От чего зависит скорость продольных и поперечных упругих волн

1. Продольные и поперечные упругие волны. Скорость их распространения

Упругими волнами называется распространение механических коле­баний в упругих средах вследствие взаимодействия частиц среды.

Источниками упругих волн являются внешние тела, которые вызы­вают возмущения (или деформации) среды. Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (газообразной, жидкой или твердой), распростра­няются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, переда­ваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем больше отличаются фазы их колеба­ний. При изучении упругих волн в газах, жидкостях и твердых телах от­влекаются от молекулярного строения этих тел и рассматривают их как сплошную среду.

Сплошная среда — это непрерывно распределенная в пространстве среда, обладающая упругими свойствами, частицы которой могут со­вершать вынужденные колебания.

Частицей среды, совершающей вынужденные колебания, будем назы­вать малый элемент ее объема, в котором содержится большое число молекул. Ее можно считать материальной точкой.

Распространение упругих волн возможно только в физической среде, обладающей упругими свойствами.

Упругой средой называется среда, в которой возникают упругие де­формации, полностью исчезающие после прекращения внешних воз­действий.

При распространении упругой волны частицы среды не вовлекаются волной в поступательное движение, а лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Важнейшее отличие упругих волн в среде от любого другого упорядоченного движения ее частиц состоит в том, что при малых возмущениях распространение волн не связано с переносом вещества. В случае сильных возмущений имеет место малый перенос вещества.

В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные упругие волны:

Продольной упругой волной называется волна, в которой частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. При этом деформация сжатия – растяжения.

Поперечной упругой волной называется волна, при распространении которой частицы среды колеблются в плоскостях перпендикулярных к направлению распространения волны. В среде возникает упругая деформация сдвига.

Демонстрация на волновой машине

При распространении продольной волны наблюдается периодическое сгущение и разрежение частиц среды, то есть изменение ее плотности , которое перемещается со скоростью распространения волны. При распространении поперечной волны сгущений и разрежения частиц нет, и плотность частиц не меняется.

Таким образом, поперечные упругие волны могут распространять­ся только в твердых телах, обладающих упругостью объема и формы, а продольные — любой среде (газообразной, жидкой и твердой), обладающей упругостью объема.

Уравнение упругой плоской гармонической волны, распределяющейся вдоль направления оси x, имеет одинаковый вид для продольных и поперечных волн:

Если плоская волна распространяется в идеальной упругой среде, лишенной внутрен­него трения и теплопроводности, то амплитуда волны не зависит от расстояния х и А=соnst. В реальной упругой среде происходит поглощение энергии, и интенсивность волны посте­пенно уменьшается. Поглощение упругих волн в однородной среде обусловлено главным образом процессами внутреннего трения и теплопроводности. В однородной среде амплитуда волны уменьшается по экспоненциальному закону

. Соответственно, уравнение плоской затухающей волны имеет вид:

где А₀ — амплитуда волны в плоскости х = 0,  — линейный коэффициент затухания волны в данной среде, зависящий от свойств среды и частоты.

Уравнение сферической упругой волны имеет вид:

Для сферической волны амплитуда колебаний зависит от расстояния до источника А(r) = и убывает с расстоянием даже в идеальной среде без затухания. Это объясняется тем, что при распространении сферической волны происходит перераспределение энергии колебаний на все большее число колеблющихся частиц среды.

Фазовая скорость упругих волн может быть найдена для любой упругой среды на ос­новании закона Гука. Расчеты показывают, что скорость упругих волн в различных средах определяется различным образом, что отражено в приведенной таблице 1.

СКОРОСТЬ УПРУГИХ ВОЛН В РАЗНЫХ СРЕДАХ

Звуковые волны. Скорость упругих волн в различных средах

Звуковыми волнами называют упругие волны, распространяющиеся в газах, жидкостях и твердых телах. В газах и жидкостях эти волны являются продольными, а в твердых телах они могут быть как продольными, так и поперечными. Под звуковыми волнами в узком смысле этого слова понимают также волны с частотами от 16 Гц до 20 кГц. Иначе их называют слышимым звуком. Эти волны, воздействуя на ухо человека, вызывают звуковые ощущения. Звуковые волны с частотами ниже 16 Гц называют инфразвуком, а от 20 кГц до – ультразвуком. Ультразвук. Верхний предел по частотам для ультразвука достигается тогда, когда упругую среду нельзя рассматривать как сплошную, т. е. нельзя пренебрегать ее молекулярным строением. Это будет происходить в том случае, когда длина ультразвуковой волны будет сопоставима с межмолекулярными расстояниями в данной среде. Поэтому верхний порог по частотам в жидкости будет составлять порядка , а в твердом теле . Для газов верхний порог достигается тогда, когда длина волны ультразвука будет сопоставима со средней длиной свободного пробега молекул. Для генерации ультразвуковых волн используют механические и электромагнитные излучатели. Механические излучатели (воздушные и жидкостные свистки и сирены) имеют недостаток в том, что они излучают широкой спектр частот и отличаются нестабильностью частоты и амплитуды. В магнитострикционных излучателях (генерируются частоты до 200 кГц) для возбуждения волн используют изменение размеров тела в переменном магнитном поле. В пьезоэлектрических излучателях (до 50 МГц) используется обратный пьезоэлектрический эффект – пластина из пьезоэлектрика совершает вынужденные колебания в переменном электрическом поле. Мощные излучатели ультразвука способны вызывать явление кавитации в жидкостях – это явление, при котором в среде за счет больших амплитуд звукового давления возникают внутренние разрывы сплошной среды. Они имеют вид мельчайших пузырьков, исчезновение которых сопровождается кратковременным возрастанием давления до сотен и даже до тысяч атмосфер. Поэтому ультразвук обладает дробящим действием, а именно, разрушает находящиеся в жидкостях твердые тела, живые организмы, крупные молекулы и т.д. Это явление широко используется в технике для ускорения различных процессов, для получения более однородной структуры металла и т.д. Ультразвук также широко применяется в методах неразрушающего контроля за качеством изготовления различных твердых изделий, в гидроакустике и гидролокации – ультразвуковые волны являются единственным видом волн, хорошо распространяющихся в морской воде. Инфразвук. Источником инфразвука являются шумы атмосферы и моря (к ним можно отнести ветер, грозовые разряды), сотрясения и вибрации в земной коре от самых разнообразных источников, а также взрывы, орудийные выстрелы, автомашины и т.д. Эти волны из-за большой длины волны слабо поглощаются веществом, и поэтому они могут распространяться на большие расстояния, их можно использовать для определения места сильных взрывов, землетрясений, с их помощью можно предсказывать цунами и т. д. Инфразвук оказывает неблагоприятное воздействие на состояние человека из-за появления при таких частотах резонансных явлений в организме человека. Скорость упругих волн. С учетом того, что при распространении в среде упругой волны кинетическая и потенциальная энергии колебаний частиц среды одинаковы, из формул (6.10), (6.11) можно получить для скорости звуковой волны в твердом теле следующее выражение . , (6.31) а в газе и жидкости . (6.32) Напомним, что для поперечных волн, которые распространяются только в твердой среде, вместо модуля Юнга записывают модуль сдвига G:. (6.33) Упругие свойства жидкой и твердой среды, которые описываются модулем объемной упругости К жидкости, модулями Е Юнга и модулем сдвига G, слабо зависят от давления и температуры, поэтому скорости упругих волн в них практически остаются постоянными. Для газов ситуация становится другой. При выводе формулы для скорости упругих волн необходимо рассмотреть два случая. 1. При больших частотах упругих волн процесс деформации малых объемов газа протекает быстро, без теплообмена, что соответствует адиабатическому процессу (уравнение адиабатного процесса ), и для скорости упругой волны в газах можно получить следующую формулу: . (6.34) Согласно выражению (6.34), скорость упругой волны зависит от температуры газа, его молярной массы и коэффициента Пуассона γ, равного отношению молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (в формуле (6.34) буквой обозначена газовая постоянная). 2. При низких частотах упругих волн процесс деформации в газе протекает медленно, изотермически (уравнение изотермического процесса ), и поэтому в формулу (6.34) не войдет коэффициент Пуассона : . (6.35) Для воздуха , что приводит к различию в частотах, рассчитанных по формулам (6.34) и (6.35) в 1,18 раза. Нужно отметить, что для частот, соответствующих звуковым волнам (слышимому звуку), справедлива формула (6.34), т.е. практически отсутствует явление дисперсии (скорость звука постоянна для всех частот этого диапазона). Если подставить в формулу (6.34) значения молярной массы воздуха () и температуру , то получим значение скорости звуковой волны (), которое соответствует экспериментальному значению при давлении воздуха в одну атмосферу. Оказывается, что скорость звука в газах меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях меньше, как правило, чем в твердых телах. Обычно скорость звука является постоянной величиной для данного вещества при заданных внешних условиях и не зависит от частоты волны и ее амплитуды. Приведем некоторые примеры числовых значений для скоростей звуковых волн в газах, жидкостях и твердых телах. Для воздуха, кислорода и водорода при нормальных условиях ( Р=1 атм) скорость звука составляет 331 м/с, 316 м/с и 1284 м/с соответственно. Для воды при температуре скорость звука равна 1402 м/с, а при температуре -1490 м/с. Для твердой среды скорость распространения продольных волн всегда больше скорости распространения поперечных волн. Для никеля скорость продольной волны составляет 5630 м/с, поперечной – 2960 м/с, а скорость звука в стержне из никеля определяется не только характеристиками вещества, но и его геометрическими параметрами и равна (4785-4973) м/с. Измерение скорости звука используется для изучения различных свойств вещества (сжимаемость газов, модули упругости твердых тел). Изменение скорости звука и ее зависимости от разных параметров позволяют исследовать зонную структуру полупроводников, наличие малых примесей в газах и жидкостях и т.д.

1.2 Продольные и поперечные волны

Итак, при воздействии источника упругих волн на горные породы происходит процесс передачи энергии и распространения её во все стороны в виде сейсмической волны. Теория распространения упругих волн утверждает, что в безграничном изотропном пространстве могут возникать и распространяться два независимых типа сейсмической волны:

• в виде передачи деформаций I рода, связанные с деформацией объема — продольные волны, им присвоен индекс Р (первая буква латинских слов «prima» — первая), поскольку они являются наиболее быстрыми и приходят от источника к любой точке наблюдения первыми;

• в виде передачи деформаций II рода, связанные с деформацией формы (сдвига) — поперечные волны – типа S (первая буква слова «secunda» — вторая). На записях регистрируются вторыми.

Продольные и поперечные волны распространяются по всему объему среды, поэтому называются объемными.

Продольная волна, представляет собой чередование зон сжатия и растяжения (рис. 5.а). Частицы среды совершают колебания относительно своего первоначального положения в направлении, совпадающем с направлением распространения волны. Продольные волны могут возникать в газообразных, жидких и твердых средах.

При распространении поперечной волны, происходит скольжение слоев упругой среды друг относительно друга (рис.5.б), а частицы совершают колебания в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны.

Рис. 5. Схема распространения продольных (а) и поперечных (б) волн

Поскольку смещение поперечной волны определяется двумя компонентами: — вектор смещения иV – скорость, то результирующее смещение это — некоторый вектор, который имеет направление, причем довольно часто, меняющееся по мере распространения волны. Поэтому говорят о поляризации поперечных волн. Если вектор в процессе движения волны не меняет направление, то волна плоско или линейно поляризованная, но могут быть сложные виды поляризации – эллиптические и др.

Скорости распространения продольных — V и поперечных — V волн зависят от упругих констант и плотности — среды:

V=, (1.11)

V=. (1.12)

Особенностью поперечной волны является то, что в жидких и газообразных средах она не распространяется, так как , то и скоростьV.

Отношение скоростей показывает, что продольные волны распространяются быстрее поперечных. Для большинства горных пород0,18 ÷ 0,4 поэтому , поэтому продольная волн и называетсяпервая, а поперечная вторая.

1.3. Форма колебаний. Источники сейсмических волн, в зависимости от конструкции, могут возбуждать в однородном изотропном пространстве (полупространстве) упругие волны различной формы: плоские, цилиндрические или сферические. Однако наиболее простым и наиболее часто применяемым является сферический источник упругой волны – взрыв в скважине, в шурфе или на дневной поверхности. От такого источника во все стороны изотропного пространства (V=const) будет распространяться объёмная сферическая волна (рис.1.6).

Рис 1.6. Распространение сферической волны

Все пространство можно разделить на три части:

I – область в которой смещения уже закончились и в следствии упругой деформации частицы среды вернулись в первоначальное положение;

II – область шириной — r, где в данный момент существуют напряжения и смещения;

III – область среды, которую смещения ещё не захватили.

Поверхность, разграничивающая области I и II, определяет положение тыла волны, а между областями II и III – фронта волны. Эти поверхности имеют сферическую форму, называются изохронами и определяют положение фронта и тыла волны на определенный момент времени. Линии, радиально расходящиеся от источника и ортогональные изохронам, называют лучами.

Рассмотрим смещение частиц горных пород вдоль одного из лучей, исходящих из источника для фиксированного момента времени. По оси абсцисс отложим расстояние r, а по оси ординат – амплитуду смещения частиц среды от положения равновесия А(рис.1.7). Такой график называетсяпрофилем волны.

Ар

r

Рис.1.7. Профиль волны

Точка среды, в которой в данный момент наблюдается положительное наибольшее смещение, называется «горбом» волны, а точка, в которой наблюдается отрицательное наибольшее смещение «впадиной» волны, а расстояние по лучу между соседними горбами или впадинами – видимой (преобладающей) длиной волны .

Рассмотрим смещения,происходящие в некоторой точкеМ упругой среды. За время t область II переместиться через точку М и последовательно передаст ей все напряжения, которые существуют в этой области. Такой график зависимости смещения частиц среды от времени будет называться записью сейсмической волны. Время начала колебания частиц среды соответствует времени первого вступления волны в данную точку пространства — t (рис.1.8).

А

Т

Рис.1.8. Запись волны

А

t t

Наибольшее отклонение частицы среды от положения равновесия на этом графике принято называть видимой амплитудой А.Промежуток времени Тмежду двумя одноименными экстремумами (максимумами или минимумами) называют видимым (преобладающим) периодом. Точки на записи волны, в которых амплитуда достигает экстремальные значения, называют видимой фазой волны — . Между введенными понятиями существует следующая взаимосвязь:

f=; =V. (1.13)

Скорость перемещения горбов или впадин, называется фазовой скоростью. Определяется через длину волны и периодТ:

V=. (1.14)

Упругая волна в процессе распространения осуществляет перенос энергии от источника в среду. Плотность потока переносимой энергии определяется вектором . Его модуль определяется следующим образом:

= , (1.15)

где f – видимая круговая частота; — плотность среды.

По мере удаления от источника в колебательный процесс вовлекаются сферические слои все большего радиуса и объема. Поскольку энергия, сообщенная источником, остается постоянной (согласно закону сохранения энергии), то плотность энергии волны убывает пропорционально увеличению поверхности сферического слоя. Это означает, что плотность энергии сферических волн уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. Данное явление принято называть геометрическим расхождением. Отсюда же на основе анализа формулы (1.15) вытекает, что видимая амплитуда должна уменьшаться с удалением от источника:

А= А/r , (1.16)

где А —начальная амплитуда волны в точке возбуждения.

Скорости продольных и поперечных волн и их связь с коэффициентом упругости. Метод определения скоростей

Продольная волна вызвана деформациями объема за счет поступательного движения частиц среды в направлении распространения упругих колебаний. Продольные волны распространяются со скоростью v_p определяемой упругими и плотностными свойствами среды.

Поперечная волна вызвана деформациями формы, т.е. малыми вращательными движениями частиц среды в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения упругих колебаний. Поперечные волны распространяются со скоростью v_s.

Продольная волна всегда распространяется быстрее, чем поперечная в той же среде:

Поперечные волны не распространяются в жидких и газообразных средах, где слабое сцепление частиц вещества не обеспечивает передачу сдвиговых деформаций.

Следовательно, в твердой однородной изотропной среде могут независимо распространяться во времени и пространстве два вида упругих возмущений – продольная и поперечная волна.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: