Как найти ток в ветви

Метод контурных токов.

Метод контурных токов – один из основных и широко применяемых на практике методов. Он заключается в определении по второму закону Кирхгофа контурных токов. Для каждого контура цепи задают ток, который остается неизменным. В цепи протекает столько контурных токов, сколько независимых контуров в ней содержится. Направление контурного тока выбирают произвольно.

Контурные токи, проходя через узел, остаются непрерывными. Следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Уравнения с контурными токами записываются только для второго закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, меньше чем по методу законов Кирхгофа.

Рис.28. Иллюстрация к методу контурных токов.

На рис.28 показана цепь с двумя независимыми контурами, следовательно, и с двумя контурными токами I₁₁иI₂₂.

Токи в ветвях I₁иI₂равны контурным токам:

Ток I₃равен сумме этих двух контурных токов:

По второму закону Кирхгофа для первого контура цепи:

r₁₁– сумма всех сопротивлений, входящих в контурI, называетсясобственным сопротивлением контура.

r₁₂– сопротивление ветви, общей для контураIиII;

E₁₁=E₁-E₂– алгебраическая сумма всех э.д.с., содержащихся в первом контуре; со знаком «-» берется э.д.с., действующая навстречу контурному току рассматриваемого контура.

Аналогично для второго контура рис.28.

Уравнения, составленные по методу контурных токов, всегда записывают в виде системы. Для схемы рис.28:

В результате решения системы находят контурные токи, а затем токи ветвей.

Если заданная электрическая цепь содержит nнезависимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получаетсяnконтурных уравнений:

(29)

Собственные сопротивления r_iiвходят в уравнения (29) со знаком «+», поскольку обход контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного токаI_ii. Общие сопротивленияr_ikвойдут в уравнения со знаком «-», когда токиI_iиI_kнаправлены в них встречно.

Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, определяется по формуле:

где N_b– число ветвей электрической цепи;

N_и.т.– число идеальных источников тока.

Если в цепи отсутствуют источники тока, число уравнений равно числу контурных токов и, соответственно, числу независимых контуров рассматриваемой электрической цепи.

Решим пример 2 параграфа 11, используя метод контурных токов.

Цепь содержит три контура, через которые протекают контурные токи.

При наличии источников тока надо так направлять контурные токи, чтобы они протекали через данные источники. Но через один источник тока не может протекать два контурных тока.

На рис.1 обозначены положительные направления контурных токов. Очевидно, что I₁₁=J₁;I₂₂=-J₂

Контурный ток I₃₃– неизвестен, для него составляем уравнение:

В правой части уравнения стоит «0», т.к. отсутствует контурная э.д.с.

В результате решения определяем I₃₃=16,25 мА

Метод контурных токов

Является самым удобным для определения токов в сложных многоконтурных схемах. Несмотря на то, что в основе лежат те же законы Кирхгофа, этот метод позволяет использовать меньшее количество уравнений. (их количество равно числу независимых контуров). Расчет ведется в несколько этапов.

Реальные токи в схеме на время исключаем и вводим искусственные контурные токи. Это является расчетным приемом и в реальных схемах их нет.

Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа используя контурные токи

По найденным контурным током определяем реальные токи в ветвях.

Исключаем источник тока, тогда ветвь с источником тока I обрываем и при составлении уравнении не учитываем. Eэкв=I*R6

Решив эту систему мы найдем 3 неизвестных контурных тока, через них можно найти реальные токи в схеме.

При определении 6го тока необходимо учесть влияние тока от источника тока. Следует его считать как отдельный контурный ток.

I1 2 *R1+I3 2 *R3+I4 2 *R4+I5 2 *R5+I2 2 *R2+I6 2 *R6=I1E1+I3E3+I4E4+I6E6+Pист

Pист=I*Uy , где Uy=-I6R6+E6

Метод двух узлов

Является разновидностью метода узловых потенциалов и применяется только для схем, в которых есть 2 узла. Количество параллельных ветвей, подключенных к этим узлам может быть любым.

Будет заданы все ЭДС источников и сопротивление ветвей, а также токи источников тока. Требуется найти токи в ветвях. Их направления выбираем произвольно.

Расчет ведется в 2 этапа

Определяем узловое напряжение (общее для всех параллельных ветвей)

Uab – узловое напряжение.

Uab=

В числителе находится алгебраическая сумма токов от источников тока и алгебраическая сумма ЭДС ветвей умноженное на проводимость этой же ветви.

“+” если направления Uab и У или Е не совпадают

“-“ если направления совпадают

В знаменателе находится сумма проводимости всех ветвей (знака – быть не может)

Учтем, что g3=g4=g5=

Uab=

Определяем токи в ветвях схемы используя закон Ома для участка цепи с ЭДС.

I3=

I4=

I5=

Метод наложения

Этот метод применим к схемам в которых есть несколько источников. Тогда ток в каждой ветви мб рассчитан как сумма отдельных составляющих, а каждая составляющая определяется только от одного источника.

Так как в схема 3 источника, то каждый ток будет иметь 3 составляющие.

Составляющие I1′ I2′ I3’ рассчитываются для схемы, в которой оставлен источник тока I, но исключены E1 и E3

Составляющие I1’’ I2’’ I3’’ – для схемы с E1( без Y и Е3)

Составляющие I1’’’ I2’’’ I3’’’ – для схемы с Е3 (без У и Е1)

Исключение источника происходит по правилам. Источник тока при исключение обрывается, а источник ЭДС закорачивается.

Входные и взаимные проводимости

Входной проводимостью (собственной) какой либо ветви называется отношение тока в этой же ветви и величина источника ЭДС этой же ветви. При этом в скале все остальные источники должны быть исключены.

E=0 I=0

Взаимной проводимостью является отношения тока в ветви m к ЭДС в этой ветви, при всех остальных источниках равных 0

[Cи]

Обычно эти проводимости определяется в задачах решения которых связано с методом наложения. Правило исключения источников такая же: Источник ЭДС условно закорачивается а ветвь с источником тока обрывается.

Допустим, имеется схема

g₅₅₌g₂₅= I=0.

Схема для определения проводимости следующая: Исключить Y т.е. ветвь оборвать

Определением для этой схемы все токи любым методом и находим нужные проводимости.

2. Определение токов в ветвях.

Направления токов в ветвях выбираются произвольно (рис. 2.5), а их величины определяются согласно закону Ома для активного или пассивного участков цепи:

I₃ = — U_ab/R₃ = — 120/60 = -2 A;

I₄ = U_ab/R₄ = 120/30 = 4 A;

I₅ = U_ab/R₅ = 120/20 = 6 A.

3. Проверкой служит уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, при подстановке в нее рассчитанных числовых значений токов:

— I₁ + I₃ + I₂ – I₄ – I₅ = 0 или — 3 + (-2) + 15 – 4 – 6 = 0.

Задача 2.4. Определить показание вольтметра в электрической цепи (рис. 2.6), используя данные таблицы 2.4.

Решение

С учетом того, что ЭДС источника питания всегда направлена от минуса к плюсу, а заземленные узлы равно потенциальны, предлагаемая схема может быть изображена следующим образом (рис. 2.7)

Показание вольтметра в такой схеме, как известно, определяется методом междуузлового напряжения как модуль напряжения между двумя узлами a и b :

Задача 2.5. Для электрической цепи определить ток в ветви с резистором R₄ методом активного двухполюсника (рис. 2.8), используя данные таблицы 2.5.

Решение

Согласно методу активного двухполюсника (или эквивалентного генератора МЭГ) воздействие всех источников питания на ветвь с неизвестным током заменяется воздействием одного, так называемого «эквивалентного», генератора, который на эквивалентной схеме замещения (рис.2.9) соединяется последовательно с исследуемой ветвью:

,

где – напряжение между зажимами эквивалентного генератора а и b в режиме холостого хода; – сопротивление между зажимами а и b пассивного двухполюсника, полученного из схемы, соответствующей холостому ходу эквивалентного генератора.

В рассматриваемом случае схема, соответствующая холостому ходу эквивалентного генератора, выглядит так (рис. 2.10.)

Пассивный двухполюсник (рис. 2.11) образуется при исключении источников питания, по сохранения их внутренних сопротивлений (в данном случае нулевых).

1. Определение ЭДС эквивалентного генератора (рис. 2.10). В двухконтурной схеме определяются токи в ветвях и далее на основе двух законов Кирхгофа в контуре aсb расcчитывается :

—E₂ = R₅I_3хх + R₂I_1хх –

или = E₂ + R₅I_3хх + R₂I_1хх =10 + 4(-0,5) + 6(-2) = — 4 В.

Таким образом, = — 4 В.

2. Определение внутреннего сопротивления эквивалентного генератора (рис. 2.11). Как видно, R₁ и R₂ соединены параллельно друг другу, R₅ и R₃ –аналогично, между собой они соединены последовательно, поэтому:

= R₁R₂/(R₁ + R₂) +R₃R₅/(R₃ + R₅) = 36/(3+6) + 44/(4+4) = 4 Ом,

или R_Э.Г. = = 4 Ом.

3. Определение тока в исследуемой ветви (рис. 2.9)

Задача 2.6. В электрической цепи (рис.2.12) определить ток в ветви с линейным элементом R₅, используя данные таблицы 2.6. Вольтамперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента (НЭ) приведена на рис. 2.13.

1. Определение параметров эквивалентного генератора

Для определения тока в одной ветви схемы (в рассматриваемом случае, в ветви с НЭ) используется метод эквивалентного генератора. Эквивалентная схема замещения исходной цепи, а так же схемы эквивалентного генератора на холостом ходу и пассивного двухполюсника приводится на рис. 2.14, 2.15 и 2.16.

Аналогично решению предыдущей задачи ЭДС эквивалентного генератора (рис. 2.14) Е_Э.Г. =, причем (рис. 2.15)

—+ R₂— R₄= 0,

то есть E_Э.Г.= =+ R₂— R₄.

Токи и определяются любым известным методом, например,

= — E / (R₁ + R₂) = -120 / (20 + 30) = -2,4 A;

= —E / (R₃ + R₄) = -120 / (10 + 40) = -2,4 A.

Тогда E_Э.Г. == 30(-2.4) — 40 (-2,4) = 24 В, внутреннее сопротивление эквивалентного генератора (рис. 2.16)

.

Таким образом, внешняя характеристика эквивалентного генератора

U_ab = E_Э.Г.—R_Э.Г.I =24 — 20I имеет вид (рис. 2.17)

Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура. Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например I₁₁, I₂₂ и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I₁-I₆.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I₁₁,I₂₂,I₃₃. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R₄ принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I₁₁, умножаем на собственное сопротивление R₁₁ этого же контура, а затем вычитаем ток I₂₂, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R₂₁ и ток I₃₃, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R₃₁. Данное выражение будет равняться ЭДС E₁ этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R₄ протекает ток I₄, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!