Мгновенные, максимальные, действующие и средние значения электрических величин переменного тока
Мгновенное и максимальное значения. Величину переменной электродвижущей силы, силы тока, напряжения и мощности в любой момент времени называют мгновенными значениями этих величин и обозначают соответственно строчными буквами (e, i, u, p).
Максимальным значением (амплитудой) переменной э. д. с. (или напряжения или тока) называется та наибольшая величина, которой она достигает за один период. Максимальное значение электродвижущей силы обозначается Е m, напряжения — U m, тока — I m.
Действующим (или эффективным) значением переменного тока называется такая сила постоянного тока, которая, протекая через равное сопротивление и за одно и то же время, что и переменный ток, выделяет одинаковое количество тепла.
Для синусоидального переменного тока действующее значение меньше максимального в 1,41 раз, т. е. в раз.
Аналогично действующие значения переменной электродвижущей силы и напряжения меньше их максимальных значений тоже в 1,41 раза.
По величине измеренных действующих значений силы переменного тока, напряжения или электродвижущей силы можно вычислить их максимальные значения:
E m = E · 1,41; U m = U · 1,41; I m = I · 1,41;
Среднее значение = отношению количества эл энергии прошедшего через сечение проводника за половину периода к величине этого полупериода.
Под средним значением понимают среднеарифметическое ее значение за половину периода.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Мгновенное значение
Мгновенное значение величины a записывается в виде:
где Аm – амплитуда (максимальное значение) величины;
ω – угловая частота, рад/с;
t – текущее значение времени, с;
ψ – начальная фаза.
Мгновенные значения тока i, напряжения u или ЭДС запишем в виде:
Аргумент синуса (ωt +ψ) называется фазой. Угол ψ равен фазе в начальный момент времени t =0 и поэтому называется начальной фазой.
Угловая частота ω связана с периодом T и частотой f =1/Т формулами:
ω = 2π/Т или ω = 2πf.
Частота f, равная числу колебаний в 1с., измеряется в герцах (Гц). При f=50 Гц имеем ω =314 рад/с.
Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений
Действующее значение синусоидального тока равно такому значению постоянного тока, который за один период выделяет в том же резисторе такое же количество тепла, как и синусоидальный ток.
Аналогично существуют понятия действующих значений синусоидальных напряжений и ЭДС:
и 
.
Действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями.
Действующие значения токов и напряжений показывают большинство электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров).
В действующих значениях указываются номинальные токи и напряжения в паспортах различных электроприборов и устройств.
Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за половину периода:
и 
Элементы электрических цепей синусоидального тока
Основные элементы электрических цепей синусоидального тока:
-источники электрической энергии (источники ЭДС и источники тока);
-резистивные элементы (резисторы, реостаты, нагревательные элементы и т.д.);
-емкостные элементы (конденсаторы);
-индуктивные элементы (катушки индуктивности).
Резистивный элемент
По закону Ома напряжение на резистивном элементе:u=i⋅R=R⋅Im sinωt=Um sinωt, где Um =R⋅Im и ток i=Im sinωt.
1. Ток и напряжение в резистивном элементе совпадают по фазе (изменяются синфазно).
2. Закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения: Um =R⋅Im, так и для действующих значений тока и напряжения: U=R⋅I.
Выразим мгновенную мощность p через мгновенные значения тока i и напряжения u:
p=u i =Um Im sinωt sinωt =U I (1−cos2ω).
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
3.1.1 Мгновенное значение.
Аргумент синуса ( ω t + ψ ) называется фазой . Угол ψ равен фазе в начальный момент времени t =0 и поэтому называется начальной фазой .
| Угловая частота ω связана с периодом T и частотой f = 1 | форму- | ||
| лами: | T | ||
| 2 π | |||
| ω = | или ω = 2 π f , | (3.5) | |
| T | |||
Частота f , равная числу колебаний в 1с., измеряется в герцах (Гц). При f =50 Гц имеем ω =314 рад/с. С учетом (3.5) формула (3.1) может иметь вид:
| 2 π | ||
| а = А m sin | t + ψ , | (3.6) |
| Т | ||
На рисунке 3.1 изображены графики синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами: i 1 = I m 1 sin ( ω t + ψ 1 ) ; i 2 = I m 2 sin ( ω t + ψ 2 ) .
По оси абсцисс отложено время t и величина ω t , пропорциональная времени и измеряемая в радианах. Начальный фазный угол отсчитывается от начала синусоиды, т.е. от момента перехода синусоиды от отрицательных к положительным значе-
| ниям до момента времени t =0 (начало координат). При | ψ 1 >0 начало си- | ||||||||||||||||||||||||
| нусоиды сдвинуто влево , а при ψ 2 | |||||||||||||||||||||||||
| i, A | i 1 | ||||||||||||||||||||||||
| i 2 | |||||||||||||||||||||||||
| I m2 | |||||||||||||||||||||||||
| I m1 | 1 | Т | Т | 3 | Т | Т | |||||||||||||||||||
| 4 | |||||||||||||||||||||||||
| 2 | 4 | t, c | |||||||||||||||||||||||
| 3 | t, рад | ||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||
| 1 >0 | 2 | ||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||
| 1 — 2 | |||||||||||||||||||||||||
Рисунок 3.1 – График синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами. Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты друг относительно друга по фазе . Сдвиг фаз измеряется разностью фаз, которая равна разности начальных фаз. На рисунке 3.1 ψ 1 − ψ 2 >0, т.е. ток i 1 опережает по фазе ток i 2 на угол ψ 1 − ψ 2 , или, что тоже самое, ток i 2 отстает по фазе от тока i 1 на угол ψ 1 − ψ 2 . Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе ; если разность их фаз равна ± π , то говорят, что они противоположны по фазе (в противофазе). И, если разность их фаз равна ± π / 2 , то говорят, что они находятся в квадратуре . Наибольшее распространение в электротехнике получил синусоидальный ток частотой 50 Гц, которая принята за стандартную в России. В США стандартной является частота f =60 Гц.
Диапазон частот, применяемых на практике синусоидальных токов и напряжений, очень широк: от долей герца, например, в геологоразведке, до десятков тысяч мегагерц (МГц) в радиолокации. Синусоидальные токи и напряжения низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов , в которых используется принцип получения синусоидального напряжения путем вращения витка с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле. Этот принцип основан на явлении электромагнитной индукции, открытом в 1831 году М.Фарадеем. Синусоидальные токи и напряжения высоких частот (ВЧ) получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов. Источники синусоидальной ЭДС (источники синусоидального напряжения) обозначают на схемах с помощью условных обозначений (рисунок 3.2, а, б) или только показывают напряжение между зажимами источника (рисунок 3.2, в), т.к. в большинстве случаев принимают источники идеальными и ввиду равенства нулю их внутреннего сопротивления имеем
| е = u, E & = U & и т.д. | . | |||
| е | ||||
| 1 | 2 | E | 1 | 2 |
| 1 | 2 | U . | ||
| u | . | |||
| U | ||||
| а) | б) | в) |
Рисунок 3.2 – Условные обозначения идеальных источников ЭДС 3.1.2 Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений. Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая энергия Q , выделяемая в резисторе с сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока I 0 в течение промежутка времени t равна:
| Q = I 0 2 R t . | (3.7) |
Для синусоидального тока формулу (3.7) можно применить лишь для определения тепловой энергии dQ , выделившейся в резисторе с сопротивлением R за бесконечно малый промежуток времени dt , в течение которого силу тока i можно считать не изменяющейся:
| dQ = i 2 Rdt , | (3.8) |
За период времени Т выделившаяся энергия:
| T | ||||
| Q = ∫ i 2 Rdt , | (3.9) | |||
| 0 | ||||
| Пусть i = I m sin ω t , тогда: | ||||
| T | T | I m 2 | ||
| Q = ∫ I m 2 sin 2 ω tRdt = I m 2 R ∫ sin 2 ω tdt = | RT | |||
| 2 | ||||
| 0 | 0 | |||
| Введем величину | I = I m , называемую действующим значением си- | |||
| 2 | ||||
| нусоидального тока , и, подставив ее в последнее выражение, получим: | ||||
| Q = I 2 RT , | (3.10) | |||
Сопоставив формулу (3.10), полученную для синусоидального тока, с формулой (3.7), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: Дей- ствующее значение синусоидального тока равно такому значению постоянного тока, который за один период выделяет в том же резисторе такое же количество тепла, как и синусоидальный ток. Аналогично существуют понятия действующих значений синусоидальных напряжений и ЭДС:
| U = U m | и | E = | E m . | (3.11) |
| 2 | 2 |
Из формул (3.9) и (3.10) получаем: T I = 1 ∫ i 2 dt . (3.12) T 0 В силу (3.12) действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями. Действующие значения токов и напряжений показывают большинство электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров). В действующих значениях указываются номинальные токи и напряжения в паспортах различных электроприборов и устройств. Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода:
| 1 | T 2 | 2 | |||
| ∫ | |||||
| I ср = | I m sin ω tdt = | I m , | (3.13) | ||
| T | π | ||||
| 2 0 | |||||
т.е. среднее значение синусоидального тока составляет π 2 =0,638 от амплитудного значения. Аналогично, E ср = 2 Е m / π , U ср = 2 U m / π . 3.1.3 Изображение синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числами и векторами. Синусоидально изменяющийся ток i изображается комплексным числом:
| i = I m sin ( ω t + ψ i ) I m e j ( ω t + ψ i ) . | (3.14) |
| Принято изображение тока находить для момента времени t =0: | |
| i = I m sin ψ i = I & m I m e j ψ i . | (3.15) |
Величину I & m называют комплексной амплитудой тока или ком- плексом амплитуды тока. Под комплексом действующего значения тока или под комплексом тока I & понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на 2 :
| & | I & m | I m | j ψ i | j ψ i | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| = 2 = | 2 e | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| I | = I e | , | (3.16) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Под комплексами напряжения и ЭДС понимают подобные выраже- | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ния | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| & | U & m | j ψ u | & | E & m | j ψ e | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| = | = U e , | = | = E e . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| U | 2 | E | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| +j | I = I e j i | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Jm I = I sin i | i | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Re I = I | cos | +1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| i | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рисунок 3.3 – Изображение синусоидального тока на комплексной плоскости вектором I & Комплексы тока, напряжения и ЭДС изображаются также на комплексной плоскости векторами. Например, на рисунке 3.3 изображен век- тор I & . При этом угол ψ i отсчитывается от оси +1 против часовой стрелки,
если ψ i >0. Из рисунка 3.3 следует, что комплекс тока I & (так же, как ком- плекс напряжения и ЭДС) можно представить а) вектором I & ; б) комплексным числом в показательной, алгебраической и тригонометрической формах:
| I & = I e j ψ i | = Re I & + jJmI & = I cos ψ + jI sin ψ , | (3.17) |
| Пример 3.1 | Ток i = 2 sin ( ω t + 30 0 ) А. Записать | выражение для |
комплексной амплитуды этого тока. Решение. В данном случае I m =2 А, ψ =30 0 . Следовательно, I & m = 2 e j 30 0 = ( 2 cos 30 0 + j 2 sin 30 0 ) = 3 + j 1 А. Пример 3.2 Комплексная амплитуда тока I & m = 25 e − j 30 0 А. Записать выражение для мгновенного значения этого тока. Решение. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному
| значению надо умножить | I & m | на e j ω t | и взять коэффициент при мнимой | ||||||||||
| части от полученного произведения: | j ( ω t − 30 0 ) | = 25 sin ( ω t − 30 | ) . | ||||||||||
| e | − j 30 0 | e | j ω t | 25 e | 0 | ||||||||
| i = Jm 25 | = Jm | ||||||||||||
| Пример 3.3 Записать выражение комплекса действующего значения | |||||||||||||
| тока для примера 3.1. | |||||||||||||
| & | I & m 2 e j 30 0 | 2 e | j 30 0 | А. | |||||||||
| = | = | ||||||||||||
| Решение: I = | 2 | 2 | |||||||||||
3.2 Элементы электрических цепей синусоидального тока Основные элементы электрических цепей синусоидального тока: — источники электрической энергии (источники ЭДС и источники тока); — резистивные элементы (резисторы, реостаты, нагревательные элементы и т.д.); — емкостные элементы (конденсаторы); — индуктивные элементы (катушки индуктивности).
| 3.2.1 Резистивный элемент (РЭ). | |
| На рисунке 3.4, а изображен РЭ, по которому течет ток | |
| i = I m sin ω t . | (3.18) |
По закону Ома напряжение РЭ
| u = i R = R I m sin ω t = U m sin ω t , | (3.19) |
где U m = R I m . Из формул (3.18) и (3.19) следует вывод: ток и напряжение в рези- стивном элементе совпадают по фазе (изменяются синфазно). Это поло- жение наглядно иллюстрируется на рисунке 3.4,б, в. Из формул (3.19) сле- дует другой вывод: закон Ома выполняется как для амплитудных значений
| тока и напряжения : | |||||||||
| U m = R I m , | (3.20) | ||||||||
| так и для действующих значений тока и напряжения : | |||||||||
| U = R I . | (3.21) | ||||||||
| Выразим мгновенную мощность p через мгновенные значения тока | |||||||||
| i и напряжения u : | |||||||||
| p = u i = U m I m sin ω t sin ω t = | U m I m | ( 1 − cos 2 ω t ) = U I ( 1 − cos 2 ω ) | (3.22) | ||||||
| 2 | |||||||||
| u = Ri | u | i | u = U m sin | t | |||||
| i | в) | ||||||||
| R | i = I m sin | t | |||||||
| а) | |||||||||
| T | T | 3 | t | ||||||
| I | U | 2 | 2 T | ||||||
| б) | р | U m I m = | |||||||
| р = UI( 1- sin 2 t) | |||||||||
| 2 | U I | ||||||||
| г) | |||||||||
| + | + | + | |||||||
t а) изображение на схеме; б) векторы тока и напряжения; в) графики тока и напряжения; г) график мгновенной мощности. Рисунок 3.4 – Резистивный элемент
§ 6. Переменный ток
Переменный ток представляет собой вызванные внешним переменным напряжением вынужденные электрические колебания в цепи, обладающей индуктивностью, емкостью и активным сопротивлением. Рассматривая переменный ток, удобно использовать понятия индуктивного, емкостного, реактивного и полного сопротивлений электрической цепи или участка цепи. Перечисленные понятия определяются таким образом, чтобы для амплитуды переменного тока I m на рассматриваемом участке цепи и амплитудного значения переменного
| 30 | Электрические колебания | [ Гл. I |
напряжения U m на концах этого участка выполнялось соотношение, по форме совпадающее с законом Ома. Например, так называемое полное сопротивление Z цепи (импеданс ) — это величина, удовлетворяющая равенству
| I m = | U m | , | (6.1) |
| Z | |||
где I m — амплитуда тока в цепи, U m — амплитуда поданного на вход цепи напряжения. Равенства, подобные (6.1), в соответствии с определением должны выполняться для индуктивного X L , емкостного X C , и реактивного X сопротивлений, если рассматриваемый участок электрической цепи или вся цепь обладает только соответствующим сопротивлением. Напомним, что если в состав цепи входят последовательно соединенные конденсатор емкости C , катушка индуктивности L и омическое сопротивление R и на вход цепи подано внешнее переменное напряжение U = U m cos ωt , то возникнут вынужденные электрические колебания. При этом сила тока в цепи будет изменяться со временем по закону I = I m cos ( ωt − ϕ ) . Зависимость от циклической частоты ω амплитуды тока I m описывается выражением
| I m = | U m | . | (6.2) |
R 2 + ωL − 1 /ωC 2
Разность фаз ϕ между колебаниями внешнего напряжения тока I определяется выражением: tg ϕ = ωL − 1 /ωC . R
Чтобы дать определение индуктивного, емкостного, реактивного и полного сопротивлений участка цепи, рассмотрим закономерности протекания переменного тока в простейших цепях. Переменный ток в цепи, обладающей только активным сопротивлением. Если на вход це-
| U ~ | R | пи (рис. 15), обладающей сопротивлением R , пода- | |
| но напряжение U = U m cos ωt , и выполнены условия | |||
| квазистационарности тока, то для вычисления силы | |||
| тока, можно воспользоваться законом Ома: | |||
| Рис. 15 | U | U m | |||
| I = R | = | R cos ωt. | (6.4) | ||
Из (6.4) следует, что амплитуда тока I m связана с амплитудой
| напряжения U m и сопротивлением R соотношением: | |||
| I m = | U m | . | (6.5) |
| R | |||
§ 6 ] Переменный ток 31 Фазовый сдвиг ϕ между током и напряжением равен нулю. Вектор-
| ная диаграмма колебаний тока и напряжения име- | |
| ет вид, представленный на рис. 16. | m |
| Таким образом, при протекании переменного | |
| m m | |
| тока в цепи при отсутствии катушек индуктив- | |
| ности и конденсаторов закон Ома выполняется | Рис. 16 |
| как для мгновенных (6.4), так и для амплитудных |
(6.5) значений тока и напряжения. Сопротивление R в цепи переменного тока называется активным сопротивлением . Переменный ток в цепи, содержащей только катушку индуктивности. Если переменное напряжение U = U m cos ωt подано на вход цепи, в состав которой входит только катушка индуктивности L , не обладающая активным сопротивлением (рис. 17), то амплитуду тока можно вычислить по формуле (6.2), полагая в ней R = 0 и 1 /C = = 0. Последнее равенство означает, что эффективная емкость цепи, в составе которой отсутствуют конденсаторы и в которой не накапливаются электрические заряды, бес-
| конечно велика. Итак, амплитуда тока в рассматри- | ||||||
| U ~ | L ваемой идеальной катушке равна | |||||
| I m = | U m | . | (6.6) | |||
| ωL | ||||||
| Рис. 17 | При R = 0 и 1 /C = 0 из (6.3) следует, что tg ϕ = | |||||
| = + ∞ и ϕ = π | / | 2, то есть колебания напряжения на | ||||
катушке опережают колебания текущего в ней тока на величину π/ 2. Соответствующая векторная диаграмма представлена на рис. 18. Соотношение (6.6), связывающее амплитуду тока и амплитуду внешнего напряжения, формально можно рассматривать как закон Ома
| для участка цепи, содержащего только идеальную | |||||
| катушку индуктивности. В соответствии с этим вво- | m m | ||||
| дится понятие индуктивного сопротивления катуш- | |||||
| ки. | |||||
| Индуктивное сопротивление X L равно | m | ||||
| X L = ωL , | (6.7) | Рис. 18 | |||
где L — индуктивность катушки, ω — циклическая частота переменного тока. Единица индуктивного сопротивления ом (Ом). Действительно, как следует из определения (6.7):
| [ X L ] = | Гн | = | 1 | В | = . | |
| с | с | А · с − 1 | ||||
Переменный ток в цепи, содержащей только конденсатор. Пусть переменный ток течет по цепи, в составе которой имеется только конденсатор емкости C (рис. 19). На вход подается переменное
32 Электрические колебания [ Гл. I напряжение U = U m cos ωt . Полагая в формуле (6.2) R = 0 и L = 0, найдем амплитуду тока I m :
| I m = U m ωC. | (6.8) | ||||||||||||||
| Используя (6.3) при условии R = 0 и L = 0, определим фазовый | |||||||||||||||
| / | |||||||||||||||
| сдвиг ϕ между током и напряжением: tg ϕ = −∞ , ϕ = −π | 2. Следова- | ||||||||||||||
| тельно, колебания тока в цепи, | |||||||||||||||
| m | содержащей | только конденсатор, | |||||||||||||
| опережают | по | фазе | колебания | ||||||||||||
| U | ~ | напряжения | на | конденсаторе на | |||||||||||
| C | величину π/ 2. Соответствующая | ||||||||||||||
| m | m | векторная диаграмма представле- | |||||||||||||
| на на рис. 20. | |||||||||||||||
| Рис. 19 | Рис. 20 | Рассматривая (6.8) формально | |||||||||||||
| как закон Ома для амплитудных | |||||||||||||||
значений тока и напряжения, можно определить емкостное сопротивление конденсатора.
| Емкостное сопротивление X C равно | |||
| X C = | 1 | . | (6.9) |
| ωC | |||
Единица емкостного сопротивления ом (Ом). Действительно, в соответствии с определением (6.9)
| [ X C ] = | 1 | = | 1 | = | В | = Ом . | |
| − 1 | · Ф | − 1 | / | А | |||
| с | с | · Кл В | |||||
Переменный ток в цепи, содержащей индуктивность и емкость. Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением ( R = 0). На вход цепи подано переменное напряжение
| U = U m cos ωt (рис. 21). При R = 0 амплитуда пе- | |||||||||||||||||
| ременного тока I m , вычисленная по формуле (6.2), | |||||||||||||||||
| равна | C | ||||||||||||||||
| I m = | U m | = | U m | . | (6.10) | U ~ | |||||||||||
| R 2 + ωL − 1 /ωC 2 | ωL − 1 /ωC | L | |||||||||||||||
| Разность фаз | ϕ между | колебаниями | внешнего | ||||||||||||||
| напряжения и тока определяется соотношением (6.3) | Рис. 21 | ||||||||||||||||
| и зависит от циклической частоты ω , а именно: если | |||||||||||||||||
| / √ | / √ | ||||||||||||||||
| LC , то | tg ϕ = ∞ | и ϕ = π/ 2; если | ω < 1 | LC , то tg ϕ = | |||||||||||||
| ω > 1 | |||||||||||||||||
| / | |||||||||||||||||
| = −∞ и ϕ = −π | 2. Таким образом, при достаточно больших значениях | ||||||||||||||||
частоты ω колебательный контур по своей фазовой характеристике похож на катушку индуктивности: приложенное напряжение опережает ток на величину π/ 2. При низких частотах колебательный контур по своей фазовой характеристике похож на конденсатор: ток в контуре опережает внешнее напряжение на величину π/ 2. На рис. 22 приведен
§ 6 ] Переменный ток 33
| пример векторной диаграммы колебаний в контуре при относительно | ||||||||||||||||
| √ | ||||||||||||||||
| большой частоте ω : ω > 1 / LC . | ||||||||||||||||
| Рассматривая соотношение (6.10) как закон | m | m | ||||||||||||||
| Ома, связывающий амплитуды тока и напряже- | ||||||||||||||||
| ния, можно ввести понятие реактивного сопро- | m | m | ||||||||||||||
| тивления цепи X . | ||||||||||||||||
| Реактивным сопротивлением цепи, содер- | ||||||||||||||||
| жащей конденсатор и катушку индуктивности, | ||||||||||||||||
| называется величина | m | |||||||||||||||
| 1 | ||||||||||||||||
| X = ωL − | . | (6.11) | m | |||||||||||||
| ωC | m | |||||||||||||||
| Единицей реактивного сопротивления явля- | Рис. 22 | |||||||||||||||
| ется ом (Ом). | ||||||||||||||||
Полное сопротивление цепи (импеданс). Если на вход последовательного контура, содержащего индуктивность L , емкость C и активное сопротивление R (рис. 23), подано переменное напряжение U = U m cos ωt , амплитуда колебаний тока в цепи, согласно (6.2), равна
| U m | U m | ||||
| I m = R 2 + ωL − 1 /ωC 2 = | , | (6.12) | |||
| Z | |||||
| U ~ | |||||
| C | |||||
| где величина Z — так называемое | полное сопротив- | ||||
| R | L | ление цепи . | |||
| По определению, полным сопротивлением цепи | |||||
| ( импедансом ) называется величина | |||||
| Рис. 23 | |||||
| Z = R 2 + ( ωL − 1 /ωC ) 2 = | , | ||||
| R 2 + X 2 | (6.13) | ||||
где X — реактивное сопротивление. Если известны полное сопротивление Z цепи и амплитуда внешнего напряжения U m , соотношение (6.12) позволяет найти амплитуду переменного тока I m . Разность фаз ϕ между поданным на вход цепи напряжением и током определяется соотношением (6.3). Пример векторной диаграммы колебаний в последовательном контуре показан на рис. 12. Мощность переменного тока. Рассмотрим цепь переменного тока, которая представляет собой последовательный колебательный контур (рис. 23). На вход цепи подано напряжение U = U m cos ωt , мгновенное значение силы тока равно I = I m cos ( ωt − ϕ ) , где ϕ — разность фаз колебаний напряжения и тока. Мгновенная мощность тока, которую обозначим через P t , равна произведению мгновенных значений силы тока и напряжения: P t = IU = I m cos ( ωt − ϕ ) U m cos ωt = 1 1 = 2 I m U m cos ( 2 ωt − ϕ ) + 2 I m U m cos ϕ.
2 А. Н. Леденев
| 34 | Электрические колебания | [ Гл. I |
| Практический интерес представляет не мгновенное, а среднее за | ||
достаточно большой промежуток времени значение мощности тока. В полученном выражении для мгновенной мощности тока P t от времени зависит только первое слагаемое. Среднее по времени значение мощности тока P равно
| P = | 1 | I m U m cos 1 ( 2 ωt − ϕ ) + | 1 | I m U m cos ϕ 1 = | ||||
| 2 | 2 | |||||||
| = | I m U m cos ( 2 ωt − ϕ ) + | I m U m | ||||||
| 2 | 2 | |||||||
1 1 = 2 I m U m cos ( 2 ωt − ϕ ) + 2 I m U m
cos ϕ = 1 cos ϕ = 2 I m U m cos ϕ.
Здесь было учтено, что среднее за период T = π/ω (а также за большой по сравнению с периодом промежуток времени) значение функции cos ( 2 ωt − ϕ ) равно нулю. Итак, среднее по времени значение мощности переменного тока
| равно | 1 | |
| P = | I m U m cos ϕ , | (6.14) |
| 2 |
где I m и U m — амплитуды тока и напряжения, ϕ — разность фаз между колебаниями напряжения на входе цепи и текущего по ней тока. Используя выражение (3.9) для тангенса разности фаз ϕ :
| tg ϕ = | ωL − 1 /ωC | , | ||||||
| R | ||||||||
| вычислим cos ϕ : | ||||||||
| cos ϕ = | 1 | = | R | = | ||||
| R | 2 | |||||||
| 1 + tg 2 ϕ | + ωL − | R | 1 | |||||
| 2 | 1 /ωC | |||||||
| = | = | , (6.15) | ||||||
| R 2 + X 2 | 1 + X/R 2 | |||||||
где X — реактивное сопротивление цепи. Из (6.15) следует, что чем больше реактивное сопротивление X по сравнению с активным сопротивлением R , тем меньше величина cos ϕ и, следовательно, меньше поступающая в цепь мощность тока P (см. (6.14)). Отсюда следует практически важный вывод: чтобы увеличить эффективность передачи электроэнергии от источника к потребителю по проводам на большие расстояния, необходимо стремиться к относительному уменьшению реактивного сопротивления X линий электропередачи. Учитывая, что произведение U m cos ϕ равно амплитуде напряжения на активном сопротивлении R , а именно: U m cos ϕ = U Rm = I m R (см. векторную диаграмму на рис. 12), выражение (6.14) для мощности
| § 6 ] | Переменный ток | 35 |
переменного тока можно представить в следующей форме:
| P = | 1 | I | m | U | m | cos ϕ = | 1 | I 2 | R. | (6.16) |
| 2 | ||||||||||
| 2 m | ||||||||||
Действующим (эффективным) значением силы тока I эф называется величина, равная
| I m | |
| I эф = √ 2 . | (6.17) |
Мощность переменного тока, выраженная через величину I эф , равна
| P = I 2 | R. | (6.18) |
| эф |
Равенство (6.18) формально совпадает с выражением для мощности P постоянного тока силой I эф на участке цепи, сопротивление которого равно R . Из сравнения (6.16) и (6.18) следует, что действующее значение силы тока I эф равно силе такого постоянного тока, мощность которого равна мощности переменного тока, причем постоянный ток должен течь по проводнику с сопротивлением R , равным омическому сопротивлению цепи переменного тока. В электротехнике в общем случае произвольного периодически зависящего от времени тока силой I = I ( t ) , текущего по цепи с сопротивлением R , действующее или эффективное значение силы тока I эф определяется из соотношения
| 1 | T | |||
| I эф 2 R = I ( t ) 2 ср R = | I ( t ) 2 Rdt , | (6.19) | ||
| T | 0 | |||
| или | T | |||
| 1 | ||||
| I эф 2 = | I ( t ) 2 dt | |||
| T | ||||
| 0 | ||||
где T — период колебаний тока. Соотношение (6.19) подразумевает равенство мощности постоянного тока силой I эф и средней мощности переменного тока силой I ( t ) . В случае синусоидального тока из (6.19) вытекает определенное выше формулой (6.17) действующее значение силы тока. Действующим (эффективным) значением напряжения в рассматриваемом случае синусоидального внешнего напряжения U = U m cos ωt называется величина, равная:
| U m | |
| U эф = √ 2 . | (6.20) |
С учетом определений (6.17) и (6.20) действующих значений силы тока и напряжения среднюю мощность переменного тока (6.16) можно выразить формулой:
| P = I эф U эф cos ϕ. | (6.21) |
В электротехнике в общем случае произвольного периодически зависящего от времени напряжения U = U ( t ) , поданного на вход элек-