Как построить изображение квадрата в собирающей линзе

Как построить изображение квадрата в собирающей линзе

Задача по физике — 5458

2017-11-26
Изображение квадрата, построенное в некоторой собирающей линзе, представляет из себя две ломаные, уходящие на бесконечность (см. рис.). Пользуясь рисунком, восстановите размер квадрата, фокусное расстояние линзы и её положение.

Из симметрии картинки очевидно, что квадрат расположен симметрично относительно главной оптической оси линзы $OO^< \prime>$. Так как две стороны изображения параллельны друг другу, ясно, что две стороны квадрата перпендикулярны $OO^< \prime>$. Поскольку изображение по условию «рваное», понятно, что фокус линзы расположен внутри квадрата. Построим изображение квадрата ABCD в линзе $HH^< \prime>$ с фокусами в точках F и $F^< \prime>$ (см. рис. 1). Чтобы построить изображение точки A, построим луч $ABHFA^< \prime>$ (идущий до линзы параллельно главной оптической оси, а после линзы проходящий через фокус) и луч $AA^< \prime>$ (проходящий через центр линзы и, следовательно, не преломляющийся в ней). На пересечении этих лучей лежит $A^< \prime>$ — изображение точки A. Аналогично строим лучи $DCH^ < \prime>FD$ и $DD^< \prime>$ и находим положение $D^< \prime>$ — изображения точки D. Чтобы построить изображение точки B, построим луч BHF (идущий до линзы параллельно главной оптической оси, а после линзы проходящий через фокус) и луч $BB^< \prime>$ (проходящий через центр линзы и, следовательно, не преломляющийся в ней). На пересечении продолжения этих лучей лежит $B^< \prime>$ — изображение точки B. Аналогично строим лучи $CH^< \prime>F$ и $CC^< \prime>$ и находим положение $C^< \prime>$ — изображения точки C. Из построения изображения видно, что фокус линзы лежит на пересечении линий $B^< \prime >A^< \prime>$ и $C^< \prime>D^< \prime>$. Значит, соединив на предложенной картинке аналогичные точки получим положение фокуса линзы. Проведём через него главную оптическую ось перпендикулярно $A^< \prime>D^< \prime>$ и $C^< \prime>B^< \prime>$ (см. рис. 2). Обозначим через $R = 18$ и $r = 9$ размеры половин параллельных сторон изображения, через $Y = 27$ — расстояние между ними, через $d = 9$ — расстояние от действительного (уменьшенного) изображения до фокуса. Все эти размеры можно снять с рис..Обозначим неизвестные: $a$ — половина стороны квадрата, $f$ — фокусное расстояние линзы, $b$ — расстояние от линзы до ближайшей стороны квадрата ($b = |BH|$). Треугольники $FD^< \prime>E^< \prime>$ и $FH^< \prime>U$ ($U$ — центр линзы), $UD^< \prime>E^< \prime>$ и $UDE$, $ULB$ и $UL^< \prime>B^< \prime>$ — подобны, поэтому

Ответ. Фокусное расстояние линзы равно $f = (2R + Y)r/(R + r) — d = 12$ единиц, половина стороны квадрата равна $a = fr/d = 12$ единиц, расстояние от линзы до ближайшей стороны квадрата равно $b = a(Y — d — f)/R = 4$ единицы.

Как построить изображение квадрата в собирающей линзе

Задача по физике — 5460

2017-11-26
На рис. приведено изображение окружности в собирающей линзе. $AA^< \prime>$ — главная оптическая ось этой линзы. Пользуясь рисунком, восстановите расположение линзы, её фокусное расстояние, положение и радиус окружности. Окружность, её изображение и ось $AA^< \prime>$ лежат в плоскости рисунка. При построении изображения использовалось приближение параксиальных лучей.

Поскольку изображение окружности уходит на бесконечность, исходная окружность касается фокальной плоскости линзы. Чтобы исследовать свойства изображения окружности рассмотрим некоторое расположение окружности и линзы, обозначим крайнюю левую, верхнюю, правую и нижнюю точки окружности через A, B, C и D (см. рис. 1). 1) Касательная к точке A вертикальна, поэтому и касательная к изображению этой точки должна быть вертикальна (при отображении в линзе линия, перпендикулярная главной оптической оси, отображается в также перпендикулярную линию). Отсюда следует, что точка $A^< \prime>$ на рис. 2 (касательная к которой — пунктир — вертикальна) является изображением в линзе точки A. 2) Все лучи, проходящие через точку C после линзы станут параллельными. Поскольку изображение точки С уходит на бесконечность, эти лучи параллельны асимптотам изображения (прямым к которым приближается изображение на бесконечности). Луч АС после линзы также станет им параллелен. С другой стороны, АС параллельна главной оптической оси, и значит после линзы идёт в фокус. Отсюда следует построение фокуса линзы: строим асимптоты изображения, проводим через точку $A^< \prime>$ прямую, параллельную асимптотам. Точка пересечения её с главной оптической офю фокус (см. рис. 2). 3) Лучи, выходящие из точек В и D, параллельные главной оптической оси, после линзы пройдут через фокус и попадут в точки $B^< \prime>$ и $D^< \prime>$ изображения соответственно. С другой стороны, эти лучи являются касательными к исходной окружности, значит и после преломления они станут касательными к изображению (касательные переходят в касательные). Отсюда — построение точек $B^< \prime>$ и $D^< \prime>$: строим касательные к изображению, проходящие через F. Внимание, проверка правильности построения: точки В и D лежали на одной вертикали, значит и точки $B^< \prime>, D^< \prime>$ должны лежать на одной вертикали (см. рис. 3, отрезок $B^< \prime>D^< \prime>$). 4) Луч АВ, идущий под углом $45^ < \circ>С$ попадёт в фокальной плоскости (ФП) в точку пересечения ФП с лучом, проходящим через центр линзы под углом $45^ < \circ>С$ к главной оптической оси. Затем, так как этот луч несёт информацию и о точке A, и о точке В, он должен пройти и через точку $A^< \prime>$, и через точку $B^< \prime>$ изображения. Отсюда построение центра линзы: проводим луч $A^< \prime>B^< \prime>$ до пересечения с ФП и затем из полученной точки пересечения строим отрезок под углом $45^ < \circ>С$ к главной оптической оси. Точка О — центр линзы (см. рис. 4, точка $A^< \prime>$ не подписана, чтобы не загромождать рисунок). Внимание, проверка правильности построения: если аналогично рассматривать ход луча AD (проводим луч $A^< \prime>D^< \prime>$ до пересечения с ФП и затем из полученной точки пересечения строим отрезок под углом $45^ < \circ>С$ к главной оптической оси), должна получиться ложение окружности. Воспользуемся обратимостью лучей. Продолжим $A^< \prime>B^< \prime>$ до линзы. Поело линзы луч пойдёт под углом $45^ < \circ>С$ (так как дальше этот луч должен пойти и в А, и в В). Он должен где-то попасть в точку А. Продолжим $A^< \prime>D^< \prime>$ до линзы. После линзы луч также пойдёт под углом $45^ < \circ>С$ (так как дальше этот луч должен пойти и в А, ив D). Он тоже должен где-то попасть в точку А. Точка А есть пересечение полученных за линзой лучей (см. рис. 5). Точка С окружности лежит на одной горизонтали с точкой А и принадлежит ФП. Поскольку мы построили диаметр окружности АС, задача решена.

Как построить изображение квадрата в собирающей линзе

Задача по физике — 2801

2017-04-13
Перед идеальной собирающей линзой с фокусным расстоянием $F$ расположен квадрат со стороной $F$ так, что его центр находится на главной оптической оси на расстоянии $2F$ от линзы, а две стороны параллельны главной оптической оси. Постройте изображение квадрата в линзе и определите, во сколько раз его площадь больше площади самого квадрата.

Построим изображение квадрата по правилам построения изображений в тонкой линзе (рис.): оно является трапецией. Обратите внимание, что ближе к линзе расположено изображение дальней от линзы стороны квадрата и наоборот.

Пусть $x$ и $y$ — расстояния от линзы до изображений сторон СD и АВ квадрата соответственно. Тогда по формуле тонкой линзы $\frac + \frac< \fracF> = \frac, x = 3F$ и $\frac + \frac< \frac F> = \frac, y = \frac F$. Из подобия треугольников CDO и $C^< \prime>D^< \prime>O$ находим $C^< \prime>D^ < \prime>= 2F$. Аналогично находим $A^< \prime>B^ < \prime>= 2F/3$. Тогда площадь изображения квадрата $\frac \left ( 2F + \frac \right ) \left ( 3F — \frac F \right ) = \frac F$
Ответ: в $16/9 \approx 1,8$ раза.

Задание №14 ОГЭ по физике

Задание №14 ОГЭ по физике охватывает материал волновой и геометрической оптики. Для его решения нужно ориентироваться в видах линз, уметь строить преломленные изображения, знать законы отражения и преломления света, а также владеть основными понятиями раздела электромагнитных излучений. Сведения, которые будут полезными при решении такого рода задач, изложены в разделе теории.

Теория к заданию №14 ОГЭ по физике

Линзы собирающие и рассеивающие

Собирающая линза выпуклая, т.е. такая, у которой края тоньше середины. Рассеивающая, наоборот, имеет более тонкую середину и края потолще. При решении задач обычно используются т.н. тонкие линзы – т.е. линзы, толщина которых пренебрежимо мала по сравнению с радиусами сфер, ограничивающих их.

Главной оптической осью называют линию, проходящую через условные точки центров ограничивающих линзу сфер. На этой оси отмечают точку фокуса (фокусное расстояние) и расстояния, вдвое большее фокусного, которое называется двойным фокусным. Фокус – это точка (ее обозначают буквой «F»), в которой собираются все световые лучи, исходящие от реального предмета и преломляющиеся после прохождения сквозь линзу (рис.1).

При преломлении предмета в собирающей линзе можно получить действительное его изображение, причем находиться оно будет за линзой (т.е. предмет и его изображение оказываются по разные стороны от нее). Действительное изображение можно увидеть, например, на экране, установленном за линзой на расстоянии, больше фокусного. Визуально оно оказывается перевернутым. Пример – на рис.2.

На рис.2 линия красного цвета представляет собой реальное изображение предмета, зеленого – его изображение после преломления.

Особенностью изображения, полученного после преломления предмета в собирающей линзе, заключается в том, что оно больше предмета, если он расположен в точке между F 2F, и всегда меньше предмета, если он находится от линзы на расстоянии, большем 2F.

При преломлении предмета в рассеивающей линзе, изображение за нею всегда получается мнимым. Кроме того, мнимым оказывается преломленное изображение предмета, установленного перед собирающей линзой на расстоянии, меньшем F. Мнимое изображение увидеть нельзя (рис.3). Действительное отображение предмета в таких случаях находится по ту же сторону от линзы, что и сам предмет.

Построение изображений в линзах

Для построения изображения, преломленного в собирающей линзе, действуют так:

1. проводят отрезок от верхней точки предмета до линзы параллельно главной оптич.оси;
2. далее изображение преломляется, и чтобы изобразить его, через полученную на линзе точку и через точку фокусного расстояния (F) проводят луч;
3. проводят луч через вершину предмета и оптический центр.

Если проведенные лучи сходятся (т.е. пересекаются), значит, изображение получается действительным. Если они расходятся, то это указывает на то, что изображение мнимое (рис.4).

В рассеивающей линзе преломленное действительное изображение строится следующим образом:

1. из вершины предмета проводят луч через центр линзы (т.О на рис.5);
2. из вершины предмета проводят линию до линзы, параллельную главной оси;
3. точку, полученную на линзе от предыдущей линии (см.п.2), соединяют с т.F. Точка пересечения этой линии с лучом (см.п.1) является вершиной преломленного изображения. Проведя из нее перпендикуляр на главную оптич.ось, получают само изображение.

Глаз как оптическая система

Человеческий глаз имеет форму сферы. Он покрыт (снаружи) непрозрачной оболочкой. Его диаметр составляет в среднем 2,5см. В передней части оболочка переходит в прозрачную – роговицу, – которая и позволяет человеку видеть окружающие объекты.

С внутренней стороны роговицы имеется зрачок. Зрачок реагирует на степень интенсивности освещения, адаптируя глаз к нему. При плохом освещении зрачок расширяется, при хорошем – сужается. Вокруг зрачка расположена радужная оболочка, которая регулирует попадающий на зрачок световой поток.

Непосредственно за зрачком находится хрусталик, представляющий собой двояковыпуклую линзу и действующий как собирающая линза. Именно это делает глаз оптической системой. Хрусталик обладает способностью изменять кривизну. Это позволяет ему в зависимости от обстоятельств иметь разную оптическую силу, благодаря чему человеческие глаза могут видеть предметы на различных расстояниях четко, а не размыто. Изменение кривизны хрусталика происходит в связке с сетчаткой, на которую проецируется преломленное изображение и от которой поступает сигнал на коррекцию изображения. Процесс приспособления глаз к четкому видению объектов на разных расстояниях называют аккомодацией.

После попадания изображения предмета на роговицу, оно преломляется трижды – сначала на роговице, затем (после прохождения через зрачок) в хрусталике и дальше в стекловидном теле, заполняющем внутренний объем оболочки глаза. Преломленное изображение фиксируется на задней внутренней стенке глаза (сетчатке) и получается уменьшенным, действительным, перевернутым, как и полагается в случае с выпуклой линзой.

Закон Снеллиуса (закон преломления)

Этот закон математически описывает процесс преломления световых лучей на границе двух соприкасающихся сред. Закон имеет вид:

где n₁ и n2 – показатели преломления света в средах 1 (из которой луч падает на границу раздела) и 2 (в которую луч попадает, преодолев границу раздела); α и β – соответственно углы падения на границу раздела и преломления после ее прохождения. При этом углы отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к плоскости раздела сред.

Показатель преломления в свою очередь может быть определен по формуле:

где с – скорость света, v – скорость перемещения свет.луча в данной среде.

Закон отражения

Луч, падающий на отражающую поверхность, и луч, отраженный от нее, лежат в одной плоскости и равны между собой относительно нормали (перпендикуляра) к плоскости поверхности. При этом и углы называются соответственно углом падения и углом отражения.

α=γ

Длина волны

Под длиной световой волны понимают расстояние между парой ближайших точек при ее распространении в пространстве, в которых колебания осуществляются в одинаковой фазе. Иначе говоря, это путь, который преодолевает фронт волны за время, равное периоду колебания.

Длина волны обозначается греческой буквой «λ» (лямбда) измеряется в метрах и дольных величинах (например, в нм – нанометрах, мкм – микрометрах).

Особый интерес представляет диапазон длин волн видимого излучения. Он представляет собой «радугу», т.е. последовательность излучений световых волн от фиолетового до красного, причем фиолетовый цвет имеет наименьшие их величины (до 450 нм), а красный – наибольшие (от 630 нм). Эти 7 цветов радуги называют спектром.

Ниже излучения цветов спектра в этой шкале находится ультрафиолетовое излучение УФ), имеющее длины волн 10–400 нм. Выше спектра – инфракрасное излучение с длинами волн от 740 нм до 2млн.нм.

В целом различают 6 диапазонов электромагнитного излучения (от наименьших до наибольших длин волн):

• гамма-излучение,
• рентгеновское,
• ультрафиолетовое,
• видимое (оптическое),
• инфракрасное,
• терагерцевое излучение,
• микро- и радиоволны.

Разбор типовых вариантов заданий №14 ОГЭ по физике

Демонстрационный вариант 2018

[su_note note_color=»#defae6″]

На рисунке изображены три предмета: А, Б и В. Изображение какого(-их) предмета(-ов) в тонкой собирающей линзе, фокусное расстояние которой F, будет уменьшенным, перевёрнутым и действительным?

Алгоритм решения:

1–3. Строим преломленное изображение для каждого из предметов. Определяем соответствие получаемого изображения требованиям, заявленным в условии.

4. Записываем ответ.

Решение:

Построим изображение предмета В. Поскольку В находится от линзы на расстоянии, меньше фокусного, то очевидно, что изображение окажется мнимым, а не действительным:

Итак, одно из требований, изложенных в условии, нарушено. Вывод: вариант ответа №3 неверный. Соответственно, и вариант №4 уже тоже можно считать неверным.

Построим по тому же принципу изображение за линзой предмета Б:

Полученное изображение является перевернутым и действительным, однако оно больше самого предмета Б, что не соответствует требованию в условии. Поэтому ответ №2 неверный

Проделаем аналогичные действия и построим изображения для предмета А:

Полученное изображение соответствует всем трем требованиям в условии. Итак, верным является вариант ответа №1.

Первый вариант (Камзеева, № 4)

[su_note note_color=»#defae6″]

Аккомодация глаза человека (способность глаза приспосабливаться к различным расстояниям при рассматривании предметов) осуществляется за счет изменения

1. размера зрачка
2. свойств сетчатки
3. глубины глазного дна
4. кривизны хрусталика

Алгоритм решения:

1. Выбираем правильный ответ, основываясь на строении глаза.
2. Определяем, почему неверны прочие варианты ответов.

Решение:

1. Правильный ответ в данном случае – №4, поскольку именно от кривизны хрусталика зависит оптическая сила, позволяющая видеть предметы более или менее четко. Хрусталик меняет кривизну, как бы настраивая глаза на четкое восприятие изображений.
2. Размер зрачка – реакция на интенсивность освещения. К расстоянию, на котором находится рассматриваемый предмет, это не имеет отношения. Сетчатка является средством реагирования на полученное изображение. Глазное дно хоть и влияет на остроту зрения, но с процессом аккомодации непосредственно не связано.

Второй вариант (Камзеева, № 6)

[su_note note_color=»#defae6″]

На рисунке представлен ход светового луча через четыре прозрачные пластинки, сложенные стопкой.

В какой пластинке свет имеет наибольшую скорость распространения?

Алгоритм решения:

1. Рассматриваем среды 1 и 2. Применяем закон Снеллиуса и формулу для расчета показателя преломления. Находим зависимость скоростей движения света и определяем, в какой среде она больше.
2. По аналогии определяем, соотношение скоростей для других пар сред. Выясняем, в какой из них скорость максимальна.

Решение:

1. Рассматриваем пластины 1 и 2. Согласно закону Снеллиуса, .

Поскольку , то уравнение закона перепишем в виде: . После сокращения на с и алгебраических преобразований получим: . Для острых углов работает правило: чем больше угол, тем больше синус этого угла. Т.к. из рисунка видно, что угол в среде 2 стал меньше, чем в среде 1, то значит, отношение синусов в уравнении меньше 1 и, следовательно, скорость уменьшается. А это в свою очередь означает, что скорость движения луча в среде 1 больше чем в среде 2.

Аналогично можно доказать, что в среде 3 скорость движения луча больше, чем в среде 2 и в среде 4. Сравнение же сред 1 и 3 дает основания утверждать, что синус угла в среде 1 все-таки больше, чем в среде 3, потому что угол отклонения луча в среде 1 больше. Отсюда делаем вывод: скорость распространения света будет максимальной в среде 1.

Третий вариант (Камзеева, № 11)

[su_note note_color=»#defae6″]

Оптический прибор закрыли ширмой, но известно, что после прохождения оптического прибора ход лучей 1 и 2 меняется на 1´ и 2´ (см. рис.).

За ширмой находится

1. собирающая линза
2. рассеивающая линза
3. плоское зеркало
4. плоскопараллельная стеклянная пластина

Алгоритм решения:

1. Описываем картину распространения лучей, предполагая, что за ширмой находится линза. Определяем истинность первого утверждения.

2–4. Проделываем аналогичные действия для утверждений 2–4

Решение:

Предположим, что за ширмой собирающая линза. Тогда после преломления имела бы место такая картинка:

Очевидно, что она не соответствует рисунку в условии. Поэтому вариант ответа №1 неверный.

Если бы за ширмой располагалась рассеивающая линза, то результат был бы примерно таким:

Это тоже не отвечает условию. Значит, ответ №2 неверный.

Если предположить, что за ширмой плоское зеркало, то возможны 2 варианта:

или

Т.е. в 1-м случае – при вертикально расположенном зеркале – лучи отражаются в противоположном направлении, во 2-м случае – при наклонном размещении зеркала – они отражаются под тем же углом, что и падали (относительно нормали к зеркалу). Ни тот, ни другой вариант не соответствует заявленному в условии, и потому ответ №3 неверный.

Если иметь в виду, что в задаче обязательно есть правильный ответ, то по логике это ответ №4. Но докажем это.

Поскольку пластина однородна (полностью из стекла), то угол преломления лучей будет одинаковым. Следовательно, войдя в пластину в виде параллельных прямых и пройдя сквозь нее, они снова окажутся лежащими на параллельных прямых.