Метод контурных токов.
Метод контурных токов – один из основных и широко применяемых на практике методов. Он заключается в определении по второму закону Кирхгофа контурных токов. Для каждого контура цепи задают ток, который остается неизменным. В цепи протекает столько контурных токов, сколько независимых контуров в ней содержится. Направление контурного тока выбирают произвольно.
Контурные токи, проходя через узел, остаются непрерывными. Следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Уравнения с контурными токами записываются только для второго закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, меньше чем по методу законов Кирхгофа.
Рис.28. Иллюстрация к методу контурных токов.
На рис.28 показана цепь с двумя независимыми контурами, следовательно, и с двумя контурными токами I11иI22.
Токи в ветвях I1иI2равны контурным токам:
Ток I3равен сумме этих двух контурных токов:
По второму закону Кирхгофа для первого контура цепи:
r11– сумма всех сопротивлений, входящих в контурI, называетсясобственным сопротивлением контура.
r12– сопротивление ветви, общей для контураIиII;
E11=E1-E2– алгебраическая сумма всех э.д.с., содержащихся в первом контуре; со знаком «-» берется э.д.с., действующая навстречу контурному току рассматриваемого контура.
Аналогично для второго контура рис.28.
Уравнения, составленные по методу контурных токов, всегда записывают в виде системы. Для схемы рис.28:
В результате решения системы находят контурные токи, а затем токи ветвей.
Если заданная электрическая цепь содержит nнезависимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получаетсяnконтурных уравнений:
(29)
Собственные сопротивления riiвходят в уравнения (29) со знаком «+», поскольку обход контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного токаIii. Общие сопротивленияrikвойдут в уравнения со знаком «-», когда токиIiиIkнаправлены в них встречно.
Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, определяется по формуле:
где Nb– число ветвей электрической цепи;
Nи.т.– число идеальных источников тока.
Если в цепи отсутствуют источники тока, число уравнений равно числу контурных токов и, соответственно, числу независимых контуров рассматриваемой электрической цепи.
Решим пример 2 параграфа 11, используя метод контурных токов.
Цепь содержит три контура, через которые протекают контурные токи.
При наличии источников тока надо так направлять контурные токи, чтобы они протекали через данные источники. Но через один источник тока не может протекать два контурных тока.
На рис.1 обозначены положительные направления контурных токов. Очевидно, что I11=J1;I22=-J2
Контурный ток I33– неизвестен, для него составляем уравнение:
В правой части уравнения стоит «0», т.к. отсутствует контурная э.д.с.
В результате решения определяем I33=16,25 мА
12.Метод контурных токов.
Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике.
При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.
Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по II закону Кирхгофа, т.е. . Следовательно, этот метод более экономичен при вычислениях, чем метод уравнений Кирхгофа.
Разработаем алгоритм расчета цепей методом контурных токов на примере приведенной на рис. 2.3. схемы, в которой три независимых контура. Предположим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток в указанном направлении. Для каждого из контуров составим уравнения по II закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви для контурных токов 
и 
(ветвь bd, содержащая сопротивление 
) протекает ток 
, по смежной ветви для контурных токов 
и 
(ветвь dс, содержащая сопротивление 
) протекает ток 
, по смежной ветви для контурных токов 
и 
(ветвь аd, содержащая сопротивление 
) протекает ток 
.
Тогда уравнения по II закону Кирхгофа для каждого контура принимают следующий вид:
Сгруппируем слагаемые при одноименных токах:
(2.5)
В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:
(2.6)
в матричной форме
(2.7)
Собственное сопротивление контура (Rii) представляет собой арифметическую сумму сопротивлений всех потребителей, находящихся в i-ом контуре.
Общее сопротивление контура (Rij = Rji) представляет собой алгебраическую сумму сопротивлений потребителей ветви (нескольких ветвей), одновременно принадлежащих i-ому и j-ому контурам. В эту сумму сопротивление входит со знаком «+», если контурные токи протекают через данное сопротивление в одном направлении (согласно), и знак «–», если они протекают встречно.
Контурные ЭДС представляют собой алгебраическую сумму ЭДС источников, входящих в контур. Со знаком «+» в эту сумму входят ЭДС источников, действующих согласно с обходом контура, со знаком «–» входят ЭДС источников, действующих встречно.
Решение полученной системы удобно выполнить методом Крамера
, (2.8)
где , 1, 2, 3, – соответственно определители матриц:
(2.9)
По найденным контурным токам при помощи I закона Кирхгофа определяются токи ветвей.
Таким образом, методика расчета цепи постоянного тока методом контурных токов следующая:
1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.
2. Произвольно выбрать совокупность p независимых контуров, нанести на схему положительное направление контурных токов, протекающих в выбранных контурах.
3. Определить собственные, общие сопротивления и контурные ЭДС и подставить их в систему уравнений вида (2.3).
4. Разрешить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя метод Крамера.
5. Определить токи ветвей через контурные токи по I закону Кирхгофа.
6. В случае необходимости, с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.
7. Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.
Если в цепи содержится q источников тока, количество совместно рассматриваемых уравнений сокращается на q и становится равным р – q, поскольку токи в таких ветвях известны (для контуров с Iii = J уравнение можно не записывать). В этом случае следует выбирать такую совокупность независимых контурных токов, чтобы часть из них стала известными. Для этого необходимо, чтобы каждый источник тока входил только в один контур. Напряжения UJ источников войдут в качестве неизвестных в правые части уравнений, т.е. в состав контурных ЭДС.
13.Метод узловых потенциалов.
Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома. Для того, чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В том случае, когда п-1 p (n – количество узлов, p – количество независимых контуров), данный метод более экономичен, чем метод контурных токов.
Проиллюстрируем на простом примере получение методики расчета электрической цепи методом узловых потенциалов:
1. Записываем (n – 1) уравнение по I закону Кирхгофа (при выбранном опорном узле 4, потенциал которого условно принимаем равным нулю)
узел 1: – I1 + I4 — I6 = 0
узел 2: I1 – I2 + J3 = 0
узел 3: I2 – I4 + I5 = 0
2. Для каждого из m токов записываем выражение по обобщенному закону Ома через потенциалы узлов с учетом, что потенциал 4 = 0:
3. Полученные в п. 2 выражения подставляем в уравнения, составленные по I закону Кирхгофа
Приведем подобные слагаемые при различных потенциалах и получим каноническую систему уравнений:
(2.10)
В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:
(2.11)
в матричной форме
(2.12)
Собственная проводимость узла (Gii) представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i-ом узле.
Общая проводимость i-ого и j-ого узлов (Gij = Gji) представляет собой взятую со знаком «–» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i—ому и j—ому узлам.
Проводимости ветвей с источниками тока полагаются равными нулю и в собственные и общие проводимости не входят!
Узловой ток (Jii) состоит из двух алгебраических сумм: первая содержит токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i —ом узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i —ом узле. Со знаком «+» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «–» остальные.
Решение системы уравнений по методу узловых потенциалов в общем случае выполняется методом Крамера при помощи определителей:
Тогда неизвестные потенциалы могут вычислены следующим образом:
(2.14)
Нетрудно, показать, что аналогичную систему уравнений можно построить для случая n узлов в цепи. Тогда необходимо составить для (n—1) узлов соответствующие уравнения, полагая потенциал n-ого узла, равным нулю.
Таким образом, методика расчета цепи постоянного тока методом узловых потенциалов следующая:
1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.
2. Произвольно выбрать опорный узел (n)и пронумеровать все остальные (n—1)—e узлы.
3. Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений.
4. Записать систему уравнений в виде
Метод контурных токов
Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике. При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи. Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по II закону Кирхгофа, т.е. 
. Следовательно, этот метод более экономичен при вычислениях, чем метод уравнений Кирхгофа. Разработаем алгоритм расчета цепей методом контурных токов на примере приведенной на рис. 2.3. схемы, в которой три независимых контура. Предположим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток в указанном направлении. Для каждого из контуров составим уравнения по II закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви для контурных токов 
и
(ветвьbd, содержащая сопротивление 
) протекает ток
, по смежной ветви для контурных токов
и
(ветвьdс, содержащая сопротивление 
) протекает ток
, по смежной ветви для контурных токов
и
(ветвьаd, содержащая сопротивление 
) протекает ток
. 
Тогда уравнения по II закону Кирхгофа для каждого контура принимают следующий вид: 
Сгруппируем слагаемые при одноименных токах: 
(2.5) Введем обозначения: 
В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид: 
(2.6) в матричной форме 
(2.7) Собственное сопротивление контура (Rii) представляет собой арифметическую сумму сопротивлений всех потребителей, находящихся в i-ом контуре. Общее сопротивление контура (Rij= Rji) представляет собой алгебраическую сумму сопротивлений потребителей ветви (нескольких ветвей), одновременно принадлежащих i-ому и j-ому контурам. В эту сумму сопротивление входит со знаком «+», если контурные токи протекают через данное сопротивление в одном направлении (согласно), и знак «–», если они протекают встречно. Контурные ЭДС представляют собой алгебраическую сумму ЭДС источников, входящих в контур. Со знаком «+» в эту сумму входят ЭДС источников, действующих согласно с обходом контура, со знаком «–» входят ЭДС источников, действующих встречно. Решение полученной системы удобно выполнить методом Крамера , (2.8) где , 1, 2, 3, – соответственно определители матриц: 
(2.9) По найденным контурным токам при помощи I закона Кирхгофа определяются токи ветвей. Таким образом, методика расчета цепи постоянного тока методом контурных токов следующая:
- Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.
- Произвольно выбрать совокупность p независимых контуров, нанести на схему положительное направление контурных токов, протекающих в выбранных контурах.
- Определить собственные, общие сопротивления и контурные ЭДС и подставить их в систему уравнений вида (2.3).
- Разрешить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя метод Крамера.
- Определить токи ветвей через контурные токи по I закону Кирхгофа.
- В случае необходимости, с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.
- Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.
Если в цепи содержится qисточников тока, количество совместно рассматриваемых уравнений сокращается на q и становится равным р –q, поскольку токи в таких ветвях известны (для контуров с Iii= J уравнение можно не записывать). В этом случае следует выбирать такую совокупность независимых контурных токов, чтобы часть из них стала известными. Для этого необходимо, чтобы каждый источник тока входил только в один контур. Напряжения UJ источников войдут в качестве неизвестных в правые части уравнений, т.е. в состав контурных ЭДС. Пример.
Тогда система уравнений по методу контурных токов примет следующий вид: 
Причем, 
, решив первое уравнение, можно получить
. Далее 
UJ можно определить из второго уравнения системы или, составив уравнение по II закону Кирхгофа для любого контура, в который входит источник тока. Баланс мощности: 
Метод наложения токов. Пример решения
Наряду с методом контурных токов для анализа электрических цепей используется другой метод – метод наложения . Этот метод основан на принципе наложения, который применяется только к линейным системам.
Метод наложения относительно прост, и в основном применяется для не сложных электрических цепей.
Его суть заключается в том, что токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма их составляющих от каждого источника. То есть каждый источник тока вносит свою часть в каждый ток в цепи, а чтобы найти эти токи, нужно найти и сложить все составляющие. Таким образом, мы сводим решение одной сложной цепи к нескольким простым (с одним источником).
Порядок расчета
1 – Составление частных схем, с одним источником ЭДС, остальные источники исключаются, от них остаются только их внутренние сопротивления.
2 – Определение частичных токов в частных схемах, обычно это несложно, так как цепь получается простой.
3 – Алгебраическое суммирование всех частичных токов, для нахождения токов в исходной цепи.
Пример решения методом наложения
1. Для начала произвольно выберем направление токов, если в итоге какой либо ток получится со знаком минус, значит нужно изменить направление данного тока на противоположное.
2. Составим частную схему с первым источником ЭДС и рассчитаем частные токи в ней, убрав второй источник. Для удобства частичные токи будем обозначать штрихами.
Свернем схему к одному контуру, с сопротивлением источника и эквивалентным сопротивлением цепи для нахождения тока источника I1. Для тех, у кого возникают затруднения с нахождением эквивалентного сопротивления рекомендуем прочесть статью виды соединения проводников.
Найдем ток по закону Ома для полной цепи
Найдем напряжение на R 2345
Тогда ток I3 равен
Определим напряжение на R25
3. Составим частную схему со вторым источником ЭДС
Аналогичным образом вычислим все частичные токи от второй ЭДС
4. Найдем токи в исходной цепи, для этого просуммируем частичные токи, учитывая их направление. Если направление частичного тока совпадает с направлением исходного тока, то берем со знаком плюс, в противном случае со знаком минус.
5. Проверим с правильность решения с помощью баланса мощностей.
Небольшая погрешность связана с округлениями промежуточных значений в ходе выполнения вычислений.