Как обозначается сумма в формулах

У вас большие запросы!

Точнее, от вашего браузера их поступает слишком много, и сервер VK забил тревогу.

Эта страница была загружена по HTTP, вместо безопасного HTTPS, а значит телепортации обратно не будет.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы отключили сохранение Cookies, а они нужны, чтобы решить проблему.

Почему-то страница не получила всех данных, а без них она не работает.
Обратитесь в поддержку сервиса.

Вы вернётесь на предыдущую страницу через 5 секунд.
Вернуться назад

math serfer .narod.ru

В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись:

которая расшифровывается так

( 14 .1)

где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .

Пример 14 . 2 Вычислим несколько сумм:

1) .

2) . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти

3) .

4) .

5) .

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

( 14 .2)

где для трехмерного пространства , для плоскости .

Для единообразия будем считать, что

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

Замечание 14 . 1 Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например,

в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.

Предложение 14 . 1 Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

Предложение 14 . 2

( 14 .3)

Это предложение является частным случаем следующего утверждения.

( 14 .4)

Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим

Заменив в этом равенстве в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).

Замечание 14 . 2 Двойные суммы из равенства (14.4) можно записывать и без использования скобок

Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов для всех допустимых значений индексов суммирования. По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.

Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида

Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись

означает, что в сумму не включаются величины , . , то есть с равными индексами.

Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,

Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования

Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.

Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.

Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.

Знак Σ — сумма

Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:

Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.

На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:

1. Взять все числа от 5 до 15 (снизу и сверху знака Σ).
2. С каждым из этих чисел сделать то, что написано справа от Σ, — то есть умножить на два.
3. Сложить результаты этих операций.

Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».

Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:

Любите данные? Посмотрите вот это

Произведение П

С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:

А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:

Что дальше

Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Список математических символов

Список всех математических символов и знаков — значения и примеры.

• Основные математические символы
• Символы геометрии
• Символы алгебры
• Символы вероятности и статистики
• Символы теории множеств
• Логические символы
• Символы исчисления и анализа
• Числовые символы
• Греческие символы
• римские цифры

Основные математические символы

Символы геометрии

Символ	Название символа	Значение / определение	пример
∠	угол	образованный двумя лучами	∠ABC = 30 °
измеренный угол	ABC = 30 °
сферический угол	AOB = 30 °
∟	прямой угол	= 90 °	α = 90 °
°	степень	1 оборот = 360 °	α = 60 °
град	степень	1 оборот = 360 градусов	α = 60 градусов
′	премьер	угловая минута, 1 ° = 60 ′	α = 60 ° 59 ′
″	двойной штрих	угловая секунда, 1 ′ = 60 ″	α = 60 ° 59′59 ″
линия	бесконечная линия
AB	отрезок	линия от точки A до точки B
луч	линия, которая начинается из точки A
дуга	дуга от точки A до точки B	= 60 °
⊥	перпендикуляр	перпендикулярные линии (угол 90 °)	AC ⊥ BC
∥	параллельно	параллельные линии	AB ∥ CD
≅	соответствует	эквивалентность геометрических форм и размеров	∆ABC≅ ∆XYZ
~	сходство	одинаковые формы, разные размеры	∆ABC ~ ∆XYZ
Δ	треугольник	форма треугольника	ΔABC≅ ΔBCD
| х — у |	расстояние	расстояние между точками x и y	| х — у | = 5
π	константа пи	π = 3,141592654 .

Символы алгебры

Символы линейной алгебры

Символ	Название символа	Значение / определение	пример
·	точка	скалярное произведение	а · б
×	пересекать	векторный продукт	а × б
А ⊗ Б	тензорное произведение	тензорное произведение A и B	А ⊗ Б
внутренний продукт
[]	кронштейны	матрица чисел
()	круглые скобки	матрица чисел
| А |	детерминант	определитель матрицы A
det ( А )	детерминант	определитель матрицы A
|| х ||	двойные вертикальные полосы	норма
А Т	транспонировать	матрица транспонировать	( A T ) ij = ( A ) ji
A †	Эрмитова матрица	матрица сопряженная транспонировать	( A † ) ij = ( A ) ji
А *	Эрмитова матрица	матрица сопряженная транспонировать	( A * ) ij = ( A ) ji
А -1	обратная матрица	AA -1 = I
ранг ( А )	ранг матрицы	ранг матрицы A	ранг ( А ) = 3
тусклый ( U )	измерение	размерность матрицы A	dim ( U ) = 3

Символы вероятности и статистики

Символ	Название символа	Значение / определение	пример
P ( А )	функция вероятности	вероятность события A	P ( A ) = 0,5
P ( A ⋂ B )	вероятность пересечения событий	вероятность того, что событий A и B	P ( A ⋂ B ) = 0,5
P ( A ⋃ B )	вероятность объединения событий	вероятность того, что событий A или B	P ( A ⋃ B ) = 0,5
P ( A | B )	функция условной вероятности	вероятность события A данное событие B произошло	P ( A | B ) = 0,3
f ( x )	функция плотности вероятности (pdf)	P ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx
F ( х )	кумулятивная функция распределения (cdf)	F ( х ) = Р ( Х ≤ х )
μ	Средняя численность населения	среднее значение совокупности	μ = 10
E ( X )	ожидаемое значение	ожидаемое значение случайной величины X	E ( X ) = 10
E ( X | Y )	условное ожидание	ожидаемое значение случайной величины X с учетом Y	E ( X | Y = 2 ) = 5
var ( X )	отклонение	дисперсия случайной величины X	var ( X ) = 4
σ 2	отклонение	дисперсия значений совокупности	σ 2 = 4
std ( X )	стандартное отклонение	стандартное отклонение случайной величины X	std ( X ) = 2
σ X	стандартное отклонение	значение стандартного отклонения случайной величины X	σ X = 2
медиана	среднее значение случайной величины x
cov ( X , Y )	ковариация	ковариация случайных величин X и Y	cov ( X, Y ) = 4
корр ( X , Y )	корреляция	корреляция случайных величин X и Y	корр ( X, Y ) = 0,6
ρ X , Y	корреляция	корреляция случайных величин X и Y	ρ X , Y = 0,6
∑	суммирование	суммирование — сумма всех значений в диапазоне ряда
∑∑	двойное суммирование	двойное суммирование
Пн	Режим	значение, которое чаще всего встречается в популяции
MR	средний диапазон	MR = ( x макс + x мин ) / 2
Мкр	медиана выборки	половина населения ниже этого значения
Q 1	нижний / первый квартиль	25% населения ниже этого значения
2 квартал	медиана / второй квартиль	50% населения ниже этого значения = медиана выборки
3 квартал	верхний / третий квартиль	75% населения ниже этого значения
х	выборочное среднее	среднее / среднее арифметическое	х = (2 + 5 + 9) / 3 = 5,333
с 2	выборочная дисперсия	оценщик дисперсии выборки населения	s 2 = 4
с	стандартное отклонение выборки	Оценка стандартного отклонения выборки населения	s = 2
z x	стандартная оценка	z x = ( x — x ) / s x
X ~	распределение X	распределение случайной величины X	X ~ N (0,3)
N ( μ , σ 2 )	нормальное распределение	гауссово распределение	X ~ N (0,3)
U ( а , б )	равномерное распределение	равная вероятность в диапазоне a, b	Х ~ U (0,3)
ехр (λ)	экспоненциальное распределение	f ( x ) = λe — λx , x ≥0
гамма ( c , λ)	гамма-распределение	f ( x ) = λ cx c-1 e — λx / Γ ( c ), x ≥0
χ 2 ( к )	распределение хи-квадрат	f ( x ) = x k / 2-1 e — x / 2 / (2 k / 2 Γ ( k / 2))
F ( k 1 , k 2 )	F распределение
Корзина ( n , p )	биномиальное распределение	f ( k ) = n C k p k (1 -p ) nk
Пуассон (λ)	распределение Пуассона	е ( К ) знак равно λ К е — λ / К !
Геом ( p )	геометрическое распределение	f ( k ) = p (1 -p ) k
HG ( N , K , n )	гипергеометрическое распределение
Берн ( p )	Распределение Бернулли

Комбинаторические символы

Символ	Название символа	Значение / определение	пример
п !	факториал	п ! = 1⋅2⋅3⋅ . ⋅ n	5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120
n P k	перестановка	5 п 3 = 5! / (5-3)! = 60
n C k

Символы теории множеств

Символ	Название символа	Значение / определение	пример
<>	набор	набор элементов	A = , B =
А ∩ Б	пересечение	объекты, принадлежащие множеству A и множеству B	A ∩ B =
А ∪ Б	союз	объекты, принадлежащие множеству A или множеству B	A ∪ B =
А ⊆ Б	подмножество	A является подмножеством B. множество A включено в набор B.	⊆
A ⊂ B	правильное подмножество / строгое подмножество	A является подмножеством B, но A не равно B.	⊂
А ⊄ Б	не подмножество	множество A не является подмножеством множества B	⊄
А ⊇ Б	суперсет	A является надмножеством B. множество A включает множество B	⊇
А ⊃ Б	правильный суперсет / строгий суперсет	A является надмножеством B, но B не равно A.	⊃
А ⊅ Б	не суперсет	множество A не является надмножеством множества B	⊅
2 А	набор мощности	все подмножества A
набор мощности	все подмножества A
А = В	равенство	оба набора имеют одинаковые элементы	A = , B = , A = B
А в	дополнять	все объекты, не принадлежащие множеству A
А \ Б	относительное дополнение	объекты, принадлежащие A, а не B	A = , B = , AB =
А — Б	относительное дополнение	объекты, принадлежащие A, а не B	A = , B = , AB =
A ∆ B	симметричная разница	объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение	A = , B = , A ∆ B =
А ⊖ Б	симметричная разница	объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение	A = , B = , A ⊖ B =
a ∈A	элемент, принадлежит	установить членство	A = , 3 ∈ A
x ∉A	не элемент	нет установленного членства	A = , 1 ∉ A
( а , б )	упорядоченная пара	сборник из 2-х элементов
A × B	декартово произведение	множество всех упорядоченных пар из A и B
| A |	мощность	количество элементов множества A	A = , | A | = 3
#A	мощность	количество элементов множества A	A = , # A = 3
|	вертикальная полоса	такой, что	А =
алеф-нуль	бесконечная мощность множества натуральных чисел
алеф-он	мощность множества счетных порядковых чисел
Ø	пустой набор	Ø = <>	C =
универсальный набор	набор всех возможных значений
0	набор натуральных / целых чисел (с нулем)	0 =	0 ∈ 0
1	набор натуральных / целых чисел (без нуля)	1 =	6 ∈ 1
набор целых чисел	=	-6 ∈
набор рациональных чисел	= < x | x = a / b , a , b ∈ >	2/6 ∈
набор реальных чисел	= < x | -∞ < х	6.343434∈
набор комплексных чисел	= < z | z = a + bi , -∞ < a b	6 + 2 i ∈

Логические символы

Символ	Название символа	Значение / определение	пример
⋅	и	и	х ⋅ у
^	каретка / циркумфлекс	и	х ^ у
&	амперсанд	и	х и у
+	плюс	или	х + у
∨	перевернутая каретка	или	х ∨ у
|	вертикальная линия	или	х | y
х ‘	одиночная кавычка	не — отрицание	х ‘
х	бар	не — отрицание	х
¬	нет	не — отрицание	¬ х
!	восклицательный знак	не — отрицание	! Икс
⊕	обведен плюс / oplus	эксклюзивное или — xor	х ⊕ у
~	тильда	отрицание	~ х
⇒	подразумевает
⇔	эквивалент	тогда и только тогда (если и только если)
↔	эквивалент	тогда и только тогда (если и только если)
∀	для всех
∃	Существует
∄	не существует
∴	следовательно
∵	потому что / с тех пор

Символы исчисления и анализа

Символ	Название символа	Значение / определение	пример
предел	предельное значение функции
ε	эпсилон	представляет собой очень маленькое число, близкое к нулю	ε → 0
е	e константа / число Эйлера	е = 2,718281828 .	е = lim (1 + 1 / x ) x , x → ∞
y ‘	производная	производная — обозначение Лагранжа	(3 х 3 ) ‘= 9 х 2
у »	вторая производная	производная от производной	(3 х 3 ) » = 18 х
у ( п )	n-я производная	n раз вывод	(3 х 3 ) (3) = 18
производная	производная — обозначение Лейбница	d (3 x 3 ) / dx = 9 x 2
вторая производная	производная от производной	d 2 (3 x 3 ) / dx 2 = 18 x
n-я производная	n раз вывод
производная по времени	производная по времени — обозначение Ньютона
вторая производная по времени	производная от производной
D x y	производная	производная — обозначение Эйлера
Д х 2 у	вторая производная	производная от производной
частная производная	∂ ( x 2 + y 2 ) / ∂ x = 2 x
∫	интеграл	противоположно происхождению	∫ f (x) dx
∫∫	двойной интеграл	интегрирование функции двух переменных	∫∫ f (x, y) dxdy
∫∫∫	тройной интеграл	интегрирование функции 3 переменных	∫∫∫ f (x, y, z) dxdydz
∮	замкнутый контур / линейный интеграл
∯	интеграл с закрытой поверхностью
∰	интеграл замкнутого объема
[ а , б ]	закрытый интервал	[ a , b ] = < x | а ≤ х ≤ б >
( а , б )	открытый интервал	( a , b ) = < x | а < х < б >
я	мнимая единица	я ≡ √ -1	г = 3 + 2 я
z *	комплексно сопряженный	z = a + bi → z * = a — bi	г * = 3 — 2 я
z	комплексно сопряженный	z = a + bi → z = a — bi	г = 3 — 2 я
Re ( z )	действительная часть комплексного числа	z = a + bi → Re ( z ) = a	Re (3 — 2 i ) = 3
Im ( z )	мнимая часть комплексного числа	z = a + bi → Im ( z ) = b	Im (3 — 2 я ) = -2
| z |	абсолютное значение / величина комплексного числа	| z | = | а + би | = √ ( a 2 + b 2 )	| 3 — 2 я | = √13
arg ( z )	аргумент комплексного числа	Угол радиуса в комплексной плоскости	arg (3 + 2 i ) = 33,7 °
∇	набла / дель	оператор градиента / дивергенции	∇ е ( х , у , г )
вектор
единичный вектор
х * у	свертка	у ( т ) = х ( т ) * ч ( т )
Преобразование Лапласа	F ( s ) = < f ( t )>
преобразование Фурье	X ( ω ) = < f ( t )>
δ	дельта-функция
∞	лемниската	символ бесконечности

Цифровые символы

название	Западный арабский	Римский	Восточно-арабский	иврит
нуль	0	٠
один	1	Я	١	א
два	2	II	٢	ב
три	3	III	٣	ג
четыре	4	IV	٤	ד
пять	5	V	٥	ה
шесть	6	VI	٦	ו
Семь	7	VII	٧	ז
8	8	VIII	٨	ח
девять	9	IX	٩	ט
десять	10	X	١٠	י
11	11	XI	١١	יא
двенадцать	12	XII	١٢	יב
13	13	XIII	١٣	יג
14	14	XIV	١٤	יד
15	15	XV	١٥	טו
шестнадцать	16	XVI	١٦	טז
семнадцать	17	XVII	١٧	יז
восемнадцать	18	XVIII	١٨	יח
19	19	XIX	١٩	יט
20	20	XX	٢٠	כ
30	30	XXX	٣٠	ל
сорок	40	XL	٤٠	מ
пятьдесят	50	L	٥٠	נ
шестьдесят	60	LX	٦٠	ס
семьдесят	70	LXX	٧٠	ע
восемьдесят	80	LXXX	٨٠	פ
девяносто	90	XC	٩٠	צ
сто	100	C	١٠٠	ק

Буквы греческого алфавита

Прописная буква	Строчная буква	Имя греческой буквы	Английский эквивалент	Письмо Имя Произносить
Α	α	Альфа	а	альфа
Β	β	Бета	б	бета
Γ	γ	Гамма	г	га-ма
Δ	δ	Дельта	d	дель-та
Ε	ε	Эпсилон	е	эп-си-лон
Ζ	ζ	Зета	z	зэ-та
Η	η	Eta	h	а-та
Θ	θ	Тета	th	тэ-та
Ι	ι	Йота	я	йота
Κ	κ	Каппа	k	ка-па
Λ	λ	Лямбда	л	лама
Μ	μ	Му	м	м-ю
Ν	ν	Ню	п	нет
Ξ	ξ	Си	х	x-ee
Ο	ο	Омикрон	о	о-ми-к-рон
Π	π	Пи	p	Pa-yee
Ρ	ρ	Ро	г	строка
Σ	σ	Сигма	с	сигма
Τ	τ	Тау	т	та-оо
Υ	υ	Ипсилон	u	оо-пси-лон
Φ	φ	Пхи	ph	ф-э
Χ	χ	Чи	ch	кх-ее
Ψ	ψ	Пси	пс	п-см
Ω	ω	Омега	о	омега

римские цифры

номер	Римская цифра
0	не определен
1	Я
2	II
3	III
4	IV
5	V
6	VI
7	VII
8	VIII
9	IX
10	X
11	XI
12	XII
13	XIII
14	XIV
15	XV
16	XVI
17	XVII
18	XVIII
19	XIX
20	XX
30	XXX
40	XL
50	L
60	LX
70	LXX
80	LXXX
90	XC
100	C
200	CC
300	CCC
400	CD
500	D
600	DC
700	DCC
800	DCCC
900	CM
1000	M
5000	V
10000	X
50000	L
100000	C
500000	D
1000000	M

Смотрите также

• Символы алгебры
• Символы геометрии
• Статистические символы
• Логические символы
• Символы теории множеств
• Символы исчисления и анализа
• Числовые символы
• Символы греческого алфавита
• римские цифры
• Символ бесконечности
• Коды символов HTML
• Математические калькуляторы