Как построить векторную диаграмму цепи

Построение векторных диаграмм.

Рассмотрим построение векторных диаграмм при последовательном соединении в цепи элементов R, L, С (рис. П4.2.).

Запишем для данной цепи систему уравнений по законам Кирхгофа. В рассматриваемой цепи ток I во всех элементах один и тот же. В схеме узлов нет, поэтому по 1-му закону Кирхгофа мы не можем составить ни одного уравнения.

По 2-му закону Кирхгофа можно записать только одно уравнение

Используя закон Ома в комплексной форме для каждого из элементов цепи, получим

Последнее уравнение используем для построения векторной диаграммы цепи (рис.П4.2.). Обозначим оси комплексной плоскости — действительную ось (+1) направим горизонтально вправо, мнимую ось (+j) вертикально вверх (см. рис.П4.3.).

Выберем масштабы для построения тока I и напряжения U. Построение начинаем с вектора тока I.

Когда не известны начальные фазы напряжений и тока в цепи, можно принять начальную фазу тока Ψ_i = 0°. Этому соответствует направление вектора I на комплексной плоскости вправо, по действительной оси (см. рис. П4.3.).

По закону Ома напряжение на участке цепи с активным сопротивлением R записывается U_R = U*R. Математически приведенная запись означает, что вектор U_R совпадает по направлению с вектором I, т.к. R — действительное число. На диаграмме вектор U_R будет совпадать по направлению с вектором тока I. Длины каждого из векторов I и U определяются их числовыми значениями (см. табл. 5.1.) и выбранными масштабами для тока и напряжений.

Следующим строим вектор U_R — напряжение на индуктивном элементе «L»

Здесь X_L — индуктивное сопротивление цепи. Множитель j согласно теории комплексных чисел означает поворот результирующего вектора U относительно исходного вектора I на 90° против часовой стрелки. (Положительные углы откладываются против часовой стрелки). Следовательно, вектор U_L напряжения на индуктивном сопротивлении X_L будет направлена векторной диаграмме вертикально вверх.

Следующим строим вектор U_C — напряжение на емкостном элементе «С»

Множитель (-j) означает поворот вектора U_C относительно вектора I на (-90°), т.е. на 90° по часовой стрелке (см. рис. П4.3.).

В соответствии с уравнением, записанным по 2-му закону Кирхгофа, определяем вектор U напряжения на входе цепи. Для этого надо графически сложить три вектора U_R, U_L, U_C. Можно воспользоваться известным правилом параллелограмма. В результате получаем векторную диаграмму, представленную на рис. П4.3.

На этой диаграмме вектор U напряжения на входе цепи опережает вектор тока на некоторый угол φ, что соответствует активно-индуктивному характеру данной цепи ( см. табл. П4.1.).

На рис. П4.6 показан пример построения для рассматриваемой цепи (рис. П4.2.) треугольников сопротивлений и мощностей.

Теперь рассмотрим последовательность построения векторной диаграммы при параллельном включении катушки индуктивности и емкости (см. рис. П4.4.). Катушку индуктивности представляем схемой с последовательно включенными элементами R_K ( активное сопротивление катушки) и (индуктивность катушки, которой соответствует реактивное сопротивление Х_К). Емкости «С» соответствует реактивное сопротивление Х_С .

Опишем схему, представленную на рис. П4.4, системой уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

По 1-му закону Кирхгофа для узла «а» получаем уравнение

По 2-му закону Кирхгофа следует составить два уравнения. Выберем два независимых контура — левый контур , включающий источник и катушку индуктивности (R_K, L_K), и внешний большой контур, включающий источник и емкость (С). Запишем соответствующие уравнения:

Получили, что U = U_K = U_C. Т.е. напряжения на параллельно включенных элементах одинаковые. Эти уравнения используем для построения векторной диаграммы цепи (рис. П4.5.).

Обозначим оси комплексной плоскости (+1; +j ). Выберем масштабы для построения векторов токов и напряжений.

При параллельном включении элементов построение векторной диаграммы удобнее начать с вектора напряжения U, т.к. напряжение является одинаковым для параллельно включенных элементов схемы. Начальная фаза вектора напряжения не известна, поэтому примем ее равной нулю Ψ_u = 0°. Этому соответствует направление вектора U на комплексной плоскости вправо, по действительной оси (см. рис. П4.5.).

Затем строим токи и I₂. Начнем построение с тока I₂, проходящего в ветви с емкостью «С». Емкость — чисто реактивный элемент. В соответствии с табл. П4.1 ток в ветви с емкостью опережает напряжение на емкости на 90°.

Т.к. вектор U мы направили вправо по действительной оси, вектор I₂ необходимо направить вертикально вверх и длину его отложить в соответствии с экспериментальными данными (табл. 5.2.) и выбранным масштабом для токов.

Следующим строим ток I₁. Поскольку катушка индуктивности имеет активное R_K и индуктивное X_K (реактивное) сопротивления, то в соответствии с табл. П4.1 ток в катушке I₁ будет отставать от напряжения на катушке U на угол больше 0°, но меньше 90°. На векторной диаграмме (рис. П4.5.) он I₁ будет направлен вниз и вправо.

Точное направление тока I₁ мы можем построить используя его проекции на направление, совпадающее с направлением вектора U (активная составляющая тока I_1A), и направление, перпендикулярное вектору U (реактивная составляющая тока I_1Р). Эти составляющие вычисляются по соответствующим формулам

Их значения записаны в правой части табл. 5.2. Следовательно для построения тока I₁ необходимо построить I_1A и I_1P.

I_1A направляем на векторной диаграмме по направлению U и величину вектора I_1P определяем в соответствии с его числовым значением (см. табл. 5.2.) и принятым масштабом для токов.

Реактивная составляющая тока в катушке индуктивности I_1P отстает от вектора U на 90° и направлена в нашем случае вертикально вниз. Т.к. I₁ = I_1A + I_1P, складывая их по правилу параллелограмма, получаем ток.

Осталось построить ток I в неразветвленной части цепи (рис. П4.4.). Из первого закона Кирхгофа следует, что I = I₁ + I₂

По правилу параллелограмма складываем токи I₁ и I₂ и получаем ток I (см. рис. П4.5.).

Угол φ между общим током I и напряжением U говорит об общем характере цепи. В нашем примере (рис. П4.4) ток опережает напряжение на угол меньше 90°. Следовательно, в соответствии с табл. П4.1, характер цепи активно-емкостной.

На рис. П4.7 показан пример построения для рассматриваемой цепи (рис. П4.4.) треугольников проводимостей и мощностей.

В случае, если ток I и напряжение U на входе цепи совпадают по фазе (по направлению — на векторной диаграмме), получаем активный характер цепи, что соответствует режиму резонанса.

При последовательном соединении элементов R, L, С возможен резонанс напряжений. При этом U_L = U_C. cosφ = 1, ток имеет максимальное значение.

При параллельном соединении катушки индуктивности (R_k,L_k) и емкости (С) в цепи возможен резонанс токов. При этом I_1P = I₂, cosφ = 1 , ток в неразветвленной части цепи принимает минимальное значение.

Указания по построению векторных диаграмм

Построение векторных диаграмм для всех пунктов программы лабораторной работы начинается с построения с соблюдением масштаба напряжений (1 см = 20 В) симметричной трехлучевой звезды векторов фазных напряжений приемника, соединенного треугольником, которые одновременно являются линейными напряжениями генератора (питающей трехпроводной сети): .

Вначале рассмотрим построение векторной диаграммы напряжений и токов для случая симметричной нагрузки (рис. 16).

Поскольку симметричный режим характеризуется равенством величин фазных токовI_ab = I_bc = I_ca = I_Ф и равенством углов сдвига φ_ab = φ_bc = φ_ca = 0 (активная нагрузка – резисторы), то задавшись масштабом тока (1 см = 0,25 А), можно определить длину I_Ф векторов фазных токов и построить их совпадающими со «своими» фазными напряжениями (рис. 16). Ранее было показано (рис. 8), что векторы линейных токов могут быть изображены в виде сторон векторного треугольника, вершинами которого являются концы векторов фазных токов, если они построены в виде трехлучевой звезды векторов.

Так как режим симметричный, то векторы фазных токов (рис. 16)образуют симметричную звезду векторов, а векторный треугольник со сторонами является равносторонним.

Векторная диаграмма при обрыве одной фазы строится в том же порядке: изображается симметричная звезда векторов фазных напряжений, а затем строятся векторы фазных токов и, посколькуI_ab = 0, а величины токов I_bc и I_ca сохраняются (рис. 17). C учетом равенства нулю тока I_ab система равенств (6) принимает вид:

Таблица измерений и вычислений

Вычисляются

Симметричная

Обрыв (разгрузка) одной фазы

Обрыв двух фаз

Обрыв линейного провода В

Несимметричная

Равномерная

Векторная диаграмма при обрыве двух фаз (рис.18) строится с учетом того, что I_ab = 0, I_bc = 0 и остается неизменным ток I_са в фазе с–а. Сделав соответствующие уточнения в системе уравнений для линейных токов (6), получим:

Таким образом один линейный ток I_В равен нулю, а два других равны по величине фазному току оставшейся включенной фазе с–а.

В рассмотренных режимах разгрузки одной и двух фаз приемника наглядно проявляется независимость работы фаз треугольника.

Векторная диаграмма при несимметричной нагрузке всех трех фаз приемника (рис. 19). Порядок построения, как и в предыдущих режимах, сохраняется: вначале строится симметричная звезда векторов фазных напряжений , а звезда векторов фазных токов оказывается несимметричной, поскольку длины векторов (в масштабе токов) не равны друг другу I_ab  I_bc  I_ca. Очевидно несимметричной будет и система векторов линейных токов , показанных на диаграмме (рис. 19) в виде сторон векторного треугольника, стороны которого не равны друг другу I_A  I_B  I_C.

Векторная диаграмма при равномерной нагрузке отличается от предыдущих тем, что в одной из фаз приемника (фазе с–z) векторы тока и напряжения не совпадают друг с другом, а ток I_ca опережает напряжение на 90° (φ_ca = –90°). Это объясняется тем, что в фазу с–z вместо резисторов включен реактивный элемент – конденсатор с емкостью С (рис. 15).

Построение диаграммы начинается с изображения звезды векторов фазных напряжений (рис. 20). Затем строятся одинаковые по длине векторы фазных токов: в фазах a–x и b–y совпадающими со своими фазными напряжениями, а вектор тока изображается опережающим фазное напряжениена 90°. Как видно из диаграммы (рис. 20) векторы фазных токов,,одинаковые по величине, образуютнесимметричную звезду векторов.

Несимметричной оказывается и система трех векторов линейных токов, показанных пунктиром в виде сторон векторного треугольника, вершинами которого являются концы векторов фазных токов (рис. 20).

Это свидетельствует о том, что равномерная нагрузка при одинаковых величинах фазных токов является частным случаем несимметричной.

Следует обратить внимание (рис. 20), что один из линейных токов I_C меньше фазного (при симметричной нагрузке ).

Векторная диаграмма при обрыве линейного провода B–b представляет собой векторную диаграмму однофазной цепи (рис. 21б). Данный режим осуществляется размыканием выключателя К₃ (схема на рис. 15) при замкнутых ключах К₁ и К₂, причем до этого приемник, соединенный треугольником, представлял собой симметричную активную нагрузку: r_ab = r_bc = r_ca = r , где r – активное сопротивление одной фазы.

Получилась по существу уже не трехфазная, а однофазная цепь с двумя параллельными ветвями (рис. 21а), включенная на однофазное напряжение U_CA (соответствующее линейное напряжение трехфазного источника питания). Поэтому она должна рассчитываться и анализироваться с использованием методов расчета однофазных цепей.

Активные сопротивления двух параллельных ветвей, включенных между электрическими узлами A и С однофазной цепи (рис. 21а) соответственно равны r_ab + r_bc = 2r и r_ca = r . Токи в параллельных ветвях: ,; ток в неразветвленной цепиI_A = I_C = I_ca + I_ab = 1,5I_ca. Напряжение на входе цепи U_CA =U_AB + U_BC, откуда U_AB = U_BC = 0,5U_CA.

Поскольку в рассматриваемой однофазной цепи включены только резисторы, то векторы напряжений и токов на всех участках цепи совпадает по фазе. На рисунке 21б показаны векторные диаграммы для всех ветвей, построенные с учетом соответствующих масштабов и полученных выше соотношений для напряжений и токов однофазной цепи.

Расчетные формулы для заполнения раздела таблицы измерений и вычислений (табл. 2) «Вычисления».

Активные мощности фаз:

.

Суммарная активная мощность цепи:

при чисто активной нагрузке φ_ab = φ_bc = φ_ca = 0 (cos0 = 1).

Реактивная мощность каждой фазы вычисляется по формуле:

(при φ = 0  sinφ = 0),

а полная (кажущаяся) мощность

или (из треугольника мощностей).

Контрольные вопросы

1. Как соединить фазы приемника треугольником?
2. Что называется фазными и линейными токами и напряжениями, и как соотносятся фазные и линейные величины при соединении треугольником?
3. Какая разница между симметричной и равномерной нагрузкой?
4. При каких условиях соединение треугольником обеспечивает независимую работу фаз приемника?
5. В чем преимущества и недостаток схемы двух ваттметров, применяемой при измерении активной мощности в трехпроводных трехфазных цепях?

Построение векторных диаграмм

Наверняка при решении задач по электротехнике многие сталкивались с некоторыми сложностями в построении векторных диаграмм. Начнем с определения векторной диаграммы.

Векторная диаграмма — это изображение синусоидально изменяющихся величин в виде векторов на плоскости.

Векторные диаграммы применяют потому, что сложение и вычитание синусоидальных величин, неизбежные при расчете цепей переменного тока, наиболее просто выполняются в векторной форме. Кроме того векторные диаграммы отличаются простотой и наглядностью.

Построение векторной диаграммы выполняется в прямоугольной плоскости. Чтобы построить диаграмму нужно провести вектор длиною равный амплитудному значению искомой величины, под углом сдвига относительно другой величины. Возможно, вы не сразу поймете смысл сказанного, для этого нужно изучить пример.

В качестве примера рассмотрим построение векторной диаграммы для цепи, состоящей из последовательно подключенных конденсатора, резистора и катушки. Напряжение на катушке U_L=15 В, напряжение на конденсаторе U_C=20 В, напряжение на резисторе U_R=10 В, ток в цепи I=3 А. Требуется найти общее напряжение.

Катушка носит индуктивный характер, а значит, в ней напряжение опережает ток по фазе на 90°.

Конденсатор носит емкостной характер, значит, ток в нем опережает по фазе напряжение на 90°.

Резистор обладает только активным сопротивлением, и напряжение в нем совпадает по фазе с током.

Итак, для начала отложим вектор тока в масштабе. Масштаб для тока у нас будет 1 А/см.

Теперь отложим вектор напряжения на катушке, масштаб для напряжения возьмем 5 В/см, получается, что нужно отложить шесть клеток вверх, так как напряжение в катушке опережает ток. Для наглядности обозначим синим цветом.

Далее мы будем откладывать вектор активного сопротивления, так как напряжение в одной фазе с током, то мы его откладываем из конца вектора U_L параллельно вектору тока I. Обозначим его красным цветом.

Следующим шагом отложим вектор напряжения на конденсаторе, так как оно запаздывает на 90°, мы его отложим вертикально вниз, из конца вектора U _R . Обозначим желтым цветом.

И последним этапом мы отложим вектор общего напряжения, из начала координат в конец вектора U_C и обозначим его зеленым цветом.

Общее напряжение получилось равным 2,23 В, причем характер цепи емкостной, так как напряжение отстает от тока.

Аналогичным образом выполняется построение векторной диаграммы токов.

Что такое векторные диаграммы и для чего они нужны

Применение векторных диаграмм при расчете и исследовании электрических цепей переменного тока позволяет наглядно представлять рассматриваемые процессы и упрощать производимые электротехнические расчеты.

При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты, но имеющих разные амплитуды и начальные фазы. Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических преобразований или геометрически. Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.

Векторные диаграммы являются совокупностью векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС и токи или их амплитудные значения.

Гармонически изменяющееся напряжение определяется выражением u = U_m sin ( ωt + ψ _и ).

Расположим под углом ψ и относительно положительной оси абсцисс х вектор U _m , длина которого в произвольно выбранном масштабе равна амплитуде изображаемой гармонической величины (рис. 1). Положительные углы будем откладывать в направлении против вращения часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Предположим, что вектор U _m , начиная с момента времени t = 0, вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной частотой вращения ω , равной угловой частоте изображаемого напряжения. В момент времени t вектор Um повернется на угол ωt и будет расположен под углом ωt + ψ и по отношению к оси абсцисс. Проекция этого вектора на ось ординат в выбранном масштабе равна мгновенному значению изображаемого напряжения: u = U_m sin ( ωt + ψ _и ).

Рис. 1. Изображение синусоидального напряжения вращающегося вектора

Следовательно, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором . При начальной фазе, равной нулю, когда u = 0 , вектор U _m для t = 0 должен быть расположен на оси абсцисс.

График зависимости любой переменной (в том числе и гармонической) величины от времени называется временной диаграммой . Для гармонических величин по оси абсцисс удобнее откладывать не само время t, а пропорциональную ему величину ω_t . Временные диаграммы полностью определяют гармоническую функцию, так как дают представление о начальной фазе, амплитуде и о периоде.

Обычно при расчете цепи нас интересуют только действующие ЭДС, напряжения и токи или амплитуды этих величин, а также их сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому обычно рассматриваются неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирается так, чтобы диаграмма была наглядной. Такая диаграмма называется векторной диаграммой . При этом углы сдвига по фазе откладываются в направлении вращения векторов (против часовой стрелки), если они положительные, и в обратном направлении, если они отрицательные.

Если, например, начальный фазовый угол напряжения ψ и больше начального фазового угла ψi то сдвиг по фазе φ = ψ _и — ψ_i и этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока.

При расчете цепи переменного тока часто приходится складывать ЭДС, токи или напряжения одной и той же частоты.

Предположим, что требуется сложить две ЭДС: e₁ = E_{1 m} sin ( ωt + ψ _1e ) и e ₂ = E _2m sin ( ωt + ψ _{2 e} ) .

Такое сложение можно осуществить аналитически и графически. Последний способ более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е₁ и е₂ в определенном масштабе представлены векторами E_{1 m} E _2m (рис. 2). При вращении этих векторов с одной и той же частотой вращения, равной угловой частоте, взаимное расположение вращающихся векторов остается неизменным.

Рис. 2. Графическое сложение двух синусоидальных ЭДС одинаковой частоты

Сумма проекций вращающихся векторов E_{1 m} и E _2m на ось ординат равна проекции на ту же ось вектора E m, являющегося их геометрической суммой. Следовательно, при сложения двух синусоидальных ЭДС одной и той же частоты получается синусоидальная ЭДС той же частоты, амплитуда которой изображается вектором E _m, равным геометрической сумме векторов E_{1 m} и E _2m: E _m = E_{1 m} + E _2m.

Векторы переменных ЭДС и токов являются графическими изображениями ЭДС и токов в отличие от векторов физических величин, имеющих определенное физическое значение: вектора силы, напряженности поля и других.

Указанный способ можно применить для сложения и вычитания любого числа ЭДС и токов одной частоты. Вычитание двух синусоидальных величин можно представить в виде сложения: e₁— e₂ = e₁+ (- e₂), т. е. уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с обратным знаком. Обычно векторные диаграммы строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС и токов, а для действующих величин, пропорциональных амплитудным значениям, так как все расчеты цепей обычно выполняются для действующих ЭДС и токов.

Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети: