цифровом фильтре ЦФ осуществляется необходимая линейная операция, преобразующая совокупность отсчетов или преобразующая цифровой сигнал .

Если отклик необходимо получить в дискретной форме, то необходимо устройство ЦАП.

Если отклик требуется получить в аналоговой форме, то:

Изобразим структурную схему цифровой линейной фильтрации.

Поскольку дискретная и цифровая фильтрации отличаются лишь способом представления отсчетов можно в дальнейшем рассматривать дискретную и цифровую фильтрацию в общем виде.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

В чем отличие аналоговых и цифровых фильтров

Фильтр имеет свойство, позволяющее ему пропускать сигналы определенных частот, а сигналы других частот блокировать. Аналоговый фильтр для выполнения фильтрации или исключения определенных частот из проходящего сигнала использует активные или пассивные элементы. Простой пассивный аналоговый фильтр является 11С-схемой (КС-цепочкой), показанной на рис. 8.2. Эта схема является фильтром низких частот. Это означает, что он не пропускает на выход высокочастотные составляющие сигнала, поданного на его вход /(?).

Рис. 8.2. Пассивный фильтр низкой частоты

Поскольку фильтры в основном имеют отношение с частотами входного сигнала, большинство представлений фильтров относится к области частот. На рис. 8.2 показано, что фильтр позволяет низким частотам проходить через него, в то время как высокие частоты блокируются.

Важным приложением фильтров является аудио- и видеообработка. Поскольку большинство таких приложений реализуются вместе с цифровыми компьютерами, наиболее подходящим решением является использование цифровых технологий для фильтрации так, чтобы осуществление фильтрации и другие аудио- и видеообработки могли быть выполнены в той же самой цифровой системе.

Цифровой фильтр

Цифровой фильтр — в электронике любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и / или подавления определённых частот этого сигнала. В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны, соответственно передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов.

Преимуществами цифровых фильтров перед аналоговыми являются:

· Высокая точность (точность аналоговых фильтров ограничена допусками на элементы).

· Стабильность (в отличие от аналогового фильтра передаточная функция не зависит от дрейфа характеристик элементов).

· Гибкость настройки, лёгкость изменения.

· Компактность — аналоговый фильтр на очень низкую частоту (доли герца, например) потребовал бы чрезвычайно громоздких конденсаторов или индуктивностей.

Но также имеются и недостатки:

· Трудность работы с высокочастотными сигналами. Полоса частот ограничена частотой Найквиста, равной половине частоты дискретизации сигнала. Поэтому для высокочастотных сигналов применяют аналоговые фильтры, либо, если на высоких частотах нет полезного сигнала, сначала подавляют высокочастотные составляющие с помощью аналогового фильтра, затем обрабатывают сигнал цифровым фильтром.

· Трудность работы в реальном времени — вычисления должны быть завершены в течение периода дискретизации.

· Для большой точности и высокой скорости обработки сигналов требуется не только мощный процессор, но и дополнительное, возможно дорогостоящее, аппаратное обеспечение в виде высокоточных и быстрых аналого-цифровых преобразователей.

Аналого-цифровой преобразователь

Аналого-цифровой преобразователь — устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал). Обратное преобразование осуществляется при помощи цифро-аналогового преобразователя.

Как правило, аналого-цифровой преобразователь — электронное устройство, преобразующее напряжение в двоичный цифровой код. Тем не менее, некоторые неэлектронные устройства с цифровым выходом, следует также относить к этому виду, например, некоторые типы преобразователей угол-код. Простейшим одноразрядным двоичным преобразователем является компаратор.

Разрешение АЦП — минимальное изменение величины аналогового сигнала, которое может быть преобразовано данным прибором — связано с его разрядностью. В случае единичного измерения без учёта шумов разрешение напрямую определяется разрядностью преобразователя.

Разрядность АЦП характеризует количество дискретных значений, которые преобразователь может выдать на выходе. В двоичных приборах измеряется в битах, в троичных- в тритах. Например, двоичный 8-ми разрядный преобразователь способен выдать 256 дискретных значений (0…255), поскольку . Троичный 8-ми разрядный способен выдать 6561 дискретное значение, поскольку .

Частота преобразования обычно выражается в отсчетах в секунду. Современные АЦП могут иметь разрядность до 24 бит и скорость преобразования до миллиарда операций в секунду (конечно, не одновременно). Чем выше скорость и разрядность, тем труднее получить требуемые характеристики, тем дороже и сложнее преобразователь. Скорость преобразования и разрядность связаны друг с другом определенным образом, и мы можем повысить эффективную разрядность преобразования, пожертвовав скоростью.

Шум квантования — ошибки, возникающие при оцифровке аналогового сигнала. В зависимости от типа аналого-цифрового преобразования могут возникать из-за округления (до определённого разряда) сигнала или усечения (отбрасывания младших разрядов) сигнала.

Для обеспечения дискретизации синусоидального сигнала частотой 100 кГц с погрешностью 1% время преобразования АЦП должно быть равно 25 нс. В то же время с помощью такого быстродействующего АЦП принципиально можно дискретизировать сигналы, имеющие ширину спектра порядка 20 МГц. Таким образом, дискретизация с помощью самого прибора приводит к ощутимому расхождению требований между быстродействием АЦП и периодом дискретизации. Это расхождение может достигать 2…3 порядков и сильно удорожает и усложняет процесс дискретизации, так как даже для узкополосных сигналов требует достаточно быстродействующие преобразователи. Для относительно широкого класса быстро изменяющихся сигналов эту проблему решают с помощью устройств выборки-хранения, имеющих малое апертурное время.

Аналоговая и цифровая фильтрация в системах СДЦ

Наиболее простым фильтром подавления пассивных помех является череспериодный компенсатор (ЧПК), в котором осуществляется череспериодное вычитание сигнала, т.е. из отраженных сигналов, принимаемых в текущий период повторения, вычитаются сигналы, задержанные с помощью линии задержки (рис.6.22, а) на время г₃ = Т_п.

При вычитании сигналы неподвижных объектов, амплитуда которых за период повторения не изменяется, компенсируются, а сигналы движущихся объектов, амплитуда которых изменяется с доплеровской частотой F_v, дают на выходе компенсирующего устройства разность, величина которой определяется набегом фазы за период повторения Аф = 2nF_vT_u.

Нетрудно показать, что такой ЧПК представляет собой гребенчатый фильтр подавления. Действительно, функцию передачи можно записать в виде K(J) = -e i2nfT «.

Рис. 6.22. Структурная схема устройства ЧПК (о) и его АЧХ (б)

Умножив и разделив это выражение на 2je JnfT «, получим

Модуль функции передачи |Х»(/)| (рис. 6.22, б), являющийся АЧХ фильтра подавления, равен

Из формулы (6.23) видно, что |ЛГ(/)| обращается в нуль на частотах,

кратных F_n — 1 /Г_п. Таким образом, при периодическом сигнале мешающие отражения от неподвижных объектов будут полностью подавлены, поскольку имеют линии спектра как раз на частотах nF_n.

Рассмотрим зависимость частоты биений (пульсаций) от частоты Доплера. В случае наблюдения движущейся цели сигнал на выходе фазового детектора представляет собой последовательность видеоимпульсов промодулированных по амплитуде по гармоническому закону с частотой биений Fq (рис.6.23).

По определению имеем

т.е. зависимость Fq =J(F„) имеет линейный характер Fq = F_a. Это

справедливо до тех пор, пока F_a Fq в функции от частоты Доплера F_a имеет вид, показанный на рис.6.24.

Покажем, что это действительно так. Для этого определим значения F₆ в нескольких точках графика. В точке 1: F_A = FJ4: Тогда

• (р_т=0._дТ_п-2я-^-Т_п= — . Векторная диаграмма в этом случае имеет вид
• (рис.6.25,а). Видно, что Tq = 4T_u, т.е. Fq = FJ4 = F_a. Другими словами, за четыре периода повторения зондирующих импульсов результирующий вектор U_m рсз, сделает один полный оборот.

Рассмотрим второй случай (точка 2. на рис.6.24), когда F₆ = FJ2. В этом случае (рис.6.25,б)

Третий случай (точка 3 на рис.6.24). Видно, что Т₆ = 4Т_п, откуда Fq = FJ4 . Векторная диаграмма имеет вид, показанный рис. 6.25, в.

Четвертый случай (точка 4 на рис.6.24) F_a = F_n; (р_т-2я. Результирующий вектор не меняется по величине, т.е. Fq = 0. Графически этот случай можно пояснить рис.6.26.

Рис. 6.23. сигнал на выходе фазового детектора в случае наблюдения движущейся цели

Рис.6.24. Зависимость частоты биений от частоты Доплера

Рис. 6.25. Векторная диаграмма при:

a-F_a = FJ4; б — F_a = F„/2; в — F_a = 3F_n/4; г-F_a = F_n

Рис.6.26. Стробоскопический эффект

В данной случае, когда цель реально движется (F_n ^0), частота биений оказывается равной нулю вследствие действия стробоскопического эффекта, известного из курса физики.

В результате анализа зависимости частоты биений F₆ от частоты Доплера Fry можно сделать следующие выводы: частота биений (пульсаций импульсов) на выходе фазового детектора когерентно-импульсной РЛС зависит от 2V

F_a = —- т.е. от радиальной скорости цели; зависимость Fq =J = 40 м/с и т.д.

Радикальным методом борьбы со «слепыми» скоростями является изменение частоты повторения импульсов. Это следует из соотношения (6.25). Суть этого метода поясняется рис.6.28.

Рис. 6.28. Способ борьбы со «слепыми» скоростями

При F_a = F_n, Fq = О, т.е. РЛС «не видит» движущуюся цель. При переходе на другую частоту повторения F_n = F_n2, этот недостаток устраняется, так как при этом Fq ф 0. Этот способ, называемый вобуляцией частоты, применялся в РЛС с аналоговыми схемами формирования и обработки сигналов.

С внедрением цифровых методов формирования и обработки более целесообразно применять дискретное изменение временного интервала между излучаемыми импульсами. Такое изменение может производиться с различной периодичностью: от импульса к импульсу; через период сканирования ДНА; через интервалы времени, равные половине длительности пачки импульсов N_nmTJ2, принимаемых от объекта в процессе обзора. Важно при этом свести к минимуму отрицательное влияние эффекта «слепых» скоростей.

Часто для этого используют ступенчатое изменение интервала между зондирующими импульсами Т от импульса к импульсу (которое обычно называют ступенчатым изменением частоты повторения). Если интервалы между импульсами имеют величину Т, Гг. Т_п и для последующих п импульсов такое чередование повторяется, то при весовых коэффициентах а, трансверсального фильтра его АЧХ можно записать

Если соотношение между Г, выбрать из условия пГ = п₂Т₂ =. = = п„Т_п, где множители не имеют общего делителя, то первое значение «слепой»

скорости будет г, сл =и,^- , т.е. оно будет в п раз больше, чем при 2Т 3 не дает существенного увеличения коэффициента подавления.

Применение рекурсивных (с обратной связью) фильтров позволяет улучшить АЧХ фильтра, не повышая его порядка.

Так, в рекурсивном фильтре первого порядка (рис. 6.31, а) применение обратной связи с коэффициентом обратной связи (5 Д|МХ = —, то объем памяти при разрядности слов г будет равен Т сТ

m_cr. Число разрядов г определяется необходимым числом уровней и —и

квантования п = — 2222 -— исходя из динамического диапазона сигнала (и_тах

— w_min) и шага квантования Дм. При выборе А и, равным среднеквадратическому значению собственных шумов приемника 2222 -—, а требуемая разрядность АЦП

Число разрядов г непосредственно влияет на качество работы фильтра

ЧПК. Как известно, при шаге квантования Аи дисперсия шума квантования

при равномерном распределении равна Дм 2 /12. При вычитании происходит

удвоение дисперсии шума квантования, поэтому на выходе схемы ЧПК

Так как максимальная амплитуда напряжения помехи на входе схемы ЧПК равна t/_nmax

п_кАы, а мощность помехи соответственно (при входном

1 „ _{ч n} t/ 2 (пАи) 2

сопротивлении 1 Ом) Р_и вх = —-, то отношение мощности помехи

на входе цифрового фильтра ЧПК к мощности шума на выходе

Это отношение характеризует качество работы цифрового фильтра. Если выразить q_n в децибелах, то получим соотношение

характеризующее максимально возможное подавление помехи. Разрядность АЦП г и соответственно емкость памяти М = т_сг выбирают таким образом, чтобы потери, связанные с квантованием, сказывались на эффективности системы СДЦ меньше, чем другие параметры РЛС, влияние которых на качество работы системы СДЦ рассматривается далее.

Остановимся на проблеме так называемых «слепых» фаз и связанных с этим потерь при СДЦ. В отличие от «слепых» скоростей, возникающих при частотах доплеровского сдвига F_v, равных или кратных F_n (см. рис. 6.26), «слепые» фазы возникают при F_n > F_v в случаях, когда соседние импульсы сигналов движущихся целей (ДЦ) имеют равные амплитуды (1 = /₂ и /₃ = /₄ на рис. 6.34, а) и, следовательно, будут частично подавлены одноканальным фильтром ЧПК.

Рис. 6.34. «Слепые» фазы в квадратурных каналах

Для устранения потерь используется двухканальная схема фильтра ЧПК (рис. 6.35), состоящая из синхронного канала / и квадратурного Q. На фазовые детекторы каналов опорные колебания когерентного гетеродина подаются со сдвигом на л/2, благодаря чему допплеровская огибающая сигнальных импульсов в квадратурном канале сдвигается на тг/2 (рис. 6.34, б). При суммировании цифровых сигналов / и Q на выходах каналов подавление сигналов устраняется.

При суммировании сигналов могут быть использованы операции + Q 2 (соответствующие квадратичному детектированию) и |/| + -^, или

Q + — (соответствующие линейному детектированию).

Расчет показывает, что переход от одноканального фильтра ЧПК к двухканальному дает уменьшение потерь за счет эффекта «слепых фаз» от 2,8 до 13,7 дБ для вероятностей правильного обнаружения от 0,5 до 0,9 соответственно и вероятности ложной тревоги р_т = 10 6 . Выигрыш зависит также от числа импульсов в пачке и их флуктуаций. Конечно, двухканальная схема фильтра СДЦ сложнее одноканальной и требует поддержания фазового сдвига опорных колебаний равным я/2, а также идентичности АЧХ каналов.

Аналоговый фильтр против цифрового

фильтров ограничена точностью параметров выбранных резисторов и конденсаторов.

Даже при использовании фильтра Баттерворта, А ЧХ которого теоретически

не содержит колебаний, в реально действующей аналоговой схеме колебания могут достигать порядка 1 %. Что касается цифровых фильтров, то для них гладкость

АЧХ ограничена главным образом ошибками округления, поэтому они в сотни

раз превосходят аналоговые фильтры. Итак, один-ноль, либо счёт 1:0 в пользу

Далее рассмотрим частотную характеристику в логарифмическом масштабе

(в и г). Цифровой фильтр снова одерживает убедительную победу: по спаду АХЧ и

по затуханию в зоне подавления. Даже улучшая качество аналогового фильтра путём

введения дополнительных каскадов, нам всё равно не достичь сравнимых с

цифровым фильтром характеристик. Пусть, к примеру, требуется улучшить два

вышеупомянуть1х параметра в 100 раз. В случае оконного фильтра это достигается

с помощью простых преобразований, а для аналоговой схемы оказывается фактически

невозможно. Ещё два балла в пользу цифрового фильтра.

Переходные характеристики показаны на (д и е). У цифрового звена наблюдается

симметричный переходной процесс, т. е. фильтр имеет линейную ФЧХ. Переходная

характеристика аналогового фильтра явно несимметрична, т. е. ФЧХ далека

от линейной. Перерегулирование аналогового фильтра составляет 20%, но

колебания возникают только после подъёма переходной характеристики. У цифрового

фильтра колебания достигают примерно 10%, но наблюдаются как перед

подъемом, так и после него. На этот раз ни одному из фильтров не удалось превзойти

соперника, и счёт остаётся прежним.

Несмотря на столь явную победу цифрового фильтра, во множестве приложений

следует и даже необходимо использовать аналоговые фильтры. Это связано

не с самой работой фильтра (т. е. с тем, что у него на входе и на выходе), а с преимуществами

общего характера, которые аналоговые схемы имеют перед цифровыми.

Первое преимущество — скорость: цифровые фильтры медленнее аналоговых.

Например, персональный компьютер способен при использовании быстрой

свёртки обрабатывать около 1 О ООО отсчётов в секунду, тогда как даже простой

операционный усилитель может работать на частотах 100. 1000 кГц, т. е. на

два-три порядка быстрее цифровой системы!

Второе неотъемлемое преимущество, обусловленное природой аналоговых

фильтров, — это динамический диапазон. Здесь различают два показателя: амплитудный

и частотный динамические диапазоны. Амплитудный динамический диапазон

— это отношение максимального уровня сигнала, который способна обработать

система, к уровню собственного шума. Если разрядность АЦП составляет

12 бит, то уровень насыщения равен 4095, а среднеквадратическое отклонение

шума квантования не превышает 0.29 цены младшего бита, следовательно, динамический

диапазон приблизительно равен 14000. Для сравнения: напряжение насыщения

стандартных операционных усилителей достигает 20 В, а уровень собственного

шума — около 2 мкВ, что позволяет реализовать систему с

динамическим диапазоном, равным 10 миллионам. Опять же простой операционный

усилитель явно превосходит цифровую систему.

Теперь перейдем ко второму показателю, которым является частотный динамический

диапазон. На основе операционного усилителя довольно просто создать

схему, позволяющую обрабатывать одновременно частоты 0.01. 100 кГц (семь декад).

При попытке применить цифровую обработку система просто оказывается

«заваленной» входными данными: при частоте дискретизации 200 кГц один период

сигнала частотой 0.01 Гц простирается на 20 миллионов отсчётов. Возможно, вы уже заметили, что частотная характеристика цифровых фильтров почти всегда

строится на линейной частотной шкале, в то время как для аналоговых обычно

применяют логарифмическую. Причина в том, что линейная шкала больше подходит

для отображения замечательных фильтрующих свойств цифровых фильтров,

а логарифмическая позволяет показать широкий динамический диапазон

21.2. Второй раунд:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2023 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с) .

Похожие публикации:

1. Чья чувствительность выше фотодиода или фототранзистора
2. Кулер pwm что это
3. Какой допуск для подшипника
4. Как подключить реле контроля напряжения 1 фазное

Об идентичности частотных характеристик аналоговых и цифровых фильтров Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Тепин Владимир Петрович, Тепин Алексей Владимирович

Анализируется точность соответствия формы частотных характеристик аналогового фильтра и рекурсивного цифрового фильтра, передаточные функции которых связаны билинейным преобразованием аргумента. Показано, что оптимальным выбором вида и параметров преобразования можно добиться воспроизведения формы с любой желаемой точностью. Применение модифицированного преобразования позволяет существенно повысить точность копирования либо понизить частоту дискретизации, особенно в случае узкополосного полосового или режекторного фильтров.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Тепин Владимир Петрович, Тепин Алексей Владимирович

Программируемые цифровые фильтры: синтез законов управления передаточной функцией
Синтез эквивалентных перестраиваемых аналоговых и цифровых фильтров
Модификация метода билинейного преобразования для синтеза цифровых фильтров
Эффекты конечной разрядности двоичных чисел при реализации цифровых фильтров

Моделирование цифровой обработки сигналов ЦОС в Matlab. Часть 2. Синтез оптимальных БИХ-фильтров программными средствами Matlab

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ON FREQUENCY RESPONSE IDENTITY OF ANALOG AND DIGITAL FILTERS

In this paper, the reproduction accuracy of the analog and recursive digital filter frequency response is analyzed, under the stipulation that transfer functions of these filters are interrelated by bilinear transformation . It is shown that by optimal choice of transformation parameters and type, it is possible to reproduce the frequency response shape with any desired accuracy. Application of the modified conversion can significantly improve the accuracy of copying or lower sampling rates, especially in the case of narrow-band bandpass or bandstop filters.

Текст научной работы на тему «Об идентичности частотных характеристик аналоговых и цифровых фильтров»

В.П. Тепин, А.В. Тепин ОБ ИДЕНТИЧНОСТИ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АНАЛОГОВЫХ И ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Анализируется точность соответствия формы частотных характеристик аналогового фильтра и рекурсивного цифрового фильтра, передаточные функции которых связаны билинейным преобразованием аргумента. Показано, что оптимальным выбором вида и параметров преобразования можно добиться воспроизведения формы с любой желаемой точностью. Применение модифицированного преобразования позволяет существенно повысить точность копирования либо понизить частоту дискретизации, особенно в случае узкополосного полосового илирежекторного фильтров.

Аналоговый фильтр; рекурсивный цифровой фильтр; частотная характеристика;

V.P. Tepin, A.V. Tepin

ON FREQUENCY RESPONSE IDENTITY OF ANALOG AND DIGITAL

In this paper, the reproduction accuracy of the analog and recursive digital filter frequency response is analyzed, under the stipulation that transfer functions of these filters are interrelated by bilinear transformation. It is shown that by optimal choice of transformation parameters and type, it is possible to reproduce the frequency response shape with any desired accuracy. Application of the modified conversion can significantly improve the accuracy of copying or lower sampling rates, especially in the case of narrow-band bandpass or bandstop filters.

Analog filter; recursive digital filter; frequency response; bilinear transformation.

Известно, что любой аналоговый фильтр (АФ) можно с определенной степенью точности заменить эквивалентным ему рекурсивным цифровым фильтром ( ). . -вивалентности чаще всего служит степень близости (идентичности) характеристик фильтров в частотной области. Разумеется, в силу периодичности этих характеристик в случае РЦФ, копирование возможно только в области частот, ограниченной половиной частоты дискретизации.

Наибольшую точность воспроизведения формы частотных характеристик обеспечивает метод билинейного преобразования передаточной функции [1]. Однако добиться полной их идентичности принципиально невозможно даже в ограниченной области частот. Причиной тому служит явление деформации шкалы частот, наблюдаемое при билинейном преобразовании [2]. Следствием является искажение частотных характеристик, приводящее к изменению рабочих параметров фильтра (частоты настройки, полосы пропускания и задерживания, группового времени замедления и др.), которое может оказаться значительным и даже неприемлемым для ряда приложений, прежде всего — для измерительных, программируемых, реконфигурируемых, следящих и сопровождающих фильтров [3,4].

Цель работы — исследование точности воспроизведения частотных характеристик фильтров при билинейном преобразовании, а также способов повышения .

Используются обозначения: H (p) — передаточная функция АФ произвольного класса и порядка, аргумент которой p есть оператор непрерывного преобра-

шением p = ; W (г) — дискретная передаточная функция эквивалентного

РЦФ, аргументом которой является г — оператор дискретного преобразования Лапласа, связанный с частотой сигнала цифрового фильтра FD соотношением г = ехр(рТ) = ехр( j2лFD /Fs); Fs — частота дискретизации.

комплексной р — плоскости (где размещаются нули и полюсы АФ) во внутреннюю

область единичного круга на комплексной г — плоскости (где размещаются нули и полюсы РЦФ). Существуют два варианта такого преобразования — стандартный и модифицированный [1].

Стандартное билинейное преобразование. Выполняется замена аргумента передаточной функции АФ или РЦФ выражениями

г = (2Fs + р)/(2Fs — р), р = 2Fs (г -1)/(г + 1), (1)

приводящая к следующим взаимосвязям между этими функциями [1]:

Из формул (1) можно найти связь между «анадоговой» частотой FA и «цифровой» частотой FD (соотношение частотных шкал) в виде

FA = (Fs / П) ■ (^ / Fs). (3)

, , могут быть достаточно близкими (^ FD ) только при условии Fs / FD ^~ .

ность копирования частотных характеристик только области частот, значительно меньшей частоты дискретизации.

Мерой идентичности частотных шкал может служить величина относительного сдвига аналоговой и цифровой частот, которую можно найти из (3):

= (¥а — FD)/ FD = ^ № / Fs))/ ^ / Fs -1. (4)

Зависимость сдвига от величины отношения FD / Fs показан а на рис. 1.

Рис. 1. Относительный сдвиг частотных шкал при стандартном преобразовании

Если область рабочих частот фильтра расположена значительно ниже частоты дискретизации, т.е. FD / Fs

Отсюда можно найти значение частоты дискретизации, гарантирующее копирование характеристик аналогового и цифрового фильтров в диапазоне частот

0. ¥в с желаемой точностью 8С :

Например, для достижения точности 0,1 % необходимо, чтобы частота дискретизации превышала верхнюю границу этого диапазона частот не менее чем в 57,4 раза.

частотных шкал положителен. Это означает, что характеристика РЦФ смещена по отношению к АФ в сторону низких частот, при этом величина сдвига непостоянна

Модифицированное билинейное преобразование. Такой вариант преобразования является более общим — он позволяет совместить частотные характеристики

1 + У 1 г -1 tg (яР0/Fs)

1 — у у г +1 2яF0

Взаимосвязь передаточных функций фильтров принимает вид

н(р) = W((1 + ур)/(1 -ур)), W(г) = н()(г — 1)/(г +1)),(8)

а соотношение аналоговой и цифровой шкал частот —

FA = F0 ^ (^ / Fs)) / tg (^0 / Fs). (9)

F0, так как при FD = F0 значения аналоговой и цифровой частот совпадают:

¥а = ^. При F0 = 0 формула (9) совпадает с аналогичной формулой (3) для

Величина относительного сдвига частотных шкал определяется формулой 3м = (FA — FD)/ FD = Fo / FD ((tg (пFD / Fs))/ tg (пFo / Fs) -1). (10)

Таким образом, модифицированное преобразование позволяет совместить аналоговую и цифровую шкалы в любой точке частотного диапазона, что способствует повышению точности копирования характеристик АФ и РЦФ.

При достаточно высокой частоте дискретизации, когда Р0 / ^

1+(п2 /3)( Р, / ¥в )2 1ііп5м »-(лРо/р)2/3.

Г рафики зависимости модуля сдвига шкал от Ри / Р

формуле (10) для различных значений Ро / , показаны на рис. 2.

Рис. 2. Относительный сдвиг частотных шкал при .модифицированном

Пример. На рис. 3 и 4 показаны графики АЧХ аналогового фильтра (кривая 1), а также двух его рекурсивных цифровых эквивалентов. Кривая 2 соответствует фильтру, синтезированному при помощи стандартного преобразования, а кривая 3

— фильтру, синтезированному при помощи модифицированного преобразования.

Рис. 3. Общий вид А ЧХ аналогового фильтра и его цифровых эквивалентов

Рассматриваемый аналоговый фильтр представляет собой симметричный полосовой эллиптический фильтр 10-го порядка, обладающий следующими рабочими характеристиками: центральная частота — 1 кГц, ширина полосы пропускания

— 1 кГц, неравномерность АЧХ в полосе пропускания — 3 дБ, гарантированное затухание в полосе задерживания — 60 дБ. Координаты нулей и полюсов фильтра представлены в табл. 1.

Координаты нулей и полюсов передаточной функции аналогового фильтра

Нули ±]3060,52 ±] 12903,5 4, 3 2 ±] 17065,5 —

Полюсы -73,8006 ±]3924,58 -189,157 ±]10059 -304,872 ±]4535,69 -582,607 ±]8667,65 -645,126 ±]6251,02

Совмещение аналоговой и цифровой шкал выполнено на центральной частоте АФ (^0 = 1 кГ ц). Частота дискретизации выбрана равной 10 кГ ц, т.е. отношение

V ^ равно 0,1, что типично для многих применений [1,2].

Анализируя графики на рис. 3 и 4, можно заметить следующее:

♦ искажения АЧХ РЦФ весьма специфичны — они проявляются в виде не-

вдоль оси частот, при этом деформаций вдоль вертикальной оси нет;

♦ в результате сжатия частотной шкалы, центральная частота РЦФ, синтезированного методом стандартного билинейного преобразования, понижается на 3,1 %. Из-за неравномерности сжатия нижняя граница полосы пропускания понижается на 1,2 %, а верхняя — на 7,5 %. Ширина полосы пропускания фильтра в результате уменьшается на 11,3 % — от 1 000 до 887 Г ц;

♦ при модифицированном преобразов ании центральная частота остается неизменной, но граничные частоты полосы пропускания заметно смещаются, причем разнонаправлено. Верхняя граница понижается на 4,8 %, а нижняя повышается на 2,1 %. Полоса пропускания при этом сужается на 9,1 % — от 1000 до 911 Гц;

♦ существенные деформации АЧХ наблюдаются также в полосе задерживания. Особенно велик сдвиг частоты нуля, ближайшего к верхней границе полосы пропускания (-12,6 % при стандартном преобразовании, -9,6 %

смещается заметно меньше (-0,8 % и +3,3 % соответственно). Наблюдаемые изменения параметров фильтра хорошо согласуются с оценками, которые можно получить по формулам (5) и (12), а также из графиков на рис. 1 и 2.

Например, при стандартном преобразовании понижение центральной частоты, рассчитанное по формуле (5), равно 3,4 %, а нижней граничной частоты полосы пропускания — 1,26 %.

Представленные результаты позволяют сделать следующие выводы.

Повышая частоту дискретизации, можно добиться желаемой точности копирования частотной характеристики аналогового или цифрового фильтра при обоих вариантах билинейного преобразования. Приведенные оценки позволяют выбрать оптимальное значение этой частоты.

Применение модифицированного преобразования позволяет существенно повысить точность копирования либо понизить частоту дискретизации, особенно в случае узкополосного полосового или режекторного фильтров.

1. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — СПб.: Питер, 2002. — 608 с.

2. Айчифер Э. Цифровая обработка сигналов: практический подход: Пер. с англ. — 2-е изд.

— М.: Изд. дом «Вильямс», 2004. — 992 с.

3. Тепин В.П., Тепин А.В. Синтез аналоговых фильтров в LabVIEW // 9-я Международная научно-практическая конференция «Обр^овательные, научные и инженерные приложения в среде LabVIEW»: Сб. тр. конференции. — М.: Изд-во РУДН, 2010. — С. 488-490.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

фильтром // X Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления»: Сб. мат. конф. — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010.

Тепин Владимир Петрович

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Кафедра систем автоматического управления; доцент.

Тепин Алексей Владимирович

Кафедра систем автоматического управления; аспирант.

Tepin Vladimir Petrovich

Taganrog Institute of Technology — Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Department of Automatic Control Systems; Associate Professor.

Tepin Alexey Vladimirovich

Department of Automatic Control Systems; Postgraduate Student.