Что такое активный фильтр

Знакомство с частотными фильтрами. Часть 2: раскошелиться и поднять селективность

В предыдущей части мы познакомились с базовыми понятиями, характеристиками и видами фильтров. И даже собрали простой фильтр Чебышева пятого порядка за 50 рублей. Но в статье почти ничего не было сказано про активные фильтры. Самое время это исправить!

Чем пассивные фильтры отличаются от активных? Как собрать схему по топологии Саллена-Ки? Если вам интересно узнать ответы на эти вопросы, добро пожаловать под кат.

Что такое активный фильтр

Один из способов классификации частотных фильтров — по типу элементов в схемотехнике. Всего принято разделять фильтры на пассивные, активные и электромеханические фильтры. Первые построены на базе катушек индуктивности, резисторов и конденсаторов — в общем, пассивных элементов. Другая ситуация с активными фильтрами.

Активные фильтры функционируют в том числе на базе активных элементов. Чаще всего — операционных усилителей, транзисторов, а где-то в прошлом — электронных ламп. Первое используют особенно часто: операционные усилители, как и дискретные транзисторы, обладают высоким уровнем производительности, а также упрощают синтез схемы фильтра. Поэтому далее мы будем говорить именно об активных фильтрах на базе операционных усилителей.

Простой активный фильтр первого порядка можно сделать, добавив конденсатор в неинвертирующую схему включения операционного усилителя.

Если исключить конденсатор из схемы, устройство просто будет усиливать амплитуду подаваемого сигнала. Но если включить конденсатор, на высоких частотах он будет оказывать меньшее сопротивление. В результате ток «не дойдет» до операционного усилителя и на графике АЧХ будет спад — активный ФНЧ заработает!

График отфильтрованного сигнала с помощью ФНЧ.

Есть и другие «элементарные схемы» активных фильтров. Рассмотрим их подробнее.

Какие бывают активные фильтры

По схеме включения активного компонента фильтры можно разделить на инвертирующие и неинвертирующие. Так можно получить сигнал как в исходной фазе, так и в противофазе, если подключить операционный усилитель «наоборот».

Схемы первого порядка активных фильтров на операционных усилителях. Обратите внимание: принцип деления неинвертирующих активных фильтров на НЧ и ВЧ такой же, как и для пассивных RC: меняешь конденсатор и резистор местами — и готово.

Выше — пример фильтров на разных схемах включения для ФВЧ и ФНЧ. Но активные фильтры, как и пассивные, бывают режекторными и полосовыми. Их схемы чуть сложней.

Напоминалка: АЧХ на выходе разных фильтров.

Например, чтобы добиться эффекта полосового фильтра, когда устройство не подавляет полосу, а пропускает только ее, нужно соединить последовательно ФНЧ и ФВЧ. Но это будет широкополосный вариант устройства. Узкополосные собираются иным образом.

Широкополосная реализация полосового фильтра.

Что лучше — активные или пассивные фильтры

Нельзя сказать, что активные частотные фильтры лучше пассивных или наоборот. Выбор зависит от конкретной задачи.

Например, активные фильтры используют в микроэлектронике, потому что катушки индуктивности в пассивных фильтрах не совместимы с интегральными микросхемами из-за своих габаритов и паразитных свойств. Также активные фильтры существенно проще «масштабировать» до более высоких порядков из-за каскадного включения.

Грубо говоря, простой активный фильтр — это «пассивный фильтр» с активным элементом вместо катушки индуктивности.

С другой стороны — пассивные фильтры могут многое из того, что «активным и не снилось». Например, они не ограничены в полосе пропускания и могут работать на очень высоких частотах. Теоретически, пассивные фильтры не ограничены в частотном диапазоне, обладают большей стабильностью и могут работать с большими токами, чем активные фильтры.

Но это только основное. Теперь рассмотрим другие особенности, которые нужно учитывать при выборе фильтра.

Особенности фильтров

Пассивные элементы дешевле. Во время написания статьи я наткнулся на канал Depo196 — целую базу знаний для любителей аудиосистем и обработки сигналов.

В одном из своих видео автор назвал активные фильтры процессорными. И сейчас мне кажется это неофициальное определение наиболее подходящим. Ведь для случайного проходимца операционные усилители будут выглядеть не проще CPU. Кроме того, их стоимость также постоянно растет.

Когда выбрал пассивный фильтр.

*Хотя стоимость хорошего пассивного фильтра для сабвуфера может быть высока.

Пассивные фильтры проще проектировать. Трудности выбора могут возникнуть не только у «финансистов», но и у инженеров. Активные фильтры — особенно высоких порядков — больше подвержены ошибкам проектирования, чем пассивные. Например, из-за более сложной компоновки и разводки элементов на плате. Или из-за неучтенных характеристик операционных усилителей: шумов, ограничений полосы пропускания, смещений.

Активные фильтры усиливают сигнал в полосе пропускания. Это прямое следствие использования компонентов, которые, как и транзисторы, усиливают сигналы. С их помощью можно достичь высокого входного и низкого выходного импедансов соответственно.

То есть активные фильтры можно использовать в качестве «прослойки» между двумя устройствами. Когда первое отдает на фильтр зашумленный сигнал с высоким импедансом, а второе — принимает отфильтрованный сигнал с низким импедансом. На пассивном фильтре можно добиться похожего эффекта, если подключить, например, буферный усилитель.

Для работы активных элементов нужно использовать источник питания — однополярный или двухполярный. Выбор зависит от того, какой сигнал необходимо отфильтровать. Например, для фильтрации знакопеременного сигнала нужно двухполярное питание, потому что он находится в положительной и отрицательной областях амплитуд.

Характеристики и параметры активных фильтров

Активные фильтры обладают идентичным набором характеристик и параметров. Их можно оценивать по наклону АЧХ, итоговой частоте среза, неравномерности АЧХ, отношению входного и выходного сопротивлений и ослаблению в полосе задержаний. Со всеми ключевыми параметрами можно ознакомиться по ссылке.

Фильтры — устройства на базе минимально-фазовых цепей. Их АЧХ и ФЧХ жестко связаны и напрямую не зависят от того, активный фильтр или пассивный.

Особенно важная характеристика любого фильтра — его порядок, который можно получить каскадным соединением фильтров меньших порядков. Как и в случае с пассивными фильтрами, чем больше порядок n, тем круче срез. Вы можете проверить это сами, рассчитав передаточную функцию для фильтра Баттерворта вдоль частотного диапазона.

Выбор фильтра по методике

Чтобы рассчитать любой фильтр большого порядка по заданным условиям, применяют специальные методики. Среди них — формулы на базе полиномов Баттерворта и Чебышева, функций Бесселя, Кауэра. И по сути, выбирая конкретную методику, вы выбираете конкретный фильтр.

Фильтр Баттерворта — позволяет получить наиболее длинный в полосе пропускания и плавно спадающий за частотой среза «участок» сигнала. Если подать на вход ступенчатый входной сигнал, переходная характеристика будет иметь колебательный характер, который усиливается при увеличении порядка.

Фильтр Чебышева — АЧХ спадает более круто за частотой среза. Однако в полосе пропускания она не монотонна, а имеет волнообразный характер с постоянной амплитудой. Колебания переходного процесса при ступенчатом входном воздействии сильнее, чем у фильтра Баттерворта.

Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра) — АЧХ выражена равномерными флуктуациями как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения. Спад АЧХ этого фильтра наиболее крутой по сравнению с фильтрами других типов. Передаточная функция ФНЧ имеет нули в числителе.

Фильтр Бесселя — обладает хорошей переходной характеристикой и крутым спадом. Причина — пропорциональность фазового сдвига выходного сигнала частоте входного сигнала.

Примеры АЧХ ФНЧ четвертого порядка. 1 — фильтр критического затухания, 2 – фильтр Бесселя, 3 — фильтр Баттерворта, 4 — фильтр Чебышева с неравномерностью 3дБ, 5 — эллиптический фильтр с неравномерностью в полосе пропускания 2дБ и максимумом пульсаций в полосе подавления — 50 дБ.

Чтобы понять теорию расчета фильтров, рекомендую почитать книгу «Аналоговые и цифровые фильтры». Если хотите утонуть в полиномах, аналитических вычислениях комплексных расчетах, сохраняйте в закладки.

Попробуем синтезировать и собрать активный ФНЧ Баттерворта второго порядка. Это наиболее равномерный в полосе пропускания фильтр, хоть и не лучший по крутизне среза.

Синтез фильтра Баттерворта по топологии Саллена-Ки

В нашей задаче не нужно, чтобы активный фильтр усиливал сигналы. Поэтому рассчитаем его по топологии Саллена-Ки, которая позволяет учитывать коэффициент усиления.

Активный ФНЧ второго порядка по топологии Саллена-Ки.

Коэффициент усиления α равен единице (сигнал не усиливается) и обеспечивается отрицательной обратной связью, которая сформирована с помощью делителя напряжения [(α-1)R3, R3]. Положительная обратная связь обусловлена наличием конденсатора C2. В результате передаточная функция принимает вид:

Перед расчетом номиналов элементов нужно выбрать значение хотя бы для одной емкости. Например, можно принять C1 = 100 пФ. Тогда можно найти сопротивления R1 и R2, а также емкость C2.

Чтобы значения R1 и R2 были действительными, должно выполняться следующее условие:

a и b — коэффициенты полинома передаточной функции. Их можно подобрать с помощью специальной таблицы.

После определения коэффициентов можно рассчитать емкость C2 и сопротивления R1 и R2. В качестве fc принимаем частоту среза, на которой фильтр должен «обрубать» сигнал. Пусть это будет 4 МГц.

Теперь фильтр можно смоделировать в любой удобной системе проектирования — например, Multisim или Proteus — и проверить схему на жизнеспособность.

Proteus, принципиальная схема каскада фильтра Баттерворта на операционном усилителе.

Симуляция фильтра, АЧХ.

Супер — фильтр отработал корректно, удалось получить срез на частоте 4 МГц. Перепад на 2 МГц можно не учитывать, потому что его величина составляет всего около 0,63 дБ.

Проверка фильтра на практике

Для сборки и проверки фильтра понадобится блок питания, генератор гармонических колебаний и осциллограф, подключенный к выходам фильтра. Если у вас есть анализатор цепей, можно использовать его.

Для работы фильтра необходимо двухполярное питание. Его можно получить, используя импульсный инвертирующий стабилизатор напряжения на ИМС.

Инвертирующий импульсный стабилизатор напряжения (ИСН) преобразует положительное напряжение в отрицательное относительно земли. Так на ФНЧ можно подать два «плюс» напрямую, а «минус» — через ИСН.

Собранный активный ФНЧ Баттерворта второго порядка.

Осциллограф подключен к выходу фильтра. Для проверки ФНЧ наблюдения проводились при увеличении частоты сигнала. При этом видно, как его амплитуда затухает.

Готово — у нас получилось добиться среза на частоте 4 МГц, активный ФНЧ Баттерворта работает.

Возможно, эти тексты тоже вас заинтересуют:

• selectel
• радиотехника
• электротехника
• частотные фильтры
• схемотехника
• приемники
• операционные усилители
• аудиосистемы
• передача сигналов

Операционные усилители. Часть 5: Частотно-зависимая обратная связь в ОУ. Активные фильтры и генераторы сигналов на ОУ

В предыдущей публикации цикла мы разобрали, как работают схемы на ОУ с нелинейными элементами в цепях обратной связи, научились производить с помощью ОУ операции умножения и деления, и узнали, как собрать на ОУ источник тока, напряжения, а также усилитель мощности.

В данной публикации цикла мы разберём работу ряда схем на ОУ с частотно-зависимой обратной связью и научимся собирать на ОУ активные фильтры и генераторы.

Для тех, кто присоединился недавно, сообщаю, что это пятая из семи публикаций цикла. Содержание публикаций со ссылками на них находится в конце статьи.

Частотно-зависимая обратная связь в ОУ

С частотно-зависимой обратной связью в ОУ мы впервые столкнулись при рассмотрении работы реальных ОУ «в динамике». Она интересовала нас в плане частотной коррекции передаточной характеристики для предотвращения генерации при работе ОУ в режиме усиления за счёт превращения отрицательной обратной связи в положительную из-за сдвига фаз.

Также мы имели дело с частотно-зависимой обратной связью, когда разбирали работу интегрирующего и дифференцирующего звеньев. Нас тогда интересовала не столько АЧХ, сколько реакция этих звеньев на воздействие единичного прямоугольного импульса.

По сути, интегрирующее звено на рисунке ниже имеет АЧХ фильтра низких частот (ФНЧ) 1-го порядка с частотой среза f_c = 1/2πRC. Сигнал с частотой ниже f_c передаётся на выход этого звена без затухания. Для частот выше f_c сигнал передаётся с затуханием 6 дБ/октава, т.е. ослабляется по уровню в два раза при повышении частоты в два раза.

Дифференцирующее звено является ФВЧ 1-го порядка с частотой среза f_c = 1/2πRC. Оно пропускает сигнал с частотой выше f_c без затухания. Сигнал с частотой ниже f_c передаётся с затуханием 6 дБ/октава.

Активные фильтры на ОУ

Фильтры применяются в электронике для выделения желательной составляющей спектра сигнала и/или подавления нежелательной.

Изначально фильтры строились из пассивных RLC-компонентов. Активные фильтры стали получать распространение с развитием полупроводниковой электроники. Активные фильтры проще в изготовлении, т.к. они не требуют применения «моточных» изделий. Однако, пассивные фильтры применяются до сих пор.

Расчёт фильтров обычно производится с применением полиномов Баттерворта, Чебышёва и Бесселя. Последнее время набирают популярность эллиптические фильтры.

Наиболее детально тема активных фильтров на ОУ разобрана в [3] в разделе «13. Активные фильтры» на стр. 185 – 226. Мы же разберём их работу на простом и понятном материале, изложенном в [5] в разделе главы 4 «3. Фильтры звуковых частот» на стр. 138 – 145, в части, касающейся схем на ОУ.

Как правило, активные RC-фильтры на ОУ собирают по схеме Саллена–Ки (Sallen–Key), которая действует как «источник напряжения, управляемый напряжением» (ИНУН, VCVS). Ниже приведена схема двухполюсного ФНЧ (ФНЧ второго порядка) подобного типа:

Если резисторы и конденсаторы поменять местами, получим двухполюсный ФВЧ:

Двухполюсные фильтры по схеме Саллена–Ки состоят из небольшого количества элементов и стабильны в работе. Частота среза определяется по формуле:

Коэффициент передачи K определяется соотношением сопротивлений резисторов в цепи ООС. В зависимости от коэффициента передачи у фильтров по схеме Саллена–Ки изменяется АЧХ. Из таблицы на стр. 290 [2] мы видим, что при K = 1,586 звено имеет АЧХ фильтра Баттерворта, при K = 1,268 – фильтра Бесселя, а при K = 1,842 – Чебышёва с неравномерностью в полосе пропускания 0,5 дБ.

Фильтры по схеме Саллена–Ки с числом полюсов более двух ведут себя нестабильно. Повышение порядка достигается каскадным подключением двухполюсных фильтров. Нюансы такого каскадирования наглядно продемонстрированы Поляковым в [5] на рисунке ниже:

Как мы видим на иллюстрации, АЧХ шестиполюсного ФНЧ Чебышёва с частотой среза f_c = 2700 Гц формируется из АЧХ двухполюсного ФНЧ с частотой среза намного меньше f_c и K = 1 (обозначение «1» на графике), АЧХ двухполюсного ФНЧ с частотой среза меньше f_c и K = 1,4 (обозначение «2» на графике) и АЧХ двухполюсного ФНЧ с f_c = 2700 Гц и K = 1,6 (обозначение «3» на графике). Для снижения влияния неточности номиналов элементов схемы на АЧХ соотношение ёмкостей конденсаторов в каждом звене выбрано из расчёта один к трём. Номиналы резисторов подобраны из диапазона 10…100 кОм.

Из ФВЧ и ФНЧ с перекрывающимися полосами пропускания можно получить полосовой фильтр. Активный полосовой фильтр по схеме Саллена–Ки выглядит следующим образом:

При R1 = R2, C1 = C2 и R3 = 2R1 центральную частоту полосы пропускания f₀ и добротность фильтра Q (отношение f₀ к ширине полосы пропускания Δf₀) получаем по формулам:

Из формулы (22) видим, что коэффициент передачи K должен быть меньше трёх.

Гораздо лучшие результаты можно получить при применении в качестве активного полосового фильтра схемы биквадратного фильтра:

Схема биквадратного фильтра значительно сложней, но менее критична к неточности номиналов элементов схемы. Центральная частота полосы пропускания f₀, ширина полосы пропускания Δf₀, и коэффициент передачи K при R3 = R4 и R5 = R6 определяются по формулам:

(23)

(24)

(25)

Подробней о биквадратных фильтрах написано в [2] на стр. 293 – 295 и в [1] на стр. 106 – 108.

Релаксационные генераторы на ОУ

Генератор – это устройство для производства периодически изменяющихся сигналов. Релаксационный генератор – это генератор, элементы которого не обладают резонансными свойствами.

Релаксационный генератор на ОУ можно получить, объединив схемы интегрирующего звена и триггера Шмитта в замкнутый контур:

Когда на выходе триггера Шмитта присутствует напряжение высокого уровня, конденсатор C1 заряжается до тех пор, пока напряжение на входе триггера Шмитта не станет меньше порога срабатывания, после чего конденсатор C1 начнёт разряжаться, пока напряжение на входе триггера Шмитта не станет больше порога срабатывания.

На выходе интегрирующего звена присутствует периодический сигнал треугольной формы, на выходе триггера Шмитта – меандр. Стабилитрон VD1 ограничивает амплитуду прямоугольного сигнала на выходе триггера Шмитта U_вых2 до значения напряжения стабилизации U_ст. Период автоколебаний T и амплитуду сигнала на выходе интегрирующего звена U_вых1 получаем по формулам:

Подобные схемы принято называть «функциональными генераторами», т.к. они производят на выходе сигналы разной формы.

Релаксационный генератор с выходным сигналом в виде меандра называется мультивибратором. Рассмотренную выше схему тоже можно использовать в качестве мультивибратора, но приведённая ниже схема проще:

При равенстве положительных и отрицательных напряжений ограничения U_огр на выходе ОУ период автоколебаний T и амплитуду сигнала на инвертирующем входе U_вх- получаем по формулам:

RC-генераторы гармонических колебаний на ОУ

Синусоидальный сигнал на выходе звена на ОУ можно получить с помощью обработки сигнала треугольной формы активным фильтром низких частот, а также применением моста Вина:

Схема построена таким образом, чтобы обеспечить обратную связь с фазовым сдвигом 180° на частоте f₀ и поддерживать генерацию изменением коэффициента передачи K. Запуск генерации происходит при K > 3, что достигается при R3/R4 > 2. Затем, когда запуск произведён, для стабилизации работы генератора коэффициент передачи K должен уменьшаться при увеличении амплитуды выходного сигнала. Одним из решений такой адаптивной обратной связи является использование вместо R4 лампы накаливания.

При равенстве R1 = R2, C1 = C2 частота генерации f₀ определяется по формуле:

▍ От автора

В публикации были рассмотрены примеры реализации активных фильтров и генераторов на ОУ. С развитием DSP (Digital Signal Processors) и методов DDS (Direct digital synthesis) тема может казаться неактуальной, однако, как появление активных фильтров не отменило применение в системах связи пассивных фильтров, так и промышленное производство цифровых синтезаторов частоты не отменяет применения аналоговых генераторов сигналов.

Следует заметить, что применение генераторов сигналов на ОУ всегда было ограничено. С одной стороны, наличием простых и надёжных интегральных таймеров семейства 555, а с другой — простыми и надёжными генераторами на транзисторах по схемам ёмкостной (индуктивной) «трёхточки».

В следующей публикации мы сосредоточимся на применении «реальных» ОУ в условиях реального мира: рассмотрим однополярное питание ОУ, работу ОУ в условиях помех, а также нюансы экранирования схем и каналов.

Данный цикл публикаций состоит из семи частей. Краткое содержание публикаций:

1. Предпосылки появления ОУ. «Идеальный» операционный усилитель. Инвертирующий и неинвертирующий усилители, повторитель.
2. Отличия «реального» ОУ от «идеального». Основные характеристики реального ОУ. Ограничения реального ОУ.
3. Суммирующий усилитель. Разностный усилитель. Измерительный усилитель. Интегрирующее звено. Дифференцирующее звено. Схема выборки-хранения.
4. Активный детектор. Активный пиковый детектор. Логарифмический усилитель. Активный ограничитель сигнала. Компаратор на ОУ. Источник опорного напряжения. Источник тока. Усилитель мощности.
5. Частотно-зависимая обратная связь в ОУ. Активные фильтры на ОУ. Генераторы сигналов на ОУ. < — Вы тут
6. Однополярное включение ОУ. Входные помехи, «развязки» и защиты входных цепей, экранирование.
7. Операционные усилители на лампах.

▍ Использованные источники:

1. Гутников. Интегральная электроника в измерительных устройствах. Энергоатомиздат, 1988
2. Хоровиц, Хилл. Искусство схемотехники. 2-изд. Мир, 1993
3. Титце, Шенк. Полупроводниковая схемотехника. 5-изд. Мир, 1982
4. Поляков. Радиолюбителям о технике прямого преобразования. Патриот, 1990

Операционные усилители (на основе простейших примеров): часть 3

Возможно, Вы уже сталкивались с моделями RC-, LC- и RLC-фильтров. Они вполне подходят для большинства задач. Но для некоторых целей очень важно иметь фильтры с более плоскими характеристиками в полосе пропускания и более крутыми склонами. Вот тут нам и нужны активные фильтры.
Для освежения в памяти, напомню, какие бывают фильтры:
Фильтр Нижних Частот (ФНЧ) — пропускает сигнал, который ниже определенной частоты (ее еще именуют частотой среза). Википедия
Фильтр Высоких Частот (ФВЧ) — пропускает сигнал выше частоты среза. Википедия
Полосовой Фильтр — пропускает только определенный диапазон частот. Википедия
Режекторный Фильтр — задерживает только определенный диапазон частот. Википедия
Ну еще немного лирики. Посмотрите на амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) ФВЧ. На этом графике ничего интересного пока не ищите, а просто обратите внимание на участки и их названия:

Самые банальные примеры активных фильтров можно подсмотреть здесь в разделе «Интеграторы и дифференциаторы». Но в данной статье эти схемы трогать не будем, т.к. они не очень эффективны.

Выбираем фильтр

Предположим, что Вы уже определились с частотой, которую хотите фильтровать. Теперь нужно определиться с типом фильтра. Точнее нужно выбрать его характеристику. Иными словами, как фильтр будет себя «вести».
Основными характеристиками являются:
Фильтр Баттерворда — обладает самой плоской характеристикой в полосе пропускания, но имеет плавный спад.
Фильтр Чебышева — обладает самым крутым спадом, но у него самые неравномерные характеристики в полосе пропускания.
Фильтр Бесселя — имеет хорошую фазочастотную характеристику и вполне «приличный» спад. Считается лучшим выбором, если нет специфического задания.

Еще немного информации

Предположим, и с этим заданием вы справились. И теперь можно смело приступить к расчетам.
Есть несколько методов расчета. Не будем усложнять и воспользуемся самым простым. А самый простой — это «табличный» метод. Таблицы можно найти в соответствующей литературе. Чтобы Вы долго не искали, приведу из Хоровица и Хилла «Искусство Схемотехники».
Для ФНЧ:

Скажем так, это все Вы могли бы найти и прочитать и в литературе. Перейдем конкретно к проектированию фильтров.

Расчет

В данном разделе попытаюсь кратко «пробежаться» по всем типам фильтров.
Итак, задание # 1. Построить фильтр низких частот второго порядка с частотой среза 150 Гц по характеристике Баттерворда.
Приступим. Если мы имеем фильтр n-ного четного порядка, это означает, что в нем будет n/2 операционников. В данном задании — один.
Схема ФНЧ:

Для данного типа расчета берется во внимание, что R1 = R2, C1 = C2.
Смотрим в табличку. Видим, что К = 1.586. Это нам пригодится чуть позже.
Для фильтра низких частот справедливо:
, где, разумеется,
— это частота среза.
Сделав подсчет, получаем . Теперь займемся подбором элементов. С ОУ определились — «идеальный» в количестве 1 шт. Из предыдущего равенства можно предположить, что нам не принципиально, какой элемент выбирать «первым». Начнем с резистора. Лучше всего, чтоб его значение сопротивления были в пределах от 2кОм до 500кОм. На глаз, пусть он будет 11 кОм. Соответственно, емкость конденсатора станет равной 0.1 мкФ. Для резисторов обратной связи значение R берем произвольно. Я обычно беру 10 кОм. Тогда, для верхнего значение К возьмем из таблицы. Следовательно, нижний будет иметь значение сопротивления R = 10 кОм, а верхний 5.8 кОм.
Соберем и промоделируем АЧХ.

Задание # 2. Построить фильтр высоких частот четвертого порядка с частотой среза 800 Гц по характеристике Бесселя.
Решаем. Раз фильтр четвертого порядка, то в схеме будет два операционника. Тут все совсем не сложно. Мы просто каскадно включаем 2 схемы ФВЧ.
Сам фильтр выглядит так:

Фильтр же четвертого порядка выглядит:

Теперь расчет. Как видим, для фильтра четвертого порядка у нас аж 2 значения К. Логично, что первое предназначается для первого каскада, второе — для второго. Значения К равны 1.432 и 1.606 соответсвенно. Таблица была для фильтров низких частот (!). Для расчета ФВЧ надо кое-что изменить. Коэффициенты К остаются такими же в любом случае. Для характеристик Бесселя и Чебышева изменяется параметр
— нормирующая частота. Она будет равна теперь:

Для фильтров Чебышева и Бесселя как для нижних частот, так и для высоких справедлива одна и та же формула:

Учтите, что для каждого отдельного каскада придется считать отдельно.
Для первого каскада:

Пусть С = 0.01 мкФ, тогда R = 28.5 кОм. Резисторы обратной связи: нижний, как обычно, 10 кОм; верхний — 840 Ом.
Для второго каскада:

Емкость конденсатора оставим неизменной. Раз С = 0.01 мкФ, то R = 32 кОм.
Строим АЧХ.

Для создания полосового или режекторного типа фильтров можно каскадно соединить ФНЧ и ФВЧ. Но такими типами, зачастую, не пользуются из-за плохих характеристик.
Для полосовых и режекторных фильтров также можно использовать «табличный метод», но тут немного другие характеристики.
Приведу сразу табличку и немного ее объясню. Чтоб сильно не растягивать — значения взяты сразу для полосового фильтра четвертого порядка.

a1 и b1 — расчетные коэффициенты. Q — добротность. Это новый параметр. Чем значение добротности больше — тем более «резким» будет спад. Δf — диапазон пропускаемых частот, причем выборка идет на уровне -3 дБ. Коэффициент α — еще один расчетный коэффициент. Его можно найти используя формулы, которые довольно легко найти в интернете.
Ну ладно, хватит. Теперь рабочее задание.
Задание # 3. Построить полосовой фильтр четвертого порядка по характеристике Баттерворда с центральной частотой 10 кГц, шириной пропускаемых частот 1 кГц и коэффициентом усиления в точке центральной частоты равным 1.
Поехали. Фильтр четвертого порядка. Значит два ОУ. Типовую схему приведу сразу с расчтными элементами.

Для первого фильтра центральная частота определяется как:

Для второго фильтра:

Конкретно в нашем случае, опять же из таблицы, определяем, что добротность Q = 10. Рассчитываем добротность для фильтра. Причем, стоит отметить, что добротность обоих будет равна.

Поправка усиления для области центральной частоты:

Финальная стадия — расчет компонентов.
Пусть конденсатор будет равен 10 нФ. Тогда, для первого фильтра:



В том же порядке, что и (1) находим R22 = R5 = 43.5 кОм, R12 = R4 = 15.4 кОм, R32 = R6 = 54.2 Ом. Только учтите, что для второго фильтра используем
Ну и на последок, АЧХ.

Следующая остановка — полосно-заграждающие фильтры или режекторные.
Тут есть несколько вариаций. Наверное, самый простой — это фильтр Вина-Робинсона (англ. Active Wien-Robinson Filter). Типовая схема — тоже фильтр 4го порядка.

Наше последнее задание.
Задание # 4. Построить режекторный фильтр с центральной частотой 90 Гц, добротностью Q = 2 и коэффициентом усиления в полосе пропускания равным 1.
Прежде всего, произвольно выбираем емкость конденсатора. Допустим, С = 100 нФ.
Определим значение R6 = R7 = R:

Логично, что «играясь» с этими резисторами, мы можем изменять диапазон частот нашего фильтра.
Далее, нам надо определить промежуточные коэффициенты. Находим их через добротность.


Выберем произвольно резистор R2. В данном конкретном случае, лучше всего, чтобы он равнялся 30 кОм.
Теперь можем найти резисторы, которые будут регулировать коэффициент усиления в полосе пропускания.


И на последок, необходимо произвольно выбрать R5 = 2R1. У меня в схеме эти резисторы имеют значение 40 кОм и 20 кОм соответственно.
Собственно, АЧХ:

Практически конец

Кому интересно узнать немного больше, могу посоветовать почитать Хоровица и Хилла «Искусство схемотехники».
Также, D. Johnson «A handbook of active filters».
Википедия
Также, кому не очень нужны расчеты, а нужны именно сами фильтры, могу посоветовать полезный софт
P.S. Добавлю очень полезную ссылку и ее зеркало. За линк спасибо spiritus_sancti

• ОУ
• операционные усилители
• электроника
• начинающим
• активные фильтры

3.3. Активные фильтры

Активными называются фильтры, в которых, наряду с пассивными элементами, используются и активные. Обычно в качестве пассивных элементов используются резисторы и конденсаторы, а в качестве активных – ОУ. Активные фильтры имеют ряд преимуществ перед пассивными, к числу которых относятся способность усиливать проходящие через них сигналы, малые вес и габариты, слабо зависящие от полосы частот, возможность реализации методами интегральной технологии. К недостаткам этих фильтров относятся необходимость использования источника питания и ограничения работы на высоких частотах, связанные с ходом амплитудно-частотной характеристики ОУ (см. рис.2.14).

Основной характеристикой активных фильтров считается амплитудно-частотная, т.е. частотная зависимость коэффициента передачи К_u, который определяется как отношение напряжения на выходе фильтра к входному напряжению. Эта характеристика определяет полосу пропускания фильтра, и в соответствии с ней активные фильтры, как и пассивные, классифицируются на:

— фильтры низких частот, пропускающие сигналы с частотой ниже граничной;

— фильтры высоких частот, пропускающие сигналы с частотой, выше граничной;

— полосовые фильтры, пропускающие сигналы в определенной полосе частот;

— заграждающие (режекторные) фильтры, не пропускающие сигналы в определенной полосе частот.

Граничная частота полосы пропускания фильтров обычно определяется по уровню уменьшения коэффициента передачи в раза.

Принципы построения и расчета активных фильтров на ОУ аналогичны принципам построения и расчета аналоговых устройств, рассмотренных в разд. 3.2. Необходимо только иметь в виду, что, поскольку фильтры ориентированы на работу с гармоническими сигналами, то все соотношения должны записываться в символической форме, а коэффициент передачи является комплексной величиной.

В качестве примера можно рассмотреть схему активного фильтра, приведенную на рис. 3.13. Как видно, эта схема аналогична схеме инвертирующего усилителя на рис. 3.6. Поэтому соотношение для коэффициента передачи фильтра будет иметь вид, аналогичный (3.5). Только вместо сопротивлений резисторов R₁ и R_ос должны быть введены комплексные сопротивления и_ос цепи на входе ОУ и цепи обратной связи.

, (3.19)

или _ос = . (3.20)

После соответствующих преобразований соотношение для модуля коэффициента передачи активного фильтра рис.3.13 можно представить как

К_u = , (3.21)

где τ = CR и τ_ос = С_осR_ос.

Рис.3.13. Схема активного фильтра

Ограничение полосы пропускания фильтра рис.3.13 в области низких частот связано с наличием конденсатора С, сопротивление которого увеличивается при уменьшении частоты. Ограничение полосы пропускания этого фильтра в области высоких частот связано с наличием конденсатораС_ос, поскольку с увеличением частоты его сопротивление стремится к нулю, что в соответствии с соотношением (3.5) приводит к уменьшению значения коэффициента передачи. Очевидно, при исключении из схемы рис.3.13 одного из конденсаторов получается либо фильтр низких частот, либо фильтр высоких частот. Соотношения для расчета коэффициентов передачи этих фильтров можно получить из соотношения (3.21).

Действительно, для фильтра низких частот

= 0или(ωτ) -1 = 0

и соотношение для модуля коэффициента передачи имеет вид

K_uн= . (3.22)

Для фильтра высоких частот ωС_ос = 0 (или ωτ_ос = 0) и соотношение для модуля коэффициента передачи

K_uВ= . (3.23)

На рис.3.14 приведены амплитудно-частотные характеристики фильтров низких (1), высоких (2) частот, а также полосового фильтра, построенного по схеме рис.3.13. Эти характеристики рассчитаны по соотношениям (3.21) – (3.23) при R =R_ос иτ =τ_ос =1 · 10 -3 с.

Как видно из рис.3.14, на амплитудно-частотных характеристиках между полосами пропускания и задерживания существует переходная область, которая для простейших схем активных фильтров, оказывается весьма широкой. У идеальных фильтров эта область отсутствует. Для уменьшения ширины переходной области используются более сложные схемы активных фильтров.

Рис.3.14. Амплитудно-частотные характеристики

активных фильтров