Каков характер ачх и фчх согласованного фильтра

2.5. Согласованный фильтр

Согласованный фильтр (СФ) предназначен для максимизации отношения сигнал/шум на своём выходе при приеме сигнала на фоне белого шума со спектральной плотностью мощности N(f) = N₀. Напряжение на выходе СФ, в отличие от коррелятора, не зависит от временной задержки сигнала , и на выходе СФ даёт сигнал, который является разверткой во времени АКФ входного сигнала.

Импульсная характеристика СФ представля­ет собой зеркальное отображение сигнала S(t) с запаздыванием Т, равным длительности сигнала _u

h(t) = k · u (T − t), (15)

где k – амплитудный множитель (коэффициент усиления СФ).

Частотная характеристика СФ Ý(jω) c точно­стью до произвольного вещественного множителя k и множителя запаздывания ехр[-jωT] представляет собой функцию, комплекс­но сопряжённую со спектром входного сигнала G(jω)

Ý(jω) = k ·ехр[−jωT ] · G * (jω) . (16)

Знак * означает комплексное сопряжение; Т – длительность сигнала, равная _u.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра повторяет амплитудно-частотный спектр принимаемого сигнала с точностью до множителя k

|Y(jω)| = k · |G * (jω) |, (17)

а фазо-частотная характеристика (ФЧХ) φ(jω) состоит из двух слагаемых: первое имеет знак, обрат­ный знаку фазо-частотного спектра принимаемого сигнала Ψ(jω), а второе представляет собой линейную функцию – ωT

φ (jω) = − Ψ(jω) − ωT. (18)

В результате такого выбора АЧХ частотные составляю­щие спектра сигнала (сплошная линия на рис.10, а) усиливаются про­порционально отношению сигнал/шум. Там, где спектральные составляющие полезного сигнала равны нулю (точки 1, 2, 3, 4, 5, 6), АЧХ (пунктирная линия) равна нулю и максимальна там, где максимально отношение сигнал/шум (на часто­те f₀).

В результате выполнения условия (18) у сигнала, снимаемого с выхода СФ в момент времени Т (т.е. когда весь сигнал «вошел» в СФ), все частотные составляющие спект­ра сигнала будут синфазны. Разности фаз между частотными составля­ющими спектра сигнала, определяемые фазочастотным спектром Ψ(jω), будут скомпенсированы в этот момент ФЧХ согласованного фильтра (рис. 10, б).

На рис.10, в, г, д показаны три составляющие спектра сигнала на частотах f₁, f₂ и f₃, синфазные в момент времени Т полного вхождения сигнала в СФ, а на рис.10, е – их сумма. Такое синфазное суммирование различных частотных составляющих спектра сигнала в момент времени Т вызыва­ет появление на выходе СФ максимального зна­чения сигнала, величина которого равна энергии входного сигнала Е. Для всех других моментов времени (t  0 ÷ 2T, t  T) значение выходного сигнала меньше, чем в момент времени Т, так как фазо-частотный спектр сигнала не компенсируется ФЧХ фильтра, и частот­ные составляющие спектра сигнала суммируются несинфазно.

Сигнал на выходе СФ является разверткой во времени АКФ входно­го сигнала и имеет спектр

G_вых(jω) = Y(jω)G(jω) = kexp[−jωT]|G(jω)| 2 . (19)

При записи выражения (19) учтено выражение (16).

Рис. 10.

Отличие выходного сигнала СФ от выходно­го сигнала коррелятора состоит в том, что выходной сигнал СФ представляет собой развертку во времени АКФ входного сигнала, а выход­ной сигнал коррелятора – одно числовое значение этой АКФ в точке с координатой  (12).

Принцип действия СФ для сложного сигна­ла с ЧМ и простого радиоимпульса такой же длительности _u поясняется на рис.11 и рис.12 соответственно. Фильтруемые им­пульсы показаны на рис.11, а и рис.12, а.

Для фильтрации радиоимпульса с ЛЧМ используется фильтр в ви­де линии задержки с неравномерно расположенными однополярными съёмами (рис.11, б). Максимальное время задержки равно длительности входного сигнала _u = T.

На рис.11, в, г, д, е приведены сигналы, снимаемые с каждого из отводов: сигнал u₁(t) (рис.11, в) снимается с первого отвода, сигнал u₂(t) (рис.11, г) снимается со второго от­вода и т.д. Расположение отводов подобрано так, что в момент окон­чания импульса на входе линии задержки (весь входной ЧМ сигнал «вошёл» в линию задержки), происходит оптимальное (синфазное) сум­мирование всех положительных полупериодов сигнала, снимаемых с разных отводов.

В результате синфазного суммирования в выходном сигнале СФ появляется ярко выраженный узкий пик (рис.11, к) в момент времени _u. Вследствие модуляции в другие моменты времени амплитуда результирующего выходного коле­бания СФ равна нулю (рис.11, к). Амплитуда мак­симального пика выходного сигнала в пять раз превышает амплитуду входного сигнала рис.11, а. Если бы отводов и периодов в сигнале было больше, то главный пик сильнее выделялся бы на фоне боковых лепестков. Из рис.11, к можно заметить, что чем больше изменение частоты заполнения сложного ЧМ сигнала, тем уже центральный пик выходного сигнала СФ.

Для фильтрации простого сигнала используется также линия за­держки, но однополярные съёмы расположены равномерно (рис.12, б). Принцип действия фильтра такой же, как и для сигнала с ЧМ. Выход­ные сигналы съёмов представлены на рис.12, в, г, д, е, и, а выходной сигнал СФ – на рис.12, к. Как видно из рис.12, к, этот сигнал является разверткой во времени АКФ входного сигнала.

Сравнение рис.11, к и рис.12, к наглядно показывает разницу в разрешающей способности по дальности для простых и сложных сигналов, имеющих одинаковую длительность.

Рис. 11. Рис. 12.

1.3. Согласованные фильтры

До сих пор на помеху n(t) не налагалось никаких ограничений, кроме стационарности в широком смысле. Рассмотрим теперь помеху в виде гауссовского белого шума. Линейный фильтр, на выходе которого получается максимально возможное пиковое значение отношения сигнал/помеха при приеме полностью известного сигнала на фоне гауссовского белого шума, называется согласованным фильтром. Найдем выражение для комплексной частотной характеристики согласованного фильтра. Для этого положим Тогда выражения (1.7) и (1.8) примут соответственно вид:

(1.9)

где k – постоянная, характеризующая коэффициент передачи фильтра; E_s – энергия сигнала:

Запишем спектр входного сигнала и комплексную частотную характеристику фильтра в виде

Здесь _s– фазовый спектр сигнала,– фазо-частотная характеристика фильтра.

Тогда выражения для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик согласованного фильтра будут иметь вид

Видно, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра пропорциональна амплитудному спектру входного сигнала (АЧХ фильтра «согласована» со спектром сигнала), а фазочастотная характеристика (ФЧХ) равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки (– t₀).

Совпадение формы АЧХ фильтра с амплитудным спектром сигнала обеспечивает наилучшее выделение наиболее интенсивных участков спектра сигнала. Фильтр ослабляет участки спектра с относительно низким уровнем спектральных составляющих; в противном случае наряду с ними проходили бы интенсивные шумы. При этом форма сигнала на выходе фильтра искажается. Однако это не имеет существенного значения, так как задача фильтра в данном случае состоит не в точном воспроизведении входного сигнала, а в формировании наибольшего пика выходного сигнала на фоне шума. Существенную роль в этом отношении играет фазочастотная характеристика фильтра  ().

Подставив в формулу (1.1) выражение (1.9), получим выражение для полезного сигнала на выходе согласованного фильтра:

Отсюда видно, что сигнал на выходе фильтра определяется только амплитудным спектром входного сигнала и не зависит от его фазового спектра. Последнее обусловлено тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала _s() компенсируются ФЧХ фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени t = t₀ и, складываясь, дают пик выходного сигнала:

Если бы ФЧХ фильтра не компенсировала фазовых сдвигов спектральных составляющих входного сигнала, то максимумы гармонических составляющих не совпадали бы по времени, что привело бы к уменьшению или раздроблению пика выходного сигнала.

Следует отметить, что согласованным фильтром (1.9) можно пользоваться и при приеме полностью известного сигнала на фоне стационарной помехи с произвольной спектральной плотностью S_n(). Для этого формально достаточно пропустить принимаемое колебание x(t) через дополнительный линейный фильтр, который преобразует помеху n(t) в белый шум. ФЧХ фильтра может быть любой, а АЧХ такого дополнительного “обеляющего” фильтра должна иметь вид

(1.10)

где – постоянная.

На выходе обеляющего фильтра помеха превратится в белый шум с постоянной спектральной плотностью а комплексный спектр сигнала будет

После этого можно воспользоваться полученными ранее формулами. В соответствии с выражением (1.9) комплексная частотная характеристика соответствующего согласованного фильтра

Оптимальный фильтр представляет собой последовательное соединение двух фильтров: обеляющего и согласованного . Его комплексная частотная характеристика естественно совпадает с соотношением (1.8).

Пользуясь допустимой свободой выбора фазовой характеристики обеляющего фильтра, можно попытаться выбрать ее так, чтобы оптимальный фильтр был физически реализуем. Если спектральную плотность помехи S_n() можно аппроксимировать рациональной функцией частоты (что на практике не ограничивает общности), то для получения физически реализуемого оптимального линейного фильтра используют разложение S_n() на комплексно-сопряженные сомножители. Рассмотрим пример.

Пусть помехой является гауссовский шум, имеющий спектральную плотность S_n() = 2D/( 2 + 2 ), где D – дисперсия шума. Тогда согласно формуле (1.10) имеем

Таким образом, получаем два равноценных варианта обеляющих фильтров:

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра:

Учитывая выражение для входного сигнала

,

. (1.11)

Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала («согласована» с сигналом). На рис. 1.1 изображен импульсный сигнал s(t) длительностью t_и, появившийся в момент времени t = t₀ .

Очевидно, что функция s(t₀+t) появляется на время t₀ раньше, чем сигнал s(t). Функция же s(t₀–t) является зеркальным отображением функции s(t₀+t) относительно оси ординат. Умножив функцию s(t₀–t) на коэффициент k , получаем импульсную характеристику согласованного фильтра.

2.3. Согласованные фильтры

До сих пор на помеху n(t) не налагалось никаких ограничений, кроме стационарности в широком смысле. Рассмотрим теперь помеху в виде гауссовского белого шума. Линейный фильтр, на выходе которого получается максимально возможное пиковое значение отношения сигнал/помеха при приеме полностью известного сигнала на фоне гауссовского белого шума, называется согласованным фильтром. Найдем выражение для комплексной частотной характеристики согласованного фильтра. Для этого положим Тогда выражения (2.7) и (2.8) примут соответственно вид:

(2.9)

где k – постоянная, характеризующая коэффициент передачи фильтра; E_s – энергия сигнала:

Запишем спектр входного сигнала и комплексную частотную характеристику фильтра в виде

Здесь _s– фазовый спектр сигнала,– фазо-частотная характеристика фильтра.

Тогда выражения для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик согласованного фильтра будут иметь вид

Видно, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра пропорциональна амплитудному спектру входного сигнала (АЧХ фильтра «согласована» со спектром сигнала), а фазочастотная характеристика (ФЧХ) равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки (– t₀).

Совпадение формы АЧХ фильтра с амплитудным спектром сигнала обеспечивает наилучшее выделение наиболее интенсивных участков спектра сигнала. Фильтр ослабляет участки спектра с относительно низким уровнем спектральных составляющих; в противном случае наряду с ними проходили бы интенсивные шумы. При этом форма сигнала на выходе фильтра искажается. Однако это не имеет существенного значения, так как задача фильтра в данном случае состоит не в точном воспроизведении входного сигнала, а в формировании наибольшего пика выходного сигнала на фоне шума. Существенную роль в этом отношении играет фазочастотная характеристика фильтра  ().

Подставив в формулу (2.1) выражение (2.9), получим выражение для полезного сигнала на выходе согласованного фильтра:

Отсюда видно, что сигнал на выходе фильтра определяется только амплитудным спектром входного сигнала и не зависит от его фазового спектра. Последнее обусловлено тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала _s() компенсируются ФЧХ фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени t = t₀ и, складываясь, дают пик выходного сигнала:

Если бы ФЧХ фильтра не компенсировала фазовых сдвигов спектральных составляющих входного сигнала, то максимумы гармонических составляющих не совпадали бы по времени, что привело бы к уменьшению или раздроблению пика выходного сигнала.

Следует отметить, что согласованным фильтром (2.9) можно пользоваться и при приеме полностью известного сигнала на фоне стационарной помехи с произвольной спектральной плотностью S_n(). Для этого формально достаточно пропустить принимаемое колебание x(t) через дополнительный линейный фильтр, который преобразует помеху n(t) в белый шум. ФЧХ фильтра может быть любой, а АЧХ такого дополнительного “обеляющего” фильтра должна иметь вид

(2.10)

где – постоянная.

На выходе обеляющего фильтра помеха превратится в белый шум с постоянной спектральной плотностью а комплексный спектр сигнала будет

После этого можно воспользоваться полученными ранее формулами. В соответствии с выражением (2.9) комплексная частотная характеристика соответствующего согласованного фильтра

Оптимальный фильтр представляет собой последовательное соединение двух фильтров: обеляющего и согласованного . Его комплексная частотная характеристика естественно совпадает с соотношением (2.8).

Пользуясь допустимой свободой выбора фазовой характеристики обеляющего фильтра, можно попытаться выбрать ее так, чтобы оптимальный фильтр был физически реализуем. Если спектральную плотность помехи S_n() можно аппроксимировать рациональной функцией частоты (что на практике не ограничивает общности), то для получения физически реализуемого оптимального линейного фильтра используют разложение S_n() на комплексно-сопряженные сомножители. Рассмотрим пример.

Пусть помехой является гауссовский шум, имеющий спектральную плотность S_n() = 2D/( 2 + 2 ), где D – дисперсия шума. Тогда согласно формуле (2.10) имеем

Таким образом, получаем два равноценных варианта обеляющих фильтров:

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра:

Учитывая выражение для входного сигнала

,

. (2.11)

Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала («согласована» с сигналом). На рис. 2.1 изображен импульсный сигнал s(t) длительностью t_и, появившийся в момент времени t = t₀ .

Очевидно, что функция s(t₀+t) появляется на время t₀ раньше, чем сигнал s(t). Функция же s(t₀–t) является зеркальным отображением функции s(t₀+t) относительно оси ординат. Умножив функцию s(t₀–t) на коэффициент k , получаем импульсную характеристику согласованного фильтра.

Согласованный линейный фильтр

Прием радиосигналов всегда сопровождался помехами. Поэтому на протяжении всего развития радиотехники (в частности приемных устройств) центральной проблемой была и остается борьба с помехами и шумами (далее просто шумами). В случаях, когда мощность полезного сигнала соизмерима со средней мощностью шума, трудно не только выделить, но и обнаружить сигнал.

Основой большинства практических методов выделения сигнала из аддитивной смеси сигнала и шума в радиоприемных устройствах является оптимальная линейная фильтрация, использующая линейные частотные фильтры.

В теории приемных устройств установлено, что критерий качества линейной фильтрации зависит от одной из решаемых задач: обнаружение сигнала в шумах или разрешение сигналов. При обнаружении сигнала в шумах наиболее эффективен критерий максимума отношения сигнал/шум по мощности на выходе фильтра. Линейный фильтр, для которого это отношение максимально, называют оптимальным (наилучшим). Следует ожидать, что при подаче на вход оптимального фильтра аддитивной суммы полезного сигнала и шума на его выходе можно получить заметное увеличение отношения сигнал/шум.

Одним из основных параметров фильтров приемника является коэффициент передачи.

Коэффициент передачи оптимального фильтра приемника определим при условии. что сигнал принимается на фоне белого шума с двухсторонней спектральной плотностью мощности W₀ (напомним, что часто белый шум задается односторонней, т.е. в области физических частот спектральной плотностью мощности N₀ = 2W₀ ).

Для удобства анализа представим коэффициент передачи оптимального фильтра в виде

где K(ω) – АЧХ; φ_k(ω) – ФЧХ фильтра.

Пусть входной сигнал u(t) имеет спектральную плотность

S(ω) = S(ω)e jφ c( ω) . (11.2)

Здесь S(ω) и φ_с(ω)—соответственно амплитудный и фазовый спектры принимаемого сигнала.

Отметим некоторый, пока неизвестный, момент времени t = t₀, при котором отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет максимальным. В соответствии с известной формулой сигнал на выходе фильтра как линейного четырехполюсника равен

S(ω)K (11.3)

Поскольку S_ВЫХ(ω) = S_ВХ(ω)К(ω), то можно найти среднюю мощность (дисперсию) белого шума на выходе фильтра:

Используя выражения (11.3) и (11.4), запишем отношение выходных мощностей сигнала и шума

Для удобства вычислений введем эквивалентный коэффициент передачи фильтра

K_э(ω) = К(ω) e jωt 0 = (11.6)

Оптимальный коэффициент передачи анализируемого фильтра максимизирует правую часть выражения (11.5). Задача нахождения оптимального коэффициента передачи К(ω) решается на основе известного в математике неравенства Буняковского-Коши-Шварца, которое для данного случая имеет вид

Прямая подстановка показывает, что неравенство обращается в равенство, если

K_э(ω) = АS*(ω), (11.8)

где А – произвольный постоянный коэффициент; S*(ω) – функция комплексно-сопряженная с S(ω).

Представим эквивалентный коэффициент передачи (11.8) в виде:

K_э(ω) = К(ω)е jωt 0 = АS*(ω) = AS(ω) .

Отсюда находим коэффициент передачи фильтра

К(ω) = АS*( ω) е jωt 0 = АS(ω) (11.9)

Формула (11.9) полностью определяет коэффициент передачи оптимального фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум. Отсюда же следуют требования к АЧХ и ФЧХ оптимального фильтра

К(ω) = АS(ω), (11.10)

По определению частотный коэффициент передачи – безразмерная величина, поэтому постоянный коэффициент А должен иметь размерность обратную размерности амплитудного спектра входного сигнала S(ω).

Сущность метода обработки принимаемого сигнала оптимальным фильтром приемника иллюстрируется рис. 11.1, где соответственно показаны и обозначены: спектр входного сигнала S(ω) и белого шума W₀; спектр выходного сигнала S_ВЫХ(ω) и АЧХ фильтра К(ω); энергетический спектр σ 2 _x(ω).

Эти результаты имеют следующий физический смысл. Формула (11.10) устанавливает, что АЧХ фильтра К(ω) должна с точностью до масштабного множителя А совпадать по форме с амплитудным спектром S(ω) входного сигнала. Благодаря этому, подавляющая часть спектральных составляющих входного сигнала, имеющих наибольшие амплитуды, проходит на выход оптимального фильтра практически без ослабления и вносит основной вклад в образование его пикового значения. Из множества же спектральных компонентов входного белого шума, располагающихся в бесконечной полосе частот, на выход фильтра проходят и не ослабляются только те, которые находятся под кривой его АЧХ, т.е. в ограниченной полосе частот..

гармонических составляющих спектра сигнала. Согласно этому условию, оптимальный фильтр должен иметь такую ФЧХ,

чтобы получаемый в нем фазовый сдвиг каждой гармоники − φ_c(ω) был равен по величине и противоположен по знаку начальной фазе соответствующей спектральной плотности S(ω) входного сигнала. Оптимальный фильтр проводит компенсацию («обнуление») начальных фаз всех спектральных составляющих сигнала u(t), в результате чего образуется и пик выходного сигнала. Составляющая ФЧХ — ωt₀ указывает на то, что пик (максимум) выходного сигнала задержан относительно начала действия входного сигнала на время t_0. Связь между фазовой характеристикой φ_c(ω) входного сигнала, компенсирующей ее фазовый характеристикой —φ_c(ω) и ФЧХ фильтра поясняется рис. 11.2. Фазовая характеристика выходного сигнала, определяемая формулой

φ_ВЫХ(ω) = φ_c(ω) + φ_k(ω) = φ_c(ω) + [−φ_c(ω) − ω t₀] = − ω t₀ (11.12)

показана на этом рисунке прямой линией.

Таким образом, коэффициент передачи фильтра, описываемый соотношением (11.1), согласован с амплитудным и фазовым (или фазовой характеристикой) спектрами входного сигнала. Поэтому такой фильтр часто называют согласованным.

Если вернуться к выражению (11.5), можно рассмотреть энергетические соотношения между сигналом и шумом на выходе оптимального фильтра. Поскольку квадрат модуля комплексного числа равен квадрату его действительной части, то, после несложных преобразований упомянутой формулы, получим:

Числитель в формуле (8.16) в соответствии с равенством Парсеваля представляет собой энергию входного сигнала Э. Тогда последнее соотношение примет вид:

Согласно выражению (11.14), оптимальный фильтр обеспечивает максимум отношения сигнал/шум, которое зависит только от энергии входного сигнала и спектральной плотности мощности белого шума и совершенно не связано с формой входного сигнала.

ПРИМЕР 11.1 Полезный сигнал, поступающий на вход оптимального фильтра, представляет собой прямоугольный видеоимпульс с некоторой амплитудой Е и длительностью τ_И = 10 мкс. Белый шум на входе фильтра имеет спектральную плотность мощности W₀ = 25 ·10 -18 В 2 /Гц. Определить минимальное значение амплитуды Е, при которой возможно обнаружение сигнала, если приемник регистрирует его присутствие при отношении сигнал/шум Q_ВЫХ = Э/W₀ = 2 дБ (в практических схемах надежная регистрация осуществляется при Q_ВЫХ ≥ 13 дБ).

Р е ш е н и е . Требуемую величину отношения сигнал/шум найдем из условия 10 lq (Э/W₀) = 2, откуда Э/W₀ = 1,58. Поскольку энергия прямоугольного импульса Э = Е 2 τ_И, то

Дата добавления: 2020-12-11 ; просмотров: 234 ;