Когда наблюдается максимум интерференции

7, . Условия максимума и минимума интенсивности при интерференции

Найдем условия максимума и минимума интенсивности при интерференции. Пусть S₁ и S₂ — два когерентных источника, совершающих колебания в одинаковой фазе. До точки наблюдения М волны проходят разное расстояние (рис. 3.8).

Запишем для них уравнения волн (3.24)

Найдем разность фаз складываемых волн

Обозначим через Δx — разность хода, т. е. . По формуле (3.22) волновое число равно , тогда связь между разностью хода и разностью фаз дается уравнением

Амплитуда результирующего колебания в точке наблюдения определяется уравнением (3.16)

.

Так как интенсивность пропорциональна среднему значению квадрата амплитуды (см. (3.34)): , то получим выражение для результирующей интенсивности

Если источники некогерентные, то и , т. е. интерференция не наблюдается. Для когерентных источников разность фаз и среднее значение косинуса равно косинусу разности фаз

.

В тех точках пространства, где интенсивность , а там, где интенсивность . Следовательно, при наложении двух когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение световой энергии, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других — минимумы интенсивности, т. е. появляется интерференционная картина.

Максимумы интенсивности появляются там, где , т. е. при , где m = 0, 1, 2, . Следовательно, . Отсюда получим условие максимума интенсивности при интерференции

где m — порядок интерференционного максимума.

Условие максимума интенсивности при интерференции читается следующим образом.

Если разность хода равна целому числу длин волн или четному числу полуволн, то будет наблюдаться максимум интенсивности при интерференции.

Аналогично найдем условие минимума. Если , то , где m = 0, 1, 2, .

Условие минимума интенсивности при интерференции читается следующим образом.

Если разность хода равна нечетному числу полуволн, то в данной точке экрана будет наблюдаться минимум интенсивности при интерференции.

8, Интерференция в тонких пленках

Интерференцию в тонких пленках часто можно наблюдать в виде радужной окраски масляных пленок на воде, на мыльных пузырях и т. д.

Рассмотрим, как происходит интерференция в тонких пленках. Пленка называется тонкой, если ее размеры соизмеримы с длиной волны λ. Пусть на тонкую пленку толщиной d падает параллельный пучок лучей монохроматического света (рис. 3.10).

На верхней границе раздела двух сред свет частично отражается, частично преломляется. Тоже происходит на нижней грани пленки.

Таким образом, световой луч испытывает многократное отражение и преломление. Отраженные лучи 1 и 2, а также преломленные лучи 1 / и 2 / , когерентны между собой. Остальные лучи не рассматриваются из-за малой интенсивности.

Оптическую разность хода находят из геометрических представлений и законов геометрической оптики.

Оптическая разность хода лучей 1 и 2 в отраженном свете, так же как и лучей 1 / и 2 / в проходящем свете, равна

,

где i — угол падения луча.

Кроме оптической разности хода надо учесть изменение фазы волны при отражении. Теория и опыт показывают, что если свет отражается от оптически более плотной среды, фаза волны меняется на противоположную, а если свет отражается от оптически менее плотной среды, фаза волны не меняется. Разность хода и разность фаз связаны соотношением (3.35)

.

Поэтому, если фаза меняется на противоположную, т. е. , то . Следовательно, изменение фазы на противоположную равносильно изменению разности хода на половину волны.

В нашем случае (рис. 3.10) изменение фазы на противоположную происходит при отражении в точке А.

Условия максимума и минимума интенсивности в отраженном свете запишутся следующим образом.

Запишем условие максимума и минимума интенсивности в проходящем свете

Эти формулы используются при решении задач.

Условия максимумов и минимумов при интерференции световых волн

Поместим точечный источник монохроматического света на границе раздела двух сред с показателями преломленияи. Световая волна окажется разделенной на две волны (рис. ). В некоторой точке Р произойдёт наложение этих волн.

Уравнения возбуждаемых в точке Рколебаний имеют вид:

(1)

(2)

При сложении этих колебаний амплитуда результирующего колебания будет зависеть от разности фаз .

Разность фаз колебаний в точке Р

. (3)

Обозначим разность оптических путей

. (4)

Величина называетсяоптической разностью хода.

Отношение , (5)

где — длина световой волны в вакууме.

Из выражений (3), (4) и (5) следует связь между оптической разностью хода и разностью фаз колебаний:

. (6)

Если разность фаз колебаний

, (7)

то амплитуда имеет максимальное значение, будет наблюдаться интерференционный максимум.

Если разность фаз колебаний

, (8)

то амплитуда имеет минимальное значение, будет наблюдаться интерференционный минимум. Здесь — целое число.

Используя формулу (6) и выражения (7) и (8), можно записать и сформулировать условия интерференционных максимумов и минимумов для оптической разности хода.

Условие максимума: . (9)

Условие минимума: . (10)

Если оптическая разность хода равна четному числу длин полуволн, то будет наблюдаться интерференционный минимум, если нечетному — интерференционный максимум.

Интерференция в тонких пленках

При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку (плёнку) происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают когерентные световые волны, которые могут интерферировать.

Получим условия интерференционных максимумов и минимумов для этого случая. Обозначим толщину пластинки символом , а показатель преломления её вещества —. Пусть на эту пластинку падает под угломплоская монохроматическая световая волна (луч света).

Луч света 1 в точке А частично отразится от верхней грани (1 / ), частично преломится.

Преломленный луч испытывает отражение от нижней поверхности пластинки в точке В, затем, преломившись в точке С, под тем же углом iвыходит из пластинки (1 // ).

Найдем оптическую разность хода лучей 1 / и 1 // . Она равна

(1)

В этом выражении слагаемое учитывает изменение фазы световой волны напри её отражении от оптически более плотной среды (в точке.A).

Выразим оптическую разность хода через толщину пластинки, показатель преломленияи угол преломленияr . Учтем, что угол падения и угол преломления света связаны между собой соотношением:

(2)

Займемся геометрией (рис. )

(3)

; (4)

(5)

Подставим формулы (3) и (5) в выражение (1) для оптической разности хода, получим:

(6)

Так как , то

(7)

Оптическая разность хода зависит от толщины пленки , показателя преломления её материалаи длины световой волны.

Условием интерференционных максимумов будет выражение :

Условием интерференционных минимумов:

. (8)

Анализ полученных выражений позволяет сделать следующие выводы.

• Если на тонкую пленку постоянной толщины падает монохроматическое излучение, то в отраженном свете она будет либо окрашенной в один цвет, либо тёмной.
• Если толщина пленки неодинакова, то на ней будет наблюдаться интерференционная картина.
• Если плёнка постоянной толщины освещается белым светом, то она будет иметь окраску, соответствующую длине волны, для которой выполняется условие максимума.
• Если толщина пленки неодинакова, то при освещении белым светом она будет иметь участки, окрашенные в разные цвета.

Условия интерференционного максимума и минимума

Если оптическая разность хода  равна целому числу длин волн ₀ , т.е.

(= 0, 1, 2,…) ,

то колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут проис­ходить в одинаковой фазе, и в точке М будет наблюдаться интерференционный максимум (m – порядок интерференционного максимума).

Если же оптическая разность хода  равна полуцелому числу длин волн ₀ , т.е.

(= 0, 1, 2,…) ,

то колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе, и в точке М будет наблюдаться интерференционный минимум (m – порядок интерференционного минимума). В качестве примера наблюдения интерференции световых волн рассмотрим метод Юнга.



Метод Юнга. Для наблюдения интерференции света когерентные световые пучки получают разделением и последующим сведением световых лучей, исходящих из одного и того же источника. Практически это можно осуществить с помощью экрана и щелей.

Источником света служит ярко освещенная щель S (рис. 1), от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S₁ и S₂, параллель­ные щели S. Таким образом, щели S₁ и S₂ играют роль когерентных источников, а

интерференционная картина наблюдается на экране (Э), расположенном на некотором расстоянии l от щелей S₁ и S₂ (рис. 1) . Щели S₁ и S₂ находятся на расстоянии d друг от друга (рис. 1), причем l >> d.

нтерференция рассматривается в произ­вольной точкеА на экране, расположенной на расстоянии x от точки O, симметричной от­носительно щелей и принятой за начало отсчета величины x .

Интенсивность в любой точке А экрана, лежащей на расстоянии х от точки О, определяется оптической разностью хода = s₂ – s₁ .

Согласно рисунку 1 :

; ,



откуда



или .

Из условия l >> d следует, что s₁ + s₂  2l, тогда



.

Согласно этому соотношению и условиям наблюдения интерференционных максимумов и минимумов положения максимумов (x_max) и минимумов (x_min) интенсивности на экране в методе Юнга определяются следующим образом:

(= 0, 1, 2,…) ,

(= 0, 1, 2,…) .

Расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами) x называется шириной интерференционной полосы и равно:



.

Из этого соотношения следует, что величина x зависит от длины световой волны ₀ . Поэтому, четкая интерференционная картина, представляющая собой чередова­ние на экране светлых и темных полос, параллельных друг другу, возможна только при использовании монохроматического света, то есть света определенной длины волны ₀. Если же использовать белый свет, представляющий собой непрерыв­ный набор длин воли от 0,40 мкм (фиолетовая граница видимого спектра) до 0,75 мкм (красная граница видимого спектра), то интерференционные максимумы для каждой длины волны будут смещены на экране друг относительно друга, и светлые полосы будут иметь вид радужных полос. Только в середине экрана будет наблюдаться белая полоса, так как для всех длин воли в середине экрана выполняются условия интерференционных максимумов, соответствующих значению m = 0.

Интерференция и дифракция ⁠ ⁠



Интерференция – это сложение колебаний. В результате интерференции в каких-то точках пространства происходит рост амплитуды колебаний, а в других – их уменьшение. Неизменная картина интерференции наблюдается только тогда, когда разность складываемых колебаний постоянна (они когерентны). Очевидно, что когерентными могут быть колебания одинаковой частоты. Поэтому чаще всего изучают интерференцию монохроматических колебаний.

На фото изображена интерференция волн на поверхности воды.

Интерференцию световых волн можно наблюдать, если положить стеклянную линзу на стеклянную пластинку (см. рисунок справа) и посмотреть на них сверху. Луч света (красные стрелки) падает сверху на линзу, преломляется, отражается от её нижней искривлённой поверхности и выходит из линзы (луч 2). Однако часть луча, упавшего на нижнюю поверхность линзы, выходит из неё, падает на стеклянную пластинку, отражается от неё, проходит через линзу и выходит из неё (луч 1). Лучи 1 и 2 когерентны, т.к. они возникли из одного луча.

Если попав в глаз, фаза этих лучей будет отличаться на целое число периодов, то эти лучи будут усиливать друг друга и мы увидим яркое пятно. В тех случаях, когда их разность фаз составит нечётное число полупериодов (Т/2, 3Т/2, 5Т/2 и т.д.) лучи уничтожат друг друга, и мы увидим тёмное пятно.

Очевидно, что разность фаз между лучами 1 и 2 зависит от толщины зазора между линзой и пластинкой. Поэтому, смотря сверху мы увидим чередующиеся тёмные и светлые кольца – кольца Ньютона (см. рисунок).



Интерференция световых волн происходит, когда на пути света оказывается непрозрачный экран с двумя параллельными щелями – S1 и S2 (опыт Юнга, см. ниже). Согласно принципу Гюйгенса каждая из щелей становится вторичным источником сферических волн. S1 и S2 – когерентные источники, т.к. они произошли от одного источника света. Волны от S1 и S2 налагаются друг на друга, и если на каком-то расстоянии от щелей поставить непрозрачный экран, то на нём появятся чередующиеся тёмные и окрашенные (яркие) полосы. При этом напротив точки, лежащей между щелями, будет центральная яркая полоса, которую называют интерференционным максимумом «0» порядка. Симметрично от центральной яркой полосы располагаются темные полосы — интерференционные минимумы «1» порядка, а потом яркие полосы — интерференционные максимумы «1» порядка, и т.д. Очевидно, что разность хода лучей от S1 и S2 в точке на экране, где наблюдается интерференционный максимум m-го порядка, равна ml, где l- длина волны света.

На рисунке b показано, как можно вычислить угол q, под которым виден интерференционный максимум «1» порядка. Из рисунка следует, что , где d – расстояние между щелями. Также можно вычислить расстояние x от центральной яркой полосы на экране до интерференционного максимума «1» порядка , где L – расстояние до экрана, где наблюдают интерференцию. Необходимо отметить, что простота этих формул вытекает из того, что L>>d.



На фото ниже показаны интерференционные полосы для синего света (левая), для красного света (средняя) и для белого света (правая).



Интерференционные полосы можно наблюдать в свете, отражённом от вертикально расположенной мыльной плёнки (см. рисунок ниже). Толщина плёнки увеличивается сверху вниз, что изменяет разность хода между лучами, отражёнными от обеих поверхностей плёнки. На рисунке а схематически показан верхний красный луч, падающий слева на фиолетовую плёнку (в разрезе). Этот луч сразу отражается и получает обозначение (луч 1). Другая часть того же луча преломляется в плёнке, отражается от другой её поверхности (луч 2) и продолжает двигаться рядом с лучом 1. Если при этом разница фаз между лучами 1 и 2 станет кратной периоду колебаний, то лучи будут усиливать друг друга, и мы увидим яркую полосу. Если же эта разница фаз составит нечётное число полупериодов (Т/2, 3Т/2, 5Т/2 и т.д.), то они уничтожат друг друга, а мы увидим тёмную полосу.



Следует отметить, что волны при отражении изменяют фазу на 180° (или p), если отражаются от более оптически плотной среды, например, при отражении света в воздухе от воды. Если отражение происходит от менее оптически плотной среды, то изменение фазы волны не происходит.

Пусть, например, показатели преломления n1 < n2 >n3 (см. рисунок ниже). Найдём разность фаз Dj между лучами 1 и 2 после прохождения лучом 2 через тонкую плёнку в обоих направлениях. Луч 1 изменил свою фазу после отражения на p. Луч 2 вернётся в среду с n1 , опоздав на число периодов, равное отношению двойной толщины плёнки (2h) к длине волны света в ней, l2, т.е.



где l0 – длина волны света в вакууме.



Дифракцией называют явления, связанные со свойством волн огибать препятствия, т.е отклоняться от прямолинейного распространения.

На рисунке ниже показано, как меняют направление звуковые волны после прохождения через отверстие в стене. Согласно принципа Гюйгенса области 1-5 становятся вторичными источниками сферических звуковых волн. Видно, что вторичные источники в областях 1 и 5 приводят к огибанию волнами препятствий.



Любое препятствие искажает фронт распространения волн. Согласно принципу Гюйгенса границы препятствия становятся вторичными источниками волн, а их интерференция за препятствием приводит к возникновению устойчивой картины — чередования максимумов и минимумов интенсивности. Эти максимумы и минимумы называют дифракционными, т.к. они произошли в результате дифракции волн. Ниже показана дифракция волн, распространяющихся слева направо за шаром. Видно, что дифракция волн практически уничтожает тень от шара, а в её центре появляется область, где интенсивность волн очень велика.



Ниже показано фото тени от монеты на экране при освещении её источником монохроматического света. Видно, что в центре тени есть яркое пятно, образованное интерференцией лучей, огибающих край монеты. Интерференция этих лучей приводит к появлению чередующихся тёмных и ярких колец, окружающих тёмный диск тени. Этот эксперимент тоже является иллюстрацией явления дифракции света.



Ниже показано увеличенное фото тени верхнего края непрозрачной стены на экране. Видно, что переход из тёмной части тени в освещённую происходит не резко, а через последовательность чередующихся тёмных и ярких полос. Эти полосы являются результатом дифракции лучей света на краю препятствия и последующей их интерференции.



Щель в непрозрачном экране (см. рис. ниже) тоже искажает фронт распространения волн. Согласно принципу Гюйгенса границы щели и она сама становятся вторичными источниками волн, а их последующая интерференция приводит к возникновению устойчивой картины — чередования дифракционных максимумов и минимумов интенсивности света (см. самую правую панель рисунка).



Если расстояние L до экрана, на котором наблюдают дифракционную картину, гораздо больше ширины a щели (см. рисунок ниже), то угол, под которым виден первый дифракционный минимум номер n (см. yn на рисунке), можно вычислить из соотношения



где l — длина волны света. Коричневой кривой показан график зависимости интенсивности света от положения на экране. Самая правая панель – соответствующая дифракционная картина.



Если щель освещается двумя источниками света S1 и S2 , то каждый из них будет создавать на экране свою дифракционную картину (см. рисунок ниже). Если угол q, под которым видны эти источники, больше ширины центрального дифракционного максимума (2l/a) то на экране можно будет различить ДВА ярких дифракционных максимума. В противном случае на экране будет только один центральный максимум слегка большей интенсивности. Таким образом, чем больше ширина щели, тем легче различить на экране близко расположенные источники света.



Дифракция света наблюдается, если он проходит через круглое отверстие (см. левый рисунок). При этом дифракционная картина состоит из центрального яркого пятна, окружённого чередой тёмных и ярких колец. При этом угловой диаметр q1 центрального яркого пятна равен



где D – диаметр отверстия. Если угол, под которым видны два источника света больше q1 , их центральные максимумы не перекрываются и вполне различимы (см. среднее фото). В противном случае эти максимумы сливаются в один (см. самое правое фото).

Таким образом, чем больше будет диаметр входной линзы или зеркала телескопа, тем больше звёзд мы увидим на небе.



Дифракционная решётка – это прозрачная пластинка, на которую через одинаковое расстояние d (период решётки) нанесены параллельные штрихи. Плоский фронт световой волны падает слева на дифракционную решётку (см. рисунок) и претерпевает дифракцию на её штрихах. После интерференции прошедших через решётку лучей появляются направления, вдоль которых наблюдаются дифракционные максимумы и минимумы интенсивности света.

Угол qn, под которым виден первый дифракционный максимум номер n, легко вычислить, если считать, что расстояние до экрана Р гораздо больше периода решётки d:





На рисунке справа показано, как дифракционная решётка расщепляет голубой луч лазера.



Дифракционная решётка не только может отклонять лучи, как призма, но и разлагать их в спектр. Справа показано, что происходит с белым светом, после того, как он проходит через дифракционную решётку. Видно, что дифракционная картина в этом случае представляет собой наложение дифракционных картин для цветов, образующих белый свет



Явления дифракции и интерференции света помогают Природе раскрашивать всё живое, не прибегая к использованию красителей

Похожие публикации:
1. Putty telnet как пользоваться
2. Как войти на авито если поменялся номер телефона
3. Как переместить слой в фотошопе в другой файл
4. Какую мощность излучения имеет солнце